2018年高考仿真原创押题卷1
2018年高考仿真原创押题卷(一)
(对应学生用书第157页)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A.3 B. 5 C. 6
D.7
B [由题意得z ＝
11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )
＝12＋12i ，则|2z －3|＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝5，故选B.]
2．若a ，b 都是正数，则? ?
???1＋b a ? ????1＋4a b 的最小值为( ) 【导学号：51062386】
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
C [? ?
???1＋b a ? ??
??1＋4a b ＝1＋4a b ＋b a ＋4≥5＋2
4a b ·b
a ＝9，当且仅当2a ＝
b 时，
等号成立，所以? ?
???1＋b a ? ??
??1＋4a b 的最小值为9，故选C.]
3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )
A ．±3
B ．±1
C ．±
3
4
D ．±33
A [因为点M 到抛物线的焦点的距离为2p ，所以点M 到抛物线的准线的距离为2p ，则点M 的横坐标为3p 2，即M ? ????
3p 2，±3p ，所以直线MF 的斜率为±3，
故选A.]
4．点G 为△ABC 的重心(三角形三边中线的交点)，设GB →＝a ，GC →＝b ，则AB →
＝( )
A.32a －12b
B.32a ＋12b C ．2a －b
D ．2a ＋b
D [因为点G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0，则GA →＝－GB →－GC →
＝－a －b ，则AB →＝GB →－GA →
＝a －(－a －b )＝2a ＋b ，故选D.]
5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为
( )
图1
A ．14 B.2132 C ．22
D.2732
A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×12×2×3＋13×2×1
2×2×3＝14，故选A.]
6．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，P A ＝2，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
A [因为∠BAC ＝60°，A
B ＝A
C ＝23，所以△ABC 为边长为23的等边三角形，则其外接圆的半径r ＝23
2sin 60°＝2，则三棱锥P -ABC 的外接球的半径R ＝
r 2＋? ????
P A 22＝5，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝20π，故选A.]
7．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) 【导学号：51062387】
A.13
B.15
C.19
D.320
A [由题意得学生A 和
B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场的概率
P 1＝C 13C 13A 33A 55
＝920，其中学生C 第一个出场的概率P 2＝C 13A 33
A 55
＝320，所以所求概率
为P ＝P 2P 1
＝1
3，故选A.]
8．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )．若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1) A ．{x |x ≠±1} B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(－1,0)∪(0,1) B [设g (x )＝x 2[f (x )－1]，则由f (x )为偶函数得g (x )＝x 2[f (x )－1]为偶函数．又因为g ′(x )＝2x [f (x )－1]＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]，且2f (x )＋xf ′(x )<2，即2f (x )＋xf ′(x )－2<0，所以当x >0时，g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]<0，函数g (x )＝x 2[f (x )－1]单调递减；当x <0时，g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]>0，函数g (x )＝x 2[f (x )－1]单调递增，则不等式x 2f (x )－f (1) 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 9．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________，?R A ＝________. (1,4) (－∞，－1]∪[4，＋∞) [A ＝(－1,4)，B ＝(1,5)，所以A ∩B ＝(1,4)， ?R A ＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．] 10.? ????3x ＋1x 6的展开式中常数项为________(用数字作答)． 135 [二项式? ????3x ＋1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x ) 6－r ? ????1x r ＝36－r C r 6x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4，所以? ? ???3x ＋1x 6的展开式中常数项为32C 46＝135.] 11．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC → ＝0，则OB →·OC →＝____________，cos A ＝__________. －45 1010 [由4OB →＋5OC →＝－3OA →，|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1得(4OB →＋5OC → )2＝9OA →2，即16＋25＋40 OB →·OC →＝9，OB →·OC → ＝－45，OB →·OC →＝1×1×cos ∠BOC ＝－45，解得cos ∠BOC ＝－4 5，因为∠BOC ＝2∠A ，所以cos A ＝1＋? ?? ??－452 ＝1010.] 12. 已知变量x ，y 满足??? x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0， x ≥1， 点(x ，y )对应的区域的面积 ________，x 2＋y 2 xy 的取值范围为________． 85 ??????2，103 [不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和? ???? 135，75为顶点的三角形区域，该区域的面积为12×2×? ????135－1＝85.y x 的几何意义是可行域上的点 (x ，y )与原点连线的斜率，当(x ，y )为点? ????135，75时，? ???? y x min ＝713，当(x ，y )为点(1,3) 时，? ????y x max ＝3，所以y x ∈??????713，3，令y x ＝t ∈?????? 713，3，则x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x ＝1t ＋t ，当t ＝1时，取得最小值2，当t ＝3时，取得最大值103，故x 2＋y 2xy 的取值范围是???? ??2，103.] 13．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线的渐近线方程为________. 【导学号：51062388】 2x ±y ＝0 [由题意不妨设|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . ∵|F 1F 2|＝2c >2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ± y ＝0.] 14．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________，S n ＝________. ??? 2，n ＝12n －1，n ≥2 S n ＝? ?? 2n ，n ＝1，2n －2，n ≥2 [因为S 1＝2，所以当n ＝1时，由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1得3S 21－2a 2S 1＝a 22，解得a 2＝2.由3S 2 n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1得(S n －a n ＋1)(3S n ＋a n ＋1)＝0，又因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n －a n ＋1＝0，则当n ≥2时，有S n －1－a n ＝0，两式作差得2a n －a n ＋1＝0，所以数列{a n }从第二项起为公比为2的等比数列，即a n ＝2×2n －2＝2n －1，又因为a 1＝2不符合上式，所以a n ＝??? 2，n ＝1，2n －1，n ≥2.即S n ＝??? 2n ，n ＝1，2n －2，n ≥2. ] 15．若函数f (x )＝x 2(x －2)2－a |x －1|＋a 有四个零点，则a 的取值范围为________． ? ????? ??? ?a ??? a ＝－32 27或－10 [显然x ＝0和x ＝2为函 数f (x ) 的两个零点．当x ≠0且x ≠2时，令x 2(x －2)2－a |x －1| ＋a ＝0得a ＝x 2(x －2)2|x －1|－1＝??? x 2 (x －2)，x ≥1， －x (x －2)2，x <1，设g (x )＝ ? ?? x 2 (x －2)，x ≥1，－x (x －2)2，x <1，则由题意得直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g (x )的图象如 图所示，由图易得当a ＝－32 27或－10时，直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，即a 的取值范围为 ?????? ??? ?a ? ?? a ＝－32 27或－10 .] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知函数f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ? ?? ?? π12. (1)求b ； (2)若a ＝3，求△ABC 的面积S . [解] (1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin ? ? ???2x ＋B ＋π3， 由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π 2＋k π，k ∈Z ， 所以B ＝π 6＋k π，k ∈Z .5分 又0 ???2x ＋π2＝2cos 2x ， b ＝f ? ?? ?? π12＝ 3.7分 (2)因为B ＝π6，b ＝3，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝3 2，12分 所以A ＝π3或A ＝2π 3. 当A ＝π3时，△ABC 的面积S ＝332； 当A ＝2π3时，△ABC 的面积S ＝33 4.14分 17．(本小题满分15分)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求等比数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足 b n ＝(n ＋2)log 2a n ，求数列???? ?? 1b n 的前 n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ， ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列， ∴2a 1＋3a 2＝2a 3，1分 即2a 1＋3a 1q ＝2a 1q 2，2分 化简得2q 2 －3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1 2.3分 ∵q >0，∴q ＝2.4分 ∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.7分 (2)∵b n ＝(n ＋2)log 2a n ＝n (n ＋2)，8分 ∴1b n ＝ 1n (n ＋2)＝12? ?? ??1 n －1n ＋2，11分 T n ＝1b 1＋1b 2 ＋…＋1b n －1＋1b n ＝12??? ? ? ???1－13＋? ????12－14＋? ?? ??13－15＋…＋ ? ??? ????1 n －2－1n ＋? ????1n －1－1n ＋1＋? ????1n －1n ＋213分 ＝12? ????1＋12－1n ＋1－1n ＋214分 ＝34－ 2n ＋3 2(n 2＋3n ＋2) .15分 18．(本小题满分15分)如图2，已知三锥锥O -ABC 的在条侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC ，△ABC 为等边三角形，M 为△ABC 内部一点，点P 在OM 的延长线上，且P A ＝PB ，P A ＝5OC ，OP ＝6OC . 图2 (1)证明：AB ⊥平面POC ； (2)求二面角P -OA -B 的余弦值． [解] (1)因为OA ，OB ，OC 两两垂直，2分 所以OC ⊥平面OAB ， 而AB ?平面OAB ，所以AB ⊥OC . 取AB 的中点D ，连接OD ，PD ，则有AB ⊥OD ，AB ⊥PD . 所以AB ⊥平面POD ，4分 而PO ?平面POD ，所以AB ⊥PO ，又PO ∩OC ＝O ， 所以AB ⊥平面POC .5分 (2)分别以OA ，OB ，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 设OA ＝OB ＝OC ＝1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，OA →＝(1,0,0)，AB → ＝(－1,1,0)． 设P (x ，y ，z )，其中x >0，y >0，z >0，则OP →＝(x ，y ，z )，AP → ＝(x －1，y ，z )． 由(1)知OP →⊥AB → ，又P A ＝5OC ＝5，OP ＝6OC ＝6， 所以??? (－1)×x ＋y ＝0x 2＋y 2＋z 2 ＝6 (x －1)2＋y 2＋z 2＝5，解得x ＝y ＝1，z ＝2. 所以OP → ＝(1,1,2).10分 设平面POA 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1⊥OA →，n 1⊥OP → ，得??? x 1＝0x 1＋y 1＋2z 1＝0 . 取z 1＝1，则n 1＝(0，－2,1)． 又平面OAB 的一个法向量n 2＝OC → ＝(0,0,1)，13分 记二面角P -OA -B 的平面角为θ，由图可得θ为锐角， 所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝ |0＋(－2)×0＋1×1|1×5 ＝5 5. 所以二面角P -OA -B 的余弦值为5 515分 19．(本小题满分15分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2 3＝1，抛物线C 2：y 2＝4x ，过抛物线C 2上一点P (异于原点O )作切线l 交椭圆C 1于A ，B 两点． 图3 (1)求切线l 在x 轴上的截距的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值. 【导学号：51062389】 [解] (1)设P (t 2,2t )(t ≠0)，显然切线l 的斜率存在， 设切线l 的方程为y －2t ＝k (x －t 2)，即y ＝k (x －t 2)＋2t .1分 由??? y ＝k (x －t 2 )＋2t ，y 2＝4x 消去x 得ky 2－4y －4kt 2＋8t ＝0， 由Δ＝16－16k (－kt 2＋2t )＝0，得k ＝1 t ， 从而切线l 的方程为x ＝ty －t 2，3分 令y ＝0，得切线l 在x 轴上的截距为－t 2. 由???? ? x ＝ty －t 2，x 24＋y 2 3 ＝1，得(3t 2＋4)y 2－6t 3y ＋3t 4－12＝0， 令Δ＝36t 6－12(3t 2＋4)(t 4－4)>0，得0 故切线l 在x 轴上的截距的取值范围为(－4,0).7分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知y 1＋y 2＝6t 3 3t 2＋4，y 1y 2＝3t 4－123t 2＋4 ，|AB |＝1＋t 2 |y 1－y 2| ＝1＋t 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋t 2 · ? ????6t 33t 2＋42－4(3t 4 －12)3t 2＋4 ＝43·1＋t 2 · －t 4＋3t 2＋4 (3t 2＋4)2 ，9分 原点O 到切线l 的距离为d ＝t 2 1＋t 2， ∴S ＝1 2 |AB |×d ＝23· t 4(－t 4＋3t 2＋4) (3t 2＋4)2 .12分 令3t 2＋4＝u ，∵0 则有S ＝23·(u －4)29???? ?? －(u －4)29＋u u 2 ＝239· (u 2－8u ＋16)(－u 2＋17u －16) u 2 ， ∴S ＝239·??????? ????u ＋16u －8· ??????17－? ? ???u ＋16u ＝239·－? ????u ＋16u 2＋25? ? ???u ＋16u －136. 令y ＝u ＋16 u ，∵4 ∴y ＝u ＋16 u 在(4,16)上为增函数，得8 2∈(8,17)时， S max ＝239·－6254＋625 2－136＝ 3.14分 由y ＝u ＋16u ＝25 2得u ＝25＋3414，有t ＝3＋412<2，故当t ＝3＋412时， △OAB 面积S 有最大值 3.15分 20．(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n a n ＝1 3n ＋r . (1)若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，设b n ＝1 a 2n －1(n ∈N *)，数列{ b n }的前n 项和为T n ，求证： T n ≥2n 3n ＋1 . [解] (1)令n ＝1，得13＋r ＝1，∴r ＝2 3，1分 则S n ＝? ????13n ＋23a n ，∴S n －1＝? ????1 3n ＋13a n －1(n ≥2)， 两式相减得 a n a n －1＝n ＋1 n －1 (n ≥2)，3分 ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31·42·5 3·…·n ＋1n －1， 化简得a n a 1＝n (n ＋1) 1×2(n ≥2)， ∴a n ＝n 2＋n (n ≥2)，6分 又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n .7分 (2)证明：由(1)知a 2n －1＝(2n －1)·2n ， ∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n －1)2n ＝12n －1－12n ，∴T 1＝12≥2 3＋1不等式成立， ∴T n ＝11－12＋13－14＋15－1 6＋…＋ 12n －1 －1 2n (n ≥2)， ∴T n ＝11＋12＋13＋…＋12n －2? ????12＋1 4＋ (12) ＝11＋12＋13＋…＋12n －? ????11＋1 2＋…＋1n ， ∴T n ＝1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋1 2n ，10分 ∴2T n ＝? ????1n ＋1＋12n ＋? ????1n ＋2＋12n －1＋…＋? ????1n ＋k ＋12n －k ＋1＋…＋? ?? ??1 2n ＋1n ＋1. ∵1n ＋k ＋12n －k ＋1＝3n ＋1(n ＋k )(2n －k ＋1)≥4 3n ＋1 (仅在k ＝n ＋12时取等号)， 4n 3n＋1，即结论T n≥ 2n 3n＋1 成立.15分 ∴2T n≥