山西省太原市2017届高三模拟考试(一)数学理试题

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山西省太原市2017届高三模拟考试（一）数学理试题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

一、选择题

1．已知集合(){|1}A x y lg x ==+， {|2}B x x =<，则A B ?= （ ） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,2- D. ()2,1--

2．已知2zi i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A. ()1,2-- B. ()1,2- C. ()1,2- D. ()1,2

3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则2()()135810336a a a a a ++++=，则

11S =（ ）

A. 66

B. 55

C. 44

D. 33

4．已知()()1,,,1a cosa b sina ==

，且0απ<<，若a b ⊥ ，则α=（ ）

A.

23π B. 34π C. 4π D. 6

π 5．函数()cos x

f x x

=的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

6．已知圆2

2

:1C x y +=,直线():2l y k x =+,在[]

1,1-上随机选取一个数k ,则事

件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为（ ）

A.

12

B.

C.

D. 7．执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。若输入的[]

,t m n ∈，则实数n m

-的最大值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. 61π+

B.

(2414

π++

C. (2314

2

π+

D. (2314

π++ 9．已知()20,{,|20,360x y D x y x y x y +-≤????

=-+≤????-+≥??

，给出下列四个命题:

()1:,,10P x y D x y ?∈++≥ ()2:,,220P x y D x y ?∈-+≤

()31

:,,

41

y P x y D x +?∈≤-- ()22

4:,,2P x y D x y ?∈+≤

其中真命题的是（ ）

A. 12,P P

B. 23,P P

C. 24,P P

D. 34,P P

10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，

O 为坐标原点，若AOB ?的面积为AB =（ ）

A. 24

B. 8

C. 12

D. 16

11．已知函数()(0)f x sinwx w =>，若方程()1f x =-在()0,π上有且

只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（ ）

A. 137,62??

??? B. 725,26??

??? C. 2511,62??

??? D. 1137,26?? ???

12．设函数()2

32(0)2

f x x ax a =->与()2

g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（ ）

A. 212e

B. 212e

C. 1e

D. 2

3

2e

-

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题

13．已知()()11,,1a b t =-=，,若()()

//a b a b +- ,则实数t =__________．

14．已知双曲线经过点(1,，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标

准方程为__________．

15．已知三棱锥A BCD -中， ,1,BC CD AB AD BC CD ⊥====则该三棱锥外接球的体积为__________．

16．已知数列{}n a 中， ()

*

111,231n n a a a n n N +=-=+-∈，则其前n 项和=

n S __________．

三、解答题

17．已知,,a b c 分别是ABC ?的内角,,A B C 所对的边， 2,a bcosB b c =≠.

（1）证明： 2A B = ；

（2）若222

2a c b acsinC +=+,求A .

18．某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。某汽车经销商退出,,A B C 三

种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图。已知从,,A B C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元。现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。以这100 位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率。

（Ⅰ）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；

（Ⅱ）记X （单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列和期望。

19．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形， BE ⊥平面ABCD ,

//DF BE , 22,3DF BE EF ===.

（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD .

（2）若二面角

A EF C --是直二面角，求AE 与平面ABCD 所成角的正切值。 20．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角

形的三个顶点，点312D ??

???，在椭圆C 上，直线y kx m =+与椭圆交于,A P 两点，

与x 轴， y 轴分别相交于点N 合点M ，且PM MN =，点Q 时点P 关于x 轴的对称点， QM 的延长线交椭圆于点B ，过点,A B 分别做x 轴的垂线，垂足分别为11,A B .

（1） 求椭圆C 的方程；

（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11,A B ？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

21．已知函数()()()422f f x Inx ax a R x

-

'=+∈在2x =处的切线经过点()4,2In -

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若不等式

2

211xInx

mx x >--恒成立，求实数m 的取值范围. 22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{

x y sin ??

==，（其中?为参数），曲

线222:20C x y y +-=，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O ) （1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02

a π

<<

时，求22

OA OB +的取值范围.

23．已知函数()()1

02f x x a a a

=-+

≠ （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值

（2）当1

2

a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.

参考答案

1．C 【

解

析

】

集

合

{}

1A x x =- , {|22}B x x =-<< ，所以

(){|12}1,2A B x x ?=-<<=- .故选C.

2．A

【解析】由已知有212i

z i i

-==-- .复数z 在复平面内对应的点得坐标为()1,2-- .故选A.

3．D

【解析】由等差数列的性质有396636,a a +=,所以396a a += ,则

()

()

11139111111332

2

a a a a S ++=

=

= .故选D.

4．B

【解析】当a b ⊥ 时有0a b ?=

，所以sin cos 0αα+= ，得出tan 1α=- ，由于

0απ<< ，所以34

π

α=

.故选B. 5．D

【解析】因为()()()cos cos x x

f x f x x

x

--=

=

=--- ,所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点成中心对称,排除答案A 、B ，当0x +

→ 时， 1,cos 1x x →+∞→ ，所以cos x x

→+∞ ，排除C ，故选D. 6．C

【解析】当直线l 与圆C 相离时，

1d =

>

，解得k >

或k < ，又

[]1,1k ∈-

，所以1k -≤<

1k <≤ ，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的

概率为(11)

332-+=故选C.

7．D

【解析】由程序框图有23,1

4,1

={t t t t t S <-≥ ，当1t < 时， []

30,4S t =∈ ，所以01t ≤< ；当1t ≥时，由[]

240,4S t t =-∈ 有14t ≤≤ ，综上有04t ≤≤ ，所以n m - 的最大值为4 . 故

8．D 【解析】由此几何体的三视图知该几何体的直观图是由一个底面直径为2 高为2 圆柱上面放置一个底面半径为1 高为1 的

1

4

圆锥，圆锥母线长为

，故表面积为(2

2223311212+1+1+11=14424

S π

ππππ=????????+表 .故选D.

9．C

【解析】作出不等式组20

{20360

x y x y x y +-≤-+≤-+≥ 所表示的区域D ，如下图阴影部分ABC ? ，

()()()2,0,0,2,1,3A B C -- ，对于命题1P ， x y + 在A 点取最小值为2- ，所以命题1P 为假命题；对于命题2P ， 2x y - 在点B 取最大值2- ，所以命题2P 为真命题；对于

命题3P ，

11y x +- 表示可行域内的点(),x y 与点()1,1- 连线的斜率，得出11

313

y x +-≤

≤--，故命题3P 为假命题；对于命题4P ， 2

2

x y + 表示可行域内的点(),x y 与原点之间的距离的平方，在AB 的中点()1,1- 有2

2

=2x y + ，所以命题4P 为真命题.故选C.

点睛：本题通过给出集合，判断全称命题和特称命题的真假，与2014年理科数学全国卷Ⅰ

第9题类似. 本题思路: 通过给出的集合,画出可行域,再对每一个命题真假进行判断,得出答案. 本题主要考查了全称命题和特称命题的真假判断以及求目标函数的最值. 10．A

【解析】抛物线2

4y x = 的焦点F 坐标为()10F ， ,过焦点()10F ，的直线设为

1x my =+ ,设()()1122,,,A x y B x y ,联立2

1{

4x my y x

=+= 有2

440y my --= ,所以有

121244

{y y m

y y +==- ,由

121

1122

AOB S OF y y ?=??-=? ,

所以有

m =

1224AB y =

=

-== ,选A.

【解析】函数()s i n 3c o s 2s i n 3f

x x

x πω

ωω?

?=-=- ??

? , 由()1f x =- 有

1sin 32x πω?

?-=- ??? ,所以有236x k ππωπ-=-

或5236x k ππωπ-=-,当236

x k π

π

ωπ-

=-

时, 26

x k π

ωπ=+

, 0k = 时显然成立,由于方程()1f x =- 在

()0,π 内有四个交点,所以1k = 时也成立,

2k = 时, x π= 是第五个交点,但

()0,x π∈ 此时256ω=

,所以256ω≤ ;当5236x k ππωπ-=-时, 2-2

x k π

ωπ=, 1k = 或2 ,且2k = 时, 72x πω= ,由于0x π<< 所以72

ω> ,综上有725

26ω<≤ ,

选B.

点睛:本题主要考查了形如三角函数()sin y x ωφ=+ 在某区间上的解问题，属于中档题. 本题思路: 将函数()y f x = 化简为()2sin 3f x x πω?

?

=-

??

?

,由1

sin 32

x πω??

-

=- ?

?

?得出23

6

x k π

π

ωπ-

=-

或523

6

x k π

π

ωπ-

=-

,再分情况讨论,得出正数ω 的范围,要注意的是ω 可以等于25

6

.

12．A

【解析】设公共点坐标为()

00,x y ,则()()2

'32,'a f x x a g x x

=-= ,所以有

()()

00''f x g x = ,即2

00

32a x a x -= ,解出0x a = (03x a =-舍去),又

()()000y f x g x == ,所以有2

20

0032ln 2

x ax a x b -=+ ,故2

200032ln 2

b x ax a x b =-=+ ,所以有2

21ln 2

b a a a =-

- ,对b 求导有()'21ln b a a =-+ ,故b 关于a 的函数在10,e ?? ??? 为增函数,在1,e ??

+∞ ???

为减函数,所以当1a e = 时b 有最大值2

12e ,选A. 点睛: 本题主要考查了导函数的几何意义及导数的应用, 属于中档题. 根据题意有切线斜率相等和切点坐标相同, 求出切点坐标和,a b 之间的关系式, 利用导数求出b 的最大值. 13．-1

【解析】由已知求出()()1,0,1,2a b t a b t +=+-=-

-

,所以有

()()()12010t t +?--?-= ,所以1t =- .

14．2

214

y x -=

【解析】由双曲线的渐近线方程设双曲线方程为()2

2

04

y x λλ-=≠ ,由点(1, 在双

曲线上,有(2

14

λ-

= ,所以1λ=- ,故双曲线方程为2

214

y x -= .

15．

43

π 【解析】取BD 中点O ,连,AO CO ,由勾股定理可求出1

=2OC=12BD BD =，,在ABD ?中, 222AB AD BD +=,所以ABD ?为直角三角形, 1

12

OA BD ==,故

1OA OB OC OD ====,所以O 为三棱锥A BCD - 的外接球的球心,且半径为1 ,故

体积3

441=33

V π=? .

16．21

372

42

n n n n

S ++=--

【解析】设()()112n n a k n b a kn b ++++=++,化简求出3,2

k b ==

,即()()1312232n n a n a n ++++=++,所以数列{}32n a n ++是以1324a ++=为首项,公

比为2的等比数列,所以111

32422=232n n n n n a n a n -++++=?=--，,故其前n 项和

(

)()2231

1

1237222

32322

42

n n n n n n

S a a a n +++=+++=+++++++=-- .

点睛:本题主要考查了数列通项公式的求法和数列求和. 由已知数列的递推公式, 形如

1n n a pa kn b +=++ (其中,,p k b 为常数)采用构造法求出通项公式, 使其构成等比数列,

在求数列的前n 项和时, 用分组求和法求出. 17．（1）∴2A B =;（2）2

A π

=

【解析】试题分析: (1)由正弦定理得出sin 2sin cos A B B =,求出,A B 之间的关系,注意条件

b c ≠; (2)由余弦定理和诱导公式求出A . 试题解析:（1）∵2a bcosB =,

∴由正弦定理得22sinA sinBcosB sin B ==. ∴2A B =或2A B π+=

当2A B π+=时, B C =,即b c =与b c ≠矛盾,舍去. ∴2A B =.

（2）由2222a c b acsinC +=+及余弦定理及诱导公式得2sinC cosB sin B π??==- ???

, 即=

2B C π

+,∴2

A π

=

.

18．（Ⅰ）0.635;

（Ⅱ）

()0.122520.31530.342540.1850.046 3.7E x =?+?+?+?+?=

【解析】试题分析: (1)从柱状图看出,,A B C 三种付款的频率, “甲乙采用不同分期付款”的对立事件是“甲乙采用相同的分期付款”,求出事件“甲乙采用相同的分期付款”的概率,再利用概率加法公式可求出“甲乙采用不同分期付款”的概率; (2)该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润为X ，取值可能为2,3,4,5,6.利用相互独立事件概率公式分别求出概率，再算出期望. 试题解析:（Ⅰ）()350.35100P A ==， ()450.45100P B ==， ()20

0.2100

P C == 甲

乙

两

人

采

用

不

同

分

期

付

款

方

式

的

概

率

为

：

()()()()()()10.635P A P A P B P B P C P C ??-?+?+?=??

（Ⅱ）

()()20.350.350.1225,320.350.450.315P X P X ==?===??= ，

()()40.450.450.3425,520.450.20.18P X P X ==?===??=，

()60.20.20.04

P X ==?=，

故

分

布

列

为

数学期望()0.122520.31530.342540.1850.046 3.7E X =?+?+?+?+?=. 19．（1）见解析;（2）

12

【解析】试题分析：(1)利用面面垂直的判定定理证明即可; (2)利用二面角A EF C --是直二面角,求出菱形ABCD 的边长,再求出AE 与平面ABCD 所成角的正切值. 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥

∵BE ⊥平面ABCD ∴BE AC ⊥ ∴AC ⊥平面BEFD

∵AC ?平面ACF ∴平面ACF ⊥平面BEFD

（2）(向量）解：以点O 为原点， OA 方向为x 轴， OB 方向为y 轴， BE 方向为z 轴建立空间直角坐标系，如图。做DF 的中点H ，连接EH ,因为BE 平行且等于DH ， 1DH =.

所以四边形BEHD 为平行四边形,

因为在Rt EHF ?中， 1,3FH EF ==，所以EH =，所以BD =

设AB 长为a ，则各点坐标为

)

A

； ()E ； ()

0,F ； ()

C

所以(AE = ； ()

0,EF =- ； )

CE =

设()1111,,n x y z = 为面AEF 的法向量； ()2222,,n x y z =

为面CEF 的法向量。

所以10n AE ?= ； 10n EF ?=

得1111,z x y ==

令1y =(1n =

同理得(2n =-

因为二面角A EF C --是直二面角，所以120n n ?=

得2a =

由题可得： EAB ∠为AE 与平面ABCD 所夹角 因为2,1AB BE ==

所以1

tan 2

BE EAB AB ∠== (几何）

∵四边形ABCD 是菱形，∴,ADF CDF ABE CBE ?????? ∴,AF CF AE CE ==，∴AEF CEF ???

过A 作AM EF ⊥，连接CM ，则AMC ∠为A EF C --二面角的平面角

设菱形的边长为a

∵1,2,3BE DF EF ===, DF BD ⊥，∴ BD =

在AOB ?中， AO AC =∵A EF C --二面角为直角，∴AMC ∠为直角

∴AM =在AEF ?中， AM EF ⊥，设AM x =，则3MF x =-

AF AE ==

()2

2

2

23x x --=- ∴2a =

AE 与平面ABCD 所成角为EAB ∠

∴1

tan 2

EAB ∠=

20．（1）22143x y +=;（2）存在直线l 的方程为12y x =12y x =-

【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出

c b =,再由点31,2??

???

在椭圆上,可求出,,a b c 的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出,M N 点的

坐标,由已知条件可求出,P Q 点的坐标,设()()1122,,,,A x y B x y 联立直线与椭圆的方程,消去y ,得到关于x 的一元二次方程,由韦达定理可求出1m

x k

+ 的表达式以及直线MQ 的斜率,联立直线MQ 与椭圆方程,可求出2m

x k

+

的表达式,进而求出12x x +的表达式, 由N 平分线段11A B ，求出,k m 的值,得出直线方程.

试题解析:（1

）由题意知b c =

，即b ， 2222

4,3a c b c ==，即2222143x y c c

+=,

∵31,2??

???在椭圆上，∴22914143c c +=，

2221,4,3c a b ===

所以椭圆C 方程为22143

x y +=. （2）存在 设()0,,,0m M m N k ??

-

???

，∵=DM MN ∴,2,,2m m P m Q m k k ????

-

? ?????

, ()()1122,,,A x y B x y 2

2{143

y kx m x y =++= ∴()2

2

23484120k x

kmx m +++-=①

∴12834m km x k k +=-+， 212

41234m m x k k -?=+ ()

230QM m m k k m k

--=

=--

联立2

2

3{143

y k m

x y =-++= ∴()2

2

2336244120k x

kmx m +-+-=②

∴222248=336112m km km x k k k

+

=++

∴12228811234m m km km x x k k k k ++

+=-++ ∴1222

88211234km km m

x x k k k

+=--++ 若N 平分线段11A B ，则22288211234m km km m

k k k k

-=--++ 即228811234km km k k =++， 22

11234k k

+=+， ∴12

k =±

∵214k =

把①，②代入，得23,77

m m ==±

所以直线l 的方程为12y x =

12y x =-±点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点N 平分线段11,A B , N 点为

AB 的中点,利用中点坐标公式,求出,k m 的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关

系比较复杂,容易弄错.

21．（1）()f x 在()0,+∞单调递减;（2）0m ≤

【解析】试题分析: (1)利用导数几何意义,求出切线方程,根据切线过点()4,ln2-,求出函

数()f x 的解析式; (2)由已知不等式分离出m ,得22112ln 1x m x x x ??

-<+ ?-??

,令()212ln x x x x ?-=+,求导得出()x ? 在()0,+∞ 上为减函数,再求出

2

2112ln 1x x x x

??

-+ ?-??

的最小值,从而得出m 的范围. 试题解析:（1）()()2

422

f f x a x x +''=+

令2x =∴()()212f a f =+'+'

∴1a =- 设切点为()()

2,22222In a f +-'

()()()()2222222y In a f f x -=''-+-代入()4,22In -

()()2222222=62In In a f f '-+-'- ∴()1

24

f '=-

∴()()2

2

12

10x f x x x --'=--≤

∴()f x 在()0,+∞单调递减 （2）

2

211xInx

mx x >--恒成立 221121x Inx m x x ??

-+> ?-??

令()2

12x x Inx x

?-=+

()2

22211110x x x x ???

=--=--≤ ???

'

∴()x ?在()0,+∞单调递减 ∵()10?= ∴()()()()0,1,0{

1,,0

x x x x ??∈>∈+∞<

∴

()2

1

1x x ?-在()0,+∞恒大于0 ∴0m ≤

点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及导数的应用,包括求函数的单调性和最值,属于

中档题. 注意第二问中的恒成立问题,等价转化为求2

2112ln 1x x x x ??

-+ ?-??

的最小值,直接求22112ln 1x x x x ??-+ ?-??的最小值比较复杂,所以先令()2

12ln x x x x ?-=+,求出在()0,+∞ 上的单调性,再求出22112ln 1x x x x ??

-+ ?-??

的最小值,得到m 的范围.

22．（1）1C 的极坐标方程为2

2

2

20sin ρρθ+-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=;（2）

∴()2,5.

【解析】试题分析: (1)先分别求出曲线12,C C 的普通方程,再利用cos ,sin x y ρθρθ==化为极坐标方程; (2)分别求出2

2

,OA OB 的表达式,利用单调性求出范围.

试题解析: （1）1C 的普通方程为2

212

x y +=， 1C 的极坐标方程为22220sin ρρθ+-= 2C 的极坐标方程为2sin ρθ=

（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得2

22

1sin OA α

=

+

联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得2

2

4OB sin α=

则()

22

22

22

224sin 41sin 41sin 1sin OA OB αααα

+=

+=++-++ ()21sin ,1,2t t α=+∈

则22

2

44OA OB t t

+=

+-，在()1,2上单调递增， ∴()2

2

2,5OA OB +∈. 23．（1）1;（2）1

{|0}2

a a -

≤<. 【解析】试题分析: (1)由不等式性质m n m n -≤- ,得出()()f x f x m m -+≤ ,所以有1,m ≤ 求出m 的最大值; (2)对于函数()g x 分情况去掉绝对值符号,得出()g x 在

1

2

x =

处取最小值,由最小值不大于零,求出a 的范围. 试题解析:（1）1122x a x a m x a x a m m a a -+--+-≤--+-= ∵()()1f x f x m -+≤ ∴1m ≤， m 的最大值为1.

（2）()()21g x f x x =+-

即()1131,2211

{1,22

1

31,2x a x a g x x a a x a x a x a

a

+

--≥=-+-+≤<-+++<

()g x 在12x =

处取到最小值，即1131022a a ?+

--≤， 11

022a a

+-≤，通分后的()()2110

2a a a

+-≥

解集为1{|0,1}2a a a -

≤<≥与题干中12a <取交集得1

{|0}2

a a -≤<.