第2讲函数的定义域和值域(教师版)

第2讲 函数的定义域和值域

1．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (3)一次函数、二次函数的定义域为R ．

(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R ．

(5)y ＝tan x 的定义域为{x |x ≠k π＋π

2

，k ∈Z }．

2．基本初等函数的值域

(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R ． (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：

当a ＞0时，值域为?

?????

y |y ≥

4ac －b 24a ； 当a ＜0时，值域为?

?????

y |y ≤

4ac －b 24a ． (3)y ＝k

x

(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．

(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}． (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R ． (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1，1]． (7)y ＝tan x 的值域是R ． [做一做] 1．(2015·浙江杭州模拟)函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4)

解析：选C.∵4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16， ∴0≤y ＜4.

2．函数y ＝x ＋1＋1

2－x

的定义域为________．

答案：[－1，2)∪(2，＋∞)

1．求函数定义域应注意的四点

(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．求函数值域的六种基本方法

(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．

(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．

(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d

ax ＋b

(a ≠0)的函数可用此法求值域．

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．

(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域． [做一做]

3．函数y ＝1

log 2（x －2）

的定义域是( )

A ．(－∞，2)

B ．(2，＋∞)

C ．(2，3)∪(3，＋∞)

D ．(2，4)∪(4，＋∞) 答案：C

4．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)

考点一__求函数的定义域(高频考点)____________

函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度：

(1)求分式型函数的定义域； (2)求无理型函数的定义域； (3)求对数型函数的定义域； (4)求抽象函数的定义域．

(1)(2015·广东惠州第二次调研)函数f (x )＝log 2(3x －1)的定义域为( )

A ．[1，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．[0，＋∞)

D ．(0，＋∞)

(2)函数f (x )＝1－|x －1|

x －1

的定义域为____________．

(3)(2015·山东莱芜模拟)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝f （2x ）

log 12

（2－x ）

的定

义域为( )

A.????32，＋∞

B.????32，2

C.????32，＋∞

D.???

?12，2 [解析] (1)要使函数有意义，必须满足3x －1>0，解得x >0，故选D.

(2)由?????1－|x －1|≥0x ≠1??

????0≤x ≤2x ≠1?0≤x <1或1

(3)要使函数y ＝

f （2x ）

log 12（2－x ）有意义，需满足?????3≤2x ≤6

log 12（2－x ）>0??????32≤x ≤30<2－x <1?32≤x <2.

故选B.

[答案] (1)D (2)[0，1)∪(1，2] (3)B

本例(2)变为函数f (x )＝1－|x －1|

a x －1

(a >0且a ≠1)，结果如何？

解：由?????1－|x －1|≥0a x －1≠0??

????0≤x ≤2x ≠0?0

[规律方法] 简单函数定义域的类型及求法：

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．

1.(1)(2013·高考山东卷)函数f (x )＝1－2x ＋1

x ＋3

的定义域为( )

A ．(－3，0]

B ．(－3，1]

C ．(－∞，－3)∪(－3，0]

D ．(－∞，－3)∪(－3，1]

(2)函数y ＝lg （2－x ）12＋x －x 2＋(x －1)0

的定义域是__________． (3)(2015·广东佛山模拟)已知f (x 2－1)的定义域为[0，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__________．

解析：(1)由题意知?

????1－2x

≥0，

x ＋3>0，解得－3

A.

(2)由?????2－x >0，12＋x －x 2

>0x －1≠0，得?????x <2，

－3

所以－3

3

(3)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9， ∴－1≤x 2－1≤8，

∴函数y ＝f (x )的定义域是[－1，8]．

答案：(1)A (2){x |－3

求下列函数的值域． (1)y ＝x 2

＋2x (x ∈[0，3])；

(2)y ＝1－x 2

1＋x 2

；

(3)y ＝x ＋4

x

(x ＜0)；

(4)f (x )＝x －1－2x . [解] (1)(配方法)

y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，

∵y ＝(x ＋1)2－1在[0，3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，

即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])的值域为[0，15]．

(2)y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x

2－1，∵1＋x 2

≥1， ∴0＜2

1＋x 2

≤2.

∴－1＜2

1＋x 2

－1≤1.即y ∈(－1，1]．

∴函数的值域为(－1，1]．

(3)∵x ＜0，∴x ＋4

x

＝－????－x －4x ≤－4， 当且仅当x ＝－2时等号成立， ∴y ∈(－∞，－4]．

∴函数的值域为(－∞，－4]． (4)法一：(换元法) 令1－2x ＝t ，

则t ≥0且x ＝1－t 2

2

，

于是y ＝1－t 22－t ＝－1

2

(t ＋1)2＋1，

由于t ≥0，所以y ≤1

2

，故函数的值域是????－∞，12. 法二：(单调性法)

f (x )的定义域为????－∞，1

2，容易判断f (x )为增函数， 所以f (x )≤f ????12＝1

2，

即函数的值域是?

???－∞，12. [规律方法] 求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；(4)分离常数法；(5)单调性法；(6)数形结合法．在求函数值域时，除了上述常用的方法外，还有很多方法，应注意选择最优的解法．总之，求函数值域的关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．

2.求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；

(2)y ＝x 2－x

x 2－x ＋1

；

(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．

解：(1)法一：y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4

x ＋1

.

因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1

≠1，

即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．

法二：由y ＝x －3

x ＋1，得yx ＋y ＝x －3.

解得x ＝y ＋3

1－y

，所以y ≠1，

即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．

(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1

，

∵x 2

－x ＋1＝????x －122

＋34≥34

， ∴0＜1x 2－x ＋1≤4

3，

∴－1

3

≤y ＜1，

即函数的值域为????－1

3，1. (3)y ＝log 3x ＋1

log 3x

－1，

令log 3x ＝t ，

则y ＝t ＋1

t

－1(t ≠0)，

x ＞1，t ＞0，y ≥2t ·1

t

－1＝1，

当且仅当t ＝1

t

即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立，

故函数的值域是[1，＋∞)．

考点三__与函数定义域、值域有关的参数问题__

若函数y ＝mx －1

mx 2＋4mx ＋3

的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )

A ．(0，34]

B ．(0，3

4)

C ．[0，34]

D ．[0，3

4

)

[解析] 要使函数的定义域为R ，则mx 2

＋4mx ＋3≠0恒成立．

①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立；②当m ≠0时，要使不等式恒成立，须?

????m >0，Δ＝（4m ）2－4×m ×3<0，即?????m >0m （4m －3）<0或?????m <0，Δ<0，即?????m <0，m （4m －3）<0.解得0

4

.故选D.

[答案] D

[规律方法] 求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．

3.已知函数f (x )＝4

|x |＋2

－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0，1]，则满

足条件的整数数对(a ，b )共有________个．

解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4

|x |＋2

≤2，得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2，0)，(－

2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)，共5个．

答案：5

,[学生用书P 18])

考题溯源——求函数的定义域

(2014·高考山东卷)函数f (x )＝

1

（log 2x ）2－1

的定义域为( )

A.???

?0，12 B ．(2，＋∞) C.???

?0，1

2∪(2，＋∞) D.???

?0，1

2∪[2，＋∞) [解析] 由题意知?

????x >0，（log 2x ）2>1，解得x >2或0

[考题溯源] 本题源于教材人教A 必修1P 73，练习第2题，“求下列函数的定义域．(2)y ＝1log 2x ，(4)y ＝log 3x ”．

1.函数f (x )＝ln （x ＋1）

－x 2－3x ＋4

的定义域为__________．

解析：要使函数有意义，必须且只需?????x ＋1>0－x 2

－3x ＋4>0，即?

????x >－1（x ＋4）（x －1）<0，解不等式组得－1

因此函数f (x )的定义域为(－1，1)． 答案：(－1，1)

2．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．

解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，

因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案：[－1，0]

1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1 D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1

解析：选C.当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R .

2．函数f (x )＝10＋9x －x 2

lg （x －1）

的定义域为( )

A ．[1，10]

B ．[1，2)∪(2，10]

C ．(1，10]

D ．(1，2)∪(2，10] 解析：选D.要使函数有意义，

则x 需满足?????10＋9x －x 2

≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即?????（x ＋1）（x －10）≤0，①

x >1，x ≠2，

解①得－1≤x ≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]．故选D. 3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2，2]

解析：选C.－x 2＋4x ＝－(x －2)2

＋4≤4， 0≤－x 2＋4x ≤2，

－2≤－－x 2＋4x ≤0，

0≤2－－x 2＋4x ≤2，所以0≤y ≤2.

4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2 016]，则函数g (x )＝f （x ＋1）

x －1

的定义域是( )

A ．[－1，2 015]

B ．[－1，1)∪(1，2 015]

C ．[0，2 016]

D ．[－1，1)∪(1，2 016] 解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0，2 016]可知f (t )中0≤t ≤2 016，故要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域

为[－1，2 015]．所以函数g (x )有意义的条件是?

????－1≤x ≤2 015，

x －1≠0解得－1≤x <1或1

故函数g (x )的定义域为[－1，1)∪(1，2 015]．

5．设函数g (x )＝x 2

－2(x ∈R )，f (x )＝?????g （x ）＋x ＋4，x

，则f (x )的值域是( )

A ．[－9

4，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)

C ．[－94，＋∞)

D ．[－94

，0]∪(2，＋∞)

解析：选D.令x 0，解得x <－1或x >2.令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解

得－1≤x ≤2.故函数f (x )＝?????x 2＋x ＋2（x <－1或x >2），

x 2－x －2（－1≤x ≤2）.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；

当－1≤x ≤2时，函数f (12)≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0.故函数f (x )的值域是[－9

4

，0]∪(2，＋

∞)．

6．下表表示

解析：答案：{2，3，4，5}

7．已知函数f (x )＝1

x ＋1

，则函数f [f (x )]的定义域是__________．

解析：根据题意可得f [f (x )]＝1

1

x ＋1＋1，

要使函数有意义，只需????

?x ＋1≠0，

1x ＋1

＋1≠0，

解得x ≠－1且x ≠－2，故函数f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－1且x ≠－2}． 答案：{x |x ≠－1且x ≠－2}

8．(2015·温州模拟)若函数f (x )＝1

x －1

在区间[a ，b ]上的值域为????13，1，则a ＋b ＝________． 解析：∵由题意知x －1＞0，又x ∈[a ，b ]，

∴a ＞1.则f (x )＝1

x －1在[a ，b ]上为减函数，

则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝1

3

，

∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：6

9．若函数f (x )＝1

2

x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b ＞1)，求a ，b 的值．

解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －1

2

，

∴其对称轴为x ＝1.

即函数f (x )在[1，b ]上单调递增．

∴f (x )min ＝f (1)＝a －1

2＝1，①

f (x )max ＝f (b )＝1

2

b 2－b ＋a ＝b .②

又b >1，由①②解得?????a ＝32，

b ＝3.

∴a ，b 的值分别为3

2

，3.

10．已知函数f (x )的值域为[38，4

9

]，求函数g (x )＝f (x )＋1－2f （x ）的值域．

解：∵38≤f (x )≤49，

∴13≤1－2f （x ）≤12

， 令t ＝1－2f （x ），则f (x )＝1

2

(1－t 2)，

令y ＝g (x )，

∴y ＝－1

2

(t 2－1)＋t .

∴当t ＝13时，y 有最小值79，当t ＝12时，y 有最大值7

8

.∴g (x )的值域为????79，78.

1．(2015·河南漯河模拟)已知A ，B 是非空数集，定义A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ?A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ⊕B ＝( )

A ．[0，3)

B ．(－∞，3)

C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)

D ．[0，3]

解析：选B.分析得到A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，所以A ⊕B ＝(－∞，3)．

2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤1成立，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“亲密函数”，区间[a ，b ]称为“亲密区间”．若

f (x )＝x 2

＋x ＋2与g (x )＝2x ＋1在[a ，b ]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是( )

A ．[0，2]

B ．[0，1]

C ．[1，2]

D ．[－1，0] 解析：选B.

在同一坐标系中作出函数f (x )及g (x )的图象，如图所示．

由题意作出与g (x )＝2x ＋1的距离为1的平行线y ＝2x ＋2的图象，由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以是[0，1]．

3．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数f (x ＋2)的定义域为________，值域为________．

解析：由已知可得x ＋2∈[0，1]，故x ∈[－2，－1]，所以函数f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]．函数f (x )的图象向左平移2个单位得到函数f (x ＋2)的图象，所以值域不发生变化，所以

函数f (x ＋2)的值域仍为[1，2]．

答案：[－2，－1] [1，2]

4．若函数y ＝kx 2－6kx ＋（k ＋8）的值域为[0，＋∞)，则k 的取值范围是________． 解析：当k ＝0时，原函数可化为y ＝8＝22，此时值域不是[0，＋∞)，从而k ≠0. 当k ≠0时，想满足题意，则有 ?

????k >0，Δ＝（－6k ）2

－4×k ×（k ＋8）≥0. 解得k ≥1，从而k 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)

5．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.

(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；

(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0

?2a 2－a －3＝0?a ＝－1或a ＝3

2

.

(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，

∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0?－1≤a ≤3

2

.

∴a ＋3＞0.

∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2

＝－????a ＋322＋174

????a ∈????－1，32. ∵二次函数g (a )在?

???－1，3

2上单调递减， ∴g ????32≤g (a )≤g (－1)，即－194

≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为???

?－19

4，4. 6．(选做题)已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1

x ＋3

，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a ＞0，令

函数f (x )＝g (x )·h (x )．

(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域；

(2)当a ＝1

4

时，求函数f (x )的值域．

解：(1)f (x )＝x ＋1

x ＋3

，x ∈[0，a ](a ＞0)．

(2)当a ＝1

4

时，函数f (x )的定义域为????0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈???

?1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4

＝1

t ＋4t －2，

当t ＝4

t

时，t ＝±2?????1，32， 又t ∈????1，32时，t ＋4

t

单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈????13，613. 即函数f (x )的值域为????

13，613.