人教A版高中数学的选修4-5_《不等式选讲》全册教案设计

人教A版高中数学的选修4-5_《不等式选讲》全册教案设计
人教A版高中数学的选修4-5_《不等式选讲》全册教案设计

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读

选修系列4-5专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学,使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

二、教材内容分析

作为一个选修专题,虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块,教材内容仍以初中知识为起点,在内容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,结构如下图所示:

第一讲是“不等式和绝对值不等式”,为了保持专题内容的完整性,教材回顾了已学过的不等式6个基本性质,从“数与运算”的思想出发,强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式,突出几何背景和实际应用,同时推广到n个正数的情形,但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式,借助几何意义,从“运算”角度,探究归纳了绝对值三角不等式,并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法,而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”,教材通过一些简单问题,回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法。其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母,应用基本不等式进行放缩等(见分节教学设计)。本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工。比如课本P41页,习题3.2 第四题。

排序不等式只作了解,建议在老师指导下由学生阅读自学,了解教材中展示的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程,初步认识排序不等式的有关知识。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”.数学归纳法在选修2-2中也学过,建议放在第二讲,结合放缩法的教学,进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。

三、教学目标要求

1.不等式的基本性质

掌握不等式的基本性质,会应用基本性质进行简单的不等式变形。

2.含有绝对值的不等式

理解绝对值的几何意义,理解绝对值三角不等式,会解绝对值不等式。

3.不等式的证明

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法

4.几个著名的不等式

(1)认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。

(2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。

(3)了解n个正数的均值不等式,n维柯西不等式,排序不等式,贝努利不等式

5.利用不等式求最大(小)值

会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。6.数学归纳法与不等式

了解数学归纳法的原理及其使用范围;会用数学归纳法证明简单的不等式。

会用数学归纳法证明贝努利不等式。

四、教学重点难点

1、本专题的教学重点:不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用;用比较法、分析法、综合法证明不等式;柯西不等式及其应用、排序不等式;

2、本专题的教学难点:三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法;用反证法,放缩法证明不等式;运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。

五、教学总体建议

1、回顾并重视学生已学知识

学习本专题,学生已掌握的知识有:

第一、初中课标要求的不等式与不等式组

(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质。

(2)解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集。

(3)根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题

第二、高中必修5不等式内容:

(1)不等关系。通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。

(2)一元二次不等式。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。

(4)基本不等式及其应用(求最值)。

第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。

回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识,可适当指导学生阅读自学,设置梯度恰当的习题,采用题组教学的形式,达到复习巩固系统化的效果,类似于高考第二轮的专题复习,构建知识体系。

2、控制难度不拓展

在解绝对值不等式的教学中,要控制难度:含未知数的绝对值不超过两个;绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论,把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式;

不等式证明的教学,主要使学生掌握比较法、综合法、分析法,其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法,应用柯西不等式和排序不等式的证明,只要求了解。

代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的,但对大多数学生来说,往往很难掌握这些技巧,教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想,对一些技巧不做更多的要求,不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。3、重视不等式的应用

不等式应用的教学,主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题,其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式;排序不等式;贝努里不等式的应用不作要求。

4、重视展现著名不等式的背景

几个重要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景,使学生在学习中把握这些几何背景,力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容,可指导学生阅读了解相关背景知识。

第一讲 不等式和绝对值不等式

课 题: 第01课时 不等式的基本性质 教学目标:

1. 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究的基础。 2. 掌握不等式的基本性质,并能加以证明;会用不等式的基本性质判断不等关系和用

比较法,反证法证明简单的不等式。

教学重点:应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明,特别是反证法。 教学难点:灵活应用不等式的基本性质。 教学过程: 一、引入:

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”:“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问题,如“自来水管的直截面为什么做成圆的,而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮?”、“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等关系的问题,需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则糖水更甜了,为什么?

分析:起初的糖水浓度为a b ,加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++,只要证m a m b ++>a

b

即可。怎么证呢?

二、不等式的基本性质:

1、实数的运算性质与大小顺序的关系:

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴上的表示

可知:

0>-?>b a b a

0=-?=b a b a 0<-?

得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质:

①、如果a>b ,那么bb 。(对称性) ②、如果a>b ,且b>c ,那么a>c ,即a>b ,b>c ?a>c 。 ③、如果a>b ,那么a+c>b+c ,即a>b ?a+c>b+c 。

推论:如果a>b ,且c>d ,那么a+c>b+d .即a>b , c>d ?a+c>b+d . ④、如果a>b ,且c>0,那么ac>bc ;如果a>b ,且c<0,那么acb >0,那么n

n b a >

(n ∈N ,且n>1)

⑥、如果a>b >0,那么n

n b a > (n ∈N ,且n>1)。

三、典型例题:

例1、比较)7)(3(++x x 和)6)(4(++x x 的大小。

分析:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系。 例2、已知d c b a <>,,求证:d b c a ->-. 例3、已知a>b>0,c>d>0,求证:c

b d a >。

四、课堂练习:

1:已知3>x ,比较x x 113

+与662

+x 的大小。 2:已知a>b>0,c

b a

c a b -<

-。 五、课后作业:

课本9P 第1、2、3、4题 六、教学后记:

课 题: 第02课时 基本不等式 教学目标:

1.学会推导并掌握均值不等式定理;

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程: 一、知识学习:

定理1:如果a 、b ∈R ,那么a 2

+b 2

≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号) 证明:a 2

+b 2

-2ab =(a -b )2

当a ≠b 时,(a -b )2

>0,当a =b 时,(a -b )2

=0

所以,(a -b )2

≥0 即a 2

+b 2

≥2ab 由上面的结论,我们又可得到

定理2(基本不等式):如果a ,b 是正数,那么 a +b

2

≥ab (当且仅当a =b 时取“=”

号)

证明:∵(a )2

+(b )2

≥2ab ∴a

+b ≥2ab

a +b

2 ≥ab 显然,当且仅当a =b 时,a +b

2

=ab

说明:1)我们称

a +b

2

为a ,b 的算术平均数,称ab 为a ,b 的几何平均数,因而,

此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2)a 2

+b 2

≥2ab 和

a +b

2

≥ab 成立的条件是不同的:前者只要求a ,b 都是实数,而

后者要求a ,b 都是正数.

3)“当且仅当”的含义是充要条件. 4)几何意义. 二、例题讲解:

例1 已知x ,y 都是正数,求证:

(1)如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时,和x +y 有最小值2P ;

(2)如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时,积xy 有最大值14 S 2

证明:因为x ,y 都是正数,所以 x +y

2

≥xy

(1)积xy 为定值P 时,有

x +y

2

≥P ∴x +y ≥2P

上式当x =y 时,取“=”号,因此,当x =y 时,和x +y 有最小值2P .

(2)和x +y 为定值S 时,有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14

S

2

上式当x=y 时取“=”号,因此,当x=y 时,积xy 有最大值14 S 2

.

说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数;

ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。

例2 :已知a 、b 、c 、d 都是正数,求证:

(ab +cd )(ac +bd )≥4abcd

分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识.

证明:由a 、b 、c 、d 都是正数,得

ab +cd

2 ≥ab ·cd >0,

ac +bd

2

≥ac ·bd >0,

(ab +cd )(ac +bd )

4

≥abcd

即(ab +cd )(ac +bd )≥4abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m 3

,深为3m ,如果池底每1m 2

的造价为150元,池壁每1m 2

的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?

分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理.

解:设水池底面一边的长度为x m ,水池的总造价为l 元,根据题意,得

l =240000+720(x +

1600

x

)≥240000+720×2

x ·

1600

x

=240000+720×2×40=297600

当x =1600x

,即x =40时,l 有最小值297600

因此,当水池的底面是边长为40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习:课本P 91练习1,2,3,4. 四、课堂小结:

通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,,但是在应用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业

课本P 10习题1.1第5,6,7题 六、教学后记:

课 题: 第03课时 三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标:

1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。 教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最值问题 教学过程: 一、知识学习:

定理3:如果+∈R c b a ,,,那么3

3

abc c b a ≥++。当且仅当c b a ==时,等号成立。 推广:

n

a a a n +++ 21≥n

n a a a 21 。当且仅当n a a a === 21时,等号成立。

语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考:类比基本不等式,是否存在:如果+∈R c b a ,,,那么abc c b a 33

33≥++(当且仅当c b a ==时,等号成立)呢?试证明。 二、例题分析: 例1:求函数)0(3

22

>+

=x x

x y 的最小值。 解一: 33222

432

12321232=??≥++=+

=x

x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二:x x x x x y 623223222

=?≥+=当x

x 322

=即2123=x 时

∴633

min 324212322

12

62==?

=y 上述两种做法哪种是错的?错误的原因是什么? 变式训练1 b

b a a b a R b a )(1

,,-+

>∈+求且若的最小值。

由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________

例2 :如下图,把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?

变式训练2 已知:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体积最大,求出这个最大值.

由例题,我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________,三者缺一不可。另外,由不等号的方向也可以知道:积定____________,和定______________. 三、巩固练习 1.函数)0(12

32>+

=x x

x y 的最小值是 ( ) A.6 B.66 C.9 D.12 2.函数2

22

)

1(16

4++

=x x y 的最小值是____________ 3.函数)20)(2(2

4<

<-=x x x y 的最大值是( )

A.0

B.1

C.

2716 D. 27

32 4.(2009浙江自选)已知正数z y x ,,满足1=++z y x ,求2

444z y

x

++的最小值。 5(2008,江苏,21)设c b a ,,为正实数,求证:321

11333≥+++abc c

b a 四、课堂小结:

通过本节学习,要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值,,但是在应用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业

P 10习题1.1第11,12,13题 六、教学后记:

课 题: 第04课时 绝对值三角不等式 教学目标:

1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法, 会进行简 单的应用。

2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数

学思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入:

关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1.请同学们回忆一下绝对值的意义。

??

?

??<-=>=0000x x x x x x ,如果,如果,如果。

几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:

(1)a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立,.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。

(2)2

a a =, (3)

b a b a ?=?, (4)

)0(≠=

b b

a

b

a 那么?

b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课:

结论:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.)

已知,a b 是实数,试证明:a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.) 方法一:证明:10

.当ab ≥0时, 20

. 当ab <0时,

探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?

b a

-

b

a

a b

+

综合10, 20

知定理成立.

方法二:分析法,两边平方(略)

定理1 如果,a b 是实数,则a b a b ++≤(当且仅当0ab ≥时,等号成立.)

(1)若把b a ,换为向量b a

,情形又怎样呢?

根据定理1,有b b a b b a -+≥-++,就是,a b b a ≥++。 所以,b a b a -≥+。 定理(绝对值三角形不等式)

如果,a b 是实数,则a b a b a b -±+≤≤ 注:当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1:1212n n a a a a a a +

+

+++

+≤

||,||||||

=+=====+ab ab

a b

a

b ||,

||||||

=-+===<==+ab ab a b a b a b

+a

推论2:如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.

思考:如何利用数轴给出推论2的几何解释?

(设A ,B ,C 为数轴上的3个点,分别表示数a ,b ,c ,则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ,B 之间时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c =0(即C 为原点),就得到例2的后半部分。) 三、典型例题:

例1、已知 2

,2c

b y

c a x <-<

-,求证 .)()(c b a y x <+-+ 证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ (1)

2

,2c b y c a x <-<

- , ∴c c

c b y a x =+<-+-2

2 (2)

由(1),(2)得:c b a y x <+-+)()(

例2、已知.6,4a

y a x <<

求证:a y x <-32。 证明 6,4a y a x << ,∴2

3,22a

y a x <<,

由例1及上式,a a

a y x y x =+<+≤-2

23232。

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用

于不等号方向相同的不等式。

例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?

解:如果生活区建于公路路碑的第 x km 处,两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

四、课堂练习:

·10

x

··20

1.(课本20P 习题1.2第1题)求证:

⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤ 2. (课本P 19习题1.2第3题)求证:

⑴x a x b a b -+--≥;⑵x a x b a b ----≤ 3.(1)、已知.2,2c

b B

c a A <-<

-求证:c b a B A <---)()(。 (2)、已知.6

,4c

b y

c a x <-<-求证:c b a y x <+--3232。

五、课堂小结:

1.实数a 的绝对值的意义:

⑴(0)

0(0)(0)a a a a a a >??

==??-

;(定义)

⑵a 的几何意义:

2.定理(绝对值三角形不等式)

如果,a b 是实数,则a b a b a b -±+≤≤注意取等的条件。 六、课后作业:课本P 19第2,4,5题

七.教学后记:

课 题: 第05课时 绝对值不等式的解法 教学目标:

1:理解并掌握)0(>>>与 型不等式的解法. 教学重点:)0(>>

在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。 请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

??

?

??<-=>=0000x x x x x x ,如果,如果,如果。

在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。 二、新课学习:

关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型:设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x <的解集是

}|{a x a x <<-,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间(-a ,

a ),如图所示。

图1-1

如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型:设a 为正数。根据绝对值的意义,不等式a x >的解集是

{|x a x >或a x -<},它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。

–a a 图1-2

同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 3、c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。

c b ax c c b ax ≤+≤-?≤+ c b ax c b ax c b ax ≥+-≤+?≥+或

4、c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。(三种思路) 三、典型例题:

例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 方法1:分类讨论。

方法2:依题意,原不等式等价于x x ->-213或213-<-x x ,然后去解。 例3、解不等式52312≥-++x x 。 例4、解不等式512≥-+-x x 。

解:本题可以按照例3的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x 到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的距离为1,所以x 在2的右边,与2的距离大于等于2(=(5-1))2÷;或者x 在1的左边,与1的距离大于等于2。这就是说,4≥x 或.1-≤x

例5、不等式 31++-x x >a ,对一切实数x 都成立,求实数a 的取值范围。

四、课堂练习:解下列不等式:

1、 .1122>-x

2、01314<--x

3、 423+≤-x x .

4、 x x -≥+21.

5、 1422<--x x

6、 212+>-x x .

7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x 9、 21<++x x 10、 .24>--x x

五、课后作业:课本20第6、7、8、9题。 六、教学后记:

第二讲 证明不等式的基本方法

课 题: 第01课时 不等式的证明方法之一:比较法 教学目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 教学过程: 一、新课学习:

要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:

0>-?>b a b a

0=-?=b a b a 0<-?

二、典型例题:

例1、设b a ,都是正数,且b a ≠,求证:2

233ab b a b a +>+。 例2、若实数1≠x ,求证:.)1()1(32

24

2

x x x x ++>++

证明:采用差值比较法:

2242)1()1(3x x x x ++-++

=3

242422221333x x x x x x x ------++ =)1(23

4+--x x x =)1()1(22

2

++-x x x =].4

3)2

1[()1(22

2++-x x

,04

3

)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而

∴ ,0]4

3)2

1

[()1(22

2

>++-x x ∴ .)1()1(32

24

2

x x x x ++>++

讨论:若题设中去掉1≠x 这一限制条件,要求证的结论如何变换?

人教版高中数学必修三全册教案

1.1算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步:取n=5; 第二步:计算 2)1 (+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性)例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 慕尧书城出品,正品保障。

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式: 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号)分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质:8条性质.

(2)一元二次不等式: +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O

一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 高次不等式: (4)解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x 2 – (a +a 2)x +a 3>0; (3)2x 2 +ax +2 > 0; 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题: ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ

人教版高中数学_全册教案

第一章空间几何体 第一章课文目录 1.空间几何体的结构 1.空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 知识结构: 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形,其余各面 底面是正多边 形,且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台

高中数学教案全套word

高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... 1 1.2集合的运算 ................................................ ...... 3 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ 6 1.4一元二次不等式的解法.......................................... 91.5简易逻辑 ................................................ ...... 12 1.6充要条件 ................................................ ...... 15 1.7数学巩固练习.............................................. 18.1函数的概念 ................................................ .... 21.2函数的解析式及定义域 ........................................ 24.3函数的值域 ................................................ .... 28.4函数的奇偶

性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. 37.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误!未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误!未定义书签。.3等差数列、

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章 不等式 一、选择题 1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin 5 2π ,则( ). A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .b >c >a 2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ). A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C . 21ab <b a 21 D . a b <b a 3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1 4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ). A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞) D .[-1,0]∪[1,+∞) 5.已知f (x )在R 上是减函数,则满足f (11 -x )>f (1)的实数取值范围是( ). A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 6.已知不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为图中( ). A B C D 7.设变量x ,y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2++- 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ). A .2 B .3 C .4 D .5 8.设变量x ,y 满足?? ? ??5 --31+-3-+y x y x y x 设y =kx ,则k 的取值范围是( ). A .[ 21,3 4 ] B .[ 3 4 ,2] C .[ 2 1 ,2] D .[ 2 1 ,+∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)

高一数学教案人教版

高一数学教案人教版 【篇一:人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1 算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点; 2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤)

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______

人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义: 集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集). 元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么? 例(1)的元素为1、3、5、7, 例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点, 例(3)的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x, 例(4)的元素为所有直角三角形, 例(5)为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合,{ …}如{我校的篮球队员},{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便,常用大写的拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员} ,B={1,2,3,4,5} 2

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性. 3、元素与集合的关系:隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?(? 也可表示为 )两种。 如A={2,4,8,16},则4∈A ,8∈A ,32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集A 记作 a ?A (或a A ) 注:1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示,如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注:(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0。 (2)非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集,也是这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z * 请回答:已知a+b+c=m ,A={x|ax 2+bx+c=m},判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标:1.理解子集、真子集概念; 2.会判断和证明两个集合包含关系; 3 . 理解 ”、“?”的含义; 4.会判断简单集合的相等关系; 5.渗透问题相对的观点。 教学重点:子集的概念、真子集的概念 教学难点:元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程: 观察下面几组集合,集合A 与集合B 具有什么关系? (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形},B={四边形}. (4) A=?,B={0}. ∈?∈

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程: 一、复习准备: 阅读下列语句,你能判断它们的真假吗? (1)矩形的对角线相等; >; (2)312 >吗? (3)312 (4)8是24的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子. 二、讲授新课: 1. 教学命题的概念: ①命题:可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition). 也就是说,判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中,(1)(2)(4)(5)(6)是命题. ②真命题:判断为真的语句叫做真命题(true proposition); 假命题:判断为假的语句叫做假命题(false proposition). 上述5个命题中,(2)是假命题,其它4个都是真命题. ③例1:判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)2小于或等于2; (4)对数函数是增函数吗? x<; (5)215 (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. (学生自练→个别回答→教师点评) ④探究:学生自我举出一些命题,并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p,则q”的形式: ①例1中的(2)就是一个“若p,则q”的命题形式,我们把其中的p叫做命题的条件,q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题(6)改写成“若p,则q”的形式. ③例2:将下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)两条直线相交有且只有一个交点; (2)对顶角相等; (3)全等的两个三角形面积也相等. (学生自练→个别回答→教师点评) 3. 小结:命题概念的理解,会判断一个命题的真假,并会将命题改写“若p,则q”的形式. 巩固练习: 教材 P4 1、2、3 4. (师生共析→学生说出答案→教师点评) ②例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)同位角相等,两直线平行; (2)正弦函数是周期函数;

最新人教版高中数学必修二_全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本P8,习题1.1 A组第1题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本P7 练习1、2(1)(2) 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0

高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤(一) 教学要求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 教学重点: 2 a b +≤的证明过程; 教学难点:理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程: 一、复习准备: 1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。 2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 二、讲授新课: 1. 教学:基本不等式 2a b +≤ ①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽象成如图,在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ,正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有222a b ab +=。(教师提问→学生思考→师生总结) ②思考:证明一般的,如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ,可得a b +≥, (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ : 用分析法证明:要证 2a b +≥, 只要证 a+b ≥ (2), 要证(2),只要证 a+b- ≥0(3)要证(3), 只要证( - )2(4), 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b 时,(4)中的等号成立。 ⑤练习:已知x 、y 都是正数,求证:(1)y x x y +≥2;(2)(x +y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8 x 3y 3.

高中数学人教版必修4全套教案

第1,2课时1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点:任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点:终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角:按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究: 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ; 在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究:计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

最新高中数学必修人教A版教案全套

高 一 数 学 教 案 (必修五) 重庆铁路中学陈昭旭

数学5 第一章解三角形 课题:§1.1.1 正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

相关文档
最新文档