空间机构计算机建模与分析方法

ISSN 1000-0054CN 11-2223/N

清华大学学报(自然科学版)J T singh ua Un iv (Sci &Tech ),2009年第49卷第10期

2009,V o l.49,N o.10w 4

http://qhx bw.chinajo https://www.360docs.net/doc/892393753.html,

　

空间机构计算机建模与分析方法

袁清珂,　张明天,　刘大慧,　唐文艳,　吕文阁

(广东工业大学机电工程学院,广东510006)

收稿日期:2008-09-11

基金项目:国家“八六三”高技术项目(2002AA415190);

广东省科技计划项目(2008B010400011);广州市科技计划项目(2008Z1-D371)

作者简介:袁清珂(1963—),男(汉),山东,博士,教授。

E-mail:qkyuan@https://www.360docs.net/doc/892393753.html,

摘　要:为建立空间机构计算机模型分析其运动特性,运用多体动力学原理,提出了一种机构运动学和动力学建模与分析方法。通过在约束运动副处的杆件上建立直角坐标系,建立了描述空间机构结构形态的符号体系。定义了杆件形状矩阵和约束运动矩阵,推导了其表达式。通过在运动链上连续使用变换矩阵,建立了空间机构的运动方程,实现了空间机构的运动分析。基于Hamilto n 原理,建立了空间机构的动力学方程。提出了通过定义空间3点来定义空间坐标系的方法,推导了杆件形状矩阵的表达式。以铰链约束运动副、球铰约束运动副和直齿圆柱齿轮约束运动副为例,根据其运动特性,分别定义其约束运动矩阵。开发了空间机构通用分析软件,给出了应用实例。

关键词:机构学;空间机构;运动学;动力学;数值方法;

软件工程

中图分类号:T H 112;T P 113.2文献标识码:A

文章编号:1000-0054(2009)10-0013-04

Computer modeling and analysis of

spatial mechanisms

YU AN Q ingke ,ZH ANG Mingtian ,LIU Dahui ,

TANG Wenyan ,LV Wenge

(College of Mechanical &Electrical Engineering ,Guangdong University of Technology ,Guangzhou 510006,China )Abstract :

A computer modeling method based on multi-b ody

dynamic theor y w as developed to analyze the m otion ch arateristic of spatial m ech anis ms.T he equ ating ar e cost in cartes ian coordin ate sys tems attach ed to the tw o links of a cons trainted kinematics pair.T he link s hape matrices an d the cons traint matr ices were both defined in series for the kin ematics chain to derive the m otion equations of the s patial mechanis m.Th e dynamics equations of the spatial mechanisms w ere th en b as ed on Hamilton theory.Spatial coordinate systems w ere defined b y definin g three p oin ts in 3D space to der ive the lin k s hape matrices.Th e constraint matrices were defined bas ed on the motion characteris tics of a revolute,a sph erical hinge,and a gear con strained k inem atics pair as exam ples.T he model is implemented in g eneral analys is softw are w ith examples given to illus trate its us e.

Key words :mech anics;spatial mechanis m;kinematics;dynam ics ;

num erical methods ;softw are engineering

空间机构计算机辅助分析是机构学的重要分支,研究机构运动学和动力学的计算机建模与数值求解方法、并开发通用分析软件具有重要意义。为

此,要开发计算机能够理解的用来描述机构结构形态的方法,使计算机能够自动识别机构;要研究计算机自动建立机构运动模型和求解的方法;要开发通用分析软件,实现对机构运动链的识别[1]

、运动建模与求解。目前,常用的方法是基于机构分组的方法,通过数据文件来表达机构的结构形态,这种方法存在描述机构范围有限和用户使用不便等不足。其

他对机构运动建模方法的研究[2-4]

,主要集中在用解析法对专用机构进行建模,难以适用于计算机自动建模与求解。

本文基于Denav it 和Hartenberg 提出的用于描

述低副机构方法(D -H 方法)[5-6]

,开发了直角坐标系方法。在空间机构中约束运动副处的杆件上建立直角坐标系,开发了描述空间机构结构形态的符号体系。同一杆件上2个坐标系之间的变换关系定义为杆件形状矩阵,用来描述机构杆件的结构形态;同一运动副处不同杆件上2个坐标系之间的变换关系定义为运动副约束矩阵,用来描述机构杆件之间的运动关系。讨论了形状矩阵和约束运动矩阵的推导过程。在运动链上连续使用形状矩阵和约束矩阵(统称为变换矩阵),建立了空间机构的运动方程。基于Hamilton 原理,建立了空间机构的动力学方程,开发了软件,给出应用了实例。

1　杆件的形状矩阵

同一杆件上2个运动副处直角坐标系之间的变

换矩阵定义了该杆件的运动学形状,称为杆件的形状矩阵。对于图1所示的杆件H 而言,设其变换矩阵为T j k ,则有[1U j

V j

W j ]T

=T jk [1X k Y k

Z k ]T

.

(1)

图1　杆件形状矩阵的坐标系定义

T j k 可用下面的方法求解。如图2所示,在坐标系

X k Y k Z k 中取3个点:点1取在原点上,点2取在Z k 轴上,点3取在X k 轴上。分别给出点1、2、3在绝对坐标系X 0Y 0Z 0(固结于机架)中的坐标,即有:r 1=[x 1,y 1,z 1]T

,r 2=[x 2,y 2,z 2]T

,r 3=[x 3,y 3,z 3]T

。

图2　杆件形状矩阵的推导

将矢量r 2-r 1单位化后得矢量C z ,即:C z =

x 2-x 1 C z ,y 2-y 1 C z ,z 2-z 1

C z

T

,

(2)

其中, C z =

(x 2-x 1)2

+(y 2-y 1)2

+(z 2-z 1)2

.

同理,将矢量r 3-r 1单位化后得矢量C x 。两矢量C z 、C x 叉积得C y ,从而有矩阵

T id =[C x

C y

C z ]3×3.

(3)

即矢量C x 、C y 、C z 中的分量分别作为矩阵T id 中第1、2、3列的元素。设矩阵T 1=[r 1]3×1,即矢量r 1中的分量分别作为矩阵T 1中的3个元素。因此,得到矩阵

T 0k =

10

00

T 1

T id

4×4

.(4)

矩阵T 0k 即为坐标系X k Y k Z k 到绝对坐标系X 0Y 0Z 0的变换矩阵。

设空间任意一点P 在绝对坐标系X 0Y 0Z 0中的坐标为[X ,Y ,Z ]。在相对坐标X k Y k Z k 中的坐标为[X k ,Y k ,Z k ],则有

[1X Y Z ]T

=T 0k [1X k Y k Z k ]T

.(5)同理可求得T 0j ,同样有

[1X Y

Z ]T

=T 0j [1

X j

Y j Z j ]T

.(6)由式(5)、(6)可得

[1

U j

V j

W j ]T =T -1

0j T 0k [1

X k

Y k

Z k ]T .(7)

比较式(1)和(7),可得

T j k =T -1

0j T 0k .

(8)

2　运动副的约束矩阵

某一运动副处2根杆件之间的相对运动,可用该运动副处两个直角坐标系之间的相对运动来表示。对于图3所示的运动副R j 而言,其运动副约束矩阵 j 可以定义为

[1

X j

Y j

Z j ]T

= j ( j 1, j 2, j 3)[1

U j

V j

W j ]T .

(9)

式中, j 1、 j 2、 j 3分别是坐标轴X j Y j Z j 与坐标轴

U j V j W j 的夹角。

不同的运动副,其约束矩阵的表达式也不同。约束矩阵可以表示为运动副运动变量和运动副特性参

量的函数。运动副的运动变量是指用来描述构成该运动副各杆件相对运动的变量,运动副特性参量是指该运动副实现其运动的特定参量。

图3　运动副约束矩阵的坐标系定义

约束矩阵可以统一标记为 j (q j , j )。式中,q j

为运动副中运动变量组成的矢量,变量数目由运动副类型确定,它等于运动副的自由度,可取1～5个。 j 为运动副特性参量组成的矢量,这些特性参量影响运动副的运动。例如齿轮副的齿数比、螺纹副的导程是其特性参量。有些运动副有特性参量,有些则没有。例如铰链副、棱柱副只有1个自由度,故有1个运动变量,没有特性参量。将式(9)写成适应于各类运动副的一般形式,即为

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清华大学学报(自然科学版)2009,49(10)

[1X j Y j Z j]T= j(q j,j)[1U j V j W j]T.

(10) 如图4所示的直齿圆柱齿轮约束,经过推导可以得到如式(11)所示的约束矩阵

j(q j,j)=

1000

(1+j)R2cos(q j)cos[(1+j)q j]-sin[(1+j)q j]0

(1+j)R2sin(q j)sin[(1+j)q j]sin(q j)0

0001

.(11)

式中:q j= 2,j=R1

R2

, 2=

R1

R2

1。

图4　齿轮副的约束矩阵

3　数学模型的建立

由式(1)、(10),可得

[1X j Y j Z j]T=A j k[1X k Y k Z k]T.

(12)式中,A j k= j(q j,j)T jk。A jk为4×4阶方阵,称为空间机构的基本数学模型。

对于由n个运动副组成的封闭运动链,连续使用基本数学模型,可得到1个非线性代数方程:

A12A23A34…A n1=I.(13) 式(13)为一条运动链的数学模型。对于有!条运动链的空间机构来说,则有!个这样的代数方程。所构成的方程组即为空间机构数学模型。

4　空间机构运动学方程

若空间机构有!条运动链和t个运动变量,则其运动方程可表示为

N6!×t q t×1=R6!×1.(14)式中:N、R为系数矩阵,q是由运动变量组成的矢量。

求解式(14),便可得到q的值,进而可获得空间机构中任意杆件和运动副的位置,对运动变量求1阶、2阶导数便可求得相应的速度、加速度。

设空间机构的自由度为s、给定m个运动输入,则有n个广义自由度,对应有广义坐标f k(k=1,2,…,n)。那么,任一约束变量q j i可表示为

q j i=q ji(f1,f2,…,f n).(15) 将式(15)对时间求1阶导数、2阶导数,则分别得到约束变量的速度、加速度:

q j i=∑

n

k=1

?q ji

?f k f

k,(16) q j i=∑

n

k=1

?q j i

?f k f

k+

∑n

m=1

∑n

k=1

?2q ji

?f k?f m f

k f

m.(17) 5　空间机构动力学方程

空间机构某一时刻的动能为T、广义力矢量为{Q k},可以分别表示为:

T=1

2

{f

k}

T M{f

k},(18)

{Q k}=-C{f

k}.(19)式中:{f

?

k}为n×1阶广义坐标的速度矢量;M为n ×n阶对称质量矩阵;C为n×n阶对称阻尼矩阵。

定义空间机构的广义动量为

P k=

?T

?f k

=M{f

k}.(20)根据分析力学原理,Hamilton函数可表示为

H=1

2

{P k}T M-1{P k}+V(f1,f2,…,f n).

(21)式中,V为该时刻空间机构的势能。

因此,Hamilton正则方程为

?H

?P k={f

k},

?H

?f k={Q k-P

k}.

(22)

式中,k=1,2,…,n。

可以用四阶Runge-Kutta法求解方程(22)得到初值,再用改进的四阶Hamm ing预报校正法对方程(22)求积分。

6　软件开发与应用实例

开发了通用机构计算机辅助分析软件M CAA (mechanism co mputer-aided analysis),M CAA能够自动识别机构的结构形态自动求解机构运动链,自动建立机构运动学/动力学方程,并输出求解结果。

以图5所示的一二自由度曲柄滑块机构作为动

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袁清珂,等:　空间机构计算机建模与分析方法

力学分析的实例,杆件CRAN 、LNKl 、LNK2的长度分别为50.8、76.2、50.8m m ,质量分别为2.27、4.54、4.54kg ,滑块SLID 的质量为6.8kg ,弹簧SP1、SP2、SP3的弹性系数分别是3.5、5.25、1.75

N /m m 。

如果曲柄CRAN 的转角 =60°、角速度#=0时释放曲柄,分析以后各时刻的瞬态响应。应用M CAA 的分析结果如图6

所示。

图5　二自由度曲柄滑块机构

图6　曲柄滑块机构动力学分析结果

7　结　论

本文通过在空间机构中约束运动副处的杆件上分别建立直角坐标系,该处两坐标系的关系描述了约束运动情况,这一关系在运动过程中是不断变化的;同一杆件上的两个坐标系之间的关系,描述了杆件的结构形状,这一关系在运动过程中是不变的。通过在封闭运动链上连续使用上述变换矩阵,实现了空间机构运动方程的建立,分析了空间机构计算机建模与求解方法。在此基础上开发了通用分析软件,通过工程实例,验证了本文所述理论与方法的正确性。

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