高考数学一轮复习 人教版 不等式推理证明第六单元 课时作业 第39讲直接证明与间接证明
课时作业第39讲直接证明与间接证明
时间/30分钟分值/55分
基础热身
1.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.用反证法证明命题“若a∈R,则函数y=x3+ax+b至少有一个零点”时,正确的反设是() A.若a∈R,则函数y=x3+ax+b没有零点 B.若a∈R,则函数y=x3+ax+b至多有一个零点 C.若a∈R,则函数y=x3+ax+b至多有两个零点 D.若a∈R,则函数y=x3+ax+b恰好有一个零点 3.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sin C,N=cos A+2cos B,则 () A.M B.M=N C.M>N D.M,N的大小关系不确定 4.使用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,则- ①a-b>0;②a-c>0; ③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0. 能力提升 5.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a, 求证与中至少有一个不小于,用反证法证明时可假设≥,且≥.以下说法正确的是() A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确,②的假设错误 D.①的假设错误,②的假设正确 6.等差数列{a n}的前n项和是S n,公差d不等于零,若a2,a3,a6成等比数列,则() A.a1d>0,dS3>0 B.a1d>0,dS3<0 C.a1d<0,dS3>0 D.a1d<0,dS3<0 7.[2018·葫芦岛二模]王老师班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑.在某次运动会上,他们四人要参加一场4×100米接力赛,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话: 甲:我不跑第一棒和第二棒; 乙:我不跑第一棒和第四棒; 丙:我也不跑第一棒和第四棒; 丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒. 王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.已知x>0,y>0且y-x>1,则-,的值满足() A.-,都大于1 B.-,中至少有一个小于1 C.-,都小于1 D.以上说法都不正确 9.[2018·北京朝阳区期末]伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助图K39-1中的两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的一种“图形证明”. ①② 图K39-1 证明思路: (1)图①中白色区域面积等于图②中白色区域面积; (2)图①中阴影区域的面积为ac+bd,图②中,设∠BAD=θ,则图②中阴影区域的面积可表示为(用含a,b,c,d,θ的式子表示); (3)由图中阴影区域的面积相等,即可导出不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),当且仅当a,b,c,d 满足条件时,等号成立. 难点突破 10.(5分)[2018·长春期中]设m,n,t都是正数,则m+,n+,t+这三个数() A.都大于4 B.都小于4 C.至少有一个大于4 D.至少有一个不小于4 11.(5分)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一条轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K39-2所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若 x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是() 图K39-2 A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数 B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数 C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数 D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数 专题7.3 基本不等式 【核心素养分析】 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】 知识点一 基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋ b 2 2 (a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频 考点一 利用基本不等式求最值 【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-> 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明 一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分) 1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为 __________________. 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ?平面α，直线a ?平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可). (1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误 4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= . 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2 )1(1-+=成立.类比上述 性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________. (1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设?????≥-<=-2 ),1(log 22)(2 21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥?+++= x a x a x x x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且 c a m c b b a -≥ -+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1 )(1(b b a a ++ 的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数” 或“负数). 13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________. 14、下面使用类比推理正确的序号是__________. (1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +?=?+?”； (2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”； (3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 §7.4 基本不等式 2014高考会这样考 1.利用基本不等式求最值、证明不等式；2.利用基本不等式解决实际问题． 复习备考要这样做 1.注意基本不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用． 1． 基本不等式≤ab a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2． 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)． b a a b (3)ab ≤ 2 (a ，b ∈R )． (a ＋b 2)(4) ≥2 (a ，b ∈R )． a 2＋ b 22 (a ＋b 2)3． 算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4． 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2.(简记：积定和最p 小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)p 2 4[难点正本 疑点清源] 1． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2． 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用 就是ab ≤ ；≥ (a ，b >0)逆用就是ab ≤ 2 (a ，b >0)等．还要注意“添、 a 2＋ b 2 2 a ＋b 2ab (a ＋b 2)拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 3． 对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋(m >0)的单调性． m x 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 答案 81 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2， xy 所以xy ≤ 2 ＝81， (x ＋y 2)当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 2． 已知t >0，则函数y ＝ 的最小值为________． t 2－4t ＋1 t 答案 －2 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明 1.编写意图 (1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础. (2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题. (3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开. 2.教学建议 (1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评. (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程. (3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高. (4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识. 3.课时安排 本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务. 第33讲不等关系与不等式 考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 考点考查方向考例考查热度 不等式的性 比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质 不等式性质 求参数的值、范围★☆☆的应用 真题再现 ■[2017-2013]课标全国真题再现 [2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则() 课时跟踪训练(三十八) [基础巩固] 一、选择题 1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( ) A.2390 B.9923 C.815 D.730 [解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730. 选D. [答案] D 2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规 律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.715 [解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列 到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78， 69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A. [答案] A 3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 [解析]∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625. [答案] B 4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形 如以下形式的等式具有“穿墙术”：22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15， 55 24＝5 5 24，…，则按照以上规律，若9 9 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝ () A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]由22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15，5 5 24＝5 5 24，…， 可得若99 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝9 2－1＝80，故选D. [答案] D 5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是() A．甲丙B．乙丁 C．丙丁D．乙丙 [解析]如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D. [答案] D 6．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)， 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a1 1＝ a2 2＝ a3 3＝ a4 4＝k， 第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2， 当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2， 当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立； 当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2， ￥ 当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断． ∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ， 其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1， 所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8， 当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立， 所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！ 答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14， 得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ， 第六章不等式推理与证明 (时间120分钟，满分150分) 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1} 解析：■/ x — 1> 0, /? x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B 2 .下列命题中的真命题是 答案: x w 0 x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W — 1. 答案：D 2x + 1 4 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是 3 — x 1 A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3} B . {x|2v x v 3} 1 1 C . {x|—v x v 2} D . {x|— 1v x v — ^} 解析：T I2X — 1|v 3, ??? — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0, (2x + 1)(x — 3) > 0, 3 — x … 1 1 …x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2). {x|x > 1} C . {x|x > 1 或 x =— 1} {x|x >— 1 或 x = 1} A 门. .右 C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2 解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0? 2 2 B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2 a 2> b 2. x 2, x w 0 3 .已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0 若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m ) C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m ) 解析：将原不等式转化为: x > 0 检测 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： (2019?上海7)若x ，y R +∈，且 123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】 解：132y x = +… ∴298 y x =?； 故答案为：98 (2019?上海5)已知x ，y 满足002x y x y ????+? ……?，则23z x y =-的最小值为 ． 【解答】解：作出不等式组002x y x y ????+? ……?表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13 倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-． (2019?浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+??--??+? …?…则32z x y =+的最大值是( ) A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??--??+? …?…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122 y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10． 故选：C ． (2019?天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ． 【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03 x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213 x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3 -； 故答案为：2(1,)3 -； (2019?天津文理13)设0x >，0y >，25x y += 的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0 y >，25x y +=， 则===； 由基本不等式有： = 当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =??=?或232x y =???=??时；等号成立， 故答案为： 课时达标 第36讲-不等式、推理与证明 一、选择题 1．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数 B ．自然数a ，b ，c 都是偶数 C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 D 解析 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．故选D. 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0 C 解析 b 2－a c ＜3a ?b 2－ac ＜3a 2?(a ＋c )2－ac ＜3a 2?a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ?－2a 2＋ac ＋c 2＜0?2a 2－ac －c 2＞0?(a －c )(2a ＋c )＞0?(a －c )(a －b )＞0. 3．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)＞0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab ＞2b 2 D.a b ＜a ＋1b ＋1 B 解析 在B 项中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负 A 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0.高考数学复习专题 基本不等式 (文 精讲)
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
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