山西省太原五中2018-2019学年度第二学期月考(2月)高三数学(文)

太原五中2019学年度第二学期月考（2月）

高三数学(文)

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题:,2lg P x R x x ?∈->，命题

2

:,0q x R x ?∈>，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ?∧是真命题 D.命题)(q p ?∨是假命题 2．设集合A ＝B ＝

{(,),}

x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射),(),(:y x y x y x f -+→在映射下，B

中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ）

A ．（4，2）

B ．（1，3）

C ．（6,2）

D ．（3,1） 3

）项. A.19 B.20 C.21 D.22

4．复数i i

+12（i 是虚数单位）的虚部是（ ）

A ．i B.i - C ．1 D.1- 5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为（ ）3

m ．

A ．37 B.29 C ．27

D.49

6．设变量,x y 满足约束条件：+222y x x y x ≥??

≤??≥-?

，则3z x y =-的

最小值（ ）

A ．2-

B ．4- C

．6- D ．8-

7．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

A

C

8．在△ABC中，若

2

AB AB AC BA BC CA CB

=?+?+?

，则△ABC是( )

A.等边三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

9

像如图示，则将

()

y f x

=的图像向右平移

图像解析式为（）

A．

x

y2

sin

= B.x

y2

cos

=

10．已知双曲线

22

22

:1

x y

C

a b

-=

的左、右焦点分别是12

,F F

，正三角形12

AF F

的一边1

AF

与双曲线左支交于点B，且11

4

AF BF

=

，则双曲线C的离心率的值是（）

A．

1

2

3

+

B．C．

1

3

13

+

D．

11．已知函数

()

2014

sin(01)

(),

log1

x x

f x

x x

π

?≤≤

?

=?

>

??

若a、b、c互不相等，且

)

(

)

(

)

(c

f

b

f

a

f=

=，则a＋b ＋c的取值范围是（）

A．（1，2019）B．（1，2019）C．（2，2019）D．[2，2019]

12．设x，y∈R，且满足

3

3

(2)2sin(2)2,

(2)2sin(2)6,

x x x

y y y

?-++-=

?

?

-++-=

??则x y

+=（）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~

第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量

(1,2),(2,)

a bλ

=-=

，且a

与b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是.

14．已知数列{}

n

a

、

{}

n

b

都是等差数列，n

S

、n

T

分别是它们的前n 项和，且

_______________．

15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，

AC=6，

P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为

___________

16．过点(1,1)

-的直线与圆2224110

x y x y

+---=

截得的弦长为

。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知等比数列

{}

n

a

中，1

2

a=

，3

18

a=

，等差数列

{}

n

b

中，1

2

b=

，且1231234

20

a a a

b b b b

++=+++>

．

⑴求数列

{}

n

a

的通项公式n

a

；

⑵求数列

{}

n

b

的前n项和n

S

．

18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2019届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：

P

C1

B1

A1

C

B

A

（1）求表中a ，b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：

（2）从成绩在[100,120)范围内的学生中随机选2人，求其中恰一人成绩在[100,110)内的概率。

19. 如图1，等腰梯形ABCD 中，

E ABC AD AB BC AD BC AD ,60,,21

,//?=∠==

是BC 的中点，

如图2，将ABE ?沿AE 折起，使面⊥BAE 面AECD ，连接BD BC ,，P 是棱BC 上的中点． （1）求证：BD AE ⊥

（2）若,2=AB 求三棱锥AEP B -的体积

20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的

中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点

在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d

的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，

求证：2

2||||PB PA +为定值．

21．（本小题满分12分）已知函数

()ln

f x x x

=．

（I）求函数

()

f x的单调递减区间；

（II）若

2

()6

f x x ax

≥-+-在(0,)

+∞上恒成立，求实数a的取值范围；

（III）过点

2

(,0)

A e-

-作函数()

y f x

=图像的切线，求切线方程

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD. （Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；

（Ⅱ）若tan∠

O的半径为3，求OA的长.

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

的直线l，被以原点为极点，x轴的正半轴

为极轴，极坐标方程为

θ

ρcos

2

=的曲线C所截，求截得的弦长．

C

24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 设函数()|4|||f x x x a =-+-(4)a < （1）若()f x 的最小值为3，求a 的值； （2）求不等式()3f x x ≥-的解集.

太 原 五 中

2019学年度第二学期(2月) 高三数学文科模拟考试

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13、

()(),44,1-∞-?- 14、

15、 16、 13410x x y =-+-=或 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解(1)∵

,3,9,182,18

2

23±===∴=q q q a 当3=q 时，,62=a 2026321>=++a a a

，当3-=q 时，,62-=a 2014321<=++a a a ，不满足题意，所以3=q ，n a =132-?n .

(2)由已知

8,243,2433432==∴=++b b b b b ，d

228+=，∴

3=d ,∴

18.解：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，

∴；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为

2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试

×100%=65%.

（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有6人，分数在[100,110)范围内的有4人，概率

158=

P

20．解：（1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，

故可设椭圆C 的方程为（0>>b a ）， 在椭圆C 上，所以

解得

12

=b ， （1分） 所以，椭圆C 的方程为

（2）设)0,(m P （22≤≤-m ），由已知，直线l 的方程是

042222=-+-m mx x （*） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，

所以，

2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+

．

所以，2

2||||PB PA +为定值．

21．解（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <-

10x e ∴<<

∴函数()f x 的单调递减区间是1

(0,)

e ；

（Ⅱ） 2

()6f x x ax ≥-+-即

6ln a x x x ≤++

设6

()ln g x x x x =++则22

26(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-==

当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；

∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+；

（Ⅲ）设切点

00(,)T x y 则0'()AT

k f x =∴00

002ln ln 11

x x x x e =++即

2

00ln 10e x x ++=

设2

()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数

∴()0h x =最多只有一个根，又

2

222111(

)ln 10h e e e e =?++=∴

21x e =

由

0'()1f x =-得切线方程是

210x y e ++

=.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 22.解：（1）连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥，所以AB 是圆O 的切线； （2）因为AB 是圆O 的切线，所以,B C D E ∠=∠又B B ∠=∠，所以B C D ?∽

因为DE 是圆O 的直径，所以EC CD ⊥，在

E

C D ?

，∴2BD =，5OA =.

23.解：由题意知，直线l 的倾斜角为

30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ?

中，

24.

因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤

时等号成立,故

. 4分

⑵不等式x x f -≥3)(即不等式

①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥- 即 1.x a ≤+

所以，当a x <时，原不等式成立.

②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立. ③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-

由于4x 时，原不等式成立.

综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为R.