2017年3月2017届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数(考试版)

理科数学试题 第1页（共6页） 理科数学试题 第2页（共6页）

绝密★启用前|

2017年第二次全国大联考【新课标Ⅰ卷】

理科数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．

1．设集合(){}lg 23A x y x ==-，{}|2,0x

B y y x ==≥，则()

A B = R e（ ）

A. ()0,3

B. 30,2??????

C. 31,2

??????

D. 31,2?? ???

2. 已知a ∈R ，i 是虚数单位.若

i 2i a -+与5i

3i 2i

--互为共轭复数，则a =（ ） A ．1

3

B ．13-

C ．3-

D ．3

3. 统计显示，目前我国中型规模以上工业企业的用能量占了全社会能源消耗的70%左右.其中，用能量占

下面是

该厂节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：

预测第7年该厂的生产利润约为（ ）千万元.

（参考公式及数据：1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑ , a y bx =- ．521

()10i i x x =-=∑,

5

1

()() 2.2i i

i x x y y =--=∑） A ．1.88 B ．2.22 C ．1.56 D ．2.35 4. 将函数sin(2)(0)y x ??=+-π<<图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数

()y f x =的图象，当4x π=

时，函数()y f x =取得最小值，则函数3(

)4

y f x π

=-的一个单调递增区间是（ ）

A ．(,)24ππ-

- B ．(0,)2π

C ．(,)2ππ

D ．3(,2)2

π

π

5.如图所示，小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A ．

83

B ．4

C ．3

D ．163

6. 已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(2)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意12,[2

,)x x ∈+∞

(12x x ≠)，都有2

121

()()

0f x f x x x -<-

，若()(31)f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是 ( )

A ．13

[,24-

B ．[2,1]-- C.1(,2-∞- D ．3

(,)4

+∞

7．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2222sin )ab C b c a +-．若a =3c =，则ABC △的面积为（ ）

A ．3

B ．

C ．

D ．

2

理科数学试题 第3页（共6页） 理科数学试题 第4页（共6页）

8.已知约束条件30

230x y x y x a +-≥??

-+≥??≤?

表示的可行域为D ，其中()π0

sin cos d a x x x =-?，点(),x y D ∈，点

(),m n D ∈.若3x y -与

1

n m

+的最小值分别为,s t ，则（ ） A ．3s t +=

B ．2s t += C. 0s t += D ．2s t +=-

9.若3)n

x

展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为15a -.执行所给的程序框

图，则输出的A 的值是（ ）

A ．

12013

B ．12017

C ．12015

D ．1

2019

10. 如图，在三棱锥B ACD -中，3

ABC ABD DBC ∠∠=∠=

π

=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为

（ ） A ．

192π B ．19π C D 11．已知双曲线的标准方程

13

22

=-y x

，直线)0,0(:≠≠+=m k m kx y l 与双曲线交于不同的两点D C ,，若D C ,两点在以点)1,0(-A 为圆心的同一个圆上，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1

{0}4

m m -

<< B. {4}m m > C. {04}m m << D. 1

{04

m m -

<<，或4}m > 12.若方程(2)(1)2ln 0a x x ---=在1

(0,)2

上无解，则实数a 的最小值为（ ）

A ．26ln 2-

B ．22ln 2-

C ．2ln 2-

D ．24ln 2-

第Ⅱ卷

本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设m ∈R ，向量(2,1)m =+a ，(1,2)m =-b ，且⊥a b ，则+a b ＝ .

14.在区间[0,]π上随机选取数x ，在区间[0,1]上随机选取数y ，则sin y x ≤的概率为 . 15. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，||3PF =．过F 且倾斜角

为30?的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为_____________． 16. 以下四个命题：

①在某项测量中，测量结果X 服从正态分布()()2

4,0N σ

σ>，若X 在(0,8)内取值的概率为0.6，

则X 在(0,4)内取值的概率为0.4；

②已知直线l ：20x +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB

在x 轴正方向上投影的绝对值为3；

③设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件； ④已知命题:,sin 1p x x ?∈≤R ，则p ?为,sin 1x x ?∈>R . 其中真命题的序号为 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且134,1,a a a +成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）设21222log log log n n b a a a =+++…，求使()8n n b nk -≥对任意n *∈N 恒成立的实数k 的取值范围.

18. （本小题满分12分）如图， AD BC ∥，CE BG ∥，BC ⊥平面CDE ，

222BC CD CE AD BG =====，DE =（1）求证：AG ∥平面BDE ；

（2）求平面BDE 和平面ADE 所成锐二面角的余弦值．

510G

E

D

C

B

A

理科数学试题 第5页（共6页） 理科数学试题 第6页（共6页）

19.（本小题满分12分）如果学生文化课成绩不好，可以去参加艺术考试，这对文化课成绩不好的学生，

如果想考上大学或是好一点的重点大学，是很好的出路.某普通中学为了给学生创造升学机会，拟开设 美术课，为了了解学生喜欢美术是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢美术与性别有关系？

（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢美术的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立美术宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：

参考公式：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的长半轴为a ，短半轴为b .椭圆E 的两个焦点分别为1(2,0)F -，

2(2,0)F ，离心率为方程2360x -+=的一个根，且长半轴为'a ，短半轴为'b .若'a =，'b =.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线l 交椭圆C 于不同的两点()()2211,,,y x N y x M ，设()()1122

,,,

O P b x a y O Q b x a y ==

，O

为坐标原点.当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：MON △的面积为定值，并求出该定值.

21. （本小题满分12分）

设函数()ln .f x x = （1）令()()a F x f x x =+

（03x <≤），若()F x 的图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤2

1恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当0a >时，设函数()()22(2)g x x x f x ax x =-+-，且函数()g x 有且仅有一个零点，若

2e e x -<< ，()g x m ≤，求m 的取值范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程为

2216

13sin ρθ

=

+.

(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)已知直线l 的参数方程为1

1

2cos 1sin x t y t θθ=+??

=+?（t 为参数），直线l 交曲线C 于,A B 两点，若(2,1)M 恰

好为线段AB 的三等分点，求直线l 的斜率.

23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数()|1|f x x =+．

(1)若0x ?∈R ，使不等式(2)(3)f x f x t ---≥成立，求满足条件的实数t 的取值集合T ； (2)若二次函数2

23y x x =++与函数2()(2)y m f x f x =---的图象恒有公共点，求实数m 的取值

范围．