_新定义运算计算技巧
新定义运算解题技巧
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
一、 定义
1、 定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。
注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式
中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、?、Δ、
?、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
2、一般的解题步骤是:
一是认真审题，深刻理解新定义的内容；
二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；
三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。
二、初步例题诠释
例1、 对于任意数a ，b ，定义运算“*”： a*b=a ×b-a-b 。求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。
分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的
商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6
例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29
例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。
分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……
“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。
6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
例5、如果规定?2=1×2×3，?3=2×3×4，?4=3×4×5，……计算（
21?-31?）×32??。
分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为?X=（X-1）×X ×（X+1）。由于把数
代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。
（
21?-31?）×32?? = 21?×32??-31?×32?? =31?-31?×32?? =31?（1-3
2??） = 4321??×（1-432321????） =4321??×（1-41） =4321??×43 =32
1 例6、规定a ▲b=5a+21ab-3b 。求（8▲5）▲X=264中的未知数。 分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。
（8▲5）▲X=264
（5×8 + 2
1×8×5-3×5）▲X=264 45▲X=264 5×45+2
1×45×X-3X=264 225+245X-2
6X =264 225+2
39X=264 2
39X=39 X=2
三、边学边试
【例1】A ，B 表示两个数，定义A △B 表示(A+B)÷2，
求(1)(3△17) △29； (2)[(1△9) △9] △6。
【分析与解】定义新运算符号“△”表示A △B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:3△17=(3+17)
÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29)÷2=19.5
(1)原式=[(3+17)÷2] △29 (2)原式={[(1+9)÷2] △9}△6
=[20÷2] △29 =[5△9] △6
=10△29 =[(5+9)÷2] △6
=(10+29)÷2 =7△6
=39÷2 =(7+6)÷2
=19.5 =6.5
【试一试】
1、A ，B 表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:
(1)(8.5×6.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)
2、设a ▽b=a ×b+a-2b ，按此规定计算：
（1）8▽1.25 (2)(4▽2.5) ▽7
【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.
求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.
【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。
（1）3*3=3+33+333=369
（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380
（3）提示：因为1* x=1+11+111+…=123
所以倒着算：123-1=122 122-11=111 111-111=0
即：1+11+111=1*3=123
从而可知x=3
【试一试】
已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：
（1）（4△3）+（6△2）（2）（3△2）×（4△3）
【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），
计算：（1）（12⊕4）⊕13；（2）70⊕（18⊕4）。
【分析与解】观察已知等式可知：“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26
（1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）] ⊕13
=[2×16-2×3] ⊕13
=26⊕13
=2×（26+13）-2×（26÷13）
=2×39-2×2
=78-4
=74
（2）原式=70⊕[2×（18+4）-2×（18÷4）]
=70⊕[2×22-2×4.5]
=70⊕35
=2×(70+35)-2×(70÷35)
=206
【试一试】
1、规定a⊙b=(a+b)÷(a-b)，按此规定计算:
(1)21⊙5 (2)(18⊙9) ⊙2
2、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72
【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A 后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?
【分析与解】A·B·C·D=[(9+5)÷2-4]×3=9
所以输出的是9
【试一试】
同学们在做这样一个数字游戏:一张带有数字的卡片在A，B，C，D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9后交给主持人，如果一张卡片经过A传递给B记为A→B，那么一张带有18的数字卡片，经过A→B→C →D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少?
【理一理】
新定义运算注意的问题:
(1)新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c) ≠(a△b) △c
(a*b) △c≠(a△c)*(b△c)
(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.
四、练一练
1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5
2、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：
（1）5☆6 （2）6☆5
（3）2☆（3☆5）（4）（2☆3）☆5
3、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5
4、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数
字是几？
5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。
以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。
这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。
对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。
求下列结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）
小升初数学专题训练小升初计算专题之定义新运算-word
定义新运算【知识要点】 加、减、乘、除这四种运算的意义和法则我们很熟悉。但重点中学在招生命题中除了考查四种混合运算的基本能力外，还要考查一些定义的其他的运算，一般占分在8~10分之间，特别是在2019年的小升初考试中，开始加大考察力度。 解定义新运算题的方法是认真审题、读懂题意、深刻理解新定义运算符号的含义，排除干扰条件，按照新定义运算的关系把新运算符号去掉，把问题转化成已有的数学知识。 【例题精讲】 例1 P 、Q 表示数，P*Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）的值。 例2 如果A B A B B A ?=+， 那么(32)(23)?-?=＿＿＿＿＿。 例3 定义“?”，a b a b a b +?= ?，()234=______??。 例 4 规定x y A x y ?=、()2÷x y x y ?=+，且()()133133=????。则()133_______??=。 例5 对于数a 、b 、c 、d 规定()2b c d d a ab c =- 、、、，已知 ()1232,,,x =，则x ______=。 例6 若规定112332234××*=，112344778910=*???，那么114325 *+=_____.*— 例7 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新的运算： ()()()121a b a a a a b *=?+?+?????+-，如果()323660x **=，则x _____=。 例8 如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果。下表为输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值。请你据此判断，当输入A 值2019，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是___________。 六年级数 学计算专 题(七)定
六年级上专题复习题及知识归纳分数乘除、比、百分数应用、简便运算、解方程
六年级上专题复习题及知识归纳(分数乘除、比、百分数应用、简便运算、解方程)
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1、找单位“1”： 单位“1” 在分率句中分率的前面； 或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。 2、写数量关系式的技巧： (1)“的” 相当于 “×” “占”、“相当于”“是”、“比”是 “ = ” 2)分率前是“的”字：用单位“1”的量×分率=具体量 一、已知单位“1”的量 1、分率前是“多或少”的关系式： （比少）：单位“1”的量×(1-分率)=具体量； （比多）：单位“1”的量×(1+分率)=具体量 2、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍； 3、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。 4、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数 5、已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法： (1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量（建议用） (2)、单位“1”的量 - 已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量 1、小明看一本120页的书，已看了5 2 。还剩下多少页没看？ 2、一台电脑原来售价7200元，现在降价8 1 。现在每台售价多少元？ 3、修一条长28千米的公路，上午修了41，下午修了7 2。还剩下多少千米没修？ 4、白兔只数的5 12 等于黑兔的只数，白兔有144只，黑兔有多少只？ 5、小华看一本72页的书，第一天看了全书的1 3 ，第二天看 了第一天的1 4 ，小华第二天看了多少页？ 6、农具厂原计划全年生产农具7200件，实际每月都比计划 增产1 10 ，照这样计算，全年一共增产多少件？ 7、一批水泥，用去12吨，剩下的是用去的5 9 ，这批水泥有 多少吨? 8、益华电脑城有电脑220台，第一天卖出1 4 ，第二天卖出 剩下的4 15 ，第二天卖出后还剩多少台？ 9、饭店买来面粉78 吨，第一天用去它的314 ，第二天又用去3 16 吨，两天共用去面粉多少吨？ 10、五年级同学收集树种56千克，六年级收集的比五年级多 4 7 ，六年级比五年级多收集树种多少千克？ 11、一根绳子长1513米，用去5 3 。剩下多少米？ 12、一根绳子长1513米，用去5 3 米。剩下多少米？ 13、张师傅要加工90个零件，第一天加工了5 2 ，第二天再加工多少个就正好剩下这批零件的 3 1？
定义新运算简便运算
定义新运算简便运算 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
专题一：定义新运算 专题解析： 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算，是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、☆、○、◇等。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 例题分析： 1.假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4） 2.设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△（4△6） 3.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333， 4*2=4+44，那么7*4= ；210*2= 4.规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4× 5...，如果 A ×⑥ 1＝⑥1＋⑤1。那么，A 是几 5.设a ⊙b=4a-2b+21 ab,求x ⊙(4⊙1)=34中的未知数x 。 专题二：简便运算 专题解析： 根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公示，可以把一些较为复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。 例题分析： 21×79+790×666614 1 ×＋× 53×2552＋×65 2 ＋2314＋3412＋3412＋412 3 7.)9 5＋75(÷)92＋7729( 8.28×＋6.5457.6×＋11.123.4×542 9.1994 ×1993＋993＋－11994×1993 10.有一串数1，4，9，16，25，36...，它们是按一定规律排列的，那么其中第2000个数与第2001个数相差多少
最新_新定义运算计算技巧
新定义运算解题技巧 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、 ◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，…… “Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
小数乘法知识点整理以及简便运算
五年级上学期小数乘法知识点整理 1、积的扩大缩小规律： 1）在乘法里，一个因数不变，另外一个因数扩大（或缩小）a倍，积也扩大（或缩小）a倍。 ★例：如：一个因数扩大10倍；另一个因数不变，积也扩大10倍。 一个因数缩小100倍；另一个因数不变，积也缩小100倍。 ★例：6.25 × 37 = 231.25 扩大100倍不变扩大100倍 625 × 37 = 23125 2）在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数扩大（或缩小）b倍，积就扩大（或缩小）a×b倍。 ★例：6.25 × 0.3 = 18.75 扩大100倍扩大10倍扩大1000倍 625 × 3 = 18750 3）在乘法里，一个因数缩小a 倍，另外一个因数缩小b倍，积就缩小a×b倍。 ★例：625 × 3 = 1875 缩小100倍缩小10倍缩小1000倍 6.25 × 0.3 = 1.875 4）在乘法里，如果一个因数扩大10倍、100倍、1000倍…，另外一个因数缩小10倍、100倍、1000倍…，那么积的扩大或缩小就看a和b的大小，哪个大就顺从哪个。 ★例：625 × 3 = 1875 缩小100倍扩大10倍∵100>10∴是缩小。100÷10=10。所以缩小10倍 6.25 × 30 = 18 7.5 2、积不变规律： 在乘法里，一个因数扩大a 倍，另外一个因数缩小a倍，积不变。 倍 6.25×× 缩小100倍 3、小数乘整数计算方法： 1）先把小数扩大成整数 2）按整数乘法乘法法则计算出积 3）看被乘数有几位小数点，就从积的右边起数出几位点上小数点。 若积的末尾有0可以去掉 4、小数乘小数的计算方法： 1）先把小数扩大成整数 2）按整数乘法乘法法则计算出积 3）看积中有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点。如果乘得的积的位数不够，要在前面用0补足。 ★例：1.8×0.92按整数乘法计算时，1.8是一位小数，把它扩大10倍，看作18；
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新运 算 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数 的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310- ，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ， 1612，2521，36 32 ，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数 为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++ ++ 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当 7a =时，b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2 a b += 。 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
六年级上册数学知识点概念总结
小学6年级数学知识点归纳汇总 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则： 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数：数形结合、转化化归 5.倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4 把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12 ，12是1/12的倒数。 8.小数的倒数： 普通算法：找一个小数的倒数，例如，把化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如，1/等于4 ，所以的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 10.分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 14.比和比例：比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。 所以，比和比例的联系就可以说成是：比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质：比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除；只有两个项：比的前项和后项。 比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。 16.比例的性质：在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。
完整版定义新运算
第一讲定义新运算 一、 教学目标： 1、 知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、 过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的 +、-、X 、十数学式子的过程，培养学 生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、 情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方 法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功. 二、 教学重难点： 1、 教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、 教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、 教学方 法： 四、 教学过程： (一)导入： 1、 看图大比拼 2、 我做指挥官 3、 在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5 ( ) 2=7 6 ( ) 3=3 100 ( ) 2=50 13 ( )3=39 4、 趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时 ，狼要吃掉羊，所以当狼和羊在一起时， 我们用△符号表示 狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战 胜狼：羊☆狼 = 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、 已知符号“ #”表示a#b=a+b ,求：3#5、5#9、88#13的值？ (体现对应思想和解题的三 个步骤) 加强认识：已知符号“ *”表示：a*b=b-a ，求：3*9、60*72的值? 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式； 它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式； 解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤： (1)弄清新符号的算式意义； 义算式中字母的对应；(3)将对应数字代入算式计算 (二)例题引导： 第一类：(直接运算型) 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a ①b=(a+b)十2, 例 1：已知符号“△” 表示： a △ b= (a+b)x 6，求：10^3, 6 练习：(1)对定义运算※为 a 探b= (a+b)x 2。求5探7和17探5的结果? (2)对于任意的两个数 a 和b ,规定a b= 3a-b 十3。求6 9 和9^ 的值。☆ +、引导发现法 (准备几张生活中常见标志的图片) (用手势代替语言指挥) 。 (2)找准问题中数字与定 当a=5,b=15时，求a ①b ? △ 9的值?
四年级简便计算知识点归纳
四年级简便计算知识点归纳 第三单元运算定律知识点归纳及练习 （一）加减法运算定律 1.加法交换律 定义：两个加数交换位置,和不变字母表示：a﹢b﹦b﹢a 例1：16+23=23+16 546+78=78+546 2.加法结合律 定义：先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 字母表示：（a﹢b）+c﹦a+（b+c） 注意：加法结合律有着广泛的应用,如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话,那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置,再将这两个加数结合起来先运算。举一反三： （1）46+67+54 （2） 680+485+120 （3）155+657+245 3.减法的性质 注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。减法性质①：如果一个数连续减去两个数,那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：a－b－c＝a－c－b 例2.简便计算：198-75-98
减法性质②：如果一个数连续减去两个数,那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。字母表示：a－b－c＝a－﹙b＋c﹚ 例3.简便计算：（1）369-45-155 （2）896-580-120 4.拆分、凑整法简便计算 拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候,我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和,然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3,1006=1000+6,… 凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候,我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式,然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3,998=1000-2,… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显,但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。 例4.计算下式,能简便的进行简便计算： （1）89+106 （2） 56+98 （3）658+997
找规律程序运算定义新运算
找规律程序运算定义新 运算 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么 这一组数的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数 为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12 -，25 ，310 -，417 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正
整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6， 12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项 是 。 【例 5】一组按规律排列的式子：2 b a - ，52 b a ，8 3 b a -，114 b a ，…（0ab ≠），其中第7个 式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ，1612 ，2521 ，3632 ，…中得到巴尔末 公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________；
(完整版)计算机网络概念知识点总结
第一章计算机网络概念 1.网络的定义 A 将地理位置不同但具有独立功能的多个计算机系统，通过通信设备和通信线路连接起来，在功能完善的网络软件（网络协议、网络操作系统、网络应用软件等）的协调下实现资源共享的计算机系统的集合。 B 以资源共享为目的的自主互联的计算机系统的集合。 C 四个元素：独立自主的计算机系统的集合； 要通过通信介质将计算机连接起来； 要有一个共同遵守的规则或协议； 以资源共享和数据通信为目的。 2.使用网络的目的：a资源共享：可共享的资源包括：硬件资源、软件资源和数据资源。 B在线通信：视频会议、远程医疗会诊和远程教育等。 3.计算机网络是计算机技术和通信技术相结合的产物。 4.网络的发展阶段 A计算机终端网络 1)分时多用户联机系统、面向终端网络 2)具有通信功能的单机系统 3)开始标志：1952年美国SAGE系统的诞生被誉为计算机通信发展史上的里程 碑。 4)实现了“计算机—终端”的通信，传输特点：主机（PC）--通信线路—终端 5)主机任务：数据处理、数据通信、数据存储 6)终端：不具备处理能力和存储功能 7)缺点：主机负荷重；线路利用率低 8)硬件设备：主机、终端、通信线路 9)模型 B 计算机通信网络 1)具有通信功能的多机系统 2)20世纪60年代中期 3)主要目的：传输信息 4)实现了“计算机—计算机”的通信 5)硬件设备：主机、终端、集中器（HUB）、通信控制处理机（CCP）、通信线路 6)通信控制处理机：数据通信 7)集中器：数据的收集和分发
8)缺点：缺乏统一的软件控制信息交换和资源共享。 9)模型 C 计算机网络 1)开始标志：ARPANET的诞生 a)1969年 b)第一个以资源共享为目的的计算机网络 c)采用分组交换技术 d)是Internet的前身 e)将网络分为资源子网和通信子网 f)实现了“计算机—计算机”的通信 g)采用分层的协议 h)是广域网 i)标志着计算机网络进入到了第三个阶段 2)硬件组成：与计算机通信网络组成相同 3)与计算机通信网络的区别：计算机网络是由网络操作系统软件来实现网络的共 享和管理的，而计算机通信网络中，用户只能把网络看作是若干个功能不同的 计算机系统的集合，为了访问这些资源用户需要自行确定其所在的位置，然后 才能调用。 4)模型：参考计算机通信网络 5.计算机网络按照功能（逻辑）划分：通信子网和资源子网 1)资源子网 a)层次：上三层，会话层、表示层、应用层 b)功能：数据处理 c)硬件设备：主机（服务器）、终端（用户工作站）、打印机 2)通信子网 a)层次：下三层，物理层、数据链路层、网络层 b)功能：数据传输、数据通信 c)硬件设备：通信介质、集线设备 6.书上划分方法，计算机网络划分成四个阶段 1)面向终端的计算机网络 a)定义：以传输信息为目的而连接起来，实现远程信息处理或进一步达到资 源共享的系统 b)代表：1台主机2000多个终端组成的订票系统 2)多主机互联计算机网络 a)定义：以能够互相共享资源为目的互联起来的具有独立功能的计算机的集 合体
小学数学 定义新运算.教师版
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
人教版小升初数学总复习知识点归纳+概念总结
小升初数学总复习资料 一、基本概念 第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 1 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。 公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
第4讲 定义新运算每周一卷-举一反三
第4讲 定义新运算提高卷 60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！ 1．对于任意两个正数x ，y ，定义一个运算“”，其规则为x y=2(2xy-x-y).若正整数a ，b 满足a b=188，则这样的有序对(a ，b)-共有 对． 2．对实数a ，b 规定运算的意义是a ,2 33b a b += 则方程35||=x 的解是 3．对于定义)12(2321)(+------=m m m F =++++)100(,242F m 则 4．对于不小于3的自然数n ，规定如下一种操作：>
四年级简便计算知识点归纳
四、第三单元运算定律知识点归纳及练习1/2 第三单元运算定律知识点归纳及练习 (一)加减法运算定律1. 加法交换律 定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：a十b= b十a 例1 ：16+23=23+16 546+78=78+546 2. 加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：(a十b) +c= a+ (b+c 注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、 整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。举一反三： ( 1) 46+67+54 ( 2) 680+485+120 ( 3) 155+657+245 3. 减法的性质 注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。续减去 减法性质①：如果一个数连 两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：a—b—c = a—c —b 例2. 简便计算：198-75-98 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两
个数的和。字母表示：a—b—c = a—( b + c) 2) 例3. 简便计算：（1）369-45-155 896-580-120 4. 拆分、凑整法简便计算拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3, 1006=1000+6,… 凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式,然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3 , 998=1000-2，… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。 例4. 计算下式，能简便的进行简便计算： (1 )89+106 ( 2)56+98 658+997 随堂练习：计算下式，怎么简便怎么计算 1 ）730+895+170 3) 2)
四年级数学定义新运算
定义新运算一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a ×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
小学四年级简便计算知识点归纳
(最新编辑教材) 四、第三单元运算定律知识点归纳及练习1/2 第三单元运算定律知识点归纳及练习 （一）加减法运算定律 1.加法交换律 定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：a﹢b﹦b﹢a 例1：16+23=23+16 546+78=78+546 2.加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 字母表示：（a﹢b）+c﹦a+（b+c 注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算. 举一反三： （1）46+67+54 （2） 680+485+120 （3） 155+657+245 3.减法的性质 注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的. 减法性质①：
如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换. 字母表示：a－b－c＝a－c－b 例2.简便计算：198-75-98 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和. 字母表示：a－b－c＝a－﹙b＋c﹚ 例3.简便计算：（1） 369-45-155 （2） 896-580-120 4.拆分、凑整法简便计算;;; 拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算.例如：103=100+3，1006=1000+6，…凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算.例如：97=100-3，
学而思小升初培优三：规律,程序,新运算(原版)
小升初培优（三） 找规律、定义新运算和程序运算 一、课堂要求 二、知识结构 l.找规律 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况人手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时还需要通过类比联想才能找到隐含条件，一般有下列几个类型： (1)-列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系． (2)-列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系． (3)图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系． (4)图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数． (5)数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．常见的数列规律： 12,,9,7,5,3,1)1(-n (n 为正整数)． n 2,,10,8,6,4,2)2( (n 为正整数)． n 2,,32,16,8,4,2)3( (n 为正整数)． 1,,26,17,10,5,2)4(2+n (n 为正整数)． 1,,24,15,8,3,0)5(2-n (n 为正整数)． )1(,,20,12,6,2)6(+n n (n 为正整数)． x x x x x x x n )1(,,,,,,,)7(-+-+-+- (n 为正整数)． x x x x x x x n 1)1(,...,,,,,,8+--+-+-+）（(n 为正整数)． (9)特殊数列： ①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和. ②三角形数：?+2 )1(,,21,15,10,6,3,1n n
热统知识点总结
第一类知识点 1. 大量微观粒子的无规则运动称作物质的热运动. 2. 宏观物理量是微观物理量的统计平均值. 3. 熵增加原理可表述为：系统经绝热过程由初态变到终态，它的熵永不减小.系统经可逆绝热过程后熵不变. 系统经不可逆绝热过程后熵增加. 孤立系中所发生的不可逆过程总是朝着熵增加的方向进行. 4. 在某一过程中，系统内能的增量等于外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和. 5. 在等温等容条件下，系统的自由能永不增加. 在等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加. 6. 理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关，这个结论称为焦耳定律. 7. V S S p V T ??? ????-=??? ???? 8. V T T p V S ??? ????=??? ???? 9. p S S V P T ??? ????=??? ???? 10. p T T V P S ??? ????-=??? ???? 11. pdV TdS dU -= 12. Vdp TdS dH += 13. pdV SdT dF --= 14. Vdp SdT dG +-= 15. 由pdV TdS dU -=可得，V S U T ??? ????= 16. 由Vdp TdS dH +=可得，S p H V ???? ????= 17. 单元复相系达到平衡所要满足的热平衡条件为各相温度相等. 18. 单元复相系达到平衡所要满足的力学平衡条件为各相压强相等. 19. 单元复相系达到平衡所要满足的相变平衡条件为各相化学势相等. 20. 对于一级相变，在相变点两相的化学势相等.在相变点两相化学势的一阶偏导数不相等. 21. 对于二级相变，在相变点两相的化学势相等.在相变点两相化学势的一阶偏导数相等.在相变点两相化学势的二阶偏导数不相等.