量子力学第七章自旋
第七章自旋与角动量
7．1电子的自旋
许多实验事实都证明电子具有自旋。下面叙述的斯特恩革拉赫（Stern —Gertach ）实验就是其中的一个，实验示意图如下：
在上图中，K 为基态氢原子源，氢原子自K 射受狭缝BB 的控制而成为扁平细束，然后通过不均匀磁场而射到照相底片PP 上，实验结果是照相底片上出现两条分列的线。这说明了两个问题：（a ）氢原子具有磁矩。由于实验中的氢原子处于基态（IS 态），角量子数 =0,即轨道角动量为零。而由第二章习题15可知，轨道磁矩为：
L e M L
μ
2-= （7.1-1）
所以轨道磁矩也为零；同时原子核（质子）的固有磁矩应很小，所以氢原子中的电子具有固有磁矩，即自旋磁矩。
（6）电子的自旋矩在磁场中只有两种取向，也就是说是空间取向量子化的。如果没电子的自旋磁矩为 ，处磁场 同子轴正方向，则基态氢在处磁场中的势能为：
θcos B M B M U s S -=?-=
风基态氢原子在沿子轴方向所受的力为：
θξ
ξcos ??=??-
=B
M U F s y 如果s M
可取任何方向，则cos θ应当可能从+1到-1到连续变化，在照相底片上应该得到一条
连续的带，但实验结果只有两条分立的线，时京应于cos θ=+1和-1，可见s M
的空间取向是量子化的。
应用分辨率较高的分光镜或摄谱仪可以观察到钠原子光谱中2P →1S 的谱线是由两条靠得很近
的谱线组成的;其他原子光谱中也存在双重线或多重线结构，这种结构称为光谱线的精细结构，只有考虑了电子 的自旋，光谱线的精细结构才能得到解释。
鸟伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱（Goudsmit ）为了解释上述现象，在1925年提出了下面的假设：
（1）每个电子具有旋角动量S
，它在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：
2
h
S z = （7.1-2）
（2）每个电子具有自旋磁矩s M
，它和S 的关系是：
s M =—S m
e
（7.1-3）
其中-e 为电子的电荷，m 为电子的质量。Ms
在任何方向（z 轴）上的投影只能取两个值：
2B eh Msz M m
--
+
+=- （7.1-4）
其中MB 为玻尔磁子。
根椐上述假设，电子的自旋磁矩与自旋角动量之比即电子自旋的回转磁比率为：
Msz e
Sz m
=- （7.1-5） 在（7.1-1）式中，L
为电子相对于原子核运动的轨道角动量，u 为折合质量。但M ≈m 所以由
（7.1-1）式得到电子轨道运动的回转磁比率为：
2Lz m e
Lz m
=- （7.1-6） 可见电子的自旋回转磁比率等于电子轨道运动回转磁比率的两倍。
7.2 角动量
在上一节中已看到，电子具有自旋角动量而且空间取向是量子化的。对于轨道角动量，设L z ∧
的本征值为'm h ，'m 不能连续变化，所以轨道角动量的空间取向也是量子化的。除电子外，其他粒子也可能具有自旋角动量。粒子的自旋角动量也是一个力学量，在量子力学中应该象其他力学量一
样也用一个算符来表示，设以S ∧ 表示。我们希望将轨道角动量算符L ∧ 推广为一般角动量算符J ∧ ，使J ∧ 既能代表L ∧ ，也能代表S ∧ 。轨道角动量算符最初是根据L r p ∧∧∧=?
来定义的，但自旋角动量算符不可
能表示为r p ∧∧?
的形式，这是因为自旋角动量只是粒子内部状态的表征，而与粒子的位置和动量无关
之故。为了获得一般角动量算符的性质，可以把轨道角动量算符的对易关系推广为一般角动量算符的对易关系。由§3.2可知，轨道角动量算符的基本对易关系由（3.2-15）式或（3.2-16）式给出，即
[,]Li Lj ihEijk Lk L L ih L
∧∧
∧∧∧∧?=??
????=? 上式中三个不为零的对易关系式可表示为: （7.2-1）
则一般角动量算符J ∧
也应满足同样的对易关系，即
[,]i j J J ihEijk J k
J J ih J
∧∧∧∧∧
∧?=????=?
（7.2-2） 上式可作为角动量算符的定义式，即凡是满足上式的J ∧ 就称为角动量算符。J ∧
应为密算符。令：
x y J J i J ∧∧∧+=+ ， x y J J i J ∧∧∧-=-
（7.2-3）
则对应于（3.2-17）式，（3.2-18）式的对易关系为：
[,]2z J J h J ∧∧∧+-=
（7.2-4） [,]z J J h J ∧∧∧±±=±
（7.2-5）
2[]0i J J ∧∧=
（7.2-6）
根据（7.2-2）式不难证明以上三式，其证明从略。
由（7.2-6）式可知，2J ∧ 与z J ∧ 是对易的，所以它们存在构成完备系的共同本征函数。设2J ∧ 与z
J ∧
的共同本征态为|jm 〉，则
2
2
|(1)|||z J jm j j h jm J jm mh jm ∧∧
??=+?
???
?=?
? （7.2-7） 其中，j(j+1)h 2
和mh 分别为2J ∧ 和z J ∧ 的本征值，且j ≥0。不妨设| jm 〉已归一化，即〈jm|jm 〉=1。下面讨论j 与m 的可能值以及J ∧± 作用于| jm 〉的性质，由（7.2-6）式可得：22
J J J J ∧∧∧∧±±= ，
则
222
||(1)|J J jm J J jm j j h J jm ∧∧∧∧∧±±±?=?=+?
由上式可知，若|J jm ∧±? 存在（即不为零），则|J jm ∧±?
也是2J ∧ 的本征态，其本征值也为j(j+1)h 2。
由（7.2-5）式得：()z z z J J J J h J J J h ∧∧∧∧∧∧∧±±±±=±=±
，则
|()|(1)|z z J J jm J J h jm m h J jm ∧∧∧∧∧±±±?=±?=±?
由上式可知，若|J jm ∧±? 存在，则|J jm ∧±? 是z J ∧ 对应本征值（m+1）h 的本征态，|J jm ∧-?
是z
J ∧ 对应本征值（m-1）h 的本征态。可见，2J ∧ 与z J ∧ 在|J jm ∧+?
态中的本征值与在|jm ?之间只能相差
一个常数因子，即
||1J jm C V jm ∧++?=+?
（7.2-8） ||1J jm C V jm ∧--?=-?
（7.2-9）
**
||1||jm J J jm jm C C jm C C +∧∧++++++??=?+?= ≥0
在（7.2-8）式中，C+≠0而|jm 〉≠0而C +=0，由于上式中不论|jm 〉是否存在都已取代〈jm+1|jm+1〉
=1，所以当C +=0时实际上所表示的是|jm 〉=0，即当C +=0时将表示|jm 〉与J ∧+
|jm 〉都不存在。在
任意标积中有：
()()()()x x y x y x y y J J J iJ J i J J i J J i J +∧∧∧∧∧∧∧∧∧+
++=++=-+
= 22222[,]()x y x y x y z z z J J i J J J J h J J J J h ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧++=+-=-+
则得：
2*
|||[()]|z z C C jm J J jm jm J J J h jm +∧∧∧∧∧++++=??=?-+?
= 2
[(1)(1)]j j m m h +-+≥0 （ 7.2-10） 设当j 确定后m 的最大值为m max ，由上式可知：
m max =j （7.2-11）
在（7.2-10）式中取C +为实数得：
C +=
将上式代入（7.2-8）式得：
||1J jm jm ∧+?=
+?
（7.2-12）
同理，从（7.2-9）式出发，由类似的推导可得：
*
2[(1)()(1)]C C j j m m h --=+---+≥0 （7.2-13）
设当j 确定后m 的最小值为m min ，由上式可知：
m min =-j （7.2-14） 从（7.2-13）式求出C -代入（7.2-9）式可得：
||1J jm jm ∧-?=
-?
（7.2-15）
（7.2-12）式与（7.2-15）式反映了J ∧+ 作用于|jm 〉态的性质。J ∧+
的作用使态中的m 变为m+1，所以J ∧+ 被称为升算符，J ∧- 的作用使态中m 变为m-1，所以J ∧- 被称为降算符。从|jm min 〉出发经过J ∧+ 的多次作用应能得到|jm max 〉，从|jm max 〉出发经过J ∧- 的多次作用应能得到|jm min 〉，所以（m max －m min ）
等于整数，即：2j=0，1，2，……
则得：
130,,1,,2,22,1,,j m j j j
?
=?
?
?=--+? （7.2-16） 利用（7.2-12）式与（7.2-15）式可求出J 2
、J z 的共同表象中x J ∧ 与y J ∧
的矩阵表示，其矩阵元的
表示式为：
'',1()''||''|()|2
x x j m jm
J j m J jm j m J J jm ∧∧∧+-=??=?+?
',',1j j m m δ+
',',1j j m m δ- （7.2-17）
'',1()''||''|()|2y y j m jm
J j m J jm j m J J jm i
∧∧∧+-=??=?-?
',',1j j m m δ+
'',1j j m m δ- （7.2-18） 当1'2j j ==时，3(1)4j j +=，'m 与m 都只能取12±两个值，而',1m m δ+只有当1
2
m =-时才
可能不为零，所以在与',1m m δ+
12m =-；同理，在与',1m m δ-相乘的
12m =，则（7.2-17）式与（7.2-18）式化为：
',',1',1
'.',1
',1()22()22x m m m m m m y m m m m m m h h J h h J i i δδδδ+-+-?
=+???
?=-??
而',',()z m m m m J mh δ=
矩阵的行角标'm 与列角标m 通常都采用由大到小的排序，即排序为1
1(,)22
-，则在J z 表象中可得：
1010000101()2()2()2x i y i z h J h J h J --?=??
?
=??
?=??
（7.2-19）
7.3自旋算符
1、自旋算符及其矩阵表示
在上一节中讨论了一般角动量算符的性质。在这一节中以S ∧ ，S ，m S 分别代替上一节中的J ∧
，
j ，m ，其中S ∧ 为自旋角动量算符，S （S+1）h 2
为2S ∧ 的本征值，s m h 为z S ∧ 的本征值。S 称为自旋量
子数，S=0，
1
2，1，……；m S 称为自旋磁量子数。自旋为零（即S=0）的粒子有α粒子，п介子等。自旋为12（即1
2
S =）的粒子有电子、质子、中子等。自旋为1（S=1）的粒子有光子，P 介子等……。
下面只讨论自旋为1
2
的粒子。设
2h S σ∧=
（7.3-1）
其中σ∧
称为自旋算符。根据（7.2-2）式与（7.2-6）式可得：
[,]2i j k iEijk σσσ∧∧∧
= （7.3-2）
2
[,]0i σσ∧∧
= （7.3-3）
由上一节可知，当S=12时，z S ∧（以及x S ∧，y S ∧）的本征值只能为2
h
±[这与乌伦贝克——哥德
斯密脱关于电子自旋的假设是一致的]。所以z σ∧（以及x σ∧，y σ∧
）的本征值只能为±1。
以S ∧
代替J ∧
后，（7.2-19）式便是自旋角动量算符x S ∧
，y S ∧，z S ∧
在S Z 表象中的矩阵表示，则自旋算符x σ∧，y σ∧，z σ∧
在S Z 表象中的矩阵表示为：
0110()x σ=， 00()i y i σ-=， 10
01()z σ= （7.3-4） 这三个矩阵称为泡利（Pauli ）自旋矩阵。定义算符（或其矩阵表示）A ∧，B ∧
的反对易括号为：
{}
,A B AB B A ∧
∧
∧∧∧∧
=+ （7.3-5）
若{}
,0A B ∧
∧
=，即AB B A ∧∧∧∧=-，则称A ∧与B ∧
反对易。根据（7.3-4）式可证：
2221()
,,x y z x y z σσσσσσ?===??
??单位矩阵彼此反对易
（7.3-6） 上式又可合写为：
{},2i
j
ij σσδ
=
（7.3-7）
算符i σ∧
与矩阵i σ具有相同的性质（i σ∧
与i σ也没有必要严格区分开来），即
{}
,
2i
j
ij σσδ= （7.3-8）
因2
1i σ∧=，则
2
3σ∧=，2
223()24h S h σ∧∧==
将（7.3-2）式与（7.3-8）式相加再除以2得；
i j ij k iEijk σσδσ∧∧∧
=+ （7.3-9）
由上式可得：
x y z
x y z y z x y z x z x y z x y i i
i i i i
σσσσσσσσσσσσσσσσσσ∧∧
∧
∧∧∧
∧∧
∧∧
∧
∧
∧∧∧∧
∧
∧
?==???==???==?? （7.3-10） 2、z S ∧
在自身表象中的本征函数
当1
2
S =时，由§4.1“4”的讨论可知，z S ∧在自身表象中（z z S S ∧=）对应本征值z S 的本征函
数为',z
z
S
S δ，',z
z
S
S δ为函数表示，其对应的矩阵表示为：
'1
102
'011
2
()2()
2z z h S X h S X -?==???
?==??本征值对应的本征函数为本征值对应的本征函数为 （7.3-11） 求解矩阵 '
0011()2
z h S -=的本征方程同样可得到上式。
3、r
与z S 的共同表象
S ∧
（以及σ∧
）为自旋空间中的算符。S ∧通常采用S Z 表象中的矩阵表示。S z 表象为分立谱表象，当1
2S =时，S ∧的各分量在S z 表象中用二行二列的矩阵表示。当S ∧采用矩阵表示时，可将2h S σ
∧∧= 改写为2h S σ∧∧= 。将自旋空间的一般算符记为()f S ∧ ，()f S ∧
可展开为(1,2,3)i i σ==的泰勒级数，
所以()f S ∧
在S z 表象中也将用二行二列的矩阵表示。r r ∧= 以及h p i
∧= ▽等为位置空间中的算符。位
置空间也就是r ∧ 的自身表象空间。r 表象为连续谱表象，将r 表象中的一般算符记为F ∧（r ），F ∧（r
）
通常采用算符表示。()F S ∧
与()F r ∧∧ 总是对易的。
在r 与z S 的共同表象中，自旋空间中的一般算符()f S ∧ 应改写为()E f S ∧∧
，其中E ∧为r 表象中的单位算符，但E ∧通常可省去不写，即E ∧
=1。r
表象中的一般算符()f r I ∧∧ ，其中I ∧为S z 表象中的单位
算符，由于自旋空间中的算符采用矩阵表示，所以I ∧
也应采用矩阵表示，当1
2
S =时，I ∧
为二行二
列的单位矩阵，使得()F r I ∧
∧
化为0
()
()
()F r F r ∧∧ 。通常()F r I ∧
∧
中的I ∧也可省去不写，只要将()F r ∧ 理解为
()F r I ∧
∧ 即可。在r 与z S 的共同表象中，一般算符可记为(,)G r s ∧∧ ，(,)G r s ∧∧ 可代表()f S ，()F r ∧ ，x x L S ∧∧
，()i L S h
e
∧∧Φ?+
（其中n Φ=Φ ，Φ 为绕单位矢量n 的旋转角）等。当1
2
S =时，(,)G r s ∧∧ 可用二行二列的
矩阵表示。即
11122122()()()()G r G r G G r G r ∧∧∧∧∧?? ?= ? ???
（7.3-12） 例如：01
1002
2
()2x x
x x x h L h L
h L S L ∧
∧
∧∧∧?? ?==
? ???
7.4 自旋为1
2的粒子的波函数
在r
与z S 的共同表象中，粒子具有位置坐标x 、y 、z 和自旋坐标S z 四个变量（粒子具有四个自
由度），所以粒子的波函数应表示为：
(,,,,)z x y z s t Φ=Φ （7.4-1）
Φ可对z S ∧的本征函数组展开，当z S ∧
的本征函数采用矩阵表示时，展开式为： 11212
2
(,,,)(,,,)x y z t x x y z t x -Φ=Φ+Φ
=10
1021(,,,)()(,,,)()x y z t x y z t Φ+Φ
=12(,,,)(,,,)x y z t x y z t Φ??
?Φ??
（7.4-2）
对Φ归一化时，必须同时对自旋空间求和和对位置空间积分，即归一化条件为：
1****
1
2
11222()()()dI dI dI +
ΦΦΦ=ΦΦ=ΦΦ+ΦΦΦ???=2212(||||)1dI Φ+Φ=? （7.4-3）
其中dI 为位置空间的体积元。由归一化波函数Φ所得到的几率密度为：
2212122
1122
2(,,,)||||(,,,)||
(,,,)||W x y z t W W W x y z t W x y z t +?=ΦΦ=Φ+Φ=+?=Φ??=Φ? W 表示在t 时刻在（x ，y ，z ）点处单位体积内找到粒子的几率。而W 1和W 2分别表示在t 时
刻在（x ，y ，z ）点处单位体积内找到2z h S =
和2z h
S =-的粒子的几率。将W 1和W 2对整个位置空间积分后就得到在整个位置空间找到2z h S =或2
z h
S =-的几率。
由（7.4-2）式可知，不含时的定态波函数可写为：
12(,,)(,,)x y z x y z Φ??
Φ= ?Φ??
（7.4-5）
如果体系的哈密顿算符可以写为s r
H H H ∧∧∧=+ 的形式，其中r
H ∧
只与r
有关，而H s ∧只是S ∧ 的函数，则对应的定态 定谔方程H E ∧
Φ=Φ可以用分离变量法求解：
(,,)()z a b
a b
x y x X S H r E H X E X
E E E ∧∧
Φ=Φ???ψ=ψ
???=?=+?? （7.4-6） 其中X(S z )称为自旋波函数。将上式中的Φ与（7.4-5）式比较，相当于：
11221121
22
C C X C X C X -Φ=ψΦ=ψ??
?=+?? （7.4-7） 其中C 1、C 2为常数。可见1Φ与2Φ除相差一个常数因子外，其函数形式是相同的。上式中X 的表示式可视为对z S ∧
的本征函数组的展开式[自旋波函数也可以对x S ∧
或y S ∧
的本征函数组展开，这时，自旋空间中的变量应改为x S 或y S ]。如果ψ在位置空间是归一化的，则由Φ的归一化条件得：
2212||||1C C += （7.4-8）
ψ与X 应满足（7.4-6）式。在一般情况下，粒子的自旋运动和轨道运动之间有相互作用，H ∧
不
能表示为r s H H ∧∧??
+ ???
的形式，这时，1Φ与2Φ将是x 、y 、z 的不同函数。
在r 与S Z 的共同表象中，任意算符都可用（7.3-12）表示，即：11122122G G G G G ∧∧∧∧∧?? ?= ? ???
，作表象变换时应注意使G ∧
与G ∧
的作用对象Φ处在同一表象之中。如果（7.4-2）式中的1Φ、2Φ是对X S ∧
或y S ∧
的本征函数组的开系数，则G ∧
也应采用在x S 或y S 表象中的矩阵表示。同理，算符11G ∧、12G ∧、21G ∧
、
22G ∧
与1Φ、2Φ也应处在同一表象之中，例如可同处在r 表象或同处在p
表象之中。算符G ∧在已归
一化Φ态中对自旋水平均的结果为：
11
121**1222122()G G G G G G ∧∧
∧
∧+∧∧??Φ?? ?=ΦΦ=ΦΦ ? ?Φ ???
?? = ****1112212211122122G G G G ∧
∧
∧
∧
ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ （7.4-9） 算符G ∧
在已归一化Φ态中对应的平均值为：
G G dI ∧
+
=ΦΦ? （7.4-10）
7.5 带电粒子在电磁场中的运动
1、最小电磁作用原理
由电动力学可知，如果在加入电磁场之前，粒子的动量为p
，能量为E ，则在加入电磁场之后，p 应以（p QA -
）代替，E 应以（E-QA O ）代替，即
p p QA →-
，O E E QA →- （7.5-1）
其中Q 为粒子所带的电荷。A O 为电磁场的标势，A
为电磁场的矢势。上式称为最小电磁作用原理，也称为最小电磁合原理[参看：曹昌琪，电动力学，§6.8 ]。电场强度E 和磁感应强度B
与A 0和A
之间的关系为：
22A E A t B A ?=-?-??
?=???
（7.5-2） 在量子力学中，设粒子的波函数为Φ（r
，t ），是最小电磁作用原理化为：
()22()22h
h Q A i i
ih ih QA t
t ??Φ→?-Φ???
?Φ→-Φ
?? （7.5-3） 上式中的第一式可改写为：
()iQ A h
?Φ→?-Φ （7.5-4）
上式取转置共轭得：
()iQ A k
++
Φ?→Φ?+
（7.5-5）
2、在薛定谔方程中引进自旋算符
在前面几章中，从薛定谔方程出发成功地解释了许多微观现象，但由于薛定谔方程中没有把粒子的自旋包含进去，所以不能解释与粒子自旋有关的现象，因此有必要在薛定谔方程中引进自旋算符。
设带电荷为Q 质量为u 的粒子在势场U （r
，t ）中运动，则薛定谔方程为：
2
[]2p
U E m
∧∧+Φ=Φ （7.5-6） 将此体系置于电磁场中，根据最小电磁作用原理（7.5-3）式得：
2012
[()]22h QA QA U ih i t
μ?-++Φ=Φ （7.5-7） 由于薛定谔方程没有把粒子的自旋包含进去，所以上方程只适用于自旋为零的粒子或者只适用
于不考虑自旋的情况。对于电子，Q=-e 。由（7.1-3）式可知，电子具有自旋磁矩s M ，s M 在B
=A
?? 中应具有势能U B ，
22S
B S eh M eh U B B M σμσμ∧
∧
?=-???∧?=-?=???
（7.5-8） 在（7.5-7）式中加入势能算符B U ∧
得：
2012[()]222h eh eA eA U B ih i t
σμμ?+-++?Φ=Φ （7.5-9） 上方程称为泡利方程。由于σ
为二行二列的矩阵，所以上式中括号内的前三项应视为都含有二
行二列的单位矩阵因子，Φ应为具有两个元素的列矩阵。显然在上式中已引进了自旋算符。这种在薛定谔方程的势能算符中引进自旋算符的方法（例如引进自旋轨道稻合项等）是一种常用的方法。但对于带电粒子在电磁场中的运动，这种引进自旋算符的方法并不理想，这是因为：最小电磁作用原理已基于上被公认为是一种普适性原理，既然是看法性原理，则势能B U ∧
应该在应用最小电磁作用原理时自动出现。注意到（7.3-9）式可得：
2()()()i j i j p p p p p σσσσσ∧∧∧∧∧?=??=
=()ij k i j iEijk p p δσ∧∧
+
上式中，ijk E 对角标ij 是反对称的，即ijk jik E E =-；而i j p p ∧
∧
对角标ij 是对称的，即
i j j i p p p p ∧∧∧∧=，所以0ijk i j E p p ∧∧
=，则得：
2
2()()()p p p p σσσ∧∧∧∧?=??= （7.5-10）
则（7.5-6）式可改写为：
21[()]2p U E σμ
∧∧?+Φ=Φ
（7.5-11） 上式相当于在薛定谔方程的动能算符中引进了自旋算符，上式中的Φ也应为具有两个元素的列矩阵。对于电子，在加入电磁场之后，应用最小电磁作用原理得：
20
12
[()]22h eA eA U ih i t σμ????+-+Φ=Φ???? （7.5-12） 222
[()]()()()22ij i j i j
h h h eA iEijk k eA eA i i x i x σδσ??+=+++
=222
()()22k i j
h eA eh Eijk Aj Ai i x x σ?+++ 而22222
()[()]22222j k k i i j i i j
A Eijk Aj Ai Eijk Aj A x x x x x σσ+=++
=2()()2k Aj
Eijk A B xi
σσσ=???=? 则（7.5-12）式化为（7.5-9）式。可见在（7.5-12）式能自动出现势能B U ∧
项。根据（7.5-11）式求得速度算符
U
∧
[见（3.5-3）式]和连续性方程为：
1U p
μ∧∧
=
（7.5-13） 0()2w
j t W ih j μ+
+
??+?=????=ΦΦ
???=Φ?-?Φ
??
（7.5-14） 在加入电磁场之后，根据最小电磁作用原理可得：
1()p QA U m
∧∧=-
（7.5-15） 2022()2w
j t W ih iQ j A h μ+
+?+?=???=ΦΦ
???=Φ?-?+Φ
??
（7.5-16） 对于电子，上两式中的Q=-e 。上两式也可根据（7.5-9）式直接推出，其推导从略。 3、简单塞曼（Zeeman ）效应
简单塞曼效应是指原子光谱线在较强的均匀外磁场中所产生的谱线分裂现象，而复杂塞曼效应则是原子光谱线在较弱的均匀外磁场中所产生的谱给分裂现象，下面只讨论简单塞曼效应。考虑氢原子或类氢原子（碱金属原子），这类原子可视为由一个价电子与一个原子实构成。由于原子核的质量比电子的质量大得多，所以在质心坐标系中可近似地将原子核视为位于质心位置，则只要考虑价电子在一固定势场中运动即可。原子实中各电子的自旋角动量之和和轨道动量之和都可视为零，则未加入外磁场时，价电子的势能可写为下述三项之和：
（1）价电子的电荷与原子实的电荷相互作用的电势能U （r ）。对于氢原子，U （r ）为点电荷之间的库仑势能。对于其他类氢原子，U （r ）也近似地为有心力场，但由于原子实中电子的几率分布总有一部分处在价电子位置的半径之外，使得U （r ）不能表示为点电荷之间库仑势能的形式。
（2）价电子的自旋磁矩(2)S e M S μ∧∧=与价电子的轨道磁矩()2L e M L μ∧-∧
=
的相互作用能LS U ∧
。S M ∧位于r 处，而L
M ∧
可视为位于质心处。LS U ∧可表示为： 3
4O LS L S
M U g r M M ∧
∧∧
=
?∏ （7.5-17）
其中，0μ
为真空中的磁导率，光速C =
，q g e =，q 为半径为r 的球内的电荷总量。
对于氢原子，q=1。对于类氢离子，q=Z 。对于类氢原子（包括氢原子），注意到：
0()()()dU r U r r e E dr
-?=-=- ，而根据高斯（Gauss ）定理得：2
04||q r E E π= ，则得：
221
2LS U C μ∧
=
1()dU r r dr L S
∧∧? （7.5-18） LS U ∧
称为自旋轨道耦合项。当讨论原子光谱的精细结构以及讨论复杂塞曼效应时应考虑LS
U ∧
项。对于简单塞曼效应，LS U ∧
与较强外磁场所引起的附加能量比较也可以忽略不计。
（3）价电子的自旋磁柜和轨道磁矩与原子核磁矩的相互作用能N U ∧
项。通常电子可视为点电荷，而原子核只能近似地视为点电荷，当考虑原子核中的电荷分布时，对原子光谱的超精细结构也有影响。
在上述三项中，当讨论简单塞曼效应时，只要考虑U （r ）一项即可。对于沿z 轴正方向的均匀
磁场B BR =
，可选取：
12X A By =-，1
2
y A Bx =-，0z A =，A O =0 （7.5-19）
在（7.5-9）式中，当U=U （r ）时，得定态薛定谔方程为：
21[()]()422z h eB eB yi xy U r S E i
?μμ∧??
?+-+++
=???? （7.5-20） 222
222(
)()()22222h eB h eB h y X i x i y i g
-+++ =2
2
22222()()()222h h eB
h eB x
y x y i y i x -?+-++ =2
2
22
2(
)()2
y eB h eB L x y ∧
-?+++ 则得：222221
[()(2)()()]4228z z h eB U r L S eB x y E ?μμμ
∧∧-?+++++=
上式中，(2)()2z z L s
eB L S B M M μ∧∧∧∧+=-+? 。在原子中，
（22
x y +）的数量级为原子半径的平方，对于一般的强磁场而不是特别强的磁场而言，上式哈密顿算符中的最后一项与第三项
(2)2z z eB L S μ
∧
∧+比较是很小的，忽略这一项得： 22[()(2)]422z z h eB U r L S E ?μμ
∧
∧-?+++= （7.5-21） 上式中的哈密顿算符H ∧
与2
L ∧、z L ∧、z S ∧
彼此对易，所以它们有构成完备系的共同本征函数，因此可设：
()(0,)()em ms z R r Y X S ψ=Φ （7.5-22）
其中，(,)em Y ΘΦ是2
L ∧与z L ∧
的共同本征函数。()ms z X S 是z S ∧
对应本征值Z S 的本征函数，
11
,22
s m =-。将上式代入（7.5-21）式得径向方程为：
222221(1)[()(2)]()222s h d d e e h eB r U r m m R r r dr dr r μμμ
+-++++ =ER （r ） （7.5-33） 令：
'(2)2s ehB
E E m m μ
=-
+ （7.5-34） 则得：
22222
1(1)[()]()'()22h d d e e h r U r R r E R r r dr dr r
μμ+-++= （7.5-25） 上式相当于没有外磁场时的径向方程。讨论塞曼效应时只需考虑束缚态。对于氢原子，束缚态能量'E En =，其中n 为主量子数。注意到（7.5-22）式中的m S 可取两个值，所以能级E n 的简并度为2n 2。对于类氢原子（碱金属原子），束缚态能量'nl E E =，其中n 为径向量子数，能级nl E 的简并度为2(21)l +。将'nl E E =代入（7.5-24）式求出E 得：
(2)2s nlmm nl s ehB
E E m m μ
=+
+ （7.5-26） 由上式可知，原来不同的m 与不同的m s 对应同一能量的简并现象被外磁场清除。此外，由于存在外磁场，使能量与m S 有关。对于处在基态的氢原子，0l =，m=0，原来的能级在外磁场中分裂为两个能级，所以可解释斯特恩——革位赫实验。当类氢原子在磁场中由一个能级跃适到另一个
能级且保持自旋状态不变时[在电偶极跃迁中，'H ∧
与自旋无关，所以自旋状态必保持不变]，其谱线对应的角频率为：
'''''
02s s nlmm n l m m o nl n l E E eB W W m h E E W h μ-?==+????
-?=??
其中 （7.5-27） W 0是没有外磁场时的跃迁角频率。由§5.9可知，电偶极跃迁时△m 的选择定则为：
'0,1m m m ?=-=±
所以W 可以取三个值：
0W W =，02eB
W μ
±
（7.5-28） 可见在没有外磁场时的一条谱线在较强的均匀外磁场中将分裂为三条，这就是简单塞曼效应。
7.6两个角动量的相加
两个角动量的相加也称为两个角动量的耦合。设：
12J J J ∧∧∧=+
（7.6-1）
其中12J J ∧∧
与可以是一个粒子的轨道角动量和自旋角动量，也 以是两个粒子的轨道角动量或两个粒子的自旋角动量等。12J J ∧∧
与是彼此独立的，因而1J ∧ 的各分量是对易的，则
12121122[][][][]i j i i j j i j i j J J J J J J J J J J ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
=++=+
=12()K K k ihEijk J J ihEijk J ∧
∧
∧
+= （7.6-2）
所以J ∧ 也是角动量。算符21J ∧ 、22J ∧ 、2J ∧ 是彼此对易的。其中明显对易的有：21J ∧ 和22J ∧ 对易，2
J
∧ 与z J ∧ 对易，12z z z J J J ∧∧∧=+ 与21J ∧ 、22J ∧ 对易。
因为2222121212()2J J J J J J J ∧∧∧∧∧∧∧=+=++? ，所以2J ∧ 与21J ∧ ，22J ∧ 也是对易的。则21J ∧ ，22J ∧ ，2J ∧ ，z J ∧ 存在共同的本征态，设为12|j j jm ?。在12|j j jm ?态中，21J ∧ ，22J ∧ ，2J ∧ ，z J ∧
的本征值分别为211(1)j j h +、222(1)j j h +、mh 。当j 确定后，m 可取-j ，-j+1，……，j 共（2j+1）个值。另一方面，算符21J ∧ 、1z J ∧ 、22J ∧ ，2z J ∧
也是对易的，它们也存在共同的本征态，
设为11221122|||j m j m j m j m ??=?。1221122||j j m j m j m ??与都构成完备系，以1122|j m j m ?为基组的表
象称为耦合表象，以1122|j m j m ?为基组的表象称为无耦合表象。
下面讨论m 与m 1、m 2的关系以及j 与j 1、j 2的关系。由12z z z J J J ∧
∧
∧
=+可知m 的可能值为：
12m m m =+ （7.6-3）
当12,j j 确定后，j 的取值应该是可变的，12,m m 的最大值分别为12,j j ，而j 的最大值应等于m 的最大值，所以得：
max 12j j j =+ （7.6-4） 由（7.6-3）式得：12m m m ?=?+?。当12,j j 确定后，1m ?与2m ?都只能为整数，所以m ?也只能为整数，推知j ?也只能为整数。可见当（12j j +）为正整数时，j 也只能为正整数；当（12j j +）为正的半奇数时，j 也只能为正的半奇烽。当12,j j 确定后，基矢1122|j m j m ?的个数应等于基矢12|j j jm ?的个数。
m 1可取（121j +）个值，m 2可取（221j +）个值，所以基矢1122|j m j m ?共有（121j +）（221j +）个，而基矢12|j j jm ?的个数应为：
12min
max min max min (21)(21)
(21)(1)2
j j j j j j j j j +=++++=
-+∑
=22
12min 12(1)(21)(21)j j j j j ++-=++
则得：
min 12||j j j =- （7.6-5）
可见当12,j j 确定后，j 的可能取值为：
121212||,||1,,j j j j j j j =--++ （7.6-6）
若将（7.6-1）式改为12J J J ∧∧∧=-
，也同样可得到上式。在一个三角形中，当两条边的长度确定
后，另一边的最大可能值为这两边之和，而最小值为这两边差的绝对值，所以12,,j j j 所满足的（7.6-6）式称为三角形关系，通常以12()j j j ?表示，如下图所示：
基组12|j j jm ?中的每一个基矢都可以对基组1122|j m j m ?展开：
1
12121122112212|||m m m m
j j jm j m j m j m j m j j m +=?=
???∑
1122121
12|jm
j m j m j j m m m m m
C ?
+=∑
（7.6-7） 其中
1122121122
|jm
C
j m j m j j jm j m j m =?? （7.6-8）
（7.6-7）式的左边含有量子数12,,,j j j m ，所以在（7.6-7）式右边出现的12,j j 以及12m m m +=是确定的，则在（7.6-7）式右边只能对m 1（或m 2）求和。可见1122|j m j m ?在12,j j 以及12m m m +=确定后的完备性条件为：
1
1211221122||1m m m m
j m j m j m j m +=??=∑
（7.6-9）
在（7.6-8）中，1122|j m j m ?与12|j j jm ?都具有选定的相因子，以使得1122
jm
C j m j m 为确定后的
实数。1122
jm
C
j m j m 称为两个角动量的矢量耦合系数或称为克来布希——高登（Clebsch-Gordon ）系
数，简称为C-G 系数。因1122
jm
C j m j m 为实数，则由（7.6-8）式的转置共轭得：
1122121211221122
||jm
C
j m j m j j jm j j jm j m j m j m j m =??=?? （7.6-10）
基组1122|j m j m ?中的每一个基矢也都可以对基组12|j j jm ?展开，注意到上式得：
112212121122|||j
j m j m j j jm j j jm j m j m ?=???∑
112212|j
jm
C
j m j m j j jm =
?
∑ ， 12m m m =+ （7.6-11）
12|j j jm ?在12,,j j m 确定后的完备性条件为：
12
12||1j
j j
jm j j jm ??=∑ （7.6-12）
当 12,,j j m 确定后，基组1122|j m j m ?的正交归一条件为：
'
11
''11221122
|m m j m j m j m j m δ??=≤，121
2m m m m m m +=''+=
在上式中插入完备性条件（7.6-12）式得：
1112121211
22j
j m j m j j jm
j j jm j m j m ''∑ 1m m δ'=，
121
2m m m
m m m +=''+= （7.6-13）
同理，当j 1，j 2与m 确定后，基组12j j m 的正交归一条件为：
1212jj j j jm j j j m δ''=
在上式中插入完备性条件（7.6-9）式得：
1
12121122112212'||jj m m m m
j j jm j m j m j m j m j j jm δ+=????=∑
（7.6-14）
（7.6-13）式与（.6-14）式反映了C-G 系数的正交归一性。如果只有12,j j 是确定的，则
1122
jm C
j m j m 可视为（2j 1+1）阶正交矩阵（实系正矩阵）C 的第jm 行第m 1m 2列矩阵元，1
C C -= ，C 的各行及各列都满足正交归一条件。
C-G 系数的表示式的推导比较复杂[参看：Morton Hamermesh ，“群论及其在物理问题中的应用”，第九章]，只将结果写出如下：
112212|j m j m j j jm ??
12121221,12()!()!()!
[(21)
](1)!
m m m j j j j j j j j j j j j j δ++-+-+-=++++
12
11112222()!()!()!()!()!()!]j m j m j m j m j m j m +-+-+-
1
1211222112
(1)[()!()!()!()!()!]!V V
j j j v j m v j m v j j m v j j m v V --+----+--++--+∑（7.6-15）
在上工中的求和号内，整数V 的取值只限于使求和项内所有阶乘符号里的数不为负数。上式只有在12m m m =+以及12,,j j j 满足三角形关系时，C-G 系数才不为零。根据上式可推知C-G 系数的对称性质，例如：
1211222211
(1)j j j jm jm
C
C
j m j m j m j m +-=- （7.6-16）
物理化学-高盘良155-158第八章物质运动状态的量子力学描述
第8 章 物质运动状态的量子力学描述 主要公式 自由平动子：能级 22222 22 ,(1,2,3,) 28 t n h n q n ma ma π ===??? h 简并度1 t ω= 刚性转子：能级 2 (1) 2 r J J I ε +h （I为转动惯量） 简并度21 r J ω=+（J=0，1，2，3，…） 三维各向同性谐振子：能级 3 ( 2 r x y z n n n ε=+++hv 简并度 (1)(2) ,() 2 v x y z n n n n n n v ω ++ ==++ = （f为力常数） 分子能量: t r v e n εεεεεε =++++ 分子简并度: t r v e n ωωωωωω = 例题分析 例8.1双原子分子12C16O，其中原子摩尔质量为m(16O )=15.99491g·mol-1，m(12C )=12.00000g·mol-1。 （1）T=298 K ，在a=1.000m范围内平动，请计算n=1及n=2能级的平动能及两能级之间的能量差，各相当于k B T的多少倍。 （2）当发生转动能级跃迁J=0?1，12C16O微波吸收光谱为115271.20MH z，请计算核间距 co r、 转动惯量I几转动能级能量 ,r t ε及 r ε?。
（3）振动激发时，从低分辨的红外吸收光谱，测得，求振动运动的力常数，振动频率，基态和第一激发态的振动能，能级差。 解析：这是从实验数据及量子力学原理去了解粒子的微观运动状态，这也是统计力学的基础。 说明A 代替ε) （2）根据量子力学原理，B 为转动常数 22,,2(1),28e r r C h B I B J B I μγωωπ==+?=61281 1 115271.2(10/1)(1/1)(10/1)2.997925103.84503Z r z z Z MH H MH s H m cm m s cm ω----= ????= 1/2(0)/2 1.92252r r B cm ωω-=?=-= 161216 122-23-123-1 26()()()() (15.9949112.00000)g mol (10kg/g) (15.9949112.00000)g mol 6.02204510mol 1.13851810kg mol m O m C m O m C μ--?=+???=+???=?? 根据 28c h I B π= [ 46 12 2.799310],(/)(/) e cm kg r m μ--?= 461/2 102.799310( ) 1.130910/e r m kg μ--?==? 222 28,12 7,0(1)128.26510J 22242.00910(0,0)r J B r J J h h I I I k T J εεππε--??+?====?=? ???=?==h （3）1/2 1/2 -1212 -1V 10/N m 5.308810cm 2πc /kg f f ωμμ--???? ?= ≥=? ? ? ? ?? ?? 2 26-1-1122142.61 1.13851810N m 1854.5N m 5.308810f --?? =???=? ? ??? 1/2 25V,0 011 3.2371610J 222h f hv επμ-??===? ??? 25,1119.7115102 v hvo J ε-?? =+=? ?? ?
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
量子力学的矩阵形式和表象变换.
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ，且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =，),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系？ 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=， 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R （对应于真转动（proper rotation ））且R R =* （实矩阵）
量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数?、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在，使得I U U U U ==--11????1，称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为：+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ?有另一个等价的定义： “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立，则按+U ?定义， ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意，所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在，对上式右乘以1?U -，即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。
量子力学习题
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）
量子力学曾谨言第八章第九章习题详解
第八章：自旋 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ????=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=??? ??????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学习题（三年级用） 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结 论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系，
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac 符号系统与表象 一、Dirac 符号 1. 引言 我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(A x , A y , A z )表示一样。 量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量 （1）. 右矢空间 力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如： =n n a n ψ∑ （2）. 左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 < |。右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ | 和 |ψ> 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Q n > 展开： |ψ > = a 1 |Q 1> + a 2 |Q 2> + ... + a 3 |Q 3 > + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 12 n a a a ψ?? ? ? ?= ? ? ?? ? <ψ| 按 Q 的左基矢 和 <φ| 的标积为：*n n n b a ?ψ=∑。显然<φ|ψ>* = <ψ|φ>。对于满足归 一化条件的内积有：*1n n n a a ψψ= =∑。 这样，本征态的归一化条件可以写为：
量子力学习题分解
量子力学习题 （三年级用） 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年
第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ； （3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 3、利用Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能 量可能值。
第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? （1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的 结论？（其中k 为实数） 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子，在0=t 时，波函数为 ()()x ,x δ=?0 求： ?)t ,x (=?2
第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动） 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 （1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=
量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论 本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。 1.表象：完备基的选择不唯一。因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述 ②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数 ③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQ ?又可写作()()G Q G Q ψψ=? 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G Q G ???ψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ?的本征态ψ在表象G ?的i G 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择 但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基） *注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象） 2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号 （1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G G i i P i ?∑==?，称为投影算符 （2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量 （3）本征方程：ψ=ψ=ψI P ??，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i ?∑==?
量子力学导论第8章答案
第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4）
量子力学讲义第八章
第8章 自 旋 与 全 同 粒 子 Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。 1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验 2、自旋的提出 (1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mc μ=- ，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=± =± 2B e mc μ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量 （2） 2 z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mc μ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。 §8.1 电子自旋态与自旋算符 一、自旋算符 通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数 ????(,)F F r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。 与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s 它是角动量，满足同样的角动量对易关系???s s i s ?= 轨道角动量?l 自旋角动量s ???l l i l ?= ???s s i s ?= ???[,]x y z l l i l = ???[,]x y z s s i s = ???[,]y z x l l i l = ???[,]y z x s s i s = ???[,]z x y l l i l = ???[,]z x y s s i s = 2??[,]0i l l = 2??[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±?/2 两个值， 所以
量子力学习题
— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释 各项的几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态 能级和波函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态) cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===) 0(3)0(2)0(1。在不含时 微扰H '?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为???? ? ? ?=* *21 1 00E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五（20分）对电子，求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1
— 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改 写为 ψ(,) r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如 何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>?? ?∞ =x 0 ,,中运动，求粒子定态能量 和波函数。 三（20分）一维运动的粒子在态()0 00 <>?? ?=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中 0>λ。求()()???2 2 =???p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为2 1= s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y 、 S z 的矩阵表示。 B —1—1
量子力学
一、简答题（5x6分）二、证明题：（5x2分）三、四、五、六 （各15分） 一、1．何谓势垒贯穿？是举例说明。 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。 2．波函数()t r , ψ是应该满足什么样的自然条件？()2 ,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外， 它还应该是单值、有限和连续的。()2 ,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。 3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？ 答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态（它可以用波函数展开，看成平面波的叠加）。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 答：物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。 5．坐标 x 分量算符与动量x 分量算符x p ?的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 答：对易关系为[] i ?,=x p x ，测不准关系为2 ≥???x p x 6．厄米算符F ?的本征值n λ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系 7．简述德布罗意假设？ 答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。λ υh p h E = =,。 8．何谓定态？它有什么特点？ 答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()() iEt e r t r - =ψψ,描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。 9．简述全同性原理。 答：在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。 10、分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。
量子力学的矩阵形式及表象变换
量子力学的矩阵形式及表象变换(曾谨言4.5) 一个量子态可以在不同表象中表示出来的概念.作为对量子态进行运算的算符当然也因之有不同表象的问题.在许多量子力学教科书中把它讲的过分抽象.以下用大家熟悉的解析几何中的坐标及坐标变换作为类比,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念. 4.5.1 量子态的不同表象,么正变换 如图4.2平面(二维)上的直角坐标系12x x 的基矢为1e 和2e ,长度为1.彼此正交,即 (),i j i j δ =e e (),1,2i j = (1) (),i j e e 表示基矢i e 和j e 的标积.这一组基矢是完备的,因为平面上任何一个矢量A ,均可用它 们来展开: 1122A A =+A e e (2) 其中 ()()1122,,A A =e A =e A (3) 分别代表矢量A 与两个基矢的标积,即A 在两个坐标轴上的投影(分量).当12,A A 确定之后,就完全确定了平面上一个矢量.因此,可以认为()12,A A 是矢量A 在坐标系12x x 中的表示. 现在假设另取一个直角坐标系12 x x '',相当于原来坐标系顺时针转过θ角,其基矢分别用1 2,''e e 表示.而 (),i j i j δ ''=e e (),1,2i j = (1’) 同一个矢量A ,在此新坐标系中表示为 11 22A A ''''=+A e e (2’) 其中 ()()112 2,,A A ''''=e A =e A (3’) ()12,A A ''是矢量A 在坐标系12x x ''中的表示. 现在要问:同一个矢量A 在不同坐标系中的表示,有什么关系? 显然,根据式(2)及(2’), 112211 22A A A A ''''=+=+A e e e e (4) 上式分别用1 2,''e e 点乘(取标积),得 ()()()()111 12122 121222A A A A A A '''=?+?'''=?+?e e e e e e e e 若表示成矩阵形式,则为 ()()()()1 1121112122222cos sin sin cos A A A A A A θ θθ θ'''????-?????? ??== ? ? ? ? ?'''?????????? ??e e e e e e e e (5) 或记为 ()1122A A R A A θ'???? = ? ?'???? 其中 ()cos sin sin cos R θθθθ θ-?? = ??? (6) 1x x 1 'e 图 4.2