瓶子的容积

《问解解决》教学设计

一、导言：

前几节课，我们学习了求物体的体积，现在请同学们看这几幅图片，你能用什么方法求出它们的体积呢？

出示课件：生活中的物品，牙膏盒，魔方，笔筒，土豆，空瓶子等物品。

师：要想计算这些物体的体积，你有哪些办法？

生：量出牙膏盒和魔方的长宽高，利用公式进行计算。

生2笔筒量出底面半径或直径和高，再利用公式计算。

师：这些都是我们学过的规则的立体图形，我们都可以利用公式来计算它们的体积，那么西红柿的体积怎么求呢？

生3：我们可以把它放入一个装有水的容器里，求出水面一升的那一部分的体积，就是西红柿的体积了。

师：这是不规则物体完全浸在水中，物体的体积等于它完全浸入水中后排开水的体积。

师引导：上图中还剩下什么物体的容积或体积没有求出来了？

生：一个空瓶子。

师：能不能用公式来解决？

生：不能，它不是规则物体，不能用公式。

师：那怎么办？浸在水里呢？想一想，行不行？

生：不行，把空瓶子放在水里一直浮在水面上，没有排出水。

师：那怎么办呢？（生表现出疑惑）

今天我们就来共同研究怎么样求出瓶子的容积。（板书：解决问题）

师：（出示一个瓶子）关于瓶子你能提出什么数学问题？

生：我想知道瓶子的容积。生2：我想知道这个瓶子的高。生3：我想知道底面积

师：看，一个小小的瓶子大家能提出这么多数学问题，大家真了不起，这节课我们就来看一看能不能解决这些问题？（板书）

师：刚才有同学想知道这个瓶子的高和底面积，谁能解决这个问题？

生：可以通过测量来解决这个瓶子的底面直径和高。

师：嗯，底面直径和高可能通过测量来得到，底面积呢?

生：底面积可以通过计算，利用公式底面积=

师：像这些问题，我们可以通过测量数据后直接计算出来，还有同学想知道这个瓶子的容积，生1：我觉得可以通过看瓶子上的标签来知道瓶子的容积是多少.

师：你认为360ml是这个瓶子的容积，大家认为可以吗？

生：因为瓶子如果受冷或者受热的话，瓶子可能膨胀或委缩，这就是热胀冷缩的原理。所以商家为了避免让瓶子破损，会把瓶子里留下一定的空间，所以瓶子上的标签并不一定是瓶子的容积。

师：大家同意他的说法吗？你的生活经验真丰富。确实是这样的。，为了避免瓶子因热胀冷缩面受到破损，一般瓶里的水是没有装满的，谁还有别的方法能知道它的容积呢？

生2：我们可以把瓶子装满水，然后再把里面的水倒在一个有刻度的量杯里量一量。

生3：我们可以先把水装满整个瓶子，然后把水倒入我们学过的物体容器里，比如说长方体、正方体，这样就可以通过求长方体或正方体的容积求出水的体积，也就知道了这个瓶子容积了。

师：我们可以通过水的体积来知道瓶子的容积，瓶子是一个不规则的物体，所以我们可以

借助水的体积来求出它的容积。那老师就用大家的方法，把这瓶子盛满，（换一瓶装满水的瓶子）可现在没有别的容皿，你能想办法求出它的容积吗？（没人回答）大家来看（把瓶子里的水倒出一部分）这样行不行呢？（可以）已经有同学有思路了，下面请小组合作，拿出课前老师发给你们的矿泉水，请一位同学喝掉一部分之后，再把你的想法在小组交流交流。生讨论，小组合作，师巡视。

师：哪个小组愿意上台来交流一下你们的想法？

生：（带瓶子）首先我们先将瓶子里的水喝掉一部分，现在水的部分是一个规则的物体，也是我们学过的圆柱，我们可以将它的体积计算出来，除了水的部分，这个瓶子还有一部分是空气部分，现在这个空气的部分是个不规则的物体，我们可以将它倒置过来，那么空气部分随着容皿变成圆柱体，我们学过圆柱体它的计算公式，所以说，我们首先要将水的体积计算出来，再计算出空气的体积，这样将水的体积和空气的体积相加，我们就可以求出来这个瓶子的容积。

师：这是他们小组的方法，其他成员还有补充吗？（没人回答）大家还有没有什么想说的？那老师有问题，为什么要喝来这里呢？（指瓶子，水喝到瓶颈以下，这样才能是圆柱体）这里行不行？（指瓶子，瓶颈以下，不是圆柱）

生：这个我想解释一下，喝到这里（指瓶颈以上）它是一个不规则物体，我们没有会过计算它的体积的方法，所以说喝到这里的话（指瓶颈以下）现在这个水已经形成一个圆柱体，方便计算，所以说我们要把水喝到这里。

师：同意他的解释吗？（同意）为什么要把瓶子倒来呢？

生：这样可能将空气的体积也变成圆柱体，方便我们计算，而且倒过来，因为是在同一个容皿里，即使是将它倒过来，空气的体积是永远不变的，而且倒过来了也方便我们计算，因为正着，空气部分是一个不规则物体，我们没有学过计算它的体积方法，

师：大家同意他的观点吗？（同意）你解释的很完整。倒过来之后，体积没有变，什么变了？生：形状

师：：体积没变，形状变了，非常好，大家和他们小组的方法一样吗？（一样）那么还有哪位同学愿意上台来，结合老师的教具再和大家清楚的展示一下？

生：（这说边展示）大家看，因为这个瓶子大家都喝了一口水，所以蓝色的部分就是水，黄色部分就是空气的部分，所以要想求出整个容皿的容积的话，我们应该用水的体积加上空气的体积，因为水的体积可以很清楚的看出它是呈一个圆柱体，所以我们可以通过测量和计算来先求出水的体积。那么空气的体积成了一个不规则的物体的形状，所以我们可以把它给倒置过来，（出示一个倒置的瓶子）这样水的体积没有变，第一个蓝色部分和第二个蓝色部分是相等的，这个黄色部分和这个黄色部分也是相等的（边演示）那么大家也可以清楚的看出空气部分的体积也成为了一个圆柱体的形状，所以我们也可以通过测量和计算把空气部分的体积求出来。那么用水的体积再加上我们刚刚求出来的空气的体积，就是这个瓶子的容积了。

师：说的非常完整，请回。我把大家的方法记录下来。（板书：水的体积+空气部分的体积瓶子的容积）通过观察我们发现，瓶子的容积包含（出示课件）空气的部分和水的部分，水的体积我们会求，但空气部分它是一个不规则的物体，所以我们把它倒置过来，利用体积不变的原理，转化成我们学过的圆柱体，最后把两部分体积相加就是瓶子的容积。

好了，我们已经找出了解决这个问题的方法，下面就请小组同学再次分工合作，根据老师给的数据求出瓶子的容积。

小组合作

师：同学们都已经完成了，那么哪个小组愿意上台来交流你们的方法呢？

生：我们组测量出瓶子的底面直径是6厘米，半径是3厘米，水的高度是10厘米，空气

部分的……

师：大家认为他们的方法可以吗？这里先求出的是（水的体积，）再求出的是（空气的体积）那老师刚才在下面看的时候，发现的有小组和他们的结果不太一样？

生：老师，我认为是我们喝到的水的体积不一样，空气的体积也就不一样，所以求出来的瓶子的容积就不一样。

师：大家认为是这样的吗？

生：不行，我认为如果喝掉的水的体积不一样，空气的体积也会不一样，如果喝掉的水多的话，空气的确良但瓶子的容积是空气的体积加上水的体积，最终的容积是一定不会变的。师：容积不变，可是大家在计算的时候为什么结果却不太一样？

生：我觉得可是在测量时有误差。

师：对，我们在测量里，因为有误差，所以大家的结果可能不太一样，但是方法是一样的。师：一起来回顾一下，瓶子的容积问题我们是怎么来解决的呢？

生：我觉得我们可能把瓶子分成两部分，第一部分是空气部分，第二部分是水的部分，那么水的部分就成了一个圆柱体的形状，我们先求出水的部分，然后再把瓶子给倒置，这样水的体积和空气的体积依然是不变的，而这时空气部分就变成了一个圆柱体的形状了，我们就可以求出空气部分的体积了，最后再把水的体积和空气的体积相加，就是整个瓶子的容积了。师：说的很好，在没有别的容皿可借用的情况下，我们可以先喝掉一部分水，这时瓶子的容积就包含了两部分，水的体积我们会求，但空气部分我们不会求，所以我们把它倒置过来，利用体积不变的原理，转化成圆柱体，最后把两部分圆柱的体积相加就是这个瓶子的容积。师：请同学们回顾一下在解决问题的过程中，我们运用了什么方法？

生：转化。

师：对，转化，这是一种数学思想，它可以指引我们思考方向，可以化难为易，本节课的转化思想体现在哪儿？

生：利用体积不变的特性，把不规则的图形转化成规则的图形来计算。

师；那么关于这个容积问题，大家还有疑问吗？（摇头）老师这里有一个问题，大家试着来解决一下。（示一个）这本来是一个满瓶红茶，底面是一个正方形，我喝掉一部分后，我想知道，（*出示课件）我喝掉了多少？（一瓶盛满的红茶，它的底面是个正方形，喝掉了一些，你知道喝掉了多少红茶吗？）怎么办？

生：依就可以把瓶子倒置过来，喝掉的部分也就是空气的部分，它成为一个长方体或正方体，可以根据长方体的长宽高来计算它的体积。

师：大家认为他的解释怎么样？（很好）那么想求出空气部分的体积，需要测量哪些数据？生：我觉得需要测量倒置过来的空气部分的长宽高（）

师：边演示，边说，老师已经说了底面是一个正方形，那就需要知道它的边长和倒置后空气部分的高，（出示数据）老师已经测量出了这些数据，下面就请同学们把过程写在练习本上。(出示：底面边长=6cm，倒置后空气的高度是10cm )

生练习。师巡视。

师：哪体同学愿意把你的方法和大家交流一下？

生：生汇报。体积公式是V=sh

师：说的非常完整，大家同意他的方法吗？（同意）

师：好了，同学们，对比我们刚才学习的方法解答的这两个问题，它们有什么共同的特点？生：它们都是把瓶子倒过来求出圆柱体的体积或是长方体或正方体的体积。

师：那为什么要把它们倒过来呢？

生：因为我们要求的那部分体积是不规则物体的体积，我们利用转化的思想，倒过来可以把它转化成我们学习过的规则的物体，

师：说的很完整，还有谁愿意来说一说？

生：因为在正着放的情况下，瓶子的空气部分是一个不规则物体，而倒过来后，空气部分就变成了一个规则物体，方便我们计算。

师：明白了，我们在解决问题时，有时需要把不规则物体转化成规则的物体，那么像这样的例子我们小学阶段很多地方都用到过，想一想，谁能举下例子，？

生：我们在学习梯形的面积和三角形的面积时，为了计算方便，我们先把它们转化成平行四边形来计算，

师：平面图形的转化，还有吗？

生：我们在学习不规则物体的体积的时候，曾经把它放在一个盛着水的容器里，看水上升了多下，那部分水的体积就是它的容积，这就是用排水法求出不规则物体的体积。

师：说的很好，还有谁来说一说？

生：我们计算圆的面积时，把它转化成长方形，以便于我们计算。

师补充：在推导圆的面积公式时，把圆转化成长方形。

师：老师这里也举出了几例子，学习小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法来计算。

这个是刚刚那位同学举出的例子，推导圆的面积公式时，它圆转化成长方形。推导圆柱的体积公式时，把圆柱转化成长方体。测量一个番茄的体积时，把它放入水中转化为水的体积。师：同学们观察这些例子，它们有什么共同的特点？

生：都是把我们没有学过的知识，转化成我们学过的知识。

师：说的很好，我们需要把没有学过的知识转化成以前学过的知识。

四、总结：

小结：好了，同学们，通过这节课的学习，你有什么收获？

生：我知道了怎么求杯子的容积？

怎么求不规则物体的容积？

我更会运用转化的思相了。

师：这节课我们结合矿泉水瓶，通过探究、讨论，交流等活动，运用转化的方法，解决了不规则物体的容积问题，希望同学们能够运用这节课所学习的知识，学以致用，把它运用到生活中去解决更多的问题，好吗？这节课就上到这了。