新编基础物理学第二版第五章习题解答

习题五

5-1 有一弹簧振子，振幅2

2.010m A -=?，周期 1.0s T =，初相34

π

?=

.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。

解：振动方程为

2cos()cos(

)x A t A t T

π

ω??=+=+ 代入有关数据得

30.02cos(2)(m)4

x t π

π=+

振子的速度和加速度分别是

1d 30.04sin(2)(m s )d 4

x t t πππ-=

=-+?v 2222d 30.08cos(2)(m s )d 4

x a t t π

ππ-==-+?

5-2一弹簧振子的质量为0.500kg ，当以35.0cm 的振幅振动时，振子每0.500s 重复一次运动.求振子的振动周期T 、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k 、物体运动的最大速率max v 、和弹簧给物体的最大作用力max F .

解：由题意可知 0.500s T =；

所以频率 1/ 2.00H z v T ==； 角频率

12=4=12.6(rad s )v ωππ-=?；

倔强系数 2210.50012.679.4(N m )k m ω-==?=?； 最大速率 1

0.3512.6 4.41(m s )max A ω-==?=?v

最大作用力 2

2

0.5000.3512.627.8(N)max max F ma mA ω===??=

5-3质量为2kg 的质点，按方程0.2cos(5)(m)6

x t π

=-沿着x 轴振动.求：

（1）0t =时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.

解：（1）跟据牛顿第二定律

222d d x

f m m x t

ω==-，0.2cos(5)(m)6x t π=-

将0=t 代入上式中，得：

5.0N f =

（2）由x m f 2ω-=可知，当0.2m x A =-=-时，质点受力最大，为10.0N f = 5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d （从最高水平到最低水平）做简谐运动，

周期为12.5h.求水从最高处下降了d /4高度需要多少时间？

解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见

/4arc cos(

)/23

d d π

θ== /3

12.5 2.08(h)2/2t T θθπωππ

=

===

5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅2

2.010m A -=?，周期0.5s T =，当0t =时，

则：

（1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在2

1.010m x -=?处，向负方向运动； （4）物体在21.010m x -=-?处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。

解：设所求振动方程为

2cos(

)0.02cos(4)x A t t T

π

?π?=+=+ 由旋转矢量图解图5-5可求出初相位

3/2,3/,2/,04321π?π?π??====

（1）0.02cos 4(m)x t π= （2）0.02cos(4)(m)2

x t π

π=+ （3）0.02cos(4)(m)3

x t π

π=+

解图

5-5

解图5-4

（4）20.02cos(4)(m)3

x t π

π=+

5-6在一轻弹簧下端悬挂0100g m =砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂

250g m =的物体，

构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm ，并给以向上的1

21cm s -?的初速度（令这时0t =）.选x 轴向下为正，求振动方程.

解：弹簧的劲度系数

l g m k ?=/0

该弹簧与物体m 构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为

cos()x A t ω?=+

角频率为m k /=

ω代入数据后求得

17rad s ω-=?

以平衡位置为原点建立坐标，则

1000.04m,0.21m s x -==-?v

由A =

0.05m A =

据A

x 0

1

cos

-±=?得 0.64rad ?=±

由于00

0.05cos(70.64)(m)x t =+

5-7 某质点振动的x-t 曲线如题图5-7所示.求： （1）质点的振动方程；

（2）质点从0t =的位置到达P 点相应位置所需的最短时间.

00001cos()0,/2,03

1s,3

2

56

50.1cos(

)(m)63

20x A t t x A t t x t P ω?π

?π

π

ωπ

ωππ

=+==>=-=-=

∴

=

=- 解：（）设所求方程为：从图中可见，由旋转矢量法可知；又故：（）点的相位为v

0500.4s

63

0.4s

p p p t t t P ππ

ω?∴+=

-==即质点到达点相应状态所要的最短时间为 5-8有一弹簧，当下面挂一质量为m 的物体时，伸长量为2

9.810m -?.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.

（1）当0t =时，物体在平衡位置上方2

8.010m -?，由静止开始向下运动，求振动方程.

(2) 当0t =时，物体在平衡位置并以1

0.6m s -?的速度向上运动，求振动方程.

解：设所求振动方程为

)cos(?ω+=t A x

其中角频率l

g

m l mg

m k ?=?=

=

//ω，代入数据得 110rad s ω-=?

（1） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有

000.08m,0x =-=v

据A =

0.08m A =

据A

x 0

1

cos

-±=?得?π=±，由于0v ＝0，不妨取?π=于是，所求方程为 10.08cos(10)(m)x t π=+

（2） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有

题图5-7

1000,0.6m s x -==-?v

据A =

0.06m A =

据A

x 01

cos

-±=?得2π?=±，由于00

?=，于是，所求方程为

20.06cos(10)(m)2

x t π

=+

5-9 一质点沿x 轴做简谐运动，振动方程为2

410cos(2)(m)3

x t π

π-=?+

，求：从0t =时

刻起到质点位置在2cm x =-处，且向x 轴正方向运动时的最短时间.

解: 依题意有旋转矢量图（解图5-9），从图中可得到

?π?=

而

02(0)t t ?ωπ?=?=-

故所求时间为

01

s 2

t ?

ω?=

=

5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.

解：由于2/10A x =、100

4/1π?=

由于2/20A x =、200>v 可求得

4/2π?-=

如解图5-10所示，相位差

12/2???π?=-=

5-11一简谐运动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.

解图5-10

解图5-9

题图5-11

解：设所求方程为)cos(?ω+=t A x

当0t =时，115cm,0x =-

23

π?=

当2s t =时，从x-t 图中可以看出

220,0x =>v

据旋转矢量图可以看出

232

t π?==

所以，2秒内相位的改变量

20325236

t t πππ???==?=-=

-= 据t ?ω?=?可求出

15rad s 12

t ?π

ω-?=

=?? 于是，所求振动方程为

52

0.1cos()(m)123

x t ππ=+

5-12 在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为k ,物体的质量为m ,振幅为A .当物体通过平衡位置时,有一质量为'm 的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）'m 和m 粘结后,系统的振动周期和振幅;

（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅.

解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为v ,则由机械能守恒

2211

22

kA m =v 得

=±v 当'm 竖直落在处于平衡位置m 上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以

(')'

m m m u

m

u m m =+=+v v

此后,系统的振幅变为'A ,由机械能守恒,有

解图

5-11

2211

(')22

'kA m m u A '=+==

系统振动的周期为

2T =（2）当m 在最大位移处'm 竖直落在m 上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为

2T = 5-13 设细圆环的质量为m ,半径为R ,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期.

解: 如解图5-13所示,转轴O 在环上,设角度θ以逆时针为正,则振动方程为

22d sin d J mgR t

θ

θ=- 当环作微小摆动sin θθ≈时, 得

22d 0d mgR

t J

θθ+= 设

ω=

22

2d 0d t

θωθ+= 因为 2

2J mR =，所以

22T π

ω

=

=

5-14 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时． (1) 求物体的振动方程；

(2) 求物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；

解图

5-13

(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间．

解： 如解图5-14所示，选平衡位置为原点，取向下为x 轴正方向。 由f kx = 得

1

200N m f k x

-=

=?

1

7.07rad s ω-=≈?

(1) 由题意可知 10cm,0A ?==

所以振动方程

0.1cos(7.07)(m)x t =

(2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力 ()f m g a =- 而

222.5m s a x ω-=-=?

所以

29.2N f =

(3) 因为0t =时刻的初相位0?=，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为

12

π?=

物体在平衡位置上方5cm 处，此时5cm x =-，即 25c o s ,A ?-= 因为此时物体向上运动，0

π

?= 由

t ?ω?=? 得

2320.074(s)7.07

t ππ?ω-

??===

5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg 的重物.现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为0.50s ，振幅为2

2.010m -?，求： （1）平板到最低点时，重物对板的作用力；

（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？

解图5－14

（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？

解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为

)4cos(02.0?π+=t x

设平板对重物的作用力为N ，于是重物在运动中所受合力为

f m

g N ma =-=，

而2

a x ω=- 跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力'N 为

)('2x g m N N ω+-=-=

（1）在最低点处：A x =,由上式得

'12.96N N =

（2）频率不变时，设振幅变为'A ,在最高点处（'A x -=）重物与平板间作用力最小，设

0'=N 可得

2'/0.062m A g ω==

（3）振幅不变时，设频率变为'ν，在最高点处（'A x -=）重物与平板间作用力最小，设

0'=N 可得

''/2 3.52Hz νωπ==

=

5-16一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为0.06m ，周期为2.0s ，当t=0时位移为0.03m ，且向x 轴正方向运动，求：

（1）t=0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；

（2）物体从0.03m x =-处向x 轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？

解：设该物体的振动方程为)cos(?ω+=t A x 依题意知

12/(rad s ),0.06m T A ωππ-==?=

据A

x 0

1

cos

-±=?得 3

π

?=±

由于00>v ,应取

解图5-16

3

π

?=-

可得

0.06cos()(m)3

x t π

π=-（1）0.5t s =时，振动相位为

3

6

t π

π

?π=-

=

据22cos ,

sin ,cos x A A a A x ?ω?ω?ω==-=-=-v 得

120.052m,

0.094m s ,

0.512m s x a --==-?=-?v

（2）由A 旋转矢量图可知，物体从0.03m x =-处向x 轴负方向运动，到达平衡位置时，

A 矢量转过的角度为56π

??=

，该过程所需时间为 0.833s t ?

ω

??=

=

5-17一单摆的角振幅0=0.010θπ，周期0.50s T =，求 （1）最大的摆动角速度；

（2）当角位移是角振幅一半时，角速度的大小.

解：(1) 因12=

4(rad s )T

π

ωπ-=?，设振动的表达式为 0cos()t θθω?=+

则

0d sin()d t t θ

θωω?=-+ 21max 0d ()0.040(rad s )d t

θ

θωπ-==? （2）当01

2

θθ=

时，有 1cos()2

t ω?+=

sin()2

t ωφ+=±

所以角速度的大小

2100d sin()(rad s )d t t θωθωφωθ-=-+==?

5-18 有一水平的弹簧振子, 如题图5-18所示，弹簧的劲度系数1

25N m k -=?,物体的质量

1.0kg m =,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力10N F =作用在物体上(不计一切

摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤除力F ,当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程.

解: 设所求方程为 c o s ()

x A t ω?=+

15rad s ω-=

=? 因为不计摩擦,外力做的功全转变成系统的能量, 故

212

Fx kA =

所以

0.2m A =

= 又因为00,t x A ==- ，所以

?π=

故所求物体的运动方程为

0.2cos(5)(m)x t π=+

5-19一质点在x 轴上做简谐运动，如题图5-19所示，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2s 后质点第一次通过B 点，再经过2s 后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm ，求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．

解：由旋转矢量图（解图5-19）和 A B =v v 可知

8s T =

1

Hz 8

ν=

12rad s 4

π

ωπν-==

?

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．0t =时

5cm cos x A ?=-=

题图

5-18

题图

5-19

2s t =时

5cm cos(2)sin x A A ω??==+=-

由上面二式解得

t g 1

?= 因为在A 点质点的速度大于零，所以取

34

π

?-=

/cos A x ?==

所以振动方程

2310cos()(m)44

x t -ππ

=-

(2) 速率 1

d 3i n ()(m s )d 44

x t t -ππ==-?v 当t = 0 时，质点在A 点的速率为

221d 310sin() 3.9310(m s )d 4

x t ---π=

=-=??v 5-20一物体放在水平木板上，这木板以2Hz ν=的频率沿水平直线做简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数50.0=s μ，求物体在木板上不滑动时的最大振幅max A .

解 设物体在水平木板上不滑动

竖直方向

0N mg -= (1) 水平方向

x f ma =- (2)

且

x s f N μ≤ (3)

又因为

2

c o s ()

a A t ωω?=-+ (4) 由(1)(2)(3)解得

max /s s a mg m g μμ==

再由此式和(4)得

2

2

2

m a x //(4)0.03

1m s s A g g μωμπν

===

5-21一只摆长为2.00m 的单摆，试求它在下列情况下单摆的周期. （1）在室内；

（2）在以a 为加速度上升的电梯里.

解：设单摆的摆线在平衡位置的右方时，角度θ为正。 （1） 则对室内的单摆，由转动定律得

22d sin d mgl J t

θ

θ-=

当5θ

22d 0d m g l

t J

θθ+= 将2

J ml =代入上式，得

22d 0d g

t l

θθ+= 设2

=

g

l

ω ，得 22

2d 0d t

θωθ+= 所以，单摆的周期

22T π

ω

=

=（2）在以a 为加速度上升的电梯里

因为电梯是非惯性系，需要加一个惯性力，由转动定律得

22d ()sin d mg ma l J t

θ

θ-+=

当5θ

22d ()0d mg ma l

t J

θθ++= 同理，可得单摆的周期

22T π

ω

=

=

5-22一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动.已知氢原子质量27

1.6810

kg m -=?，

振动频

率141.010Hz ν=?，振幅11

1.010m A -=?.试计算：

(1)此氢原子的最大速度； (2)与此振动相联系的能量.

解：(1)最大振动速度

312 6.2810m s m A A ωπν-===??v

(2)氢原子的振动能量为

2201

3.3110J 2

m E m -=

=?v 5-23 一物体质量为0.25kg ，在弹性力作用下做简谐运动，弹簧的劲度系数1

25N m k -=?，如果物体起始振动时具有势能0.06J 和动能0.02J ，求： (1)振幅；

(2)动能恰等于势能时的位移； (3)经过平衡位置时物体的速度.

解：(1) 212

k P E E E kA =+=

1/2[2()/]0.08m k P A E E k =+=

(2) 因为 2

12

K P E E E kA =+=, 当K P E E =时，有2P E E =，得 22

11222

kx kA ?=

即

0.0566(m)x A =±=±

(3)过平衡点时，0x =，此时动能等于总能量

21

2

k P E E E m =+=

v 1/21[2()/]0.8m s K P E E m -=+=±?v 5-24 一定滑轮的半径为R ，转动惯量为J ，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m 的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图5-24所示.设弹簧的劲度系数为k ，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m 从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体做简谐运动，并求出其角频率.

解：如解图5-24所示，取x 坐标,平衡位置为原点O ，向下为正，m 在平衡位置时弹簧已伸长0x ，则

题图5-24

(1)mg kx =

设m 在x 位置，分析受力，这时弹簧伸长0x x +

20()

(2)T k x x =+

由牛顿第二定律和转动定律列方程：

1(3)mg T ma -= 12(4)T R T R J β-= (5)a R β

=

联立(1)(2)(3)(4)(5)解得

x m

R J k

a +-

=)/(2

由于x 系数为一负常数，故物体做简谐运动，其角频率为 2

2

2

)/(mR

J kR m

R J k

+=+=ω

5-25两个同方向的简谐运动的振动方程分别为:2

11410cos 2()(m),8

x t π-=?+

221

310cos 2()(m)4

x t π-=?+

（1）求合振动的振幅和初相位；

（2）若另有一同方向同频率的简谐运动23510cos(2)(m)x t π?-=?+，则?为多少时，

31x x +的振幅最大？?又为多少时，32x x +的振幅最小？

解：（1）)2cos(21?π+=+=t A x x x

按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为

2210 6.4810(m)A --=

=?

4sin(/4)3sin(/2)

arctg

1.12(rad)4cos(/4)3cos(/2)

ππ?ππ+==+

所以，合振动方程为

解图

5-24

26.4810cos(2 1.12)(m)x t π-=?+

(2)当π??k 21=-，即4/2ππ?+=k 时，31x x +的振幅最大. 当π??)12(2+=-k ，即2/32ππ?+=k 时，32x x +的振幅最小.

5-26有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.2m ，合振动的相位与第一个振动的相位差为6/π，第一个振动的振幅为0.173m ，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。

解：采用旋转矢量合成图（解图5-26）求解

取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为/6φπ= 据21A A +=可知12A A A -=,如图：

20.1m A ==

由于、1A 、2A 的量值恰好满足勾股定理， 故1A 与2A 垂直.

即第二振动与第一振动的相位差为2/πθ=

5－27一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其振动方程分别为

10.05cos(4)(m)3x t π=+，20.03sin(4)(m)6

x t π

=-，画出两振动的旋转矢量图，并求合

振动的振动方程.

解：)6/4sin(1032

2π-?=-t x )2/6/4c o s (1032

ππ--?=-t 2

310cos(42/3)(m)t π-=?- 作两振动的旋转矢量图，如解图5-27所示， 合振动的振幅和初相分别为

(53)2(cm),3

A π

?=-==

.

合振动方程为

2210cos(4)(m)3

x t π

-=?+

5－28将频率为348Hz 的标准音叉和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz.若在待测音叉的一端加上一个小物块，则拍频将减小，求待测音叉的角频率.

解图5-26

?

解图

5-27

解：由拍频公式12ννν-=?可知

ννν?±=12

在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率2ν会减少，若拍频ν?也随之减小，则说明2ν>1ν,于是可求得

21351Hz ννν=+?=

5-29一物体悬挂在弹簧下做简谐运动，开始时其振幅为0.12m ，经144s 后振幅减为0.06m. 问：

(1)阻尼系数是多少？

(2)如振幅减至0.03m ，需再经过多少时间？

解：(1) 由阻尼振动振幅随时间的变化规律0t A A e β-?=

得

311

ln

4.8110(s )A A t β--=

=?

（2） 由

0t A A e β-?=得

1

2

1

2t t A e A e

ββ-?-?=

于是

12

21ln /144s A A t t t β

?=-=

=

5-30一弹簧振子系统，物体的质量 1.0kg m =，弹簧的劲度系数1

900N m k -=?.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为1

10.0s β-=，为了使振动持续，现加一周期性外力

100cos30(N)F t =作用.

（1）求振动达到稳定时的振动角频率；

（2）若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？其共振的振幅为多大？

解：（1）振动达到稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有

130rad s ω-=?

(2)受迫振动达到稳定后，其振幅为

22222

004)(/)/(ωβωω+-=m F A

式中m k /0=

ω为系统振动的固有角频率，0F 为外力的振幅

由上式可解得，当外力的频率ω

为1

26.5rad s ω-==?时 系统出现共振现象，共振的振幅为

0.177m r A =

=