2015-2016学年江西省南昌三中高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年江西省南昌三中高一（上）第一次月考数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）

A．{2} B．{1，2，2，4} C．{1，2，4} D．φ

【考点】并集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】把集合A和集合B的所有元素合并到一起，构成集合A∪B，由此利用集合A={1，2}，B={2，4}，能求出A∪B．

【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，4}，

∴A∪B={1，2，4}，

故选C．

【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

2．设集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2，4，5}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】由集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2，4，5}，全集U=A∪B，知U={0，1，2，3，4，5}，A∩B={1，2，4}，由此能求出集合?U（A∩B）中元素的个数．

【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2，4，5}，

全集U=A∪B，

∴U={0，1，2，3，4，5}，

A∩B={1，2，4}，

∴集合?U（A∩B）={0，3，5}，

即集合?U（A∩B）中有3个元素．

故选A．

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

3．函数y=的定义域为（）

A．（﹣ B．C．

D．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】计算题．

【分析】两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．

【解答】解：要使函数有意义，需，

解得，

故选B．

【点评】本题考查求函数的定义域时，当函数解析式有开偶次方根的部分，需使被开方数大于等于0．注意：定义域的形式是集合或区间．

4．设集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（?R B）=（）

A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】集合．

【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（?R B）即可得出正确选项

【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故?R B={x|x＜﹣1或x＞3}，

又集合A={x|1＜x＜4}，

∴A∩（?R B）=（3，4）

故选B

【点评】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键

5．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合．

【分析】先求出集合A，B由A?C?B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求

【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，

∵A?C?B，

∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，

故选D．

【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A?C?B 找出符合条件的集合．

6．设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）

【考点】其他不等式的解法．

【专题】计算题；分类讨论．

【分析】分x0≥1和x0＜1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围．

【解答】解：当x0≥1时，f（x0）=2x0+1，代入不等式得：2x0+1＞1，

解得：x0＞0，

此时x0的范围为x0≥1；

当x0＜1时，f（x0）=x02﹣2x0﹣2，代入不等式得：x02﹣2x0﹣2＞1，

解得：x0＞3或x0＜﹣1，

此时x0的范围为x0＜﹣1，

综上，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．

故选B

【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论的思想，是高考中常考的题型．

7．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．

【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．

【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．

8．函数的单调递减区间为（）

A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．（﹣3，﹣1]

【考点】复合函数的单调性．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】令x2+2x﹣3=t≥0，求得函数的定义域．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在y的定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在y的

定义域内的减区间．

【解答】解：令x2+2x﹣3=t，则y=，t=（x+3）（x﹣1）．

令t≥0，求得x≤﹣3，或x≥1，故函数y的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[1+∞）．

根据复合函数的单调性，本题即求函数t在y的定义域内的减区间．

再利用二次函数的性质可得，函数t在y的定义域内的减区间为（﹣∞，﹣3]，

故选A．

【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．

9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有

＜0，则（）

A．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）C．f（﹣2）＜f （1）＜f（﹣3）D．f（﹣3）＜f（1）＜f（﹣2）

【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．

【分析】先根据条件判断函数在（﹣∞，0]上单调递减，且函数为偶函数，进而得出f（1）＜f（2）＜f（3），再参考选项即可．

【解答】解：因为，对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]，都有＜0，

所以，f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，

又∵f（x）为偶函数，

∴f（x）的图象关于y轴对称，

因此，f（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以，f（1）＜f（2）＜f（3），

而f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2），

所以，f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），

故答案为：B．

【点评】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，涉及单调性的判断和偶函数的性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．

10．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）

A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）

【考点】函数单调性的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】由函数的单调性的性质可得0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．

【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，

故选D．

【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．

11．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，则a的取值范围是（）

A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1） D．（0，1]

【考点】二次函数的性质．

【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．

【分析】若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，则，解得a的取值范围．

【解答】解：∵f（x）=﹣x2+2ax的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线，

故函数的单调递减区间为[a，+∞），

g（x）=在a＞0时的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），

又∵f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间（1，+∞）上都是减函数，

∴，

解得a∈（0，1]，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档．

12．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三

个条件：①f（0）=0；②f（1﹣x）+f（x）=1；③f（）=f（x）．则f（）+f（）的值（）

A．0 B． C．1 D．2

【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．

【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．

【分析】由已知条件求出f（1）、f（）、f（）、f（）、f（）的值，利用当x1＜x2时，都

有f（x1）≤f（x2），通过＜＜，有f（）≤f（）≤f（），而f（）==f（），有f（）=，结果可求．

【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；②f（1﹣x）+f（x）=1，∴f（1）=1，

令x=，所以有f（）=，

又∵③f（）=f（x），∴f（x）=2f（），f（）=2f（）

f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=，

令x=，有f（）=f（）=，f（）=f（）=，

非减函数性质：当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），

∴＜＜，有f（）≤f（）≤f（），

而f（）==f（），所以有f（）=，

则f（）+f（）=+2f（）=+2×=1．

故选：C．

【点评】本题考查抽象函数的应用，充分利用题意中非减函数性质．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．计算0.16﹣20150+27=．

【考点】有理数指数幂的化简求值．

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．

【解答】解：0.16﹣20150+27

=﹣1+9

=．

故答案为：．

【点评】本题考查有理烽指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和运算法则的合理运用．

14．设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若?U A={1，2}，则实数m=﹣3．

【考点】补集及其运算．

【专题】计算题．

【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值

【解答】解；∵U={0，1，2，3}、?U A={1，2}，

∴A={0，3}，

∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，

∴0+3=﹣m，

∴m=﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．

15．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，若f[f （n）]=3n，则f（5）的值等于8．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．

【分析】结合题设条件，利用列举法一一验证，能够求出f（5）的值．

【解答】解：若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=1，与条件f（f（n））=3n矛盾，故不成立；

若f（1）=3，则f（f（1））=f（3）=3，进而f（f（3））=f（3）=9，与前式矛盾，故不成立；

若f（1）=n（n＞3），则f（f（1））=f（n）=3，与f（x）单调递增矛盾．

所以只剩f（1）=2．验证之：

f（f（1））=f（2）=3，

进而f（f（2））=f（3）=6，

进而f（f（3））=f（6）=9，

由单调性，f（4）=7，f（5）=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用．

16．若规定E={a1，a2…a10}的子集为E的第k个子集，其中k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1．则

（1）{a1，a3}是E的第5个子集；

（2）E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}．

【考点】子集与真子集．

【专题】集合．

【分析】（1）由k=2k1﹣1+2k2﹣1+2k3﹣1+…+2kn﹣1受到启发，根据集合元素的特征，将其用二进制表示出来，0为不出现，1为出现，进而可得答案；

（2）十进制211等于二进制11010011，将其对应的集合写出即可．

【解答】解：（1）{a1，a3}={a3，a1}化成二进制101（0为不出现，1为出现），

这里a3出现，a2不出现，a1出现，所以是101；

二进制的101等于十进制5，故第一个空填5；

故答案为：5．

（2）十进制211等于二进制11010011，

即对应集合{a8，a7，a5，a2，a1}，

又由{a8，a7，a5，a2，a1}={a1，a2，a5，a7，a8}

故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}．

故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}．

【点评】本题是转化思想的典型题目，注意从题目的条件中寻找突破点，进而结合题意解题，解题中，特别注意与原题的验证．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，求a的值．

【考点】元素与集合关系的判断．

【专题】集合．

【分析】利用元素与集合的关系，得到方程求出a的值．

【解答】解：集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，

可得3=a+2或3=2a2+a，

解得a=1或．

经验证a=1不成立，

a的值为：﹣．

【点评】本题考查集合的基本运算，元素与集合的关系，考查计算能力．

18．已知集合A={x|x=1+a2，a∈R}，B={y|y=a2﹣4a+5，a∈R}，判断这两个集合之间的关系．【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】集合思想；不等式的解法及应用；集合．

【分析】由x=1+a2，a∈R，得到x≥1，然后由y=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1，a∈R，得到y≥1，从而可判断这两个集合之间的关系．

【解答】解：∵x=1+a2，a∈R，∴x≥1，

∵y=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1，a∈R，∴y≥1，

故A={x|x≥1}，B={y|y≥1}，∴A=B．

【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了函数定义域和值域的求法，是基础题．

19．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x．

（1）求f（x）的表达式；

（2）判断函数g（x）=在（0，+∞）上的单调性，并证之．

【考点】二次函数的性质．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得f（x）的表达式；

（2）结合（1）中结论，可得g（x）的解析式，利用作差法，可证明其单调性．．

【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件得：

a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，

从而，

解得：，

所以f（x）=x2﹣2x﹣1；…

（2）函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．理由如下：

g（x）==，

设设任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则g（x1）﹣g（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）（1+），

∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，1+＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，

即g（x1）＜g（x2），

所以函数g（x）=在（0，+∞）上单调递增．…

【点评】题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，函数单调性的判定与证明，难度中档．

20．已知函数f（x）=是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．

（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．

【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，

∴设x＞0，则﹣x＜0，

∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）

从而m=2．

（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，

则﹣1≤a﹣2≤1

∴1≤a≤3

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．

21．已知三个集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}，C={x|x2﹣bx+2=0}，问同时满足B?A，A∪C=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由．【考点】集合的包含关系判断及应用．

【专题】计算题；集合思想；判别式法；集合．

【分析】由A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}={x|（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]=0}，又B?A，求出a的值，然后由A∪C=A，得C?A，则C中元素有以下三种情况，分别求出b的值，不符合题意的舍去，最后可得b的值．

【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2﹣ax+a﹣1=0}={x|（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]=0}，又∵B?A，∴a﹣1=1，或a﹣1=2，∴a=2，或a=3．

∵A∪C=A，∴C?A，则C中元素有以下三种情况：①若C=?，即方程x2﹣bx+2=0无实根，

∴△=b2﹣8＜0，∴，

②若C={1}或{2}，即方程x2﹣bx+2=0有两个相等的实根，∴△=b2﹣8=0，∴b=±2，此

时C={}或{﹣}不符合题意，舍去，

③若C={1，2}，则b=1+2=3，而两根之积恰好为2．

综上所述，a=2，或a=3，b=3或．

【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分类讨论的思想方法，是中档题．

22．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f （x）＞1．

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

【考点】函数单调性的判断与证明．

【专题】计算题．

【分析】（1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1变形得到结论．

（2）由f（4）=f（2）+f（2）﹣1求得f（2）=3，再将f（3m2﹣m﹣2）＜3转化为f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．

【解答】解：（1）证明：任取x1＜x2，

∴x2﹣x1＞0．

∴f（x2﹣x1）＞1．

∴f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]

=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1），

∴f（x）是R上的增函数．

（2）∵f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，

∴f（2）=3．

∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）．

又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，

∴3m2﹣m﹣2＜2，

3m2﹣m﹣4＜0，

∴﹣1＜m＜．

【点评】本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，属于中档题．