抑制房地产泡沫问题数学建模论文

数学建模论文 抑制房地产泡沫

摘要

目前各大城市出现了严重的房地产泡沫现象，城市房价已经成为全社会关注的热点问题，本文研究的主要问题是城市房价的形成、演化机理以及影响房价的因素，通过建立房价的数学模型进行科学合理的分析。

针对问题一，通过建立房地产泡沫测度模型测量了不同城市的泡沫大小，发现主要城市的房价很大一部分都是由泡沫组成，因此依据经济学理论中的泡沫形成和发展过程分析城市房价的形成和演化机理，并将房价的形成过程分为无泡沫的理性增长阶段、泡沫的形成阶段、泡沫的非理性膨胀阶段以及破灭阶段，很好地描述了房价的演化机理。

针对问题二，首先从消费者需求、国家政策和房地产商期望三个角度选取了与房价相关的九个因素，根据经验粗略地比较各因素重要程度，建立层次分析模型对所有因素对房价的影响程度用matlab 软件进行判断，根据判断结果选出最重要的三个因素建立多元线性回归模型，用最小二乘法求解模型参数，通过程序检验分析判断出模型具有很高的精确度，所得到的房价模型为：

12345.3511 1.29250.00940.0003W x x x =+++ 。

在对房价形成的机理深入细致分析后，本文将理论结合实际，根据模型求解的结果提出了抑制房价的有效措施，这些建议可供政府依据价格杠杆对房地产市场进行调控，最大程度发挥市场配置资源的优势，此外，还科学的预测了未来房价的趋势。

关键词 房地产泡沫测度模型 层次分析 多元线性回归 matlab

目录

一、问题背景与重述 (3)

1.1问题背景 (3)

1.2问题重述 (3)

二、模型假设 (3)

三、符号说明： (4)

四、问题分析 (4)

五、模型的建立与求解 (5)

5.1房地产泡沫的测度模型 (5)

5.1.1理论准备 (5)

5.1.2泡沫的测度 (5)

5.2层次分析模型的建立 (7)

5.3房价多元线性回归模型的建立与求解 (11)

5.3.1理论准备 (11)

5.3.2影响房价的因素分析 (11)

5.3.3建立房价的多元线性回归模型 (16)

六、模型的检验与改进 (17)

6.1模型的检验 (17)

6.2模型的改进 (19)

七、模型评价与推广 (19)

7.1模型的缺点 (19)

7.2模型的优点 (19)

7.3模型的推广 (20)

八、抑制房价的建议 (20)

九、结果预测 (22)

十、参考文献 (23)

十一、附录： (23)

一、问题背景与重述

1.1问题背景

近几年来，我国的房地产市场持续升温，城市高楼建设速度越来越快，各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况，房地产市场泡沫现象十分严重，国家实体经济的发展较慢，对于许多的年轻人来说，刚刚走上工作岗位，对于高昂的房价也只能是望房兴叹了，因此很多人都成为了房奴，即使是奋斗上一生也很难在大城市买一套住房。普通百姓被房价压弯了腰，因此房价成为了社会和政府普遍关注的民生问题。

1.2问题重述

针对房价的持续上涨使得生活成本，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在需要通过统计数据解决以下问题：

1．通过分析找出影响房价的主要因素，建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；

2．给出抑制房地产价格的政策建议；

3．对提出的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。

二、模型假设

1.由房屋自身因素和环境因素组成的非市场因素对房价的影响忽略不计；

2.所有数据均为城市普通居民住宅（如小区等），不包括别墅、高级住宅；

3.假设土地资源足够多，不存在枯竭；

4.只考虑影响房屋价格的主要因素；

5.所得数据数据的波动均在合理的范围内；

6.近期内不会大的经济变化对房价产生根本性的影响；

三、符号说明：

W：全国房屋平均价格；

x：土地建设成本（土地资源价值和建设材料成本）；

1

x全国居民人均可支配收入；

2

x国民生产总值GDP;

3

四、问题分析

房价问题目前受到了社会的广泛关注，全国各大城市均出现了不同程度的房地产泡沫，所谓房地产泡沫是指房地产商品的预期价格被大大的高估，从而导致各类投机资本的纷纷进入，通过恶性炒作将现期房地产价格大大抬高。针对问题一，需要分析房价的形成和演化机理，从经济学的角度讲，过高的房价主要是由房地产泡沫引起的，房价的形成过程与泡沫的发展有着密切的关系，因此分析房价的演化机理实际就是分析房地产泡沫的形成、发展和破灭的过程。针对问题二，首先影响房价的因素多而复杂，目前房价的形成是由于社会因素、市场因素、环境因素等多种复杂因素综合作用而形成的，若要分析所有的因素必然导致模型难以建立，由假设我们可以只考虑市场因素中的可以量化易于调控的主要因素对房价的影响。先逐个分析各因素对房价的影响，最直接有效的办法就是采用一元线性回归分析，然后根据一元回归分析的结果进行多元回归分析得出房价与各主要因素之间回归关系，建立房价的数学模型，根据回归的结果分析房价的形成机理和演化过程。

五、模型的建立与求解

5.1房地产泡沫的测度模型 5.1.1理论准备

房地产作为一种可供投资选择的资产类型, 投资者所要求的投资回报从本质上来说与投资股票没有什么不同: 一是资产本身价格上涨;一是资产所带来的收益流。若pct 表示房地产的市场价格水平; E [ pct+ 1 |It ]表示投资者根据t 时刻的信息所预测的t+ 1时刻的房地产价格, 那么投资房地产所带来的从t 到t+ 1期的收益流是什么呢?鉴于房地产投资者在购买房产之后可以进行出租获取租金, 用房屋租金作为R t+ 1; 如果r* 表示与房地产同风险的资产的投资回报率, 我们就可以得到理性预期条件下均衡时房地产的内在价值表达式

( 1)

通过( 1)式可以看出, 如果房地产投资收益率取值越高, 则计算出来的泡沫将会越小; 如果房地产投资收益率取值越低, 则计算出来的泡沫将会越大。其中'

*t p 表示房地产价格是预期未来租金的贴现值, 也就是房地产的内在价值。

( 2)

其中't b 就是房地产市场的泡沫, 't b 表征了内生随机变量偏离长期均衡的特征。

根据我国土地出让转让条例规定, 住宅建设用地使用权期限为70年, 因此取值房屋住宅年限T 为70年, 即T = 70。E [R t+ 1 |It ]是站在今天的信息集下对未来的预期, 由于未来是不确定的, 根据今天的信息对未来进行预期, 最好的预期值就是今天的现值, 即E [R t+ 1 | It ] = R0, 租金水平要求与上述选取的住宅类型相对应.

5.1.2泡沫的测度

下面分别对北京、广州、哈尔滨、西宁、西安和重庆六个城市的泡沫进行测定。这里以0p 来表示住宅平均房价, 变量单位为:元/平方米, 以0R 来表示住宅平均租金水平, 变量单位为: 元/平方米*月。以R 表示年平均租金，单位为元/平方米*年。如下表：

通过大量数据的统计，设定*

r=5%，对不同城市带入公式（1），得到下面数据

由公式（2）计算出各个城市房价的泡沫

b：

通过模型的求解可以发现目前房价的很大一部分来自于泡沫，房地产市场泡沫的恶性增长导致房价居高不下，因此我们可以认为房价的形成于泡沫有着直接的关系，房价的演化过程也就是泡沫的形成发展过程，下面根据泡沫理论对房价形成演化进行细致分析。

对于目前高昂的房价的形成，按照经济学中的房地产泡沫观点大致可以分为四个阶段：

一是房地产无泡沫的理性涨价阶段，这一阶段往往处于经济周期的回升阶段，投资和经济增长加快，居民收入提高，购买能力增强；进过前一段时期的积蓄，居民储蓄达到一定水平，积累的购买力开始释放，同时，城市化的速度也随经济增长率的提高而加快。这一阶段对应于中国的改革开放后，进入九十年代，中国的经济已经持续发展了十几年了，房地产业进入了理性的涨价阶段，这一时期房价快速的增长，但是房价依然处于较低的水平，市场上不存在泡沫现象。

二是房地产泡沫的形成阶段，在房地产价格上涨一段时间以后，市场上部分人开始出现了投机心理，认为房地产价格会继续上涨，于是加入到买房者的队伍中，市场人气积聚，投资性或投机性买房者开始出现。随着买房者的陆续进入，

市场形成房地产价格会继续上涨的语气，房地产市场供不应求的局面继续扩大，开发商乘机涨价，房地产价格被进一步推高，房地产价格上涨的预期得以实现。此时，房地产市场已经偏离其基础价值，泡沫已经出现。

三是泡沫的非理性膨胀和恶化阶段。在房地产价格上涨的预期得以实现后，房地产价格继续上涨的预期得到强化，房地产投机市场产生“羊群效应”，大众从心理开始发生作用，非理性的投机者大量涌入房地产市场，导致市场需求继续放大，房地产市场参与者逐步失去理性，出现“价格狂想”和“大众疯狂”现象。在市场供需双方的共同作用下，房地产价格被再次推向一个更高的台阶，严重偏离其基础价值、房地产出现非理性膨胀，泡沫进一步恶化。

四是泡沫的巅峰和突破阶段。当房地产价格被推倒顶峰，价格已经停止上涨时，部分理性的投机者开始对高房价产生怀疑，预感到泡沫即将破灭。政府部门也意识到事态的严重性，往往会突然出台强硬的调控政策，出重拳整治房地产泡沫。此时，长期形成的房地产价个上涨会突然发生逆转、房价下降的预期会迅速形成，市场立即出现恐慌性的抛售浪潮，生产出现供大于求，导致房地产价格急速下跌，泡沫破灭、房地产价格逐步向其基础价格回归。

5.2层次分析模型的建立

我们通过当前现状分析，构建层次分析模型进行理论说明，层次图形如下：

说明：

土地及建设成本M1；人口密度M5; 税收政策M9;

房价利润M2；住房环境M6; 房价：C层

投机行为M3；货币政策M7；中间层：O层

居民收入M4；土地政策M8; 下层：M层

房地产商期望O1 消费者需求O2 国家政策O3

1.建立判断矩阵C={O1,O2,O3}表示准则中3个影响因素。

λ=3

归一化，

W1=(0.5414,0.2857,0.1419)T

2.建立判断矩阵O1={M1,M2,M3}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB对判断矩阵进行一致性检验：

λ=3.0092

一致性指标: max

CI =

max 3

31

λ-=-0.0046

经查表得RI=0.58

一致性比率：CR=CI

RI

=0.0079<0.1 所以矩阵B 可以当作正互反矩阵使用。

经过MATLAB 求得权重W2=T

(0.5396,0.2970,0.1634) 3.建立判断矩阵O2={M4,M5,M6}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB 对判断矩阵进行一致性检验： 一致性指标: max λ=2.8955

CI =

max 3

31

λ-=-0.0526

经查表得RI=0.58

一致性比率： CR=CI

RI

=0.0901<0.1 所以矩阵C 可当做正互反矩阵使用。

经过MATLAB 求得权重W3=(0.6578,0.2320,0.1102)T

4.建立判断矩阵O3={M7,M8,M9}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB 对判断矩阵进行一致性检验： 一致性指标: max λ=3.1079

CI =

max 3

31

λ-=-0.0539

经查表得RI=0.58

一致性比率 ：CR=CI

RI

=0.0930<0.1 所以矩阵D 可当做正互反矩阵使用。

经过MATLAB 求得权重W4=(0.6817,0.2363,0.0819)T

综合排序：因为已经求出W 是方案层对目标层的权重，可以体现不同因素对房价的影响程度，按大小排序可以得出解决方案。

九种影响因素的排列顺序：已知方案层对目标层的权重W= W1*Wk(k=2,3,4)，所以可以得出九种因素的排名情况为：

由表格可知，其影响房价的主要因素为土地及建设成本、房价利润、居民收入和国家政策。其中最主要的影响因素是土地及建设成本。

5.3房价多元线性回归模型的建立与求解 5.3.1理论准备

回归分析法，直观的将就是，就是对平面上一些散步的点，采用一条最好的直线去表达，如果自变量只有一个就属于一元线性回归分析，如果自变量有多个则属于多元线性回归分析。

一元线性回归分析模型为：y x αβε=++，其中ε~N (0，2σ);多元线性回归模型为：01112++m m y x x x ββββε=+++ ，，其中ε~N (0，2σ)。求解回归模型通常采用的方法是最小二乘法：

参数α和参数β的求解公式

121()(Y )()n i i i n i i Y X

X X Y X X αββ==?=-???--?=??-??

∑∑ 5.3.2影响房价的因素分析

根据层次分析模型得出的结果，我们选取影响房价的主要因素进行一元线性回归分析，通过matlab 软件得出各个因素与房价之间的关系。

1. 土地建设成本与房价

2000年至2012 年土地建设成本与全国的平均房价

b=

52.5279

1.3116

R=1

回归方程：y=52.5279+1.3116*x

我们得到的回归方程的相关系数R高达0.98135，且房价对土地建设成本的弹性为1.3116,。由此可以得出结论，土地建设成本与房价呈正相关，建设成本每增加1000元可带来房价1312元的增长。

2．人均可支配收入与房价

2000年至2012 年人均可支配收入与全国的平均房价

750.8665

0.2134

R=1

回归方程：y=750.8665+0.2134*x

同样可以得出人均可支配收入与房价呈正相关，且相关系数高达0.956.

3 .GDP与房价

2000年至2012 年GDP 总量与全国的平均房价

b =

1329．3

0.00789

R=1

回归方程：y=1329.3+0.00809*x

下面是各因素回归分析的总结：

由以上分析，我们可以得出以下结论：

根据线性回归的理论，相关系数越高，对房价的影响越明显，土地建设成本、人均可支配收入、GDP的相关系数均在0.9以上，因此可以认为它们是影响房价的主要因素。

5.3.3建立房价的多元线性回归模型

根据因素分析，建立房价W 与各因素之间的线性回归模型：

其中e 表示随机误差，为各种随机因素对W 的影响的总和，且服从正态分布，

2(0,)N e s 。

利用最小二乘法可以得到各个回归系数b 的估计值?

i b ，i =0、1、2、3。 线性回归模型为：

0112233

?????y b b x b x b x =+++ 利用matlab 软件进行模型求解

利用matlab 工具箱中多元线性回归函数 regress 编写线性回归程序，代入搜集好的数据进行回归分析，结果如下：

b =

45.3511 1.2925 0.0094 0.0003

bint =

-25.9176 116.6199 1.2275 1.3576 -0.0145 0.0332 -0.0012 0.0006 R=1

回归曲线如图

0112233W b b x b x b x e

=++++

房价的多元线性回归表达式：

12345.3511 1.29250.00940.0003W x x x =+++

六、模型的检验与改进

6.1模型的检验

线性回归分析是分两步完成的，从线性回归的程序结果可以得出每个参数的估计值和相应的置信区间，还可以得到每个方程的可决系数和残差平方和，通过这些数值的大小能更好地说明模型的可靠性与合理性。 做出多元线性回归的残差图：

从残差图中可以看出只有一个奇点，而且回归模型得到的相关系数为0.956，各项指标都非常好，因此可以认为线性回归模型成立。

由多元线性回归方程：

12345.3511 1.29250.00940.0003W x x x =+++可以看出即土地建设

成本对房价的影响最大，这与层次分析模型得出的结果一致，这样即可检验两个模型的合理性和正确性。

回归方程检验表

从表中可以看出此模型的精确度和准确度都很高。

6.2模型的改进

本文所建立的模型较好的描述了房价的规律，然而在建模过程中忽略了很多的次要因素，因而与实际问题有一定的偏差。在统计数据时，我们取的都是每年的平均房价，不能够完全地反映出房价的波动趋势，而且是以全国的总体情况进行分析的，这样就会忽略由于地区差异带来的影响，为了能够准确的建立房价模型，首先要对影响房价的因素进行综合评判，找出可以量化而且易于衡量的因素，然后将全国城市进行分类分别来进行研究，可以按照一线沿海城市、二线城市、省会城市、内地小城镇归类分析，不同类型的城市建立自己的因素与房价的模型，下面对此情况进行简单的讨论。

每种类型的城市选取三个代表城市统计其历年来房价的走势，此时还需将地缘因素、政治因素考虑在内，分析国家调控政策对房价的影响，需要统计出更多更详细的数据，用matlab软件回归调控政策与房价的关系，然后采用类似的多元回归分析建立不同类型城市房价的模型，对于每个模型进行横向对比，就可以得到不同类型城市对房价的影响。

七、模型评价与推广

7.1模型的缺点

我们的数据均来自于国家统计局官网，在统计数据时进行了必要的处理，取整数据和舍弃部分数据，这都对结果带来一定的误差。

我们通过合理假设，只考虑了影响房价的主要因素而忽略了许多次要因素，这样得出的房价数学模型不具有广泛的代表性。

7.2模型的优点

本文确定影响房价因素时给出了层次分析和线性回归两个模型，两者可以相互对比，使得结论更有说服力，增强了可信度。

在多元线性回归分析模型中，利用matlab软件拟合，精确度高，而且进行

了模型的准确度检验。

对于抑制房价的建议的给出，充分结合了本文模型的结果进行分析，这显得有理有据。

7.3模型的推广

在以上的讨论中，我们基本解决了题目中所提的问题，建立了房价的数学模型并根据模型分析了房价形成及演化机理，针对目前房价过高提出切实有效的抑制措施。本文中讨论的因素都是可以量化认为调控的，实际房地产市场中存在着一些故意炒作和垄断的因素，这些都是在无形中对房价过高起了很大作用的因素，因此，在建立模型时应该把这些因素考虑在内，在对房价未来走势的预测中，不能太过于理想化，仅仅按照回归方程得出的房价可能与实际会有较大差距。

八、抑制房价的建议

根据建立的模型得出影响房价的主要因素是土地建设成本、居民可支配收入、GDP,我们从这些主要因素入手给出抑制房价的建议：

1.1政府在调控土地供给量时，应严格控制土地价格，防止因土地供应偏紧，使获取土地的竞争加剧，而在投标或拍卖中哄抬地价.严格禁止土地炒卖和变相炒卖。

1.2通过土地的上市来发现土地的价值,避免政府垄断造成的不利影响。在土地的利用中,政府垄断造成了土地价值的低估与高估的双重影响。一方面,村民的集体土地在政府征用过程中被价值低估,在我国各地竞相建设的开发区里,地价惊人的低廉;另一方面,在城市开发中,土地价值则存在垄断操作下的价值高估。房地产开发商通过在政府机构中寻求其行政人、行业性垄断、区域性垄断、集体合谋压低价、垄断性信息优势、强制拆迁等手段,以远低于市场价值的批租拿到优良位置土地开发权。利润越大投资越大,产业往往在暴利刺激下过度膨胀。尽快改变土地所有者权属和入市方式,培育土地要素市场,是从根本上改变我国房地产市场人为控制,保证房地产市场健康稳定发展的关键。

2.针对居民可支配收入，这是一个影响国民生活水平的关键因素，虽然与房