关于摩擦力做功问题的讨论

关于摩擦力做功问题的讨论

【内容摘要】摩擦力（包括静摩擦力和动摩擦力）的大小和方向必须通过实际的运动性质才能判定，所以摩擦力做功具有不确定性。本文结合高中物理教学实际，对摩擦力做功问题进行分析、讨论，总结，以形成规律。

【关键词】静摩擦力 动摩擦力 正功 负功 能量

在现代摩擦理论中，摩擦力产生的机理是极复杂的，是必须在分子尺度内才能加以说明的，由于分子力的电磁本性，摩擦力可以说是电磁相互作用而引起的。就中学阶段而言，摩擦力是互相接触的两个物体，当有相对运动或相对运动趋势时，在它们接触面上出现的阻碍相对滑动的力。高中阶段摩擦力分两种：静摩擦力和滑动摩擦力。静摩擦力可以从零到最大静摩擦力之间变化，所以它的大小必须由外力来确定；滑动摩擦力则必须由摩擦因数及正压力共同决定即N F F μ=，摩擦因数与材料有关，正压力则与运动的形式及性质有关。所

以滑动摩擦力大小和方向，与物体所处的运动状态有关。

功是力在运动过程中的空间累积效应的量度。在经典力学中也称为机械功。在高中阶段，恒力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移的夹角的余弦这三者的乘积。即cos W F s θ=，其中cos s θ是在力的方向上通过的位移大小。由于运动具有相对性，故在力的方向上通过位移也具有相对性。

综上所述可知，要想计算摩擦力所做的功，就必须同时确定摩擦力的大小及在摩擦力方向上通过的位移大小。由此可知，摩擦力做功具有不确定性。下面就这一问题，从摩擦力做功的特点，逐一讨论摩擦力做功的问题。

一、静摩擦力的功

在相互挤压的物体的接触面间有相对滑动趋势，但还没有发生相对滑动的时候，接触面间会出现阻碍相对滑动的力，这个力即为静摩擦力。静摩擦力虽然是在两物体没有相对位移的条件下出现的力，但这不等于静摩擦力做功一定为零。因为受静摩擦力作用的物体依然可以相对地面或其他参考系发生位移，这个位移如果不与静摩擦力垂直，则静摩擦力必定做功：

如图1所示，水平地面上的物体A 和B 在外力F 的作用下能保持相对静止地匀加速运动，则在此过程中，A 对B 的静摩擦力f 的方向水平向右，与它们的位移方向相同，所以A 对B 的静摩擦力对B 做正功。

如图2所示，物体A 、B 以初速度0v 滑上粗糙的水平面，能保持相对静止地向右做匀减速运动，则在此过程中，A 对B 的静摩擦力f 的方向水平向左，与它们的位移方向相反，所以A 对B 的静摩擦力对B 做负功。

当然，若受到静摩擦力作用的物体若相对于某一参考系没有发生位移，摩擦力也就不做功了。

从以上两例中我们还注意到，若从能量的角度来看，在静摩擦力做功的过程中，机械能只发生了相互转移，并未转化为其他形式的能量。

另外，对相互有静摩擦力作用的两个物体而言，由于两物体相对静止，则两物体相对同一参考系的位移必相同，所以这一对静摩擦力一个做正功，一个做负功，且功的大小相等，它们的代数和为零。

综上所述可知，静摩擦力做功有以下几个规律：

（一）静摩擦力可以做正功，可以做负功，还可以不做功；

（二）在静摩力做功的过程中，系统中只有机械能的相互转移，也就是说，静摩擦力做功不会产生热。

（三）相互作用的系统内，一对静摩擦力所做的功的代数和必为零。

但在实际教学实践中，经常发现有些学生甚至极少数教师会在静摩擦力做功问题上认识不清，现将典型错例列举如下：

错例1：人走路时，人脚受地面的静摩擦力对人做正功。

不少人认为：人从静止到走动起来的过程中，地面给人脚的静摩擦力方向与人行走的方

a

a 图2

a

a F

图1

向一致，所以人增加的动能是地面对人脚的静摩擦力做正功的结果。这种观点其实是没有根据的。人走路时无论是脚向后蹬还是抬脚向前迈的瞬间，脚相对地都没有位移，所以地面对人脚的静摩擦力做功为零。从能量的转化和守恒的角度来看，假如地面对人脚的静摩擦力做正功，就意味着地面向人体注入能量，这是不可能的。

错例2：后驱动的汽车运动时（不打滑）后轮受到地面的静摩擦力方向与汽车的运动方向相同，所以地面对该车轮的静摩擦力对汽车做正功。实际上，车轮与地面接触瞬间，在静摩擦方向上车轮并未发生位移，所以地面对车轮的静摩擦力对汽车不做功。

错例3：立定跳远（无滑动）瞬间地面对人的静摩擦力对人做正功；人爬竿时（无滑动）竿对人手的静摩擦力对人做正功。这也是错的。其实这两种静摩擦力对人都不做功，用错例1的正确观点就可以解释。

以上三例中，静摩擦力均不做功，这是由功的定义所决定的。以上三例，均是物体内力做功的结果。人行走的动能、汽车运动的动能、人跳出时的动能以及往上爬时克服重力所做的功均是由人或物体的内力做功转化而来，静摩擦力只不过是为这些内力做功提供条件。发生这些错误的原因是人们把内力功和外力功混淆起来了。

二、滑动摩擦力的功

滑动摩擦力是指在两个相互接触的物体发生沿接触面的相对滑动时，在接触面上产生阻碍相对运动的力。其计算公式为N F F μ=，其中μ为摩擦因数，N F 为作用在接触面上的正

压力。从滑动摩擦力计算公式可知，在滑动摩擦因数一定的情况下，滑动摩擦力的大小与正压力成正比，与其他的外力无关，与接触面的大小无关。

滑动摩擦力属于非保守力，做功与路径有关。既然相互摩擦的物体已有了相对运动，则两物体必定产生了相对路径，所以发生在两物体接触面上的滑动摩擦

力必定做功。

如图4所示，一个物体在粗糙的水平面上向右运动，地面对物体的动摩力的方向向左，与物体的位移方向相反，故该滑动摩擦力对物体做负功。同时在滑动摩擦力的作用下，物体的速度减小，动能减少，减少的动能转化为以地面和物体组成的系统的内能。

f 图3

从以上分析来看，似乎滑动摩擦力总是做负功，其实不然。

如图4所示，在水平光滑地面上，有一个小木块以一水平初速度滑上一块足够长的长木板，在开始阶段，小木块的速度比长木板的速度要大，故小木块相对长木板向右运动，此时小木块受到长木板给它的向左的滑动摩擦力而做匀减速运动，动能减少；同时，长木板相对小木块向左运动，此时长木板受到小木块给它的向右的滑动摩擦力作用而做匀加速运动，动能增加。最后小木块和长木板相对静止以相同速度运动。在整个过程中，滑动摩擦力对小木块做负功，对长木板做正功。

从能量的转化的守恒的角度来看，小木块减小的动能一部分转移到了长木板上，一部分转化为小木块和长木板所组成的系统的内能。

现具体分析如下：

由图4所示，以小木块为研究对象，滑动摩擦力对小木块做负功：

210()W fs f s s =-=-+木 (1)

由动能定理知木块的动能的变化量为：

10()E f s s ?=-+k 木 (2)

以长木板为研究对象，滑动摩擦力对长木板做正功：

1W fs =板 (3)

同理，长木板动能的变化量为：

1E fs ?=k 板 (4)

把（2）、（4）两式相加得：

0E E fs ?+?=-k 木k 板 (5)

(5)式表明，小木块和长木板组成的系统中，系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与小木块相对长木板的位移的乘积。减小的这部分机械能转化为系统的内能，即系统产生了热。

v v 2s 图4

从以上分析可知，一对滑动摩擦力在做功的过程中，出现了能量的转移和转化两种情况：一是使相互摩擦的物体间的机械能从一个物体转移到另一个物体；二是使系统中的部分或全部机械能转化为内能，也就是平时我们所说的摩擦生热。

从(5)式中，我们还应注意到，一对相互作用的滑动摩擦力所做的功的代数和并不为零，且总为负值，其绝对值恰等于系统损失的机械能。换而言之，相互作用的物体因克服滑动摩擦力所产生的热，等于系统中损失的机械能。

综上所述，滑动摩擦力做功有以下规律：

（一）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功；

（二）一对滑动摩擦力在做功的过程中，同时出现了能量的转移的转化两种情况，也就是说，在滑动摩擦力做功的过程中，出现了新的能量形式——内能，其值的计算可根据下面公式来完成：

Q f s 滑动相对 （*）

其中s 相对是相互摩擦的两个物体间的相对路径，不是相对位移。

（三）在一个由相互滑动摩擦的物体组成的系统中，一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为负值，且该值的绝对值恰等于系统中损失的机械能，其大小可用（二）中的（*）式计算。

三、滑动摩擦力做功与生热问题在实际中的应用

滑动摩擦力做功生热的问题一直是高中物理的一个重要知识点。高考中对于这部分的考查要求也很高，下面就根据该问题的具体应用加以讨论、分析。

（一）在水平滑块与木板之间的应用

如图5所示,质量为m 的木板,以速度v 在光滑的水平面向左运动,一质量为m 的小木块以同样大小的速度从木板左端向右运动,若它们之间的滑动摩擦因数为μ,求木块能在木板上滑行多远?

分析与解答：将木板与木块视为系统,该系统总动量为零,根据动量守恒可知,当木块静

图５

止时,木板也同进静止，设在这一过程中木块在木板上滑行的距离为s 则系统中转化为内能的机械能为：

22

1

1

22m v m v m gs μ+= 木块在木板上滑行的距离为s ：

s=v 2/μg

（二） 在传送带问题中的应用

如图6所示，水平传送带AB 长L =8.3m ,质量为M =1kg 的木块随传送带一起以v 1=2m/s 的速度向左匀速运动(传送带的速度恒定) ,木块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5,当木块运动至最左端A 点时,一颗质量为m =20g 的子弹以 v 0=300m/s 水平向右的速度正对射入木块并穿出,穿出速度u =50m/s ,以后每隔1s 就有一颗子弹射向木块,设子弹射穿木块的时间极短,且每次射入点各不相同,求:

（1）在被第二颗子弹击中前,木块向右运动离A 点的最大距离?

（2）木块在传送带上最多能被多少子弹击中?

（3）从第一颗子弹射中木块到木块最终离开传送带的过程中,子弹、木块和传送带这一系统所产生的热能是多少？（g =10m/s 2）

分析与解答：

第一颗子弹射木块的过程中动量守恒，得：

mv 0－Mv 1=mu ＋Mv 2， v 2=3m/s

木块向右做减速运动，加速度为：

a=μg=5m/s

木块速度减小到零所用的时间为t 1:

t 1= v 2/a=0.6s<1s

所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A 点最远时,速度为零,移动距离为

s 1=v 22/2a=0.9m

图６

(2)在第二颗子弹射入木块前,木块再向左做加速运动,时间为t 2=1s-0.6s=0.4s ,速度增加为v 3=at 2=2m/s (恰好与传送带同速),向左移动的位移为s 2=

12at 22=0.4m ,所以两颗子弹射中木块的时间间隔内,木块总位移为

s 0= s 1－s 2 =0.5m ,方向向右。

第16颗子弹击中后,木块将会再向右先移动0.9m ,总位移为0.9m+7.5m=8.4m>8.3m 木块从B 端落下,所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。

(3)第一颗子弹击中穿出过程中产生的热量为

Q 1=1

2mv 02＋1

2Mv 12－1

2mu 2－1

2M v 22

木块向右减速运动过程相对传送带的位移为s 3= v 1t 1＋s 1，

产生的热量为Q 2=μmgs 3，

木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为s 4=v 1t 2－s 2，

产生的热量为Q 3=μmgs 4,

第16颗子弹射入后木块滑行时间为t 3,

v 2t 3－1

2at 32

=0.8，t 3=0.4s 。 木块与传送带的相对位移为

s 5=v 1t 3＋0.8,

产生的热量为Q 4=μmgs 5,

全过程中产生的热量为:

Q=15（Ｑ１＋Ｑ２＋Ｑ３）＋Q 1＋Q 4＝14155.5Ｊ。

（三）在复杂物理过程中的应用

如图7，长木板ab 的b 端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg ，a 、b 间距离s=2.0m 。木板位于光滑水平面上。在木板a 端有一小物块，其质量m =1.0kg ，小物块与木板

图７

间的动摩擦因数0.10μ=，它们都处于静止状态。现令小物块以初速0 4.0/v m s =沿木板

向前滑动，直到和挡板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a 端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

解析：设木块和物块最后共同的速度为v ，由动量守恒定律

v M m mv )(0+= (1)

设全过程损失的机械能为E ，

2

20)(2121

v M m mv E +-= (2)

用s 1表示从物块开始运动到碰撞前瞬间木板的位移，W 1表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功。用W 2表示同样时间内摩擦力对物块所做的功。用s 2表示从碰撞后瞬间到物块回到a 端时木板的位移，W 3表示在这段时间内摩擦力对木板所做的功。用W 4表示同样时间内摩擦力对物块所做的功。用W 表示在全过程中摩擦力做的总功，则

W 1=1m gs μ (3)

W 2=1()m g s s μ-+ (4)

W 3= 2m gs μ- (5)

W 4=2()m g s s μ- (6)

W=W 1+W 2+W 3+W 4 (7)

用E 1表示在碰撞过程中损失的机械能，则

E 1=E －W (8)

由(1)—(8)式解得

mgs v M m mM E μ221201-+= (9)

代入数据得

E 1=2.4J (10)

以上是根据逐一的分析物体在分过程中运动情况，从求解在不同的位移中，摩擦力做功的总代数和来突破的，但本人认为本题有更简捷的思路：

另解：根据能量守恒定律得：全过程损失的总机械能为E ，一部分在碰撞过程中损失即

E 1，另一部分转化为内能Q ，其中转化为内能部分内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，从初始物块开始运动到恰好回到a 端而不脱离木板的全过程中，相对位移为2s ，即内能可求；

设木块和物块最后共同的速度为v ，由动量守恒定律

v M m mv )(0+= (1)

设全过程损失的机械能为E ，

2

20)(2121

v M m mv E +-= (2)

根据能量守恒定律：E=E 1+Q ； (3)

Q f s =滑动相对=μmg 2s (4)

由(1)—(4)式解得的答案是相同的，E 1=2.4J 。

从对这些综合应用题的分析和解答过程中，我们注意到对于摩擦生热问题的求解，关键是理解“转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积这一要点”，即Q f s =滑动相对。掌握了这一要点，问题就会迎刃而解了。而在一些复杂物理过程中，只要我们灵活应用该规律，往往会使物理问题的解答产生事半功倍的效果。

当然，任何公式或规律都不是万能的，在有些情况下，还是应该具体问题具体分析，不能盲目乱套公式，比如以下的错例就很值得去认真反思：

错例：如图8所示,滑块从A 点由静止沿球面下滑,滑到B 点时,速度恰好等于零；如果滑块从B 点以速度v 沿球面滑下,返回A 点时,速度恰好也等于零,则A 、B 两点的高度差等于____。

图8

常见的错误解法:设A点比B点高h,则从A点滑到B点时,重力做功为mgh,则从B点滑到A点时,重力做功为-mgh;从A点滑到B点时,滑动摩擦力所做的负功记为W,从B点滑到A点时,滑动摩擦力所做的负功记为W',则

W＝W'

对两个运动过程分别应用动能定理,得

Mgh＋W＝0

－mgh＋W'＝0－mv2/2

由以上三式可以解出h＝v2/(4g)。

讨论:

认为W＝W'，这是缺乏依据的。物体在球面上运动时，压力的大小跟速度大小有关。而滑动摩擦力跟压力成正比。所以滑动摩擦力的大小也是跟速度大小有关。两次运动经过同一点(除了A点)时，速度大小不同,因此滑动摩擦力大小不同。所以不能很容易地得出W＝W'。一般来说W≠W'。所以本题不可解。

四、摩擦力做功与参考系的选取的关系

在前面的分析和讨论过程中，只要提到摩擦力做功，我们除了要确定摩擦力的大小之外，还要相应地去确定该摩擦力的作用位移或是路径，而位移或是路径的确定过程，实质上就是选择参考系对所研究的物体的始末位置作比较的过程。

图９

比如在一列行驶的火车车厢中，一个人用力F推一行李箱，但未推动，如图9所示，若以车厢作为参考系，则此时行李箱与车厢相对静止，行李箱所受的静摩擦力f对行李箱不做功，同时行李箱对车厢的静摩擦力对车厢也不做功，这一对静摩擦力做功之和为零；若以地面作为参考系，则行李箱和车厢相对地面产生的位移都是s，此时行李箱所受的静摩擦力f对行李箱做了W1=－fs的负功，同时车厢所受的静摩擦力对车厢做了W2=fs的正功，这一对静摩擦力做功之和仍为零。

若这个人推动了行李箱并使其在车上移动了0s ，如图10所示，若以车厢作为参考系，

则滑动摩擦力对行李箱做了W 1=－f 0s 负功，而车厢受到的滑动摩擦力对车厢不做功，这一

对滑动摩擦力做功之和为－f 0s ；若以地面作为参考系，则行李箱向前移动的位移为(1s ＋0s )，滑动摩擦力对其做了W 2=－f (1s ＋0s )的负功；同时车厢向前运动了1s ，滑动摩擦力对其做了W 3=f 1s 的正功，这一对滑动摩擦力做功之和仍为－f 0s 。

综上所述可知，一个摩擦力(无论是静摩擦力还是滑动摩擦力)的功的大小、正负与参考系的选取有关，但相互作用的一对摩擦力(无论是静摩擦力还是滑动摩擦力)做功之和却与参考系的选取无关。

五、结束语

通过以上的讨论，我们得到这样的认识：摩擦力（不论是静摩擦力还是滑动摩擦力）做功有其独特的不确定性，而这种特性是必须在实际应用中才能完全显现出来的。所以，在讨论摩擦力的功的时候，要特别注意研究对象的运动状态，从牛顿运动定律、能量的转化和守恒以及动量的观点才能讨论清楚。

【参考文献】

[1]阎金铎、姜璐、崔华林：《中国中学教学百科全书物理卷》，沈阳出版社，1990年，7～9,14～15,21～23,32～34。

[2]人民教育出版社物理室：《全日制普通中学（必修）物理第一册教师教学用书》，人民教育出版社，2003年。7,22,24,108,146～148。

[3]柳菊兴、鲁晓成：《高中物理课程标准教师读本》，华中师范大学出版社，2003年,61～64。

图10

[4] https://www.360docs.net/doc/8c2182400.html,/Class.asp?ClassID=6，