完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.
一、正用
根据算式的结构特征，由左向右套用.
例1 计算22(23)m m --
分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使 其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解. 解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--
222(2)6(2)9m
m m m =---+ 4322446129m m m m m =-+-++
43242129m m m m =--++
思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗?
二、逆用
将公式逆向使用，即由右向左套用.
例 2 己知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式222
a b c a b b c a c ++---的值为( ) (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3
分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得
到222()()()a b b c c a -+-+-，而a b -，b c -，c a -的值可求，故本题巧妙得解. 解 ∵20172018a x =+
20172019b x =+
20172020c x =+
∴1a b -=-，1b c -=-，2c a -=
∴222a b c a b b c a c ++---
222
1(222222)2a b c a b b c a c =
++--- 2222221(222)2a a b b b b c c c a c a =
-++-++-+ 2221[()()()]2a b b c c a =
-+-+- 2221
[(1)(1)2]2=-+-+
3=
应选D.
三、正逆联用
根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用. 例3 (全国初中数学竞赛试题)已知
21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a +
= . 分析 欲求b c a +的值，则需要明b c +与a 之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就
是a 、b 、c 之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确b c +与a 之间的关系，应该是一条即常规又恰当的选择.
解 由已知，得
2()
4()()b c a b c a -=-- 22224444b b c c
a c
b
c a b a ∴-+=-+- 2222(44)40b b c c a b a c a
∴++-++= 22()4()40b c a b c a ∴+-++=
把b c +和2a 分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得
2
[()2]0b c a +-= 20b c a ∴+-=，2b c a +=
22b c
a
a a +∴==.
四、特例应用
在完全平方公式222()2a b a a b b +=++中，如果0a b =，那么222()a b a b +=+
反之，若222()a b a b +=+，则一定有0a b =.
例5 若n 满足22(2017)(2019)4n n -+-=，则(2019)(2017)n n --= . 分析 若设2017n a -=，2019n b -=，则很容易验证222()a b a b +=+，这正好符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.
解 设2017n a -=，2019n b -=，
则2()4a b +=，
又已知224a b +=
∴222()a b a b +=+
于是0a b =
∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0a b ==
五、变形应用
由完全平方公式222
()2a b a a b b ±=±+，易得如下的两个最常见的变形公式: ①2222()2()2a b a b a b a b a b +=+-=-+
②22()()4a b a b a b -=+-
(或)221
[()()]4a b a b a b =+--
活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。 例6 已知4a b +=，3a b =，求44a b -的值.
分析 由于4422
()()()a b a b a b a b -=++-，所以利用上面两个变形公式求得22a b +和a b -的值，就成为解答本题的关键， 解 44a b -2222()()
a b a b =+- 2
2()()()a b a b a b =++-
2[()2]()()a b a b a b a b =+-+- 2()a b -Q 2
()4a b a b =+-
2443=-? 4=
2a b ∴-=±
当4a b +=，3a b =，2a b -=时，
44a b -2
[()2]()()a b a b a b a b =++-+-
2[423]42=-???
80=
当4a b +=，3a b =， 2a b -=-时，
44a b -2[()2]()()
a b a b a b a b =++-+-
2[423]4(2)=-???- 80=-