高二数学导数单元测试题 (2)

高二数学导数单元测试题 (2)
高二数学导数单元测试题 (2)

高二数学导数单元测试题(2)

一.选择题(共12小题)

1.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足,

,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是()

A.B.()C.(,1)D.(,1)

2.曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是()

A.[,+∞)B.(,+∞)C.(﹣,+∞)D.[﹣,+∞)

3.设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,f n+1(x)=f n′(x)(n∈N),则f2016(x)=()

A.sinx B.﹣sinx C.cosx D.﹣cosx

4.已知定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对?x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣log2x]=3,则方程f(x)﹣f′(x)=2的解所在的区间是()

A.(0,)B.(1,2)C.(,1)D.(2,3)

5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,则下列结论正确的是()

A.2f(ln2)>3f(ln3)B.2f(ln2)<3f(ln3)

C.2f(ln2)≥3f(ln3)D.2f(ln2)≤3f(ln3)

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),若对任意实数x都有x2f′(x)>2xf(﹣x),则不等式x2f(x)<(3x﹣1)2f(1﹣3x)的解集是()

A.(,+∞)B.(0,)C.(﹣∞,) D.(﹣∞,)∪(,+∞)

7.已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()

A.B.C.D.

8.函数y=x5﹣xe x的图象大致是()

A.B.

C.D.

9.已知函数f(x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x∈[1,m](m>1),都有f (x﹣2)≤g(x),则m的取值范围是()

A.(1,2+ln2]B.(1,+ln2]C.[ln2,2)D.(2,+ln2)

10.若函数f(x)=(x﹣1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最小值为()

A.﹣B.C.﹣D.

11.直线x=t(t>0)与函数f(x)=x2+1,g(x)=lnx的图象分别交于A、B两点,当|AB|最小时,t值是()

A.1 B.C.D.

12.已知函数f(x)=ln+,g(x)=e x﹣2,对?m∈R,?n∈(0,+∞)使得g(m)=f (n)成立,则n﹣m的最小值为()

A.﹣ln 2 B.ln 2 C.2﹣3 D.e2﹣3

二.填空题(共4小题)

13.已知f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x),记A=f′(a),B=,C=f′(a+1),则由导数的几何意义和斜率公式可得A,B,C的大小关系是.

14.已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),则f′(4)=.

15.对于函数f(x)给出定义:

设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.

某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,计算

=.

16.已知函数f(x)=,无论t取何值,函数f(x)在区间(﹣∞,+

∞)上总是不单调,则a的取值范围是.

三.解答题(共6小题)

17.设函数f(x)在x=3处可导,且f′(3)=﹣2,且f(3)=2,求的值.

18.(Ⅰ)已知y=,求y′.

(Ⅱ)已知y=x2sin(3x+π),求y′.

19.已知函数f(x)=x3+ax2﹣a2x﹣1,a>0.

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若关于x的不等式f(x)≤0在[1,+∞)上有解,求实数a的取值范围.

20.已知函数,f(x)=x2+lnx﹣ax.

(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若f(x)在(0,1)上有极值,求a的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,设g(x)=1+x|x﹣a|(1≤x≤3),求函数g(x)的最大值.21.已知函数f(x)=﹣x3+x2+b,g(x)=alnx.

(Ⅰ)若f(x)在x∈[﹣,1)上的最大值为,求实数b的值;

(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.

22.设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2;

(1)当a=﹣1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x﹣y+3=0距离的最小值;

(2)是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

高二数学导数单元测试题

参考答案与试题解析

一.选择题(共12小题)

1.定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足,

,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3﹣x2+a 是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是()

A.B.()C.(,1)D.(,1)

【分析】根据题目给出的定义可得f′(x1)=f′(x2)==a2﹣a,即方程3x2﹣2x=a2﹣a 在区间(0,a)有两个解,利用二次函数的性质可知实数a的取值范围.

【解答】解:由题意可知,∵f(x)=x3﹣x2+a,f′(x)=3x2﹣2x

在区间[0,a]存在x1,x2(a<x1<x2<b),

满足f′(x1)=f′(x2)==a2﹣a,

∵f(x)=x3﹣x2+a,

∴f′(x)=3x2﹣2x,

∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间(0,a)有两个不相等的解.

令g(x)=3x2﹣2x﹣a2+a,(0<x<a)

则,

解得;.

∴实数a的取值范围是(,1)

故选:C

【点评】本题主要考查了导数的几何意义,二次函数的性质与方程根的关系,属于中档题

2.曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是()

A.[,+∞)B.(,+∞)C.(﹣,+∞)D.[﹣,+∞)

【分析】先求导函数,进而可确定导函数的范围,利用导数的几何意义,可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围

【解答】解:由题意,f(x)=x3﹣x+2,∴

∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是,

故选D.

【点评】本题以函数为载体,考查导数的几何意义,解题的关键是求导函数,并确定函数的值域

3.设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,f n+1(x)=f n′(x)(n∈N),则f2016(x)=()

A.sinx B.﹣sinx C.cosx D.﹣cosx

【分析】求出f1(x)=f0′(x)=﹣sinx,f2(x)=f1′(x)=﹣cosx,f3(x)=f2′(x)=sinx,f4(x)=f3′(x)=cosx…从第五项开始,f n(x)的解析式重复出现,每4次一循环,由此能求出f2016(x)的值.

【解答】解:∵设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,f n+1(x)=f n′(x)(n ∈N),

∴∵f0(x)=cosx,

∴f1(x)=f0′(x)=﹣sinx,

f2(x)=f1′(x)=﹣cosx,

f3(x)=f2′(x)=sinx,

f4(x)=f3′(x)=cosx

从第五项开始,f n(x)的解析式重复出现,每4次一循环.

(x)=f0(x)=cosx,

∴f2016(x)=f4

×504

故选:C.

【点评】本题考查导数性质的应用,是中档题,解题时要认真审,注意三角函数性质的合理运用.

4.已知定义在(0,+∞)上的单调函数f(x),对?x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣log2x]=3,则方程f(x)﹣f′(x)=2的解所在的区间是()

A.(0,)B.(1,2) C.(,1)D.(2,3)

【分析】设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得t的值,可得f(x)的解析式,由二分法分析可得h(x)的零点所在的区间为(1,2),结合函数的零点与方程的根的关系,即可得答案.

【解答】解:根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣log2x]=3,

又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,

则f(x)﹣log2x为定值,

设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,

又由f(t)=3,即log2t+t=3,

解可得,t=2;

则f(x)=log2x+2,f′(x)=,

将f(x)=log2x+2,f′(x)=代入f(x)﹣f′(x)=2,

可得log2x+2﹣=2,

即log2x﹣=0,

令h(x)=log2x﹣,

分析易得h(1)=﹣<0,h(2)=1﹣>0,

则h(x)=log2x﹣的零点在(1,2)之间,

则方程log2x﹣=0,即f(x)﹣f′(x)=2的根在(1,2)上,

故选:B.

【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用,关键点和难点是求出f(x)的解析式.

5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,则下列结论正确的是()

A.2f(ln2)>3f(ln3)B.2f(ln2)<3f(ln3)C.2f(ln2)≥3f(ln3)D.2f (ln2)≤3f(ln3)

【分析】由题意设g(x)=e x f(x),求出g′(x)后由条件判断出符号,由导数与函数单调性的关系判断出g(x)的单调性,由单调性和指数的运算即可得到答案.

【解答】解:由题意设g(x)=e x f(x),

则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)=e x[f(x)+f′(x)],

∵对任意x∈R满足f(x)+f′(x)<0,e x>0,

∴对任意x∈R满足g′(x)<0,则函数g(x)在R上是减函数,

∵ln2<ln3,∴g(ln2)>g(ln3),即2f(ln2)>3f(ln3),

故选:A.

【点评】本题考查导数与函数单调性的关系,函数单调性的应用,以及构造法的应用,属于基础题

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),若对任意实数x都有x2f′(x)>2xf(﹣x),则不等式x2f(x)<(3x﹣1)2f(1﹣3x)的解集是()

A.(,+∞)B.(0,)C.(﹣∞,) D.(﹣∞,)∪(,+∞)

【分析】f(x)是定义在R上的奇函数,可得:f(﹣x)=﹣f(x).对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),可得:xf′(x)+2f(x)>0,设g(x)=x2f(x),可得g′(x)>0.可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出.

【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x).

对任意正实数x满足xf′(x)>2f(﹣x),

∴xf′(x)+2f(x)>0,

设g(x)=x2f(x),

∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0.

∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

又g(0)=0,g(﹣x)=x2f(﹣x)=﹣g(x),

∴函数g(x)是R上的奇函数,

∴g(x)是R上的增函数.

∵不等式x2f(x)<(3x﹣1)2f(1﹣3x)

∴g(x)<g(1﹣3x),

∴x<1﹣3x,

解得x<.

∴不等式x2f(x)<(3x﹣1)2f(1﹣3x)的解集为:(﹣∞,).

故选:C.

【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()

A.B.C.D.

【分析】由于f(x)=x2+cosx,得f′(x)=x﹣sinx,由奇函数的定义得函数f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,取x=代入f′()=﹣sin=﹣1<0,排除C,只有A适合.

【解答】解:由于f(x)=x2+cosx,

∴f′(x)=x﹣sinx,

∴f′(﹣x)=﹣f′(x),故f′(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除BD,

又当x=时,f′()=﹣sin=﹣1<0,排除C,只有A适合,

故选:A.

【点评】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力,同时考查导数的计算,属于中档题.

8.函数y=x5﹣xe x的图象大致是()

A.B.C.D.

【分析】利用特殊值法,判断函数的图象即可.

【解答】解:当x=﹣1时,y=﹣1+<0,排除A,C;

当x=2时,y=32﹣2e2>32﹣18>0,排除D,

故选:B.

【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,特殊值法是判断函数的图象的有效方法之一.9.已知函数f(x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x∈[1,m](m>1),都有f

(x﹣2)≤g(x),则m的取值范围是()

A.(1,2+ln2]B.(1,+ln2]C.[ln2,2)D.(2,+ln2)

【分析】在同一坐标系中作出函数f(x)和函数g(x)的图象,数形结合可得满足条件的m 的取值范围.

【解答】解:∵f(x)=e|x|,

∴f(x﹣2)=e|x﹣2|,

在同一坐标系中作出函数f(x)和函数g(x)的图象如下图所示:

由图可得:当x=1时,f(x﹣2)=g(x)=e,

当x=4时,f(x﹣2)=e2<g(x)=4e,

当x>4时,由f(x﹣2)=e x﹣2≤g(x)=4e5﹣x得:e2x﹣7≤4,

解得:x≤ln2+,

对任意的x∈[1,m](m>1),都有f(x﹣2)≤g(x),

则m∈(1,+ln2],

故选:B

【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质,数形结合思想,难度中档,在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键.

10.若函数f(x)=(x﹣1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最小值为()

A.﹣B.C.﹣ D.

【分析】根据对称性求出a,b,利用导数研究函数的最值即可.

【解答】解:函数f(x)=(x﹣1)(x+2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=0对称,

∴f(﹣1)=f(1),f(﹣2)=f(2),

即﹣2(1﹣a+b)=0,0=4?(4+2a+b),求得b=﹣2,a=﹣1,

∴f(x)=(x﹣1)(x+2)(x2﹣x﹣2 )=x4﹣5x2+4,

∴f′(x)=4x3﹣10x=2x(2x2﹣5)=2x(x﹣)?(x+).

显然,在(﹣∞,﹣),(0,)上,f′(x)<0,f(x)为减函数;

在(,0),(,+∞)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,

故当x=时,y=,x=时,y=,

函数y取得最小值为,

故选:C.

【点评】本题主要考查函数最值的区间,根据对称性求出a,b的值,利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识,综合性较强,难度较大.

11.直线x=t(t>0)与函数f(x)=x2+1,g(x)=lnx的图象分别交于A、B两点,当|AB|最小时,t值是()

A.1 B.C.D.

【分析】将两个函数作差,得到函数y=f(x)﹣g(x),再求此函数的最小值对应的自变量x

的值.

【解答】解:设函数y=f(x)﹣g(x)=x2﹣lnx+1,求导数得

y′=2x﹣=

当0<x<时,y′<0,函数在(0,)上为单调减函数,

当x>时,y′>0,函数在(,+∞)上为单调增函数

所以当x=时,所设函数的最小值为+ln2,

所求t的值为.

故选B.

【点评】可以结合两个函数的草图,发现在(0,+∞)上x2>lnx恒成立,问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值.

12.已知函数f(x)=ln+,g(x)=e x﹣2,对?m∈R,?n∈(0,+∞)使得g(m)=f (n)成立,则n﹣m的最小值为()

A.﹣ln 2 B.ln 2 C.2﹣3 D.e2﹣3

【分析】由g(m)=f (n),求出m的表达式,从而得出n﹣m的表达式,设h(x)=,

求得导数,求出单调区间和极小值,也为最小值,进而求出n﹣m的最小值.

【解答】解:根据题意,g(m)=f (n)

即e m﹣2=ln+,

∴m=2+ln(ln+),

∴n﹣m=n﹣2﹣ln(ln+),

=lne n﹣2﹣ln(ln+),

=ln,

设h(x)=,

则h′(x)=,

令h′(x)=0,得ln+﹣=0,

由x>0,可得ln+﹣递增,

当x=2时,h′(x)=0,

x>2时,h′(x)>0,h(x)递增;

0<x<2时,h′(x)<0,h(x)递减.

可得x=2处取得极小值且为最小值h(2)=2,

则n﹣m的最小值为ln2.

故选:B.

【点评】本题考查了求函数最值的问题,解题的关键是建立目标函数,利用导数求目标函数的最值,是较难的题目.

二.填空题(共4小题)

13.已知f(x)=log a x(a>1)的导函数是f′(x),记A=f′(a),B=,C=f′(a+1),则由导数的几何意义和斜率公式可得A,B,C的大小关系是A>B>C.

【分析】设M坐标为(a,f(a)),N坐标为(a+1,f(a+1)),利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率,直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率,根据对数函数的图象可知大小,得到正确答案

【解答】解:记M(a,f(a)),N(a+1,f(a+1)),则由于,表示直线MN 的斜率;A=f'(a)表示函数f(x)=log a x在点M处的切线斜率;C=f'(a+1)表示函数f(x)=log a x在点N处的切线斜率.

所以A>B>C.

故答案为:A>B>C.

【点评】此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线的斜率,掌握直线斜率的求法,是一道中档题.

14.已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),则f′(4)=6.

【分析】f′(2)是一个常数,对函数f(x)求导,能直接求出f′(2)的值,再求出f′(4)

【解答】解:∵f(x)=x2+f′(2)(lnx﹣x),

∴f′(x)=2x+f′(2)(﹣1),

∴f′(2)=4+f′(2)(﹣1),

解得f′(2)=,

∴f′(4)=8+(﹣1)=8﹣2=6,

故答案为:6.

【点评】本题考查了求导法则,解题时应知f′(2)是一个常数,根据求导法则进行计算即可,是基础题.

15.对于函数f(x)给出定义:

设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.

某同学经过探究发现:任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数,请你根据上面探究结果,计算

=2016.

【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(,1)对称,即f(x)+f(1﹣x)=2,即可得到结论.

【解答】解:由,

∴f′(x)=x2﹣x+3,

所以f″(x)=2x﹣1,由f″(x)=0,得x=.

∴f(x)的对称中心为(,1),

∴f(1﹣x)+f(x)=2,

故设f()+f()+f()+…+f()=m,

则f()+f()+…+f()=m,

两式相加得2×2016=2m,

则m=2016,

故答案为:2016.

【点评】本题主要考查导数的基本运算,利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键.求和的过程中使用了倒序相加法.

16.已知函数f(x)=,无论t取何值,函数f(x)在区间(﹣∞,+

∞)上总是不单调,则a的取值范围是(﹣∞,] .

【分析】由f'(x)=6x2﹣6,x>t,知x>t时,f(x)=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)总是不单调,必须有f(x)=(4a﹣3)x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围.

【解答】解:对于函数f(x)=2x3﹣6x,

f'(x)=6x2﹣6,x>t

当6x2﹣6>0时,即x>1或x<﹣1,

此时f(x)=2x3﹣6x,为增函数

当6x2﹣6<0时,﹣1<x<1,

∵x>t,∴f(x)=2x3﹣6x一定存在单调递增区间

要使无论t取何值,

函数f(x)在区间(﹣∞,+∞)总是不单调

∴f(x)=(4a﹣3)x+2a﹣4不能为增函数

∴4a﹣3≤0,∴a≤.

故a的取值范围是(﹣∞,].

故答案为:(﹣∞,].

【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查等价转化思想、数形结合思想,是中档题.

三.解答题(共6小题)

17.设函数f(x)在x=3处可导,且f′(3)=﹣2,且f(3)=2,求的值.

【分析】根据题意,属于“”型,根据根据洛必达法则即可求出结论.

【解答】解:当f(3)=2时,x→3时,2x﹣3f(x)→2×3﹣3×2=0,x﹣3→0,属于“”型,

根据洛必达法则,==[2﹣3f′(x)]=2﹣3×(﹣2)=8

【点评】本题考查了导数的定义和洛必达法则,属于基础题.

18.(Ⅰ)已知y=,求y′.

(Ⅱ)已知y=x2sin(3x+π),求y′.

【分析】(Ⅰ)根据导数的运算法则

(Ⅱ)由复合函数的求导法则,y'=(x2)'sin(3x+π)+x2[sin(3x+π)]',即可求得y′.

【解答】解:(Ⅰ)

(Ⅱ)y'=(x2)'sin(3x+π)+x2[sin(3x+π)]',

=2xsin(3x+π)+x2cos(3x+π)?(3x+π)',

=2xsin(3x+π)+3x2cos(3x+π),

=﹣2xsin3x﹣3x2cos3x.

【点评】本题考查导数的运算,考查复合函数求导法则,考查计算能力,属于基础题.

19.已知函数f(x)=x3+ax2﹣a2x﹣1,a>0.

(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若关于x的不等式f(x)≤0在[1,+∞)上有解,求实数a的取值范围.

【分析】(1)由当a=2时,f(x)=x3+2x2﹣4x﹣1,求导:f′(x)=3x2+4x2﹣4=(3x﹣2)(x+2),f′(x)=0,解得:x=,x=﹣2,令f′(x)>0,求得函数的单调递增区间,令f′(x)<0,求得函数的单调递减区间;

(2)由题意可知:f(x)在区间[1,+∞)上的最小值小于等于0,求导f′(x)=3x2+2ax2﹣22=(3x﹣a)(x+a),令f′(x)=0,解得:x1=>0,x2=﹣a<0,①当≤1,即a≤3时,由函数的单调性可知:当x=1时取最小值,即f(1)≤0,即可求得a的取值范围;当>1,即a

>3时,则当x=时,取最小值,f()=+﹣﹣1≤0,即可求得实数a的取值范围.【解答】解:(1)当a=2时,函数f(x)=x3+2x2﹣4x﹣1,

求导:f′(x)=3x2+4x2﹣4=(3x﹣2)(x+2),

令f′(x)=0,解得:x=,x=﹣2,

由f′(x)>0,解得:x>或x<﹣2,

由f′(x)<0,解得:﹣2<x<,

∴函数f(x)的单调递减区间为(﹣2,),单调递增区间(﹣∞,﹣2),(,+∞);(2)要使f(x)≤0在[1,+∞)上有解,只要f(x)在区间[1,+∞)上的最小值小于等于0,

由f′(x)=3x2+2ax2﹣22=(3x﹣a)(x+a),

令f′(x)=0,解得:x1=>0,x2=﹣a<0,

①当≤1,即a≤3时,f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,

∴f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1),

由f(1)≤0,即1+a﹣a2﹣1≤0,整理得:a2﹣a≥0,

解得:a≥1或a≤0,

∴1≤a≤3.

②当>1,即a>3时,f(x)在区间[1,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,

∴f(x)在[1,+∞)上最小值为f(),

由f()=+﹣﹣1≤0,解得:a≥﹣,

∴a>3.

综上可知,实数a的取值范围是[1,+∞).

【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性及最值,考查导数与不等式的综合应用,考查分类讨论思想,属于中档题.

20.已知函数,f(x)=x2+lnx﹣ax.

(Ⅰ)当a=3时,求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若f(x)在(0,1)上有极值,求a的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,设g(x)=1+x|x﹣a|(1≤x≤3),求函数g(x)的最大值.

【分析】(Ⅰ)通过a=3,求出函数的导数,利用导函数的符号,判断函数的单调性,直接求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)求出函数的导数,利用f(x)在(0,1)上有极值,结合判别式,即可求a的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下,对于a≥3,时,转化函数g(x)=1+x|x﹣a|(1≤x≤3),分别求解函数g(x)的最大值.

【解答】解:(Ⅰ)∵a=3,∴,

∵x>0,由,

由,

∴f(x)的增区间是,减区间是.

(Ⅱ)∵,由已知可得,方程2x2﹣ax+1=0在(0,1)内有解,且△≠0.∴,∵函数在递减,递增,

所以,由△≠0,∴.

(Ⅲ)由(Ⅱ)得.

1°当a≥3时,,∵,

若,即3≤a<6时,.

若,即a≥6时,g(x)max=g(3)=3a﹣8.

2°当时,

∵,

当1≤x≤a时,.当a≤x≤3时,g(x)max=g(3)=3a﹣8,

∵,∴,

所以,当时,.

综上可得,.

【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及最值的求法,难度比较大,考查计算能力转化思想的应用.

21.已知函数f(x)=﹣x3+x2+b,g(x)=alnx.

(Ⅰ)若f(x)在x∈[﹣,1)上的最大值为,求实数b的值;

(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)求解导数,利用导函数求极值点,单调区间,判断最值,求出b 的值

(2)g(x)≥﹣x2+(a+2)x转化为另一个函数的最值问题求解,用好分离参数的方法.【解答】解:(1)函数f(x)=﹣x3+x2+b,函数f(x)=﹣3x2+2x,f(x)=0得x=0,x=,

f(x)>0,0;f(x)<0,x<0或

可知:f(x)在x∈[﹣,1)有[﹣,0),(,1)是减区间,(0,)是增区间

f(﹣)=+b,f()=+b,可以判断)+b=,b=0

所以实数b的值为0

(2)任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x,g(x)=alnx.

a≤,设T(x)=,x∈[1,e]

T′(X)=,x∈[1,e],x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣lnx>0,

从而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上为增函数.

所以t(x)min=t(1)=﹣1,所以a≤﹣1

【点评】本题考查了导数在最值中的应用,用分离参数,构造函数,解决恒成立问题中参变量的范围问题.

22.设函数f(x)=ax+lnx,g(x)=a2x2;

(1)当a=﹣1时,求函数y=f(x)图象上的点到直线x﹣y+3=0距离的最小值;

(2)是否存在正实数a,使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立?若存在,求出

a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【分析】(1)平移直线x﹣y+3=0当它与函数y=f(x)图象相切时,切点即为函数y=f(x)图象上到直线x﹣y+3=0距离最小的点,此时切线的斜率等于函数y=f(x)在切点处的导数,故求切点坐标可以根据导函数值等于1入手.

(2)若不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立,我们可以构造函数F(x)=f(x)﹣g (x)将其转化为函数恒成立问题,然后根据导函数求出F(x)的最大值,根据F(x)≤0恒成立?F(x)的最大值≤0进行求解.

【解答】解:(1)由f(x)=﹣x+lnx,得,令f'(x)=1,得

∴所求距离的最小值即为到直线x﹣y+3=0的距离

(2)假设存在正数a,令F(x)=f(x)﹣g(x)(x>0),则F(x)max≤0

由得∵时,F′(x)<0,

∴F(x)为减函数;

当时,F′(x)>0,

∴F(x)为增函数

∴即a≥1

所以a的取值范围是[1,+∞)

【点评】(1)用导数解应用题求最值的一般方法是:求导,令导数等于零;求y′=0的根,求出极值点;最后写出解答.(2)在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f′(x)=0,且在两侧f′(x)的符号各异,一般称为单峰问题,此时该点就是极值点,也是最值点.

高二数学测试题含答案

高二数学测试题 2014-3-9 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,只有一项是符合题目要求的.) 1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形 2.“三角函数是周期函数,tan y x =,ππ22 x ??∈- ??? ,是三角函数,所以tan y x =, ππ22x ?? ∈- ??? ,是周期函数”.在以上演绎推理中,下列说法正确的是( ) (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理 形式不正确 3.以下有四种说法,其中正确说法的个数为:( ) (1)“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件; (2) “a b >”是“22a b >”的充要条件; (3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件; (4)“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4 .已知动点P (x ,y )满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线

5.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( ) A .dx x f c a ?)( B .|)(|dx x f c a ? C .dx x f dx x f c b b a ??+)()( D .dx x f dx x f b a c b ??-)()( 6 . 已知椭圆 22 1102 x y m m +=--,若其长轴在y 轴上.焦距为4,则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8. 7.已知斜率为1的直线与曲线1 x y x =+相切于点p ,则点p 的坐标是( ) ( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2? ? ??? 8.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是 ( ) A .23x y =或23x y -= B .23x y = C .x y 92-=或23x y = D .23x y -=或x y 92= 9.设'()f x 是函数()f x 的导函数,将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( ) A B C D . 10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ,使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之 和最小,则该点坐标为 ( ) (A )?? ? ??-1,41 (B )?? ? ??1,41 (C )() 22,2-- (D ) ()22,2- 11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22 221x y a b +=的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线 与椭圆交于A 、B 两点,若△ABF 2为正三角形,则该椭圆的离心率e 为

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高中数学导数及微积分练习题

1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,

底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

高二数学导数知识要点总结

高二数学《导数》知识要点总结 导数:导数的意义-导数公式-导数应用 1、导数的定义:在点处的导数记作. 2.导数的几何物理意义:曲线在点处切线的斜率 ①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。V=s/表示即时速度。a=v/表示加速度。 3.常见函数的导数公式:①;②;③; ⑤;⑥;⑦;⑧。 4.导数的四则运算法则: 5.导数的应用: 利用导数判断函数的单调性:设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数; 注意:如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。 求极值的步骤: ①求导数;

②求方程的根; ③列表:检验在方程根的左右的符号,如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值; 求可导函数最大值与最小值的步骤: ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。 导数与物理,几何,代数关系密切:在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要,一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧! 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'或df/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线

斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。然而,可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f,x↦f'也是一个函数,称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上,求导就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则也于极限的四则运算法则。反之,已知导函数也可以倒过来求原来的函数,即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作,它们都是微积分学中最为基础的概念。 设函数y=f在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处有增量Δx,也在该邻域内时,相应地函数取得增量Δy=f-f;如果Δy与Δx之比当Δx →0时极限存在,则称函数y=f在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f在点x0处的导数记为f',也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0

高二数学期中考试试题及答案

精心整理 高二数学期中考试试题及答案 注意事项:1.本试卷全卷150分,考试时间120分钟。 2.本试卷分为、II 卷,共4页,答题纸4页。 3.I 4.II 第I 1. 或002.等于 3.已知ABC 中,三内角A 、B 、C 成等差数列,则sinB=A.1B.C.D.2 2

2 3 4.在等差数列an中,已知a521,则a4a5a6等于 A. 5. A. 7. 是 或 8.数列{an}的前n项和为Sn,若an1,则S5等于n(n1) C.A.1B.5611 D.630 9.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 A.322 B.333 C. D.3322

10.已知x>0,y>0,且x+y=1,求41的最小值是xy A.4 B.6 C.7 D.9 x211.若y2则目标函数zx2y的取值范围是 A.[2 12.、sinC A.II卷 13.,则 14.在△ABC中,若a2b2bcc2,则A_________。 15.小明在玩投石子游戏,第一次走1米放2颗石子,第二次走2米放4颗石子…第n次走n米放2颗石子,当小明一共走了36米时,他投放石子的总数是______.

16.若不等式mx+4mx-4<0对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围为. 三、解答题(共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. ,求a5. (2)若 和公比q. 18. 在a、b、c (1 (2 数学试题第3页,共4页 第3/7页 19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Snn248n。

(完整版)高二数学导数大题练习详细答案

1.已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数.

5.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围; (II )若()f x '是()f x 的导函数,设2 2 ()()6g x f x x '=+- ,试证明:对任意两个不相 等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立.

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一.课标要求: 1.导数及其应用 (1)导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 (2)导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ,y=x ,y=x 2,y=x 3 ,y=1/x ,y=x 的导数; ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b ))的导数; ③ 会使用导数公式表。 (3)导数在研究函数中的应用 ① 结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间; ② 结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 (4)生活中的优化问题举例 例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。 (5)定积分与微积分基本定理 ① 通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念; ② 通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。 (6)数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二.命题走向 导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三.要点精讲 1.导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值 x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时, x y ??有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。

高二数学选修测试题及答案

高二数学选修测试题及 答案 Last revised by LE LE in 2021

2008学年高二数学(选修1-2)测试题 (全卷满分150分,考试时间120分钟)命题人:陈秋梅增城市中 新中学 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,将答案直接填在下表中) 1.下列各数中,纯虚数的个数有()个 .2 2 7 i,0i,58 i+ , (1i-,0.618 个个个个 2.用反证法证明:“a b >”,应假设为(). A.a b > B.a b < C.a b = D.a b ≤ 3.设有一个回归方程?2 2.5 y x =-,变量x增加一个单位时,变量?y平均 () A.增加2.5 个单位 B.增加2个单位 C.减少2.5个单位 D.减少2个单位 4.下面几种推理是类比推理的是() A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=1800 B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 C.某校高二级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员. D.一切偶数都能被2整除,100 2是偶数,所以100 2能被2整除. 5.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图 的规律拼成若干个图案,则第五 个图案中有白色地面砖()块. .22 C 6.复数 5 34 +i 的共轭复数是:() A. 3 5 4 5 +i B. 3 5 4 5 -i C.34 +i D.34 -i 7.复数() 1cos sin23 z i θθπθπ = -+<<的模为() A.2cos 2 θ B.2cos 2 θ - C.2sin 2 θ D.- 8.在如右图的程序图中,输出结果是() A. 5 B. 10 C. 20 D .15 9.设 11 5 11 4 11 3 11 2 log 1 log 1 log 1 log 1 + + + = P,则

(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)

高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值

(完整版)高中数学选修2-2第一章导数测试题

选修2-2第一章单元测试(一) 时间:120分钟总分:150分 一、选择题(每小题5分,共60分) 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3

6. 如图是函数y= f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断:

①f(x)在区间[—2,—1]上是增函数; ②x=—1是f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[—1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q= 8 300—170P—P2,则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a

高二数学导数测试题(经典版)

1 / 4 一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项是符合要求的) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2.已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0的时刻是( ). A .0秒、2秒或4秒 B .0秒、2秒或16秒 C .2秒、8秒或16秒 D .0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直,则0x 等于( ). A B . C .23 D .23 或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ). A .[0,]π B .2[0,)[,)23 ππ π C .2[,)3ππ D .2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 是函数()f x 的导数,'()y f x =的图像如图 所示,则()y f x =的图像最有可能的是( 3 x ). C .(3,)-+∞ D .(,3)-∞- 7.已知函数32 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0),则()f x 的极大值、极小 值分别为( ). A .427 ,0 B .0,427 C .427- ,0 D .0,4 27 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是( ). A. 415 B.417 C.2ln 21 D.2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ).

高二数学排列练习题及答案

解答题 1.求和()() 2!1!2!4!3!24!3!2!13+++++++++++n n n n . 2.5名男生、2名女生站成一排照像: (1)两名女生要在两端,有多少种不同的站法? (2)两名女生都不站在两端,有多少不同的站法? (3)两名女生要相邻,有多少种不同的站法? (4)两名女生不相邻,有多少种不同的站法? (5)女生甲要在女生乙的右方,有多少种不同的站法? (6)女生甲不在左端,女生乙不在右端,有多少种不同的站法? 3.从6名运动员中选出4人参加4×400m 接力赛,如果甲、乙两人都不能跑第一棒,那么共有多少种不同的参赛方案? 4.由2,3,5,7组成没有重复数字的4位数. (1)求这些数字的和;(2)按从小到大顺序排列,5372是第几个数? 5.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的数共有多少个? 6.7个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站在左端; (2)甲、乙都不能站在两端; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间相隔二人. 7.8个人站成一排,其中甲不站在中间两个位置,乙不站在两端两个位置,有多少种不同的站法? 8.从8名运动员中选出4人参加4×100m 接力比赛,分别求满足下列条件的安排方法的种数:(1)甲、乙二人都不跑中间两棒;(2)甲、乙二人不都跑中间两棒。 9.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种值A ,B 两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A ,B 两种作物间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有多少种? 10.某城市马路呈棋盘形,南北向马路6条,东西向马路5条,一辆汽车要从西南角行驶到东北角不绕道的走法有多少种? 参考答案: 1.∵()()()22!2!2!1!2++=+++++k k k k k k k ,()()()! 21!11!21+-+=++=k k k k . ∴()()()!2121!21!11!41!31!31!21+-=?? ????+-+++??? ??-+??? ??-=n n n 原式 2.(1)两端的两个位置,女生任意排,中间的五个位置男生任意排;2405522=?A A (种); (2)中间的五个位置任选两个排女生,其余五个位置任意排男生;2400 5525=?A A

(完整word)高中数学导数练习题

专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴

高二数学导数知识点总结

高二数学《导数》知识点总结 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现的因子E就是我们所说的导数f'。 二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim。1823年

柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。 四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现

高二数学测试题 含答案解析

高二暑假班数学测试题 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.若a 1b >1 c 【解析】选C.选项A 中c =0时不成立;选项B 中a ≤0时不成立;选项D 中取a =-2,b =-1,c =1验证,不成立,故选C. 2.等比数列x ,3x +3,6x +6,…的第四项等于( ) A .-24 B .0 C .12 D .24 【解析】选A.由题意知(3x +3)2=x (6x +6),即x 2+4x +3=0,解得x =-3或x =-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24. 3.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3] 【解析】选D.因为当x >1时,x +1x -1=1+(x -1)+1 x -1≥3, 所以x +1 x -1 ≥a 恒成立,只需a ≤3. 4.等差数列{a n }满足a 24+a 2 7+2a 4a 7=9,则其前10项之和为( ) A .-9 B .-15 C .15 D .±15 【解析】选D.由已知(a 4+a 7)2=9,所以a 4+a 7=±3,从而a 1+a 10=±3. 所以S 10=a 1+a 102 ×10=±15. 5.函数y =x 2+2 x -1(x >1)的最小值是( ) A .23+2 B .23-2 C .2 3 D .2 【解析】选 A.因为x >1,所以x -1>0.所以y =x 2+2x -1=x 2-2x +2x +2 x -1= x 2-2x +1+2(x -1)+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+3x -1=x -1+3 x -1 +2≥23+2. 6.不等式组? ??? ? x ≥2x -y +3≤0表示的平面区域是下列图中的( D )

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项是符合要求的) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2.已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0的时刻是( ). A .0秒、2秒或4秒 B .0秒、2秒或16秒 C .2秒、8秒或16秒 D .0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直,则0x 等于( ). A B . C .23 D .23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( ). A .[0,]π B .2[0,)[,)23 ππ π C .2[,)3ππ D .2[0,)(,)223πππ 5.设'()f x 是函数()f x 的导数,'()y f x =的图像如图 所示,则()y f x =的图像最有可能的是( ). 6.函数3 ( )2f x x ax =+-在区间[1,) +∞内是增函数,则实数a 的取值范围是( ). A .[3,)+∞ B .[3,)-+∞ C .(3,)-+∞ D .(,3)-∞- 7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0),则()f x 的极大值、极小值分别为( ). '()f x

A . 427 ,0 B .0,427 C .427- ,0 D .0,4 27 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是( ). A. 415 B. 4 17 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A .01b << B .1b < C .0b > D .12 b < 10.21y ax =+的图像与直线y x =相切,则a 的值为( ). A .18 B .14 C .1 2 D .1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=,则=)4 ('π f ( ) A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12.函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是( ) A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13.已知 (m 为常数)在 上有最大值3,那么此函数在 上的最小值为 ( ) A . B . C . D . 14.dx e e x x ? -+1 0)(= ( ) A .e e 1 + B .2e C . e 2 D .e e 1- 二、填空题(每小题5分,共30分) 15.由定积分的几何意义可知? --2 22 4x =_________. 16.函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 . 17.已知函数()ln f x ax x =-,若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立,则实数a 的范围为______________. 18.设 是偶函数,若曲线 在点 处的切线的斜率为1,则该曲线在 处的切线的斜率为_________.

高二下期期末数学测试题及答案解析

高二下期期末数学测试题 第I卷(选择题) 一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分) 1.过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为(B ) A. B. C. D. 2.曲线y=ln(2x﹣1)上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是(A) A.B.2 C.3 D.0 3.曲线y=e﹣2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( A )A.B.C.D.1 4.已知函数与的图象如图所示,则(C) A.在区间(0,1)上是减函数B.在区间(1,4)上是减函数 C.在区间上是减函数D.在区间上是减函数 5.设是虚数单位,若复数,则的共轭复数为(D ) A.B.C.D. 6.某高三学生进行考试心理素质测试,场景相同的条件下每次通过测试的概率为,则连续测试4次,至少有3次通过的概率为(A )

A.B. C.D. 7.将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,剩余5个分数的平均数为91,现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示,则5个剩余分数的方差为(C ) A.B. C. 6 D.30 8.在的展开式中,常数项是(D) A.B.C.D. 9.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数,比2018大的有( B )个 A.10 B.11 C.12 D.13 10.已知,在的图象上存在一点,使得在处作图象的切线, 满足的斜率为,则的取值范围为(A ) A.B. C.D. 11.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示: 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min,广告的总播放时长不少于 30min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用,表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为(A ) A.6,3 B.5,2 C. 4,5 D.2,7

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