2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题六：数列(教师版)

2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题六 数列

【命题特点】

数列是高考考查的重点和热点，分析2010年高考试题，从分值来看，数列部分约占总分的10%左右。等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前 项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．

近年来，解析几何题一般不再作为压轴题，而最后一道难度最大的压轴题可能是数列和不等式，函数、导数、不等式综合考查的题目，导数和向量已成为出题重点，探索性问题必将融入大题中。高考数列压轴题综合考查等价变换、抽象概括、归纳推理、猜想证明等能力。立意新颖，是整份试卷中的“亮点”。

复习建议 1．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。

2．归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义。

3．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题。

4．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解。 【试题常见设计形式】

有关数列题的命题趋势：

1. 数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S 与n a 的关系。从近两年各地高考试题来看，加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。

3. 等差、等比数列的基本知识必考。这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和。

5．有关数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等问题既是考查的重点，也是考查的难点。 【突破方法技巧】 重点知识

1.使用等比数列的求和公式，要考虑公比1q =与1q ≠两种情况，切忌直接用1(1)

1n n a q S q

-=-

2.利用n a 与n S 的关系：11(1)

(2)

n n n S n a S S n -=?

=?

-≥?求解n a ，注意对首项的验证。

3.数列求解通项公式的方法：

A.等差等比（求解连续项的差或商，比例出现字母的注意讨论）

B. 利用n a 与n S 的关系：11(1)

(2)

n n n S n a S S n -=?

=?

-≥?

C.归纳-猜想-证明法

D.可以转化为等差和等比的数列（一般大多题有提示，会变成证明题） （1）

q pa a n n +=+1；令)(1λλ-=-+n n a p a ；

（2）n n n q pa a +=+1； “q pa a n n +=+1”（两边除以n q ）或“n n n n f a a )(1+=+. （3）)(1n f pa a n n +=+；

（4）n n n a q a p a ?+?=++12. 令)(112n n n n a a a a ?+=?++++αβα

E. 应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+

F.对于分式11

n

n n a a ka +=

+，取倒数，数列的倒数有可能构成等差数列（对于分式形式的递推关系）

G ．给定的()n n S f a =，形式的，可以结合1n n n S S a --=，写成关于1,n n a a -的关系式，也可以写成关于

1,n n S S -的关系式，关键就是那个关系式比较容易的求解出结果来

4.数列求和

公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.

或转化为等差数列和等比数列利用公式求解；求解参数的式子中有(1)n

-结构的，注意对n 是偶数与奇数的讨论，往往分开奇数与偶数，式子将会变的简单 5.不等式证明：

（1）证明数列n a m <>，可以利用函数的单调性，或是放缩 （2）证明连续和，若是有121

n +

，ln(1)n +形式的，每一项放缩成可以裂项相削形式

11

221n n -+（

11

2121

n n --+）

或者是ln(1)ln n n +-（ln(1)ln(1)n n +--）（注意证明式子与对应项的大小关系）；或者是变形成等差或是等比数列求和 （3）证明连续积，若有

1

21

n +

的形式，每一项适当的放缩，变形成迭乘相削形式，或者错位相乘

221n n +（21

21

n n -+

）或

（4）利用函数的单调性，函数赋值的方法构造 （5）最后就是：若是上述形式失败，用数学归纳法 （6）比较法

（7）放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式

（8）对于证明存在问题、唯一问题、大小问题等有时可以尝试反证法

数列问题以其多变的形式和灵活的解题方法倍受高考考试命题者的青睐，历年来都是高考命题的“热点”。对应试考生来说，数列既是重点，又是难点。近年来，高考中数列问题已逐步转向多元化，命题中含有复合数列形式的屡见不鲜，从而，这类问题成为学生应试的新难点。本文试图探索这类问题的求解方法和技巧。

1、通项探求型 该类题型一般转化为等差、等比数列或常见的简单的递推数列来实现求解，求解过程直接化，求解技巧模式化。

2、大小比较型 比较两个数列的大小关系型问题，一般利用比差法和比商法来达到目的，借助于数的正负性质来判断，从而获解。

3、两个数列的子数列性质型 探索两个数列公共项的有关性质，公共项构成的数列是两个数列的子数列，所以，抓住它们的通项是解题的关键。

4、存在性探索型 该类问题一般是先设后证，然后反推探索，若满足题设则存在，若不合题意或矛盾，则不存在，它是探索性命题中的一种极为典型的命题形式。

5、参数范围型

在复合数列问题中再引入参数，难度更大，探索参数的取值范围对考生来说是一个难点，这类问题主要是建立目标函数或目标不等式，转化为求函数量值和求解不等式。 【典型例题分析】

数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中. 考点一：等差、等比数列的概念与性质 【例1】已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。

当n ≥2时，111(22)23434

2(22)234(1)234

n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==+

+--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1

-n n S S (n ≥2)是常数，∴3a+4=0，即4

3a =- 。

（3）由（1）知当2n ≥时，2

(44)2

(1)2n n

n b a a -=+=+，所以2

21(1)

(1)2(2)

n n a n a a n n +=?=?+-≥?，所以数列{}n a 为2a+1，4a ，8a-1，16a ，32a+7，……显然最小项是前三项中的一项。当1(0,)4

a ∈时，最小项为8a-1；

当14a =

时，最小项为4a 或8a-1；当11(,)42a ∈时，最小项为4a ； 当1

2a =时，最小项为4a 或2a+1； 当1

(,)2

a ∈+∞时，最小项为2a+1。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

【例2】已知数列{}n a 中12a =

，11)(2)n n a a +=+，1

23n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，134

23

n n n b b b ++=

+，1

23n =，，，…，

43n n b a -<≤，1

23n =，，，…．

2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=

也就是说，当1n k =+时，结论成立．

43n n b a -<≤，1

23n =，，，…． 【点评】 本题考查等差、等比数列的基本运算和错位相减法求和的技巧以及方程意识在解题中的作用.

属于中档题，是高考中常见类型.在数列求和中常见的方法有公式法、分组法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等，方法的选择由数列通项公式的特点来决定. 考点二：求数列的通项与求和

【例3】2010宁夏、设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S

解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+

21233(222)2n n --=++++ 2(1)12n +-=。而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。

（Ⅱ）由212n n n b na n -==?知35211222322n n S n -=?+?+?++? ① 从而 23572121222322n n S n +?=?+?+?++? ②

①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-?=++++-? 。即211

[(31)22]9

n n S n +=

-+ 【例4】2010山东、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =

2

11

n a -(n ∈N *

)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

112721026

a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n

S =n(n-1)

3n+22?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

2

1

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)

?=111(-)4n n+1?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n

4(n+1)

，

即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

考点三：数列与不等式的联系

【例5】2010大纲全国I 、已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==-

.（Ⅰ）设51,22

n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技

能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

（Ⅱ）12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得 用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，211

1

a c a a =->，命题成立；

【点评】 考查数列的相关知识，具有一定难度，与不等式的证明相结合，带有一定的技巧性.

【例6】2010.重庆、 在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *

∈），其中实数0≠c .

（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*

∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.

【命题意图】本题主要考查数列的定义、数列通项公式、数学归纳法、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式1()n n a pa f n +=+（p ，q 为常数）求通项公式. 【解析】（Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=?+==2

2

2

2

121)12(33,1， 23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=?+=， 34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=?+=，

猜测*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.

下用数学归纳法证明.

当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，

)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k k

k k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(，

综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*

∈N n 都成立.

解法二：由原式得

)12(11++=++n c a c a n n n n . 令n

n n c

a b =，则)12(,1

11++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有

112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---

c n n 13)32()12(+

++-+-= c

n 1

12+-=，

因此12)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n . 又当1=n 时上式成立. 因此*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.

（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得 221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，

解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ， 因02

2>-k c

，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.

记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.

（ⅰ）当02

=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.

（ⅱ）当02

<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(

（ⅲ）当02

>-c c 即0c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴

)

1(21

c x -=

必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.

所以要使0)(>k f 对*

∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可. 由013)1(2

>-+=c c f

解得6131--<

c 或6

13

1+->c . 结合0c 得6

13

1+-

c . 综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6

13

1,(+∞+-

-∞ . 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。 考点四：数列与函数、向量等的联系

【例7】2010 湖南、数列{}*

()n a n ∈N 中，1a a =，1n a +是函数322211

()(3)332

n n n f x x a n x n a x =

-++的极小值点.（Ⅰ）当a =0时，求通项n a ；（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：易知222()(3)3n n n f x x a n x n a '=-++=2(3)().n x a x n --令)0n f x '(=，得13n x a =，22x n =. （1）若23n a n <，则当3n x a <时，)0n f x '(>，)n f x (单调递增；当23n a x n <<时，)0n f x '(<，)n f x (单调递减；当2

x n >时，)0n f x '(>，)n f x (单调递增.故)n f x (在2

x n =时取得极小值. （2）若23n a n >，仿（1）可得，)n f x (在3n x a =时取得极小值. （3）若23n a n =，则)0n f x '(≥，)n f x (无极值.

（Ⅰ）当a =0时，10a =，则2131a <，由（1）知，2211a ==.因22332a =<，则由（1）知，2324a ==.因为233123a =>，则由（2）知，43334a a ==?.又因为243364a =>，则由（2）知，254334a a ==?.由此猜测：当n ≥3时，343n n a -=?.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，23n a n >. 事实上，当n =3时，由前面的讨论知结论成立.

假设当n =k （k ≥3）时，23k a k >成立，则由（2）知，213k k a a k +=>，从而

22213(1)3(1)k a k k k +-+>-+=2(2)21k k k -+->0.所以213(1)k a k +>+.

故当n ≥3时，23n a n >成立.于是由（2）知，当n ≥3时，13n n a a +=，而34a =，因此343n n a -=?.综上所述，当a =0时，10a =，21a =，343n n a -=?（n ≥3）.

（Ⅱ）存在a ，使数列{}n a 是等比数列.事实上，由（2）知，对任意的n ，都有23n a n >，则13n n a a +=.即数列{}n a 是首项为a 公比为3的等比数列，且13n n a a -=?.

而要使2

3n a n >，即2

3n

a n ?>对一切*

n ∈N 都成立，只需23

n n a >对一切*

n ∈N 都成立.

记2

3n n n b =，则113b =，249b =，313b =，….

令2

3

x x y =，则21(2l n 3)3x y x x '=-<2

1(2)3x x x -.因此，当x ≥2时，0y '<，从而函数23

x x y =在[2,)+∞上为单调递减.故当n ≥2时，数列{}n b 单调递减，即数列{}n b 中最大的项为249b =

.于是当4

9

a >时，必有2

3

n n a >.这说明，当4(,)9a ∈+∞时，数列{}n a 是等比数列.

当49a =

时，可得149a =，243a =.而234a ==2

2，由（3）知2()f x 无极值，不合题意. 当14

39

a <<时，可得1a a =，23a a =，34a =，412a =，…，数列{}n a 不是等比数列. 当13a =时，可得2

311a ==，由（3）知1()f x 无极值，不合题意.

当1

3

a <时，可得1a a =，21a =，34a =，412a =，…，数列{}n a 不是等比数列.

综上所述，存在a ，使数列{}n a 是等比数列，且a 的取值范围为4(,)9

+∞.

【例8】已知数列{}n a 中，11a =，()

*

1122(...)n n na a a a n N +=+++∈．

（1）求234,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）设数列{}n b 满足2

1111,2n n n k

b b b b a +=

=+，求证：1()n b n k <≤ 分析：条件中有类似于前n 项和的形式出现，提示我们应该考虑a n ＝S n －S n －1(n ≥2)

因此：

121111111111

()...()2k k k k k b b b b b b k k --+=-++-+>-+=

所以11

k k

b k <

<+ ， 所以1()n b n k <≤ 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中

1211

111111()...()k k k b b b b b b -=-++-+ ， 这种拆分方法是数学中较高要求的变形. 考点五：数列与解析几何的联系

【例9】2010 安徽、设1C ,2C ,…,n C ,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都

与直线y x =

相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列.(Ⅰ)证明：{}n r 为等比数列； (Ⅱ)设11r =，求数列{}n

n r 的前n 项和.

本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理论证能力. 解：(Ⅰ)

将直线3y x =

的倾斜角记为θ

，则有tan 3

θ=

，1sin 2θ=. 设n C 的圆心为(,0)n λ，则由题意知

1

2

n

n

r λ=

，得2n n r λ=；同理112n n r λ++=. 从而1112n n n n n r r r λλ+++=++=，将2n n r λ=代入，解得13n n r r +=.故{}n r 为公比3q =等比数列. (Ⅱ)由于11r =，3q =，故13n n r -=，从而

13n n

n

n r -=?， 记1212n n

n

S r r r =

++???+，则有111233n n S n --=+?+???+?， ① 1211323(1)333

n n n

S n n ----=?+?+???+-?+? ② ①-②，得1212133333n n

n S n ----=+++???+-?13333()3222

n n n n n ----=-?=-+? ∴119139(23)3()34224

n

n n n S n ---+?=-+?=.

【例10】2010广东、已知曲线,:2nx y C n =点)0,0)(,(>>n n n n n y x y x P 是曲线n C 上的点 （ ,2,1=n ）．（1）试写出曲线n C 在点n P 处的切线n l 的方程，并求出n l 与y 轴的交点n Q 的坐标； （2）若原点)0,0(O 到n l 的距离与线段n n Q P 的长度之比取得最大值，试求点n P 的坐标),(n n y x ； （3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，n x 与n y 是满足（2）中条件的点n P 的坐标．

证明：

1

|(1,2,)s

n s =<=∑

【命题意图】考查抛物线、切线方程、不等式、点到直线的距离和导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和数学探究能力 【解析】：（1）∵()2

2nx nx '=，∴曲线n

C 过点(,)n

n

n

P x y 的切线n

l 的方程为()22n

n n y nx nx x x -=-，即

220n n

nx x y nx --=．令0x =，得2n

y nx =-，∴点n

Q 的坐标为()20,n

nx -．

（2）原点()0,0O 到n l 的距离为(

)2n d x =

，n n P Q =

()22

21144n n n n n n n

d x nx n P Q n x n x x ==++，∴2

14n n n x x =，即12n x n =时，()n n n d x P Q 取得最大值14． 故所求点n P 的坐标为11,24n n ??

???

． （3）由（2）知12n x n =，1

4n y n =，于

是1s

s

n n ===

1

1

1

s

s

s

n n n ====<=

现证明

1

s

n =<(1,2,)s =

．1

1

s

s

s

n n n ===<=∑

)

11=+

+

++

=

【突破训练】

1、重庆文、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）因为{}n a 是首项为119a =，公差为2d =-的等差数列，所以192(1)212n a n n =--=-，

n S 2(1)

19(2)202

n n n n n -=+

-=-+ （Ⅱ）由题意得13n n n b a --=所以13n n n b a -=+ 则0

1

1

011

12333

333

n n n n n T a a a S --=++++++=++++ 2

213312020132

n n n n n n --=

-+=-+-

2、全国I 文、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .

解析 设数列{}n a 的公差为d ，依题设有21321232(1)12a a a a a a ?+=?++=?即222

1112

1224a a d d a a a d ?+-+=?+=?

解得11,4a d ==或18,4a d ==-故1

(31)2

n S n n =

-或2(5)n S n n =- 3、课标全国Ⅰ、设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n a 的前

n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。

【解析】：（1）由n a = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，10a =-9得112599a d a d +=??+=-?解得192a d =??=-?

数列{n a }的通项公式为a n =11-2n 。 (2)由(1) 知n S =na 1+

(1)2

n n -d=10n-n 2因为n S =-(n-5)2

+25. 所以n=5时，n S 取得最大值。 4、北京文、已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d 。因为366,0a a =-= 所以解得110,2a d =-= 所以10(1)2212n a n n =-+-?=-

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q 因为212324,8b a a a b =++=-=-所以824q -=-

即q =3所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q

-==--

5、山东文、 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令2

1

1

n n b a =

-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有11

27

21026a d a d +=??+=?，

解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

21

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?

=111(-)4n n+1

?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1)

。

6、福建文、数列{n a } 中a ＝13，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝1

13n +??

?

??

（n ∈*

N ） ( I ) 求数列{n a }的

通项公式n a 以及前n 项和n S ；（II ）若S 1, t ( S 1+S 2 ), 3( S 2+S 3 ) 成等差数列，求实数t 的值。 本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归

与转化思想.满分12分.

解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =（13）n + 1得111()3

n n a ++= (n ∈N *)；

又113a =，故1()3n n a =(n ∈N *)从而11[1()]

113

3[1()]12313

n n n s ?-==--(n ∈N *). (Ⅱ)由(Ⅰ)可得113S =

，249S =，31327

S =.从而由S 1，t （S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：141314

3()2()392739

t +?+=?+，解得t=2. 7、2010四川文、已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 解：(1)设{a n }的公差为d 由已知得11336

8284

a d a d +=??

+=-?解得a 1＝3,d ＝－1故a n ＝3－(n －1)(－1)＝4－n 5分

(2)由(1)的解答得，b n ＝n ·q n －1

，于是S n ＝1·q 0

＋2·q 1

＋3·q 2

＋……＋(n －1)·q n －1＋n ·q n

.

若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋3·q 3＋……＋(n －1)·q n ＋n ·q n ＋1

.

将上面两式相减得到(q －1)S n ＝nq n

－(1＋q ＋q 2

＋……＋q n －1) w ＝nq n

－1

1

n q q --

于是S n ＝12

(1)1

(1)n n nq n q q +-++-若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋……＋n ＝

(1)2n n +

所以，S n ＝12

(1)1

(1)(1)

(1)(1)2

n n nq n q q q n n q +?-++≠??-?+?=??……12分

8、2010江西文、正实数数列{}n a 中,121,5a a ==,且2

{}n a 成等差数列.(1) 证明数列{}n a 中有无穷多项

为无理数；(2)当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a <的所有整数项的和. 【解析】考查等差数列及数列分组求和知识

证明：（1）由已知有：2124(1)n a n =+-

，从而n a =

方法一：取21

124

k n --=

，则n a =*

k N ∈）

用反证法证明这些n a 都是无理数.

假设n a =为有理数，则n a 必为正整数，且24k n a >，故

241k n a -≥.241k n a ->,与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾，

所以n a =*

k N ∈）都是无理数，即数列{}n a 中有无穷多项为无理数;

方法二：因为2

1124,()n a n n N +=+∈，当n 的末位数字是3,4,8,9时，

124n +的末位数字是3和7，它

不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1n a +n 有无穷多，故这种无理项1n a +也有无穷多．

(2) 要使n a 为整数，由(1)(1)24(1)n n a a n -+=-可知：1,1n n a a -+同为偶数，且其中一个必为3的倍

数，所以有16n a m -=或16n a m +=当61n a m =+时，有2

236121112(31)

n a m m m m =++=++（m N ∈）又(31)m m +

必为偶数，所以61n a m =+（m N ∈）满足2

124(1)n a n =+-即(31)

12m m n +=

+

（m N ∈）时，n a 为整数；同理*61()n a m m N =-∈有2

236121112(31)n a m m m m =-+=+-（*

m N ∈） 也满足2124(1)n a n =+-，即(31)

12

m m n -=

+（*m N ∈）时，n a 为整数；显然*61()n a m m N =-∈和61n a m =+（m N ∈）是数列中的不同项；所以当(31)12m m n +=

+（m N ∈）和(31)

12

m m n -=+（*

m N ∈）时，n a 为整数；由61200n a m =+<（m N ∈）有033m ≤≤，由61200

n a m =-<（*

m N ∈）

有133m ≤≤.设n a 中满足200n a <的所有整数项的和为S ，则(51197)(1719)S =+++++++

51971199

3334673322++=

?+?=

9、2010陕西、已知

是公差不为零的等差数列,

成等比数列

.

求数列的通项;

求数列的前n 项和

解由题设知公差

由成等比数列得

解得(舍去)

故

的通项

,

由等比数列前n 项和公式得

10、2010湖北、已知数列{}n a 满足: 11

2a =

, ()()11

312111n n n n a a a a ++++=--, 01a a n n <+；数列{}n b 满足：n b =21n a +-2n a （n ≥1）.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;(Ⅱ)证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。（满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知，()2

212113n n a a +-=

-令2

1n n c a =- 则123

n n c c += 又2

11314c a =-=， 则数列{}n c 是首项为134c =，公比为23的等比数列，即1

3243n n c -??= ???

故1

1

22

3232114343n n n n a a --????-=?=- ?

?

??

??

又 1102a =>，10n n a a +<，故(

)1n n a -=-

（Ⅱ）假设数列{}n b 中的存在三项r s t b ,b ,b （r s t <<）按某种顺序成等差数列.，由于数列{}n b 是首项为114

b =

，公比为2

3的等比数列，于是有r s t b b b >>，则只可能有2s r t b b b =+成立。

∴1

1

1

1212122434343s r t ---??

?????=+ ?

? ?

????

??

两边同乘1132t t

-- ，化简得22323s r t s t r t r ----?=+ 由于r s t <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不能成立，导致矛盾。

故数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列

11、2010浙江文、设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数{a n }的前n 项和为n s ，满足65s s ?＋15＝0.（Ⅰ）若S 5＝5.求6s 及a 1;（Ⅱ）求d 的取值范围.

【解析】(Ⅰ)解：由题意知6s =5-15

S =-3,6a =56s s - =-8所以???-=+=+8551051

1d a d a ,解得a 1=7所以6s =-3,a 1=7

(Ⅱ)解：因为65s s ?+15=0,所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0,

即2a 12

+9da 1+10d 2

+1=0.故(4a 1+9d)2

=d 2

-8. 所以d 2

≥8.故d 的取值范围为d ≤

d ≥

【命题意图】本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决

问题的能力.

12、2010陕西文、已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }

的通项;（Ⅱ）求数列{2an

}的前n 项和S n .

解（Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得

121d +＝1812d

d

++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n .

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2.

13、2010上海市文、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*

n N ∈(1)证明：{}1n a -是

等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

【命题意图】本题主要考查等比数列的定义、数列求和公式、不等式的解法以及方程和函数思想.本题的实质是：已知递推公式1n n a pa q +=+（p ，q 为常数）求通项公式.

【解析】（1）由已知得111585S a =--，∴114a =-，当2n ≥时，585n n S n a =--，

14、2010天津

文、在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明456

a ,a ,a 成等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记222

2323n n

n T a a a =+++ ，

证明n 32n T 2n 2<-≤≥（2）. 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，

考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。

【解析】（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=，

65618a a =+=。从而

65543

2

a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。 （II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈

所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-

()441...41k k =+-++? ()21,*k k k N =+∈.

由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.

所以数列{}n a 的通项公式为22

1

,2

,2

n n n a n n ?-??=????为奇数为偶数

或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。 （III ）证明：由（II ）可知()2121k a k k +=+，222k a k =，以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n 为偶数时，设n=2m ()*m N ∈若1m =，则2

222n

k k

k n a =-=∑，