2017年辽宁单招数学考前冲刺试题及答案
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2017年辽宁单招数学考前冲刺试题及答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合A =｛x|1≤x ≤2｝，B =｛x |x ≥a ｝，若B A ?，则a 的范围是 A ．a <1 B ．a ≤1
C ．a <2
D ．a ≤2
2．函数1
1
)(+-=
x x x f 的反函数为 A ．x x
y -+=
11 B ．x
x
y -+=
11
C ．x
x
y -+=
11（x ≠1） D ．1
1
-+=
x x y （x ≠1） 3．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为,n S ，若,2001OC a OA a OB += 且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于 A ．100
B ．101
C ．200
D ．201
4．已知平面向量),(y x a =，),(22y x b =，)1,1(=c ，)2,2(=d ，若1=?=?d b c a ，则这样的向量a 有 A ．1个 B ．2个
C ．多于2个
D ．不存在
5．若tan α=3，tan β=
3
4
，则tan (α－β)等于 A ．－3
B ．3
1-
C ．3
D ．
3
1 6．若函数[)[]??
???∈-∈=1,0,40,1,)41()(x x x f x x
则f (34log )等于 A ．
3
1
B ．3
C ．
4
1 D ．4
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7．若y =f (x )cosx 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是
A ．sinx
B ．cosx
C ．tanx
D ．cotx
8．若R y x ∈,，且,6182xy y x ==则y x +为 A ．0
B ．1
C ．1或2
D ．0或2
9．为得到函数y =s inx －cos x 的图象，只要将函数y =sinx +cosx 的图象按向量a 平移，则a 可以等于 A ．???
??0,2π B ．??? ??-0,2π C ．??? ??0,4π D ．??
? ??-0,4π 10．函数y =f (x )在（－2，0）上是减函数，函数y =f (x －2)是偶函数，则有 A ．)34
()37()310(-<-<-
f f f B ．)37
()34()310(-<-<-
f f f C ．)3
7()310()3
4(-<-<-f f f D ．)3
4()310()3
7(-<-
<-f f f 11．给出下列命题：
①如果函数()f x 对任意的x ∈R ，满足(2)()f x f x +=，那么函数()f x 是周期函数；
②如果函数()f x 对任意12,,x x ∈R 且12x x ≠，都有1212)[()()]0x x f x f x -->(，那么函数()f x 在R 上是增函数；
③如果函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()f a x f a x +=- （a 是常数），那么函数()f x 必为偶函数． 其中真命题有
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
12．在函数y =3x ，y =x 3log ，y =tanx ，y =sinx ，y =cosx 这5个函数中，满足“对［0，1］
中任意的x 1，x 2，任意的λ≥0，λ
λλλ++≤++1)
()()1(2121x f x f x x f 恒成立”的函数个数
是
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
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二、填空题：（每小题4分，共16分）
13. 已知(4,3),||1,5a b a b =-==
，则b ＝
14.某学校有初中生1100人，高中生900人，教师100人，现对学校的师生进行样本容量为n 的分层抽样调查，已知抽取的高中生为60人，则样本容量n ＝ 15. 不等式22|2log |2|log |x x x x -<+中x 的取值范围是 16. 给出下列命题：（1）7()2cos(2)2
f x x π
=--是奇函数；（2）sin1sin 2sin 3>>；（3）已知函数2()3sin 12
x
f x π=+，使()()f x c f x +=恒成立的正整数c 的最小值是
2；（4）38x π=-是函数33sin(2)4
y x π
=-
的图象的一条对称轴。其中正确命题的序号是
三．解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知向量，，且x ∈[0，]； （I ）求及；（II ）若f (x )＝，求f (x )的最大值与最
小值．
18．（本题满分12分）某种植物种子由于在太空中被辐射，我们把它们称作“太空种
子”. 这种“太空种子”成功发芽的概率为，发生基因突变的概率为，种子发芽与发生
基因突变是两个相互独立事件.科学家在实验室对“太空种子”进行培育，从中选出优良品种. (Ⅰ)这种“太空种子”中的某一粒种子既发芽又发生基因突变的概率是多少？
(Ⅱ)四粒这种“太空种子”中至少有两粒既发芽又发生基因突变的概率是多少？
19．（本小题满分12分）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与BB 1的中点。 （I ）求证：EF ⊥平面A 1D 1B ；
)2
3sin ,23(cos x x a
=)2sin ,2(cos x
x b -=2
π
b a ·b a +x b a b a sin 3·+-341
3
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（II ）求二面角F —DE —C 的正切值； （III ）若AA 1=2，求三棱锥D 1—DEF 的体积。
20．（本小题满分12分）
已知函数)(,122
31)(213x f x x x x a
x x f 是且++-=
的两个极值点，.31021<<< （I ）求a 的取值范围； （II ）若m b bm m x x 求实数恒成立对.]1,1[,22||221-∈--≥-的取值范围。 21．（本小题满分12分）数列).3,2,1(,1,}{1213 ==+++=+n a a a a a a n n n 中 （I ）求21,a a ； （II ）求数列n n S n a 项和的前}{； （III ）设1}{,log 432=??=++n n n n n n b b c c S b 使得存在数列，试求数列n c n 的前}{项和. 考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 22．（本题满分14分） 过双曲线3322=-x y 的上支上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点A ，B 。 （I ）求证：OB OA ?为定值； （II ）若AM OB =，求动点M 的轨迹方程。 参考答案 一、选择题：（60分，第小题6分） 1—5BCAAD 6—10BADAB 11—12 BC 二.填空题： 13. 答案：)5 3,54(- 14。答案：140 15。答案：（1，+∞） 16。答案：（1）（3）（4） 17．解：⑴＝＝＝ ＝ 3分 ＝＝1＋1＋2cos 2x ＝2＋2cos 2x ＝4cos 2 x ∵x ∈[0， ] ∴cosx ≥0 ∴＝2cosx 6分 b a ·)2 sin (2 3sin 2 cos 23cos x x x x -+2 sin 23sin 2 cos 2 3cos x x x x -)2 23cos(x x +x 2cos 2 b a + b a b a · 222++2 π b a + 考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 ⑵f (x )＝cos 2x －·2cosx ·sinx ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋) 8分 ∵0≤x ≤ ∴ ∴ ∴ ∴，当x ＝时取得该最小值 ，当x ＝0时取得该最大值 12分 18．（本题满分12分） 解：(Ⅰ)记“这批太空种子中的某一粒种子既发芽又发生基因突变”为事件，则 . (Ⅱ) 19．方法一：（I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点 ∴EF ∥AB 1，而AB 1⊥A 1B ，∴EF ⊥A 1B 又D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，∴D 1A 1⊥EF ，∴EF ⊥平面AD 1B 1 …………2分 （II ）设CB 交DE 的延长线于点N ，作BM ⊥DN 于M 点，连FM ∵FB ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥DN ， ∴∠FMB 为二面角F —DE —C 的平面角 …………5分 设正方体棱长为a ，则EBN Rt a FB ?= 在,2 中， , 25 tan ,, 5 5 ,25,,2==∠?=?=∴=== BM FB FMB FBM Rt a EN BN EB BM a EN a BN a EB 中在 333 π2 π34323 π≤π+≤ πx 2 1 )32cos(1≤π+≤- x 1)(2≤≤-x f 2)(min -=x f 3 π 1)(max =x f A 311()434PA =?= 0413 014 413138 11086711=.4444256256256????????=-?-?=-- ? ? ? ? ????????P C C 考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 ∴二面角F —DE —C 的正切值为.2 5 …………8分 （III ）连结DB ，∵BB 1∥DD 1 131 , 111111DD S V V V V S S DEB DEB D DB D E D F D E DEF D DB D DF D ?====∴=∴?----?? .3 22)22221(31=???= …………12分 方法二：如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D —ACD 1，不妨令正方体的棱长为2。 （I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点 ∴E （2，1，0），F （2，2，1），A 1（2，0，2） D 1（0，0，2），B （2，2，0）， )2,2,0(),1,1,0(1-==∴B A EF ， )0,0,2(11-=D A ，…………2分 111111,,0,0D A EF B A EF D A EF B A EF ⊥⊥∴=?=?∴， （II ）显然，平面DEC 的法向量为).2,0,0(1=DD , 02202,00, ,),1,2,2(),0,1,2(),,,1(? ??-++=+?????=?=?∴⊥⊥===z y y DF n DE n DF n DE n DF DE z y n DEF 即而的法向量为设平面 解得).2,2,1(-=n …………6分 记二面角F —DE —C 的平面角为α， 35 sin ,32234| |||cos 11 ==?=?=∴ααDD n DD n ， …………7分 考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 .25tan = ∴α故二面角F —DE —C 的正切值 .2 5 …………8分 20．解：（I ）2)(2+-='ax x x f ， …………2分 由题知：311 30 239)3(021)1(<+-='<+-='a a f a f ； …………6分 （II ）由（I ）知：18||221>-= -a x x ， …………8分 1222≤--∴bm m ]1,1[-∈b 恒成立， 所以：110 320 3222 ≤≤-??????≤--≤-+m m m m m …………12分 21．解：（I ）.2 1 ,21,12,,213132121==∴==∴=+=a a a a a a a a a ……2分 （II ）2, 2,1 111==∴-==++++n n n n n n n n S S S S S S a S ， …………6分 2 1 }{11==∴a S S n 是首项为，公比为2的等比数列。 .222 121 --=?= ∴n n n S …………8分 （III ）2,1,2,2,log 4322+=+=-=∴==++-n b n b n b S S b n n n n n n n ， .) 2)(1(1 ,1)2)(1(++= =++?∴n n c n n c n n …………10分 .4 22121)2111()4131()3121(21+=+-=+-+++-+-=+++∴n n n n n c c c n …………12分 22．解：（I ）设直线AB ：0,>+=b b kx y )3)(3(4)2(,03032)3(3 322222 222 2=---=?≠-=-++-???=-+=b k kb k b kbx x k x y b kx y 得由 考单招上高职单招网---- 根据历年单招考试大纲出题 322=+∴b k …………3分 ??? ??? ? +=+-=???-=+=??? ??? ? -=-=???=+=>>k b y k b x x y b kx y k b y k b x x y b kx y y y y x B y x A 333333330,0),,(),,(22 11 212211得由得由 3 ||30 ,03,3,13 21212122 2221212221=?=?∴>>==-=-= ?x x y y y y x y x y k b x x 且 22121=?+?=?∴y y x x OB OA …………7分 （II ）AM OB = ，所以四边形BOAM 是平行四边形 OB OA OM +=∴ …………9分 M(x,y)，由（*）得 b k k kb x x x 232221=--=+=， ① b k b y y y 6 362 21=-= += ② 由①②及14 1232 22 2 =-=+x y b k 得 …………13分 060>=∴>b y b ，所以M 的方程)0(14 122 2>=-y x y ……14分