山东省烟台市2015届高三上学期期末统考数学(理)试题word版含答案

2014—2015年度第一学期高三期末检测

数学（理）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合{}

|11M x x =-<，集合{}

2

|23N x x x =-<，则R M

C N =( )

A ．{}|02x x <<

B ．{}|12x x -<<

C ．{}

|123x x x x -<<≤<或 D ．φ 2、若函数()3

5(2)5

x x f x f x x -≥?=?

+

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 3、将函数sin(2)3

y x π

=-

的图象向右平移

12

π

个单位，然后纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到解析式为（ ） A ．5sin()12

y x π

=-

B ．cos y x =

C ．cos y x =-

D ．sin y x =- 4、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（ ）

A ．等腰三角形

B ．对边三角形

C ．直角三角形

D ．无两边相等的三角形

5、已知ABC ?的重心为G ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若2330aGA bGB cGC ++=，则sin :sin :sin A B C =（ ） A ．1:1:1 B ．3:1:2 C ．3:2:1 D ．3:23:2

6、某次数学摸底考试共有10道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学没道题都随机地从中选出一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 的值最接近的是（ ）

A ．4

310-? B ．5

310-? C ．6

310-? D ．7

310-?

7、在7

(1)ax +的展开式中，3

x 项的系数是2

x 项系数和5

x 项系数的等比中项，则实数a 的值为（ ）

A ．

259 B ．45 C ．25

3

D ．53

8、已知函数()()2,log x a f x a g x x -==（其中0a >且1a ≠），若()()440f g -<，则

()(),f x g x 在同一坐标系内的大致图象是（ ）

9、已知双曲线22

221x y a b

-=的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线22y px =的焦点为双曲

线的右焦点，双曲线截抛物线所得的线段长为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x = B ．242y x = C ．282y x = D ．28y x =

10、定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当(]0,2x ∈时，

()(](]220,1l o g 1

,2x x x f x x x ?-?=?-??，若(]4,2x ∈--时，()142t f x t ≤-有解，则实数t 的取值范围是

（ ） A ．[)()2,00,1- B ．[)()2,01,-+∞ C ．[]2,1-- D ．(](],20,1-∞-

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。. 11、抛物线2

y x =在2x =处的切线与抛物线以及x 轴围成的曲边图形的面积为 12、已知函数()2

cos ()1(0,0,0)2

f x A wx A w π

φφ=++>><<

的最大值为3，()f x 的图

象与y 轴交点坐标为

()0,2，其相邻的两条对称轴的距离为

2，则

()()()122015f f f +++=

13、设,x y 满足约束条件360

200,0x y x y x y --≤??

-+≥??≥≥?

，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为

10，则

23

a b

+的最小值为 14、已知过点(1,0)A 且斜率为k 的直线l 与圆2:(3)(2)1C x y -+-=相交于,P Q 两点， 则AP AQ ?的值为 15、给出下列结论： ①函数()3

ln f x x x

=-

在区间(,3)e 上有且只有一个零点； ②已知l 是直线，,αβ是两个不同的平面，若,l αβα⊥?，则l β⊥； ③已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，若,m m n α⊥⊥，则//n α； ④在ABC ?中，已知20,28,40a b A ===，在求边c 的长时有两解。

三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）

已知函数()sin()3cos sin 21

2cos()2

x x x f x x ππ??+-??=

-- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）当(0,)2

x π

∈时，求()f x 的最大值，并求此时对应的x 的值。

17、（本小题满分12分）

2015年元旦联欢晚会某班师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分

别写

着六个函数：

()()()()()()2

3

123456ln 1,,,cos ,sin ,3x

f x x f x x f x f x x x f x x f x x x

=+=====-

（1）现任取两张卡片，记事件A 为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A 的概率； （2）从盒子中不放回逐一抽取卡片，若取到的一张卡片上的函数的奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列，并求其数学期望。

18、（本小题满分12分）

如图所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面

ABCD ，//,2,AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成的角的

正切值为

2

2

。 （1）求证：//AC 平面EFB ； （2）求二面角F BE A --的大小。

19、（本小题满分12分）

已知数列{}n a 中，12,a a a t ==（常数0t >），n S 是其前n 项和，且1()

2

n n n a a S -=

（1）试确定数列{}n a 是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由； （2）令21

12

n n n n n S S b S S ++++=+

，证明：12223()n n b b b n n N *<+++<+∈。

20、（本小题满分13分）

设()()()ln ,()f x x g x f x af x '==+

（1）求函数()f x 的图象在点(),1e 处的切线方程； （2）求()g x 的单调区间；

（3）当1a =时，求实数m 的取值范围，使得()()1

g m g x m

-<对任意0x >恒成立。

21、（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率12e =，点A 为椭圆上一点，1260F AF ∠=，

且12

3F AF S ?=。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

高三期末理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题

D B C A D B A B C B 二、填空题 11.

2

3

12.4030 13.5 14.7 15.①④ 三、解答题 16. 解：（1）(sin 3cos )2sin cos 1

()2cos 2

x x x x f x x +=

-

21sin 3sin cos 21cos 231sin 2222x x x x x =+-

-=+-

sin(2)6

x π

=- ……………………3分

周期T π=，

因为cos 0x ≠，所以{|,}2

x x k k π

π≠+∈Z ， …………5分

当32[2,2]622x k k π

ππππ-

∈++， 即5,,362

k x k x k k πππ

πππ+≤≤

+≠+∈Z 时函数()f x 单调递减； 所以()f x 的单调递减区间为

5[,),(,],3226

k k k k k ππππππππ++++∈Z . …………7分 （2）当(0,)2x π∈，26x π-∈5(,

)66ππ

-， …………9分 1sin(2)(,1]62

x π-∈-，当3x π

=时取最大值，

故当3

x π

=

时，函数()f x 的最大值为1. …………12分

17. 解：（1）由题意可知，234()()()f x f x f x 、、是奇函数，15(),()f x f x 为偶函数，6()f x 为

非奇非偶函数， ……………2分

所以22

322

64

()15

C C P A C +==； ……………4分 （2）由题意可知，ξ的所有可能取值为1,2,3,4， ……………5分

13161(1)2C P C ξ===， 113311653(2)10C C P C C ξ===，111

323111

6543

(3)20C C C P C C C ξ===，111323111165431

(3)20

C C C P C C C C ξ===，………9分

所以ξ的分布列为：

ξ

1 2 3 4

P

12 310 320 120 所以13317

123421020204

E ξ=?+?

+?+?=. ………12分 18. 解：（1）设AC ，BD 交于O ，取EB 中点G ，连结FG ，GO ，

在BDE ?中，11

//

,//,//22

OG DE FA DE OG FA ∴， 即四边形FAOG 是平行四边形. ………2分

//,FG AO ∴又AO ?平面EFB ，FG ?平面EFB ，

所以直线AC//平面EFB. ………4分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角就是DBE ∠，

又BE 与平面ABCD 所成角的正切值为

22，所以tan DBE ∠=2

2

，而22BD =，所以2DE =. ………………6分

分别以DA ，DC ，DE 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则有

(2,0,0)A ,(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)B E F ,(0,2,0)AB =,

(0,2,1),(2,2,2)BF BE =-=--,设111(,,)x y z =m 为平面AEB 的一个法向量，则

0,0AB BE ==m m ，即111120

2220

y x y z =??

--+=?， 不妨设11x =，可得平面AEB 的一个法向量(1,0,1)=m ………9分 设平面FBE 的一个法向量222(,,)x y z =n ，0,0BF BE ==n n 则2222220

2220

y z x y z -+=??

--+=?，

令21y =，可得平面EBF 的一个法向量(1,1,2)=n ………11分 设二面角F-BE-A 的大小为θ，123

cos ||||226

θ+===

m n m n ， 所以二面角F-BE-A 的大小为

6

π

. ………12分

19. 解：（1）令1n =可得110a S ==，即0a =，所以2

n

n na S =

，… 1分 1

1(1)(2)22

n n n n n na n a a S S n ---=-=

-≥， 可得1(2)(1)n n n a n a --=-，当2n =成立， ………………………3分

当3n ≥时，112

233

2

(2)(1)(3)(2)(4)(3)2n n n n n n n a n a n a n a n a n a a a ------=--=--=-

=

两边相乘可得

2

1n

a n a =-， 所以(1)n a n t =-， ………………………5分 显然当1,2n =时，满足上式，所以数列{}n a 是等差数列，其通项公式为

(1)n a n t =-. ………………………6分

（2）由（1）可知(1)

2

n n n S t -=

，从而可得21122()22

n n n b n n n n +=+=+-++， ………………………7分

1211111

1122(1)32435

2n b b b n n n ++

+=+-+-+-+

+

-+222312

n n n =+--++， ………………………9分

因为

22

,12

n n ++均大于0，所以1223n b b b n +++<+， ………10分 而22()312f n n n =--++是关于n 的增函数，所以224()(1)30233

min f n f ==--=>，所以122n n b b b <+++，

故12223()n n b b b n n *<++

+<+∈N . ………………………12分

20. 解：（1）1

()f x x

'=

， ……………………………………1分 由导数的几何意义可知，e 1

|e

x k y ='==，

所以切线方程为：1

1(e)e y x -=-，即

e 0x y -=. ………………………………………………3分

（2）()ln a g x x x

=+

，221()a x a g x x x x -'=-=（其中0x >），………4分

当0a ≤时，在(0,)+∞上()0g x '>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，在(0,)a 上()0g x '<，此时()g x 在(0,)a 单调递减， 在(,)a +∞上()0g x '>，此时()g x 在(,)a +∞单调递增；……………7分

综上所述：当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()g x 在(0,)a 单调递减，在

(,)a +∞单调递增. ………………8分

（3）当1a =时，1()ln g x x x =+，不等式为111ln ln m x m x m +--<，即1ln ln m x x

<+，只需ln m 小于（1

ln x x

+

）的最小值即可，………10分 由（2）可知，1

()ln h x x x

=+在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以当1x =时，

min ()(1)1h x h ==， ………12分

故ln 1m <，可得0e m <<，

所以m 的取值范围为0e m <<. ………13分

21. 解：（1）由1

2

e =

可得，224a c =， ① 12121

||||sin 6032

F AF S AF AF ?=

=可得，12||||4AF AF =，…2分 在12F AF ?中由余弦定理有，222

1212||||2||||cos604F A F A F A F A c +-=，又

12||||2AF AF a +=，可得223a c -=②，…………………………4分

联立①②得，2224,1,3a c b ==∴=

所以椭圆方程为22

143

x y +=. …………………………6分 （2）设点00(,)P x y ，由2214

3y kx m

x y =+??

?+=??，得

222(43)84120k x kmx m +++-=， …………………………8分2222644(43)(412)0k m k m ?=-+-=，化简得22430k m -+=，所以

002

443

,43km k x y k m m =-

=-=+， ………………………10分 所以43(,)k P m m

-

. 由4y kx m

x =+??=?

，得(4,4)

Q k m +，假设存在点M ，坐标为1(,0)x ，则143

(,)k MP x m m

=-

-，1(4,4)MQ x k m =-+， …………………12分

因为以PQ 为直径的圆恒过点M ，所以0MP MQ =，即

211141612430kx k k x x m m m -

+-+++=，所以有2111(44)430k

x x x m

-+-+=对任意的,k m 都成立， 则12

114-40

-430

x x x =??

+=?，解得11x =，故存在定点(1,0)M 符合题意. …14分