2009年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2009年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答
一、填空题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中）
题 号 1
2
3
4 5
答 案
3π 433
4(6)3π-
4
(1,0)，(?3,4)，
31
(,)22
- 1．已知a 和b 都是单位向量，并且向量2c a b =+ 与54d a b =- 互相垂直，则a 和b
之间的角<,a b
>= ．
答：
3
π
解 设a 和b 之间的角<,a b
>=θ，则根据向量垂直的条件得: ()()2
2
0(2)(54)51048c d a b a b a a b a b b =?=+-=+?-?-
=5+6cos θ?8=6cos θ?3，由此cos θ=
12，所以 θ=3
π
． 2．
11
cos 2903sin 250
+
的值是 ． 答：
43
.3
解 11cos 2903sin 250+ =113sin 70cos70cos703sin 703sin 70cos70--=
31
sin 70cos 70sin 70cos30cos 70sin 302233sin140sin14044
--==
4s i n (7030)43s i n 40
43
3s i n 4033s i n 40
-===
． 3．如图，过⊙O 外一点M 引圆的切线切圆于点B ，连接
MO 交圆于点A ，已知MA = 4厘米，MB =43厘米．N 为 AB 的中点．曲边三角形(阴影部分)的面积等于 平方厘米．
答：4(6)3
π-.
解 根据条件, 延长MO 交圆于C ， 设圆的半径为r ，MC = 4+2r 由切割线定理得 MB 2= MA ·MC ，即48= 4(4+2r ) 解得r = 4 cm ，OC =OA =AM = 4cm
连接OB ，在直角△OBM 中，433
sin 82
MB MOB OM ∠=
== A N B
M
O
C B A b
a
c O r
D
所以∠MOB =60°，因此 AB 为60°，而N 为 AB 的中点， 30AN = ，
连接ON ，则∠MON =30°，所以111
sin 30848222
MON S OM ON ?=???=???= (cm 2).
而扇形AON 的面积230443603
ππ=?=(cm 2),
所以阴影图形的面积42444(6)8333πππ--=-==(cm 2
)． 4．332014220142++-的值是 ． 答：4
解 设
3
32014220142x ++-=则
x 3=333201423(20142)(20142)(2014220142)20142+++-?++-+-= 40+6x
即 3640
0x x --= 观察之，4为方程的一个根，所以2(4)(410)0x x x -++= 由24410240?=-?=-<，方程2410x x ++= 0无实根． 所以 方程36400x x --=只有唯一的实根4x = 即得证
3
320142201424x ++-==．
5．在平面直角坐标系中，不论m 取何值时，抛物线y =mx 2+(2m +1)x ?(3m +2)都不通过的
直线y =?x +1上的点的坐标是 ．(写出全部符合条件点的坐标)
答：(1,0)，(?3,4)，41
(,)33
- 解 由 y =mx 2+(2m +1)x ?(3m +2)=m (x +3)(x ?1)+(x ?2)
可知抛物线一定过点A (1, ?1)，B (?3, ?5)．过点A 、B 分别作y 轴的平行线交直线y =?x +1于点C (1, 0)，D (?3, 4)．过A 、B 两点的直线与直线y =?x +1交于点E 31
(,)22-． 则C 、D 、E 三点满足条件． 二、（满分15分）直角△ABC 内切圆的半径为r ，直角的平分线的长为t ．求证：直角△ABC
的两条直角边的长a 和b 是关于x 的一元二次方程
222(22)2220t r x r x tr -+-=
的根．
证明 设直角△ABC 中，∠C =90°，边长AB =c ，AC =b ，CB =a ，∠C 的平分线CD =t ，内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r ．连接OA ，OB ，OC ，
S △ABC =1
2
ab （1）
又 S △ABC = S △ADC + S △BDC =12bt sin45°+12at sin45°=2
4
t (a +b )
所以， ab =1
2
t (a +b ) （2）
B (?3,?5)
A (1,?1)
D (?3,4)
E (43,?13
) C (1,0) y =?x +1
x y A N B
M O C
又 S △ABC = S △OBC + S △OAC + S △OAB =12r (a +b +c )=1
2
r (a +b +a +b ?2r )= r (a +b ?r )= (a +b )r ?r 2，
与（1）比较得 ab =2(a +b )r ?2r 2 （3） 联立（2）与（3）解得a +b ，ab 得
22
222,2222r tr a b ab r t r t
+==
-- 所以根据韦达定理，以a 和b 为根的一元二次方程为
22
2
22202222r tr x x r t r t
-+=--
即方程 22
2
(22)2220
t r x r x t r -+-=． 三、（满分15分）求函数f ：Z +→Z +，使得
① f (1)=1；
② 对于所有x , y ∈ Z +，()()()f x y f x f y xy +=++都成立．
解 设函数f ：Z +→Z +，满足
① f (1)=1；
② 对于所有x , y ∈ Z +，()()()f x y f x f y xy +=++
对于正整数,n m ，下列的等式成立
2(2)2()f n f n n =+
2(3)()(2)2f n f n f n n =++， 2(4)()(3)3f n f n f n n =++， …… …… …… ……
()2()()(1)(1)f mn f n f m n m n =+-+- 将上面的等式相加，得
()2()()123(1)f mn mf n m n =+++++-
由于(1)
123(1)2
m m m -++++-=
， 所以2
(1)()()2
m m f mn mf n n -=+
，对所有的正整数m 和n 都成立． 特别是，当n =1时(1)
()2
m m f m += （*）
等式（*）定义了在正整数集合上的函数f ．
因为1(11)
(1)12
f +== 22()(1)()()2()22x y x y x x y y xy
f x y ++++++++==
(1)(1)()()22
x x y y xy f x f y xy ++=++=++
所以(1)
()2
m m f m +=是问题的唯一解．
.O
N
C
D
A B K M 四、（满分15分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点M ，交DC 的延长线于点N ，△CMN 的外心为O ，△CMN 的外接圆与△CBD 的外接圆的另一交点
为K ．证明：
(1) 点O 在△CBD 的外接圆上； (2) ∠AKC =90°．
证明 (1)由于平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点M ，交DC 的延长线于点N ，所以∠BMA =∠MAD =∠BAM ，因此BA=BM ，同理可得MC=CN ．连接OC ，则OC 平分∠NCM ．连接OB ，OM ，OD ，设∠BAD = θ，则
∠OCD =∠BCD +∠OCM = θ +12(180°?θ) = 90°+2θ
∠BMO =180°?∠OMC =180°?∠OCM =90°+2θ
，
所以 ∠BMO =∠OCD ．
因此，△OBM ≌△ODC ，所以∠OBC =∠ODC ．于是B ，O ，C ，D 四点共圆，也就是点O 在△CBD 的外接圆上．…（8分）
(2) 由(1)知 BO=OD ，又KO=OC ，因为B ，K ，O ，C 和D 都在同一个圆上，则K ，C 关于BD 的中垂线对称，BK=CD=AB ，又∠KBD =∠CDB =∠ABD ，所以点K 与点A 是关于BD 的对称点，即AK ⊥BD ，而KC//BD ，所以AK ⊥KC ，即∠AKC =90°． 五、（满分15分）证明，在任意给出的7个实数中，一定能找到两个实数x ，y ，使得 0≤
1x y xy -+≤3
3
． 证明 设任意给出的7个实数为1234567,,,,,,a a a a a a a ，在,22ππ??
- ???
内存在7个实数
1234567,,,,,,θθθθθθθ，使得tan i i a θ= 其中(1,2,3,4,5,6,7)i =．
将,22ππ??
- ???
等分为6个长为6π的区间：
,,,,0,0,,,,,2336666332ππππππππππ????????????
----- ? ? ??????????????????
， 根据抽屉原理，必存在,i j θθ属于同一个长为6
π
的小区间，
不妨设i j θθ≥，则 06
i j π
θθ≤-≤
，因此
0t a n ()t a n 6
i j π
θθ≤-≤
即 t a n t a n 3
01t a n t a n
3
i j i
j θθθθ-≤
≤
+．
令x =a i ，y =a j ，这样，我们从任意给出的7个实数中，找到了两实数x ，y ，使得 0≤
1x y xy -+≤3
3
．
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2020年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及 答案 一、选择题（满分36分） 1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
C. a1，a3，a5的倒数成等差数列 D. 6a1，3a3，2a5的倒数成等比数列 二、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ，] 6、49/4 7、1/16 8、62
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答
2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答 一、填空题（满分40分，每小题答对得8分） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 N (0.5, 0.25) 321 37 + -509031.5 31 8 - 8194 1．在P (1, 1), Q (1, 2), M (2, 3), N (0.5, 0.25) 四个点中，能成为函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点的只可能是 ． 答：因为10.5 2 1110.2541616???? === ? ?????，且111616 110.25log log 0.542===，所以N (0.5, 0.25) 可以是函数116x y ?? = ???的图像与其反函数116 log y x =的图像的公共点.易知，其余三点均不 可能是函数y = a x 的图像与其反函数的图像的公共点． 2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD 、BC 折起，使A 、B 两点重合于 CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ．则长方形纸片ABCD 的面积为 cm ． 解：由对称性知：AE =PE =2cm ，BG =PG =1cm ，所以 AB = AE +EG +GB = PE +EG +PG = 2+7+1 = 3+7 (cm)， 又由PE =2cm ，PG =1cm ，EG =7cm ，由余弦定理可知，在△PEG 中，∠EPG =120o，AD 等于△PEG 中边EG 上的高h ，易由△PEG 的面积求得 AD = h = sin12021sin1203 77 PE PG EG ???==(cm)． 所以，长方形纸片ABCD 的面积为 33321 (271)(37)3777 ++?=+?=+(cm)2． 3．二次函数f (x )满足f (–10) = 9，f (–6) = 7和f (2) = –9，则f (2008) = ． 解：设f (x ) = ax 2+bx +c ，则由题意可得 910010(1)7366(2)942(3)a b c a b c a b c =-+?? =-+??-=++? 由(1)减(3)得18 = 96a – 12b ，即3 = 16a – 2b ； 由(2)减(3)得16 = 32a – 8b ，即4 = 8a – 2b ； 解最后两式，得a = –1 8 ，b = – 52． 以a = –1 8 ，b = –52代入 –9 = 4a +2b +c ，得c = –72． A D F E G B C P H C D
第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答
1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大
北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答Word版
2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 1．二次三项式x 2+ax +b 的根是实数，其中a 、b 是自然数，且ab =22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a 和b 是2的非负整数指数的幂，即，a =2k ，b =22011–k ，则判 别式Δ=a 2– 4b =22k – 422011–k =22k – 22013–k ≥0，得2k ≥2013–k ，因此k ≥ 3 2013 =671，但k ≤2011，所以k 能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k 恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1 的圆O 中内接有锐角三角形ABC ， H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC = ． 解：易知，圆心O 及垂心H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长AO 交圆于N ，连接AH 并延长至H 1与BC 相交，连接CN ，在Rt △CAN 和Rt △AH 1B 中，∠ANC =∠ABC ，于是有∠CAN =∠BAH 1，再由 AL 是△ABC 的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP ⊥OH ，得AH=AO=1． 连接BO 交圆于M ，连接AM 、CM 、CH ，可知AMCH 为平行四边形， 所以CM=AH=AO =1，BM =2，因为△MBC 是直角三角形，由勾股定理得 BC == 3．已知定义在R 上的函数f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，若F (x )=f (g (x )) – g (f (x )) 的最小值为1 4，则m = ． 答：1 4 -． 解：由f (x )=x 2和g (x )=2x +2m ，得 F (x )= f (g (x )) – g (f (x ))=(2x +2m )2–(2x 2+2m ) =2x 2+8mx +4m 2–2m ， F (x )=2x 2+8mx +4m 2–2m 的最小值为其图像顶点的纵坐标 () 2 222242(42)84284242 m m m m m m m m ??--=--=--?．
2018年全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤
北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题
试卷编号：2126 2018年北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题 一、选择题共5小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知√x +1√x =3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)12025 2.在非等腰三角形中,一个内角等于另两个内角的差,且一个内角是另一个内角的2倍.己知该三角形的最小边长等于l cm,则这个三角形的面积是 ( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52 cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( ) (A)6(B)4(C)2(D)0 4.如图,P (x P ,y P )为反比例函数y =2x 在平面直角坐标系xOy 的第一象限图象上一点,过点P 作x 轴、y 轴的平 行线分别交y =10x 在第一象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的面积等于( ) (A)26(B)24(C)22(D)20 5.将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串,第m 个数是2018,则m 是( ) (A)134 (B)143(C)341(D)413 二、填空题共5小题。 6.295的约数中大于1000000的共有＿＿＿＿＿个. 7.若x ,y 都是自然数,关于x ,y 的方程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表示不大于x 的最大整数)
8.D为锐角△ABC内一点,满足AD=DC,∠ADC= 2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的面积等 于＿＿＿＿＿. 9.已知x1,x2,···,x n中每一个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的一个,且满足 x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿. 10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,比如, 正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最小公倍数是＿＿＿＿＿. 三、解答题共3小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 11.正整数a,b,c,d满足a2?ab+b2=c2?cd+d2.求证:a+b+c+d是合数. 12.三个斜边彼此不等的等腰直角三角形ADC,DPE和 BEC.如图所示,其中AD=CD,DP=EP,BE=CE; ∠ADC=∠DPE=∠BEC=90?,求证:P是线段AB的中 点. 13.求证:在十进制表示中,数29的某个正整数幂的末三位数字是001.
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；
2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案
2021年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案 一、填空题（满分64分） 1. 已知，试确定的值。 2. 已知a=1+2+3+4+…+2003+2004，求a被17除的余数。 3. 已知，若ab2≠1，且有，试确定的值。 4. 如图所示，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在等腰直角三角形DEF的斜边DF上，E在△ABC的斜边AB上，如果凸四边形ADCE的面积等于5平方厘米，那么凸四边形ABFD的面积等于多少平方厘米？ 5. 若a，b∈R，且a2+b2=10，试确定a－b的取值范围。 6. a和b是关于x的方程x4+m=9x2的两个根，且满足a+b=4，试确定m的值。 7. 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。 8. 将2004表示为n个彼此不等的正整数的和，求n的最大值。 初赛答案表 选择题：ADCBBA；填空题：1、－0.5 2、1 3、－1 4、10 5、[ ， ] 6、49/4 7、1/16 8、62 二、选择题（满分36分）
1. 满足条件f(x2)=[f(x)]2的二次函数是 A. f(x)=x2 B. f(x)=ax2+5 C. f(x)=x2+x D. －x2+2004 2. 在R上定义的函数y=sinx、y=sin2004、、中，偶函数的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 恰有3个实数解，则a等于 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 4. 实数a、b、c满足a+b>0、b+c>0、c+a>0，f(x)是R上的奇函数，并且是个严格的减函数，即若x1
2014年北京市中学生数学竞赛(初二)
2014年北京市中学生数学竞赛（初二）试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1.若5=+b a ，则ab b ab a b b a a 32 2 4 224+++++=（ ） A ．5 B. 253 C. 52 D. 2 5 5 2.已知一个面积为S 且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A 的小正六边形的顶点. 则 S A =（ ） A ．41 B. 31 C. 22 D. 2 3 3.在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ） A ．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998 4.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 = 在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 5.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ） A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008 二、填空题（每小题7分，共35分） 1.在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个. 2. =?+++] 2015[]2014[] 2016[]2015[]2014[]2013[ （][x 表示不超过实 数x 的最大整数）. 3.在四边形ABCD 中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= . 4.已知M 是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M 的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M 的“好数”.则M 的好数有 个. 5.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则
大学生数学竞赛辅导材料
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设
2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 Word版含答案
2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛 试题参考解答 （2017年4月9日） 选择题答案 填空题答案 一、选择题 1．集合A={2, 0, 1, 7}，B={x| x 2?2∈A, x ?2?A}，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36． （B ）54． （C ） 72． （D ）108． 答： A ． 解：由x 2? 2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x=±2， ， ，±3． 又因为x ?2?A ，所以x ≠2，x ≠3，故x= ?2，， ?3． 因此，集合B={ ?2, , ，?3}． 所以，集合B 的所有元素的乘积等于(?2)()()(?3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2 BAC ∠)= （A （B ）2 ． （C ）1． （ D 答：A ． 解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在形内． 连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ． 因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形． 所以KC=AH=AO= 1 2 BK ． 在直角△KCB 中，由KC=1 2 BK ，得∠BKC=60°，所以∠BAC=∠BKC=60°．
故tan( 2 BAC ∠)= tan30° =3． 3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n ?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为 （A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B. 解：数2017是数列a n = 2n ?1的第1009项．设2017位于第k 组，则 1+3+5+…+(2k ?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k ?3)＜1009． 即k 是不等式组22 1009 (1)1009 k k ?≥?-?若存在实数m ，使得关于x 的方程f (x)=m 有四个 不同的实根，则a 的取值范围是
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 －2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根． 证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根． 下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，
二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单
第二十一届北京高中数学知识应用竞赛获奖名单 一等奖（100名） 姓名性别学校年级姓名性别学校年级尤纪帆女首师大附中高二邱亦文女北京二中高二刘宇轩女首师大附中高二周钰斌男北京十五中高二李怡婷女朝阳外国语学校高二包涛尼男民大附中高二王沐烑女北京二中高二王一丁男牛栏山一中高二孙亦非男北京五中高一尹子朔男陈经纶中学高二张雨桥男北京八中高二沈畅男北京铁二中高一邓瀚辰男汇文中学高二刘曦瑞男北京八中高二潘乐怡女北京八中高一王波添男清华附中高二曲天泽男北京二中高二柳一欣女北京二中高二陈思蕊女北京十二中高二梁一栋男北京五十七中高二李宁政男陈经纶中学高二蔡恒屹男潞河中学高二辛宇正男陈经纶中学高二谭励彦男十一学校高二王筱男北京四中高二孙文杰女北京四中高二李济泽男景山学校高二董思尧男北京五中高一王燕杰男北京四中高二刘韫滕男民大附中高二李江皓男民大附中高二陈辰男景山学校高一贺禹杰男北京四中高二程锐杰男北京八中高一姚智铭男北京八中高一席浩诚男北京八中高一沈靖开男民大附中高二罗睿韬男北京九中高二杨天昊男北京一七一中高二王若晨女北京四中高一周浩男北京二中高二赵博熙男北京四中高一王震男北京二中高二都欣然女朝阳外国语学校高二刘心怡女北师大附中高一熊开元女清华附中高二刘宇轩男民大附中高一朱函琪男首师大附中高二刘发源男民大附中高二唐子涵女北京一六一中高二许一先男北京八十中高一桂子轩男北京十九中高一马欣仪女北京二中高一李藩女北京一零一中高二陆子恒男汇文中学高二王思雨女北京一七一中高二周永斌男民大附中高二蒋涵锐男八一学校高一刘逸洋女牛栏山一中高二金志扬男北京八中高一钱成男清华附中高一刘宇时男北京二中高一董子奇女北京四中高二王晨奥女北京二中高二何凯男北京五中高二马成男北京一零一中高二王秭祺男北京五中高一任悦妍女北京一七一中高二罗瑞辰男北京一六一中高二李原草男民大附中高二马礼骞男陈经纶中学高二汪之钧男大兴一中高二涂腾男景山学校高二周思耘女首师大附中高二杜鹏程男中关村中学高一张艺涵女北京四中高一阳超然男北京八十中高二于知衡男北理工附中高一付思成男北京二中高一向柯帆男民大附中高二何宜珊女北京一零一中高一王观嵘男北京二中高一康博睿男民大附中高二孙琢璠女北京五中高二韩明夏男北京十五中高一杨晨鹭女北京一七一中高二安宇佳女昌平二中高二张怡淼女牛栏山一中高二
第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答
第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy －1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设4 1 .
2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，2a = ，3a =1201172017 a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 . 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ?中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 . 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ?的面积为 . 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 . 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线222 0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 . 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 . 二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 9.设不等式|2||52|x x a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.
10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列； （2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ?的取值范围.
北京市高一数学竞赛初赛试题与答案
北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛 试题参考解答 选择题答案 填空题答案 一、选择题: 1．集合A ={2, 0, 1, 7}，B ={x | x 2?2∈A , x ?2?A }，则集合B 的所有元素之积为 （A ）36． （B ）54． （C ）72． （D ）108． 答：A ． 解：由x 2?2∈A ，可得x 2=4，2，3，9，即x =±2，，，±3． 又因为x ?2?A ，所以x ≠2，x ≠3，故x = ?2，，?3． 因此，集合B ={?2, , , , ，?3}． 所以，集合B 的所有元素的乘积等于(?2)()()(?3)=36． 2．已知锐角△ABC 的顶点A 到它的垂心与外心的距离相等，则tan(2 BAC ∠)= （A （B ）2 ． （C ）1． （D 答：A ． 解：作锐角△ABC 的外接圆，这个圆的圆心O 在形内，高AD ，CE 相交于点H ，锐角△ABC 的垂心H 也在
形内． 连接BO 交⊙O 于K ，BK 为O e 的直径. 连接AK ，CK ． 因为AD ，CE 是△ABC 的高，∠KAB ，∠KCB 是直径BK 上的圆周角，所以∠KAB =∠KCB =90°．于是KA//CE ，KC//AD ，因此AKCH 是平行四边形． 所以KC =AH =AO = 1 2 BK ． 在直角△KCB 中，由KC =1 2 BK ，得∠BKC =60°，所以∠BAC =∠BKC =60°． 故tan( 2 BAC ∠)= tan30° ． 3．将正奇数的集合{1, 3, 5, 7, …}从小到大按第n 组2n ?1个数进行分组：{1}，{3, 5, 7}，{9, 11, 13, 15, 17}，…，数2017位于第k 组中，则k 为 （A ）31． （B ）32． （C ）33． （D ）34． 答：B. 解：数2017是数列a n = 2n ?1的第1009项．设2017位于第k 组，则 1+3+5+…+(2k ?1)≥1009，且1+3+5+…+(2k ?3)＜1009． 即k 是不等式组22 1009 (1)1009 k k ?≥?-
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2018年北京市中学生数学竞赛初二试题 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）． （A）25% （B）24% （C）23% （D）22% 2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形 （C）恰有两边相等的三角形 （D）恰有一个内角为60°的三角形 3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9 4．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）． ABCD （A）22 （B）25 （C）28 （D）32 （1）(2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分） 1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm． 2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________． 4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______． 5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________． 三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证： （1）a3+b3+c3=3abc；