四边形--专题复习资料
四边形
一、基本概念
二、运用转化探索证题规律
1、把新知识转化为旧知识
将四边形问题转化为三角形问题
把要证的结论转化为已知图形的性质解决
例与练
分析法：执果索因
(1)如图，已知□ABCD中，AD=2AB，向两方延长AB，使AE=AB=BF，联结EC、FD交于G，求证：EC ⊥FD。
(2)如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF⊥AC于O，分别交AB、CD于F、E，且AF=EF，求证：OF=FB。
(3)如图，已知正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E为OB上任意一点，DG⊥CE交OC于F 点，求证：OE=OF。
(4)如图，已知E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，且CE=BC ，DF ⊥AE 交BC 于F ，求证：BC=
3
2
EF 。
倍长法、折半法
(1)已知△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 是AB 中点，求证：CD=2CE 。
(2)已知△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D 点，M 是BC 中点，求证：AB=2DM 。
截长补短法
(1)已知正方形ABCD 中，M 是CD 中点，E 是CD 一点，且∠BAE=2∠DAM ，求证：AE=BC+CE 。
(2)已知正方形ABCD 中，∠EDF=45o，点E 在AB 上，点F 在BC 上，DG ⊥EF ，垂足为G ，求证：DG=AD 。
2、 把复杂图形转化为基本图形
比较复杂的四边形问题，往往通过添加辅助线转化为平行四边形或三角形的问题，使图形转化是添加辅助线的着眼点。 例与练：
(1)求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
(2)已知，梯形ABCD中，AB=DC，对角线AC⊥BD，EF是中位线，EF=8cm，求梯形ABCD的面积。
(3)已知，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD中点，求证：AE=BE。
(4)已知，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，求：S梯形ABCD。
(5)求证梯形的面积等于一腰与另一腰中点到这腰的距离的乘积。
(6)已知梯形ABCD中，AD∥BC，且∠B=50°，∠C=80°，求证：AD+DC=BC。
添加辅助线转化为最简单的三角形或平行四边形是常见辅助线的添加方法，同时也可构造其他特殊四边形。 (7)已知△ABC 中，CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，CE 、BD 相交于K ，且M 、N 是BC 、AK 的中点，BC=AK ，求证：MN 、ED 互相垂直平分。
3、 运用变化化隐为显
几何变换就是变换图形的位置，使图形中条件集中，化隐为显，找到证明思路，变换是添加辅助线的一个重要思路，在几何中，经常使用的变换有平移、旋转、对称、等积等等。 例与练：
(1)已知，P 是正方形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PBA=15°，求证：△PDC 是等边三角形。
(2)已知，M 是Rt △ABC 中斜边BC 上的中点，E 、F 分别AB 、AC 在上，EM ⊥MF ，求证：EF 2=BE 2+CF 2。
D C B
(3)已知，等腰△ABC中，∠ACB=90o，在∠ACB中作∠ECF=45o，交AB边于E、F，求证：EF2=AE2+BF2。
(4)已知，△ABC中，∠B=30o，以AC为边，向形外作正三角形ACD，求证：AB2+BC2=BD2。
(5)已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，M、N分
别是AD、BC的中点，求证：MN=
2AD
BC
(6)如图，正方形ABCD 中，E 、H 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EF ⊥GH ，求证：EF=GH 。
(7)在四边形ABCD 中，已知AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，求四边形ABCD 的面积。
(8)在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，求证：DE=2
2
42b
a a
b 。
(9)□ABCD 的边AB 上一点E ，DE 延长线交CB 延长线于F ，求证：S △ADF =S △CDE 。
(10)如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，AE ∥DC 交底边BC 于E ，AE 与BD 相交于O ，已知△BOE 的面积比△AOD 的面积大4cm 2，并且EC=
5
2
BC ，求梯形ABCD 的面积。
(11)已知□ABCD 中，CE=AF ，E 、F 分别在CD 、AD 上，AE 、CF 相交于点P ，求证：BP 是∠APC 的平分线。
(12)□ABCD中，EG∥BC，点E在AC上，点G在BD上，且EF⊥CD于F，GH⊥AB于H，求证：GH=EF。
三、运用中位线定理
见中点，配中点，连线中位线是解题中的常用方法，它既可获得倍长、折半的效果，又可获得平行线，产生等角的位置转换。
例与练
1、已知，△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，联结BE并延长交AC于点F，求证：FC=2AF。
2、以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边三角形ABD和ACE，点M、G、H分别是BC、BD和CE 的中点，求证：MG=MH。
3、如图，已知四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD和BC的延长线分别与EF
的延长线相交于点G与H，求证：。∠AGE=∠BHE
B
4、等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∠AEB=60°，点F、G、H分别是AE、BC、DE的中点，
求证：△FGH是等边三角形。
5、如图，已知△ABC中，M为AB的中点，D为MB上一点，N、P分别为CD、CB的中点，Q为MN
的中点，PQ与AB相交于E，求证：AE=ED。
6、如图，P是△ABC的一点，∠PBC=∠PAC，PE⊥BC，PF⊥AC，E、F是垂足，D是AB中点，求证：DE=DF。
四边形辅助线专题训练
一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点， 且AE=AC，EF 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股
相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
数学常见辅助线做法与小结
几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！ 1 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的?? （1）可向两边作垂线。?? （2）可作平行线，构造等腰三角形?? （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形?? 2. 与线段长度相关的?? （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可?? （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可?? （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。?? （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。? 3. 与等腰等边三角形相关的??
（1）考虑三线合一?? （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?° 2 四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法? ???? 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。? （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形? （2）利用两组对边平行构造平行四边形? （3）利用对角线互相平分构造平行四边形?? 2. 与矩形有辅助线作法? ? （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题? （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 3. 和菱形有关的辅助线的作法? ??? ? ?
专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版
专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法 一、知识点 1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形 ?????????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4、平行四边形判定方法的选择 5、和平行四边形有关的辅助线作法 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形 求证: OE 与AD 互相平分. （2）利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G. 求证: ED+FG=AC. （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC. A B C D 1234A B C D A B D O C 性质 判定 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可说明：当图形中涉及到一组对边平 行时，可通过作平行线构造另一组说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法.
（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点， 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） （5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 、111< 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 四边形中常用的辅助线 四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种： (1)连结对角线或平移对角线． (2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形． (3)涉及面积问题的，常构造直角三角形． (4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形． (5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线． 经典例题 1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( ) A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减少 C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长与点P的位置有关 2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6 cm，四边形ABCD的面积为24 cm2，则两条平行线间的距离为( ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 1 cm 3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则等于( ) A. B. C. D. 4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为________． 6．如图，P为?ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，?ABCD的面积记为S，试探究S ＋S2与S之间的关系． 1 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求： (1)∠A，∠C的度数． (2)AD，BC的长度． (3)四边形ABCD的面积． 四边形常用的辅助线做法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21 ∠AEB. 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 四边形常用的辅助线做法 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形. 在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线. 下面介绍一些辅助线的添加方法. 一、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 分析: 因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证. 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形， 所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点， 所以A0//ED，AO=ED, 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形. 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG， 因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形， 所以AC=BG， AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF， 所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4， 所以BF=BG=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. PART A 知识讲解 六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解） 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结： （1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 平行四边形中常用辅助线的添法 徐卫东 刘建英 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 一、连对角线或平移对角线： 例1 如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：CEF ABF S S △△=。 简证：连BD ，由图易得BCE BDE S S △△=（同底等高） ，BDF ABF S S =△（同底等高） 所以BEF BCE BEF BDE S S S S △△△△-=-， 所以ECF BDF S S △△=，即CEF ABF S S △△=。 例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （c b >）， AB=m ，求m 的取值范围。 简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形， 所以c a DB CE +==， m AB DC BE ===， 即m 2AE =，在△ACE 中， CE AC AE CE AC +<<-， 即 ()()c b a 22 1m c b 21 ++<<-。 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 例3 如图3，平行四边形ABCD 中，∠DBC=?30，DE ⊥DB 交BC 的延长线于E ，AD=a ，DE=b ，求DCE S △。 平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问题. 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且 AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 2. 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形、在解决一些与四边形有关得问题时往往需要添加辅助线、下面介绍一些辅助线得添加方法、 一、与平行四边形有关得辅助线作法 平行四边形就是最常见得特殊四边形之一，它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形、 1。利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图１,已知点O就是平行四边形ABCＤ得对角线AC得中点,四边形OＣDＥ就是平行四边形、 求证:ＯE与ＡD互相平分、 说明:当已知条件中涉及到平行，且要求证得结论中与平行四边形得性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形、 2。利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图２，在△ABC中，E、Ｆ为ＡB上两点,AE=BF,ＥD//AＣ，FG/／AＣ交BC分别为D,Ｇ、求证：ED+FG=AC、 说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题、3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例３如图3，已知AD就是△ABC得中线，BＥ交ＡC于E，交AD于F，且AE=EF、求证ＢF=AＣ、 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上就是采用了平移法构造平行四边形、当已知中点或中线应思考这种方法、 二、与菱形有关得辅助线得作法 与菱形有关得辅助线得作法主要就是连接菱形得对角线，借助菱形得判定定理或性质定定理解决问题、 例4 如图５,在△ABC中,∠AＣB=９０°，∠BＡC得平分线交BＣ于点Ｄ,Ｅ就是AB上一点,且AＥ=AC，ＥＦ//BC交AD于点F,求证:四边形ＣDEF就是菱形、 例5 如图6，四边形ABＣＤ就是菱形,E为边AＢ上一个定点,F就是AC上一个动点,求证ＥF+BF得最小值等于DE长、 图6 说明:菱形就是一种特殊得平行四边形，与菱形得有关证明题或计算题作辅助线得不就是很多，常见得几种辅助线得方法有:（1）作菱形得高；(2）连结菱形得对角线、 三、与矩形有辅助线作法 与矩形有关得题型一般有两种:（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（２)证明或探索题，一般连结矩形得对角线借助对角线相等这一性质解决问题、与矩形有关得试题得辅助线得作法较少、 例６如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，ＰB=4,PC＝5、求 PD得长、 图７ 四、与正方形有关辅助线得作法 专题讲义平行四边形+几何辅助 线的作法 、知识点 1 ?四边形的内角和与外角和定理： (1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理： (1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° (2) 任意多边形的外角和等于 360° 3. 平行四边形的性质： 4、平行四边形判定方法的选择 ..”■ 已知条件 选择的狎定方法 i 边 1. 一鲫边幘 L .... 讹⑵沁⑶ 一组对边平行 定文｛方法1),方送⑶ 一纽对命相等 方法《5〉 方搓⑷ 5、和平行四边形有关的辅助线作法 (1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形? 求 证：OE 与AD 互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形 的性质有关， 可 试通过添加辅助线构造平行四边形—: 性质 四边形ABCD 是平行四边形 判定 (1) 两组对边分别平行; (2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等; (4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补. B C C (2)利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED//AC, FG//AC交BC分别为D, G. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组 对边平行，得到平行四边形解决问 (3)利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知AD S^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC. 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了 平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法? 与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< 梯形辅助线专题训练题 考号______ 姓名___________ 1 如图，已知在梯形ABCD 中，AB // DC,/ D=60 °，/ C=45 ° , AB= 2 , AD=4，求梯形ABCD 的面积. 2、在梯形ABCD 中，AD//BC , AB=DC=AD=2 , BC=4，求/ B 的度数及AC 的长。 3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC,/ B= 60°, AD = 2, BC= 8,求等腰梯形的周长。 A n 4、如图所示, AB // CD , AE 丄DC , AE = 12, BD = 20, AC = 15,求梯形ABCD 的面积。 E 5、如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD // BC,对角线AC与BD互相垂直，且AD =30，BC= 70,求BD 的长. 6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长? A n 7、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC, AC丄BD , AD + BC= 10, DE丄BC于E , 求DE的长? 8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD// BC, AB=DC，/ BAD / CDA 的平分线AE、DF 分别交直线BC 于点E、F. 求证：CE=BF . A D C D C 9、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , BD CD , BDC 90 ° AD 3, BC 8 .求 10、如图6,在梯形ABCD 中，AD // BC , A 90 , C 45 , DE=EC , AB=4,AD=2 , 求BE 的长. 11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC // AB , AD=BC ，对角线 AC 、BD 交于点 O , / COD=60 若 CD=3， AB=8，求梯形 ABCD 的高. AB 的长. D C 第2讲相似三角形中的辅助线及动点 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得 出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 、作平行线 例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB 例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。 三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。 例6?如图，https://www.360docs.net/doc/816125931.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF 四、作中线 例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为 何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C相似三角形之常用辅助线
8下四边形中常见辅助线
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