轮胎花纹的有关分析

轮胎花纹的有关分析

关 键 词 胎面花纹;接地压力;摩擦应力;三维建模；有限元模型

摘 要

轮胎胎面花纹是轮胎与路面相互作用的直接接触部位，它不仅对轮胎的抓地性有直接的影响，而且对汽车的性能也有极大的影响。因此我们通过一些数学模型来进行定性的分析。

就汽车花纹的的样式，我们通过查找文献知识得到，具体分为普通花纹、越野花纹、混合花纹、块状花纹、非对称花纹和定向花纹这6种，然后就这6种花纹情况下，我们采用控制变量法，来逐个分析花纹样式对汽车性能的影响，然后我们针对性的选择纵向花纹这种典型情况，进行了一个纵向花纹的三维建模，主要公式有2222)()()(r c z b y a x =-+-+-，。根据前面建立的坐标系可知是绕Y

轴旋转,旋转矩阵为:y T =θθ

θθ

cos 0sin 01

0sin 0cos - 我们对整个轮胎进行了三维建模，我们借助李兵提出的组合周向保角映射建模法和组合类保角映射簇建模法理论（是近期花纹轮胎建模技术的重要进展）[3]。本文根据组合类保角映射簇建模法的基本原理,利用12.00R20型轮胎子午面内二维胎面的外轮廓曲线为圆弧的特点,对组合类保角映射簇建模法进行了简化,使之成为合二次周向保角映射,实现了从曲面到平面的转换。紧接着，我们应用有限元分析法的思路，进行对轮胎花纹分析，轮胎由于充气和垂直载荷等作用，轮胎结构会产生较大的变形，轮胎几何结构的这种变形属于几何非线性问题。进下来我们对几何非线性问题进行了再次通过组合二次周向保角映射建模法，建立了轮胎的三维有限元模型。采用通用有限元软件ABAQUS,对该模型进行了静负荷工况及稳态滚动工况下的接地性能分析,并对稳态滚动工况下花纹沟闭合情况进行了初步研究。

由分析得出纵向花纹：这种型式花纹适合在比较清洁，良好的硬路面上行驶，轿车、小型货车等选用这种轮胎花纹。横向花纹：这种型式花纹适合于在一般硬路面上、牵引力比较大的中型和重型货车使用。纵横混合花纹：这种型式花纹的轮胎适应能力强，应用范围广泛，它既适用于不同的硬路面，也适宜安装于轿车和货车。

一、问题的提出

各种轮胎被广泛的使用在各种陆地交通工具中，但在使用的过程中会有各种各样的影响因素，根据汽车性能的需要和环境的需要，轮胎表面会加工出不同的花纹，所以必须找出一种关系并建立一种模型，根据交通工具性能的需要和环境的需要在现在的千千万万的轮胎中确定最适使用的范围

二、问题的分析

由题意知到这次的目的是建立一种模型，解决轮胎的最佳使用范围，既要考虑交通工具自生的性能又要考虑其使用的环境。首先我们要知道到底有些什么样的花纹，它们的区别在哪里。因此我们用轮胎的三维建模研究轮胎材料、胎面花纹的原理、接触条件及荷载情况。此外我们要知道路面的各种环境的区别，再用有限元分析方法分析其受力问题，并总结出花纹样式和沟槽深度对交通工具性能的影响和环境对轮胎的影响。最后，通过所建立的模型计算总结出交通工具最适应的范围。

三、模型假设

假设各个汽车的大小，样式完全相同例如：汽车的

外型尺寸和汽车的轴距、前轮距/后轮距（如图1）、最

小离地间距、风阻系数、最小转弯直径、空车质量、允

许总质量、行李箱容积等等。我们对汽车轮胎花纹的不

同样式进行研究，讨论出不同花纹样式对汽车性能的影

响。

在上一个问题的研究下，我们进一步研究相同花纹

样式下，花纹的纹深度对汽车性能的影响，由于花纹愈

深，则花纹块接地弹性变形量愈大，由轮胎弹性迟滞损

失形成的滚动阻力也将随之增加。较深的花纹不利于轮

胎散热，使胎温上升加快，花纹根部因受力严重而易撕

裂、脱落等。花纹过浅会影响其贮水、排水能力，容易

产生有害的“滑水现象”，而且使光胎面轮胎易打滑的

弊端呈现出来，从而使汽车性能变坏。

因此，我们根据我国制定的法规来判断和预测轮胎的花纹深度。

由于花纹的样式繁多，我们就以纵向花纹为例，对它进行三维建模分析，假设点1P ,2P 3P ,…是导动线的控制点, 轮胎是一个回转体,分析截面形状可知,胎冠处曲线是由若干段圆弧组成，曲折花纹数学模型需要的参数和变量 由,y.z,a,b,c 来表示。只要再绘制出合适的截面,即可通过扫描的方法得到三维实体花纹。最后与无花纹三维轮胎实体进行减运算,就可得到完整的轮胎三维实体造型。

就纵向花纹之后，我们都对轮胎花纹有了大致认识，因此要分析好花纹的影响，我们对整个轮胎进行了三维建模，我们借助李兵提出的组合周向保角映射建模法和组合类保角映射簇建模法理论（是近期花纹轮胎建模技术的重要进展）[3]。本文根据组合类保角映射簇建模法的基本原理,利用12.00R20型轮胎子午面内二维胎面的外轮廓曲线为圆弧的特点,对组合类保角映射簇建模法进行了简化,使之成为合二次周向保角映射,实现了从曲面到平面的转换。

然后利用组合二次周向保角映射建模法建立一节花纹模型,由轮胎主体的轴对称模型绕旋转轴旋转相应角度生成一节主体模型、材料选择及网格划分、接触条件、载荷工况等等进行分析。

有限元法是一种基于能量原理的数值计算方法，因此，我们进行轮胎的分析过程中我们采用有限元法来处理和分析这个问题。再次我们将采用应力-应变理论、大变形状态下的平衡方程等等。

四、模型的建立于求解

首先，我们先了解车轮花纹的种类及其功能

1、花纹样式的影响：

轮胎花纹的主要作用就是增加胎面与路面间的磨擦力，以防止车轮打滑，这与鞋底花纹的作用如出一辙。它提高了胎面接地弹性，在胎面和路面间切向力(如驱动力、制动力和横向力)的作用下，花纹块能产生较大的切向弹性变形。切向力增加，切向变形随之增大，接触面的摩擦能力就越强，进而抑制了胎面与路面打滑或打滑趋势。有研究表明，产生胎面和路面间磨擦力的因素还包括有这两面间的粘着作用，分子引力作用以及路面小尺雨微凸体对胎面貌一新微切削作用等，但起主要作用的仍是花纹块的弹性变形。

花纹的种类很多，根据类型，主要分为6种，普通花纹、越野花纹、混合花纹、块状花纹、非对称花纹和定向花纹

图2纵向花纹图3横向花纹

图4混合花纹图5块状花纹

图6非对称花纹图7定向花纹

普通花纹适合在硬路面上使用。它分为横向花纹，纵向花纹，和纵横混合花纹。

纵向花纹（见图2）的特点：胎面纵向连续，横向断开，因而胎面纵向刚度大，而横向刚度小，轮胎抗滑能力呈现出横强而纵弱的特症。这种花纹轮胎的滚动阻力较小，散热性能好，但花纹沟槽易被嵌入碎石子儿，综合来看，这种型式花纹适合在比较清洁，良好的硬路面上行驶，轿车、小型货车等选用这种轮胎花纹。

横向花纹（见图3）的特点:胎面横向连续，纵向断开，因而胎面横向刚度大，而纵向刚度小。故轮胎抗滑能力呈现出纵强而强弱，汽车以较高的速度转向

时，容易侧滑；轮胎滚动阻力也比较大，胎面磨损比较严重。这种型式花纹适合于在一般硬路面上、牵引力比较大的中型和重型货车使用。

纵横混合花纹的特点:这种花纹介于纵向花纹和横向花纹之间。在胎面中部一般具有曲折形的纵向花纹，而在接近胎肩的两边则设计有横向花纹。这样一来，胎面的纵横方向抗滑能力比较好。因此这种型式花纹的轮胎适应能力强，应用范围广泛，它既适用于不同的硬路面，也适宜安装于轿车和货车。

越野花纹的共同特点：是花纹沟槽宽而深，花纹块接地面积比较小(约40%~60%)。在松软路面上行驶时，一部分土壤将被嵌入花纹沟槽之中，必须将嵌入花纹沟槽的这一部分土壤剪切之后，轮胎才有可能出现打滑。据测试：在泥泞路上，同一车型的车辆使用越野花纹的牵引力可达普通花纹的1.5倍。

越野花纹分为无向和有向花纹两种。有向花纹使用时具有方向性。越野花纹轮胎适合于在崎岖不平的道路、松软土路和无路地区使用。由于花纹块的接触压力大，滚动阻力大，故不适合在良好硬路面上长时间行驶。否则，加重轮胎磨损，增加燃油消耗，汽车行驶振动也比较厉害。

混合花纹（见图4）

混合花纹是普通花纹和越野花纹之间的一种过渡性花纹。其特点是胎面中部具有方向各异或以纵向为主的窄花纹沟槽，而在两侧则以方向各异或以横向为主的宽花纹沟槽。这样的花纹搭配使混合花纹的综合性能好，适应能力强。它既适应于良好的硬路面，也适应于碎石路面、雪泥路面和松软路面，附着性能优于普通花纹，但耐磨性能稍逊。目前，一些货车和四轮驱动的乘用车多使用这种型式的花纹轮胎。

块状花纹（见图5）

块状花纹的特点是花纹沟之间都相互连接,而花纹以块状规则排列呈独立的花纹块结构.拥有这种花纹的轮胎在雪地和泥泞道路上具有优越的制动力及驱动力.由于采用独立的花纹块结构,导致其耐磨性能较差,寿命短.块状花纹适用于雪地及泥泞道路.多用于轿车及商用车的后轮.

非对称花纹（见图6）

非对称花纹的特点是胎面左右两侧花纹形状不同.由于汽车转弯时增大了外侧花纹的着地压力,拥有这种花纹的轮胎在高速行驶时具有良好的的转弯性能,且提了外侧花纹的耐磨性能.安装时必须注意区分内、外侧方向.非对称花纹适用于高速公路使用多应用于竞技用车和高性能车辆.

定向花纹（见图7）

也叫单导向花纹.与块状花纹类似,定向花纹的花纹沟之间也都相互连接,呈独立的花纹块结构.拥有这种花纹的轮胎具有卓越的制动性能,适合于高速行驶;其优秀的排水性能,使得车子在雨天行驶时具有良好的稳定性.但是这种轮胎容易磨损,且轮胎的安装位置必须要与车子的行驶方向相同.定向花纹适用于高速公路使用.多应用于一般轿车.

总结：轮胎花纹作为提高汽车性能，确保行驶安全的重要因素。

2、花纹深度的影响

花纹愈深，则花纹块接地弹性变形量愈大，由轮胎弹性迟滞损失形成的滚动阻力

也将随之增加。较深的花纹不利于轮胎散热，使胎温上升加快，花纹根部因受力严重而易撕裂、脱落等。花纹过浅会影响其贮水、排水能力，容易产生有害的“滑水现象”，而且使光胎面轮胎易打滑的弊端呈现出来，从而使汽车性能变坏。 因此，花纹过深过浅都不好。而客观事实是使用中花纹将越变越浅。为确保花纹作用的有效性，

并在轮胎胎 ”或“TWI ”文标记。当花纹块凸面磨损距离到花纹沟槽底部约1.6mm 时，标记处的花纹已被磨平，故显露出窄横条状的光胎面。借此警示驾驶员，该轮胎已必须更换。轮胎花纹使用注意事项

（1）应根据车辆用途、经常使用的路况的和车速来选择比较合适的花纹轮胎。对于在一般硬路面上中速行驶的车辆，货车和客车等宜选用横向花纹或纵横兼有花纹轮胎；对于经常在高速公路及良好的硬路面上行驶的车辆宜选用散热性好、横向稳定性强的纵向花纹和纵横兼有花纹轮胎。

（2）随着车速的提高，胎面与路面间积水来不及排除，便会在两面间形成水膜，将轮胎慢慢托起，在一定条件下甚至完全离开路面，使汽车丧失操纵性。这种现象被称之为轮胎“滑水现象”。影响滑水临界速度的因素较多，但其中轮胎花纹形式和深度为主要因素之一，经常在高速公路上行驶的轿车，在有条件的情况下应尽量选择抗滑水轮胎。这种花纹的主要特点是，在胎面中部设计出宽大的排水沟（主沟），在轮胎与路面之间形成较大的排水空间，在主沟两侧有通往胎侧的侧沟，故排水距离短，排水效率高，从而最大限度地减少轮胎在湿路面高速行驶可能产生的“滑水现象”，提高行车的安全性。值得注意的是这种花纹具有方向性，安装时切忌大意。

（3）花纹轮胎的旋转方向通常用模压在胎侧“箭头”标记表示。如果按照箭头方向旋转，即“人字形”花纹尖端先着地，则称顺方向旋转；反之，则称反方向旋转。抗滑水轮胎一律按顺方向旋转，提高排水效率，而反向旋转则排水效率比非滑水轮胎的还要差。越野有向花纹轮胎，若安装在驱动桥上，则应顺方向旋转。“人字形”花纹尖端像锥子嵌入雪向花纹轮胎，由于不输出牵引力，为减少滚动阻力和磨损起见，故应反方向旋转。 综上可知，轮胎花纹是提高汽车性能，确保行驶安全的重要一环。因此，如何正确选购、装和使用轮胎花纹就显得非常重要。

表 1胎面花纹深度磨损极限

怎样延长汽车轮胎的使用寿命

轮胎的“走合”

新胎的磨合期一般是500—1000km，在此磨合期内，汽车行驶应注意选择较好的道路，适当减低车速，轻抬离合器踏板平稳起步，避免紧急制动，不使用制动鼓抱死咬胎，急转弯要慢，气压要标准，在出车前、行车中、收车后要注意检查轮胎气压，清除轮胎花纹中的嵌石和杂物。严禁超载，在连续长距离的行车中要注意胎温，否则应到通风阴凉处停车休息，千万不能用泼凉水的方法降温。只有按上述要求才能有效地提高新胎初期磨耗的行驶里程。

轮胎的“平花”

轮胎在长时间使用后，胎面的花纹将逐渐被磨浅，直至花纹沟磨平。被磨平胎易打滑和延长制动距离，直接影响到行车安全。从安全角度出发，最好胎纹磨损较浅时，就更换新胎。但从经济效益上考虑这样做费用高，将导致成本增加，因此对轮胎花纹的磨损极限应有理想的深度。新胎从装用到磨平的行驶里程，只占整个轮胎有效价值的40%。新胎胎面磨平，但外胎帘布层尚未损坏，特别是尼龙帘布轮胎和钢丝轮胎，其胎体寿命可以比胎面寿命长4—5倍。因此将胎面磨平的轮胎进行翻新是提高轮胎行驶里程，节约能源的好办法。翻新后的轮胎行驶里程可达到新胎里程的70%左右，因此国内外都大力提倡轮胎翻新。经验证明，一般轮胎当花纹深度尚余1.5—2mm时，这时拆卸翻新较为理想。但也往往有少数轮胎因胎体刺伤较多，或局部脱层，这些轮胎若继续行驶会导致报废。可以根据胎体的实际情况在尚余花纹高于2mm时，也可以提早翻新，不可勉强使用到报废。不论何种情况，都绝对不允许将胎面花纹磨平了的轮胎再继续使用，这样会使胎面花纹基部胶层磨损和缓冲层破坏，失去翻新条件，造成浪费。错进留核心土的施工方法；如边墙未塌，则采用左右错进的施工方法。每次开挖长度同上半断面开挖；"拆除侵限部分原初期支护，并架设钢架喷射砼。

塌方段施工处理注意事项

●在加强段两端作沉降缝；"拱部空洞从洞

●内或地表用坑道填充剂充填；

●认真做好收敛和拱顶下沉量测以及资料整理分析，及时指导施工，必要时采

用CD或CRD工法施工；

●加强裂缝观察，备齐应急材料，必要时对变形超限段进行临时加固；

●作好洞内排水系统，防止积水浸泡岩层。

就纵向花纹为典型来说，如何建立三维数学模型来分析花纹对行车性能的分析。

曲折花纹形状比较复杂,不能像无花纹轮胎那样通过简单的截面旋转得到三维实体。然而,三维曲折花纹还是有规律可循的。通过分析发现,曲折花纹可以看成是由固定形状截面图形沿着三维空间曲线(导动线)扫描而成。截面图形利用二维绘图功能即能实现。关键是如何用数学模型来描述三维空间曲线。首先研究轮胎的外轮廓曲面。轮胎是一个回转体,分析截面形状可知,胎冠处曲线是由若干段圆弧组成。因此,根据截面尺寸以及立体解析几何,可以求出胎冠回转曲面的方程式,建立如图1所示的直角坐标系,将胎冠曲线按组成圆弧来分段,分别建立类似于式(1)的方程:

2)

2

2

2

-

x=

a

+

-

-（1）

y

+

)

(

(

)

(r

z

c

b

而所求空间曲线各点均在这些曲面上。

曲折花纹在轮胎外轮廓曲面上的相对位置如图7所示,由此可研究曲折花纹数学模型需要的参数和变量。从图1可以看出,点1P ,2P 3P ,…是导动线的控制点,因此,首先要确定这些点,然后进一步确定整条空间曲线。设1P 点到Z 轴的距离为l,且1P 在YZ 平面上。由于点1P 在轮外

图 8曲折花纹示意图

表面上,因此满足曲面方程(1),设1P 点坐标为(1x ,1y ,1z ),则

1x =0, 1y =l -, 1z =22l r -（2）

再假设一平面过点1P 且平行于XZ 平面,那么该平面与曲面方程(1)的交线必是圆,则1P ,

3P ,5p …这些点必定在该圆上。由以上假设可得该圆的方程:

2x +2z =2

1z Y=1y (3)

设花纹平面展开图中点P1与P3间的距离为b,则b 值等于弧长S 。另外,圆弧S 、圆弧所对应的角度θ(用弧度表示)及圆弧半径R 之间的关系可用下式表示: S=Rθ

由以上条件可得:

b=y1θ,即θ=b/y1(4)

以上假设和方程对等节距和变节距花纹都适用,但P1和P3以外的各点必须

根据两类花纹各自的特点分别进行讨论。

(1)等节距花纹

对于等节距花纹,点P1,P3,P5,…相邻两点间的距离是相等的,因此在已知点P1的坐标及相邻两点间圆弧角度的情况下,其它各点即可通过坐标旋转变换求得。根据前面建立的坐标系可知是绕Y 轴旋转,旋转矩阵为:

y T =θθ

θ

θcos 0sin 01

sin 0cos - 则其余各点的坐标值等于第一点的坐标乘以相应的旋转矩阵。设第n(n 为奇数)点的坐标为(xn,yn,zn),则

θ

θθθ21cos 021sin 01021sin 02

1cos ),,(),,(111+++-+=

n n n n z y x z y x n n n 式中,x1,y1,z1和θ为已知数。这样所有奇数点P1,P3,P5,…的坐标值即可确定。

(2)变节距花纹

变节距花纹主要是为了降低噪声,根据低噪声轮胎花纹设计原则,节距比应取无理数[3,4]。假设采用3个不等节距,如LA ∶LB ∶LC=3∶5∶7=17∶21∶26,那么用系数λB 和λC 来分别表示LA 与LB 及LA 与LC 之间的关系,并将λB 和λC 分别代入式(4)和(6),即可求出各节距内控制点的坐标。

同理可以分别确定等节距和变节距花纹偶数点P2,P4,P6,…的坐标,那么所有控制点即可得到。

得到控制点之后,需要确定两控制点之间的曲线段,可采用在两控制点之间插入若干个近似点以拟合各段曲线的方法。至此,可确定三维花纹导动线,只要再绘制出合适的截面,即可通过扫描的方法得到三维实体花纹。最后与无花纹三维轮胎实体进行减运算,就可得到完整的轮胎三维实体造型。

各种轮数机动车轮胎的花纹组合及概率的计算

（一）计算各种轮数车辆轮胎花纹的组合和其中一种情况

存在的概率

表 2四轮机动车的组合计算

表3五轮机动车的组合计算

表4六轮机动车的组合计算

表6十轮机动车的组合计算

由于每种车的每个轮子的位子都是特定的，在此我们就不对具体车型进行讨论了，只从轮数的角度进行论.

首先我们从三轮机动车开始计算，当其存在A 、B 两种花纹时，花纹数为A:B=2：1，把三个轮胎做个全排列33P ，然后再除以各组相同花纹的全排列22P 和21P ，结果就是两种花纹在三个轮胎上的花纹组合数3

3P /22P *21P =3种，其中每种情况存在的概率为33.33%，当然不是小概率事件,当其存在三种花纹A:B:C=1：1：1 时，利用同样的公式可算出组合数为 6 种，其中一种情况存在的概率为16.7%，亦不是小概率事件.其他的算法与三轮的情况完全相同，相应数据列表如上.

3 轮胎的三维建模

3.1 胎面花纹建模原理

李兵提出的组合周向保角映射建模法和组合类保角映射簇建模法,是近期花纹轮胎建模技术的重要进展[3]。本文根据组合类保角映射簇建模法的基本原理,利用12.00R20型轮胎子午面内二维胎面的外轮廓曲线为圆弧的特点,对组合类保角映射簇建模法进行了简化,使之成为合二次周向保角映射,实现了从曲面到平面的转换。建模流程见图9。

图9胎面花纹建模流程

3.2组合花纹轮胎模型的总体建模策略

为了使用隐式算法对轮胎进行稳态滚动分析,花纹轮胎模型必须具有周期性。首先,利用组合二次周向保角映射建模法建立一节花纹模型,由轮胎主体的轴对称模型绕旋转轴旋转相应角度生成一节主体模型。对两个模型一起使用周期对称模型生成命令,然后将生成的胎面花纹部分和轮胎主体部分使用绑定约束组合

在一起。建模流程如图10所示。

图10轮胎模型的建模过程

3.3材料选择及网格划分

子午线轮胎中的胎体帘布和带束层均是线-

橡胶复合材料,其性能呈现明显的各向异性,采用Rebar模型来模拟;橡胶并没

有采用超弹性材料进行计算,而是用泊松比较大的弹性材料进行替代;钢丝圈用各

向同性的弹性材料单元描述[4]。轮胎主体部分的模拟选用8节点的六面体减缩积分实体单元(C3D8R),定义了增强型沙漏控制。考虑到C3D8R不适用于应力集中部位的节点应力分析[5],胎面花纹部分的模拟选用8节点的完全积分常压力杂交六面体单元(C3D8H)。骨架结构选用了4节点的减缩积分四边形单元(SFM3D4R)。

3.4接触条件

接触包括轮胎与地面、轮胎与轮辋之间的接触以及胎面花纹部分的自接触。考虑到模型在稳态滚动过程中会有花纹沟的闭合，所以在花纹沟闭合的区域定义了自接触面，如图11所示。

图11定义自接触面

将轮辋和地面视为解析刚体。在完成轮胎与轮辋的装配后,取消接触,改为固定约束,既真实反映了轮胎胎圈部位在装配后的正确位置,又简化了后续计算的难度。轮胎与地面之间的摩擦系数为0.8,轮胎与轮辋之间的摩擦系数为0.5,胎面花纹部分自接触的接触属性设置为软接触,摩擦系数为0。

3.5载荷工况

(1)充气工况:标准气压0.84 MPa,轮胎变形过程中该压力始终保持垂直作用于内表面。

(2)静负荷工况:轮辋固定,在地面上施加集中载荷30 kN。

(3)稳态滚动:轮胎行驶速度为50 km/h。

4 有限元法（Finite Element Method）

4.1有限元法

有限元法是一种基于能量原理的数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计算工具。它是里茨（Ritz）法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论[8]。有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。有限元法的基本思想是将连续的结构体离散成有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过

节点相互连接；同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律；进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可以利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。

有限元法求解问题中的单元分析：

=

式中：

—单元节点作用力；

—单元刚度矩阵；

—单元节点位移

通过单元分析，确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元位移的关系。有限元求解问题时建立的结构整体平衡方程：

KU=P

式中：

P —结构整体等效点力载荷；

K —结构总体刚度矩阵；

U —结构节点位移阵列。

单元内力的计算：

=DB

式中：

D —弹性矩阵；

P —应变矩阵。

整个结构的有限元分析就是依据上述方程而进行的。具体的有限元求解过程如图12 所示。

图12

4.2 有限元法的基础理论

4.2.1 有限元法理论

在有限元法中，单元的应变-位移关系可表示为：

=Bu （2-4）

式中：

ε—应变向量；

u —位移向量；

B —应变-位移变换矩阵。

单元的应力-应变关系表示为:

=Du （2-5）

式中：

—应力向量；

D —材料相关系数。

在线弹性材料条件下,矩阵是一个常量；D在非线性弹性材料中，D矩阵是应变ε的函数。

有限元刚度方程为：

Ku=p

式中：

P —结构总体刚度矩阵；

K —单元刚度矩阵。

其中单元刚度矩阵K 为：

K=DBdV

式中：

V —积分域

对于非线性弹性材料而言，D矩阵和单元刚度矩阵K 均是应变ε和位移u 的函数。在小变形问题中，矩阵B与位移u 没有相关关系；而在大变形问题时，矩阵B和单元刚度矩阵K 则均是位移u的函数。

在轮胎分析中，轮胎由于充气和垂直载荷等作用，轮胎结构会产生较大的变形，轮胎几何结构的这种变形属于几何非线性问题；轮胎结构本身又是多种材料构成的复体，其材料属性既有各向同性又有各向异性，这属于材料非线性问题；在轮胎的静态接触、自由滚动和动态接触状态下，轮胎与路面之间的接触，又涉及到接触非线性问题。

4.2.2 应力-应变理论

有限元法是里茨（Ritz）法的一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论，而应力-应变理论则是里茨法分析的弹性理论的基础。因此在有限元分析中，一般使用弹性理论研究载荷作用下物体中的内力状态和变形规律。

1. 应力

物体受到外力的作用时发生变形，这种变形改变了物体内各分子的间距，在物体内形成了一个内力场。当内力和外力相互平衡时，变形不再继续，物体达到稳定平衡状态[9]。

这种由于物体受外力的作用引起物体变形，而导致内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用，这种相互作用称为内力。所谓应力，就是指分布内力系在物体内某一点处强弱程度。为了研究物体内某一点C处的内力，假使用一经过点C的截面mm将物体分开,在这选取包含点C的一个部分进行研究，如图 2.2 (a)所示。围绕点C取微小面积A，A上存在着分布内力系的合力F，如图13 (b)所示.F的大小和方向与

点C的位置和A的大小密切相关. F与A的比值成为平均应力。

=

为一矢量，表示在A范围内，单位面积上内力的平均集度，称作平均应力。

随着A的逐渐变小，的大小和方向都将逐渐变化。当A趋近于零时，

的大小和方向都将趋于一定极限p ，即C点的应力p 为

应力p 是分布内力系F在点C处的集度，反映了分布内力系F在点C处的强弱程度。对于应力p ，为了表征其与物体的形变或材料的相关性，通常将应

力p 分解成垂直于截面的分量正应力和切于截面的分量切应力。

2. 应变

应变表示物体受到外力的作用时发生变形的强弱程度。在图14(a)中，物体中的M点因变形位移到M '点，MM '为物体变形时M 点的位移。这里假设物体受到约束，没有刚性位移，M 点的位移全是由变形引起的。假想在M 点附近取平面与坐标平面平行的正六面（当正六面体的边长趋于无限小时称为单元体），

设该六面体的棱边边长分别为、、。变形后其边和棱边夹角都会发生微小

变化，将单元体投影到xy 平面，如图14 (b)所示。变形前单元体平行于x轴的

边长长度为，变形后，点M 和点N 分别位移到M '点和N '点。M ' N '的长度为+，且

-

图14

比值：

==

表示单元体边长的平均长度变化，称为平均应变。

当长度趋近于0 时，则的极限为：

==

此时，称为点M 沿x轴方向的线应变（或简称应变），其相对伸长为正，相

对

压缩为负。相应地有：

对应于物体的线应变，物体的应变还包括有剪应变，即相邻两条棱边角度的变化强

度。从图2.3 可知，变形前MN 和ML 相正交，变形后M ' N '和M ' L '的夹角变为

L' M ' N'。变形前和变形后两者的角度变化为

当点N 和点L 趋近于点M 时，则上述角度变化的极限值为：

此时，称为点M 在xy面内的切应变（或角应变）。

4.2.3 大变形的有限元数学描述

在轮胎结构分析中，轮胎变形问题属于几何非线性范畴，此时小变形情况下的几何方程和平衡方程不再适合轮胎的结构分析，为此必须重新定义新的平衡方程。这主要是由于小变形平衡方程不能消除刚性运动的影响，从而无法度量大变形物体的形态。在度量物体的变形时，需要选取一个特定构型为基准（参考构型）。在变形问题中，一般有两种参考构型，一种是t=0时刻的初始构型作为参考构型，另一种是用任意时刻的现

时构型作为参考构型。

设初始时刻t=0时的质点坐标为表示任意时刻t 质点的位置。当

选择初始构型为参考构型时，为自变量，X=x-u

应变表达式为：==

式中：为格林应变；

=为克朗内记号。