高中数学总复习资料汇总(必修1-5 )
高中数学总复习资料汇总（必修1-5 ）
高考数学复习必修1
第一章、集合
一、基础知识（理解去记）
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ?。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，
}
0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ?，例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
便于理解：B A ?包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，
}.
{B x A x x B A ∈∈=或
定义5 补集，若}
,{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。
定义6 集合
}
,,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合
}
,,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞
定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性
集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ?，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性
对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2
a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1．
（3）无序性
集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，
，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．
帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，
二者的关系是
{}
a a ∈．
（2）注意?与
{}0的区别．?是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．
（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或
{}R 来表示实数集R
这一类错误，
因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思． 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：
集合{()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =
者理解为曲线y =
集合{x y =中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值范围；
集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =
中函数值y 的取值范围；
集合
{y =
中的元素只有一个（方程y =
，它是用列举法表示的单元素集合．
（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。
二、基础例题（必会） 例1 已知{
}2
43A y y x x x ==-+∈R
，，{}2
22B y
y x x x ==--+∈R
，，
求A B ．
正解：2
2
43(2)11
y x x x =-+=---∵≥，
2
2
22(1)33
y x x x =--+=-++≤， {}
1A y y =-∴≥，
{}
3B y y =≤，
{}
13A B y y =- ∴≤≤．
解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素），均是y ，所以要求出两个集合中y 的
范围再求交集，A 中的y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合． 例2 若
{}
3
2
2427A a a a =--+，，，
2232
11122(38)372B a a a a a a a a ??=+-+---+++??
??，，，，，且{}25A B = ，，试求实数
a ．
正解：∵A ∩B=｛2，5｝，∴由3
2
275a a a --+=， 解得 2a =或1a =±．
当a=1时，2
221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =；
当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B = ，，，这与{}25A B = ，矛盾，故又
舍去1a =-；
当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B = ，满足题意，故2a =为所
求．
解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性 ②互异性 ③无序性
三、趋近高考（必懂）
1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______________
方法：将集合B 两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.
2.（2010.湖北卷2.）设集合A=2
2
{(,)|
1}
4
16
x
y
x y +
=，B=
{(,)|3}
x
x y y =,则A ∩B 的子集
的个数是（ ）
A. 4
B.3
C.2
D.1
方法：注意研究元素，是点的形式存在，A 是椭圆，B 是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A 集合穿针 转化引线（最新） 一、集合与常用逻辑用语 3.若
2
:3840:(1)(2)0
p x x q x x -+>+->，，则p ?是q ?
的（ ）．
（A ）充分条件 （B ）必要条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
解析：∵
2
:3840
p x x -+>，即
2
3x <
或2x >，
∴2:
2
3
p x ?≤≤．
∵:(1)(2)0q x x +->，即1x <-或2x >，
∴:12q x ?
-≤≤．
由集合关系知：p q ???，而q p
???．
∴p ?是q ?
的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
4. 若k ∈R ，则“3k >”是“方程2
2
1
33
x
y
k k -
=-+表示双曲线”的（ ）．
（A ）充分条件
（B ）必要条件
（C ）充要条件
（D ）既不充分又不必要条件
解析：方程2
2
1
33
x
y
k k -
=-+表示双曲线
(3)(3)
0k k k ?-+>?>或3k <-．故选（A ）．
二、集合与函数 5.已知集合2
{2}{2}
P y y x x Q x y x x ==-+∈==-+∈R R ，，，，那么P Q 等于
（ ）．
（A ）（0，2），（1，1） （B ）｛（0，2），（1，1）｝ （C ）｛1，2｝ （D ）
{2}
y y ≤
解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P 集合是函数2
2
y x =-+中的y 的取值范
围，故P 集合的实质是函数2
2
y x =-+的值域．而Q 集合则为函数2y x =-+的定义域，
从而易知
{2}
P Q y y = ≤，选（D ）．
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）． 三、集合与方程 6.已知
2
{(2)10}{0}
A x x p x x
B x x =+++=∈=>R ，，，且A B =? ，求实数p 的取
值范围．
解析：集合A 是方程
2
(2)10
x p x +++=的解集，
则由A B =? ，可得两种情况：
①A =?，则由2
(2)40p ?=+-<，得 40p -<<；
②方程2
(2)10x p x +++=无正实根，因为1210x x =>，
则有0(2)0p ???
-+
，
≥于是0p ≥．
综上，实数p 的取值范围为{4}p p >-．
四、集合与不等式 7. 已知集合
2
2
2
{412}{(21)(1)0}
A a ax x x a
B x x m x m m =+---=-+++<恒成立，≥，
若A B ≠? ，求实数m 的取值范围．
解析：由不等式22
412ax x x a +---≥恒成立， 可得
2
(2)4(1)
0a x x a ++
+-≥，
（※）
（1）当20a +=，即2a =-时，（※）式可化为
3
4x ≥
，显然不符合题意．
（2）当20a +≠时，欲使（※）式对任意x 均成立，必需满足200a +>??
??，
，≤
即2
244(2)(1)0a a a >-??-+-?，
，≤
解得
{2}
A a a =≥．
集合B 是不等式2
(21)(1)0
x m x m m -+++<的解集，
可求得
{1}
B x m x m =<<+，
结合数轴，只要12m +>即可，解得 1m >． 五、集合与解析几何 例6 已知集合
2
{()20}
A x y x mx y =+-+=，和
{()1002}
B x y x y x =-+=，，≤≤，
如果A B ≠? ，求实数m 的取值范围． 解析：从代表元素
()
x y ，看，这两个集合均为点集，又
2
20
x m x y +-+=及
10
x y -+=是两个曲线方程，故A B ≠? 的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译
成数学语言即为：“抛物线2
20x m x y +-+=与线段10(02)x y x -+=≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．”
由22010(02)x mx y x y x ?+-+=?
-+=?，
，
≤≤，得
2
(1)10(02)x m x x +-+=≤
≤，
①
∵A B ≠? ，
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解． 首先，由2
(1)40m ?=--≥，得3m ≥或1m -≤． 当m ≥3时，由
12(1)0
x x m +=--<及
121
x x =知，方程①只有负根，不符合要求；
当1m -≤时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x =>知，方程①有两个互为倒数的正
根，故必有一根在区间(01]，
内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内． 综上，所求m 的取值范围是(1]-∞-，
． 第二章、函数
一、基础知识（理解去记）
定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A →B 为一个映射。
定义2 函数，映射f: A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A, y ∈B ，且f(x)=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f(x)|x ∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3
x -1的定义域为{x|x ≥0,x ∈R}.
定义3 反函数，若函数f: A →B （通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x 得x=f-1(y)，然后将x, y 互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：
函数y=x -11
的反函数是y=1-x 1
(x ≠0). 补充知识点：
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义4 函数的性质。 （1）单调性：设函数f(x)在区间I 上满足对任意的x1, x2∈I 并且x1< x2，总有f(x1)
（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D ，且D 是关于原点对称的数集，若对于任意的x ∈D ，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x ∈D ，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是
偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。
定义5 如果实数aa}记作开区间（a, +∞），集合{x|x ≤a}记作半开半闭区间（-∞,a]. 定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x ∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D 为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)； （1）向右平移a 个单位得到y=f(x-a)的图象； （2）向左平移a 个单位得到y=f(x+a)的图象； （3）向下平移b 个单位得到y=f(x)-b 的图象； （4）与函数y=f(-x)的图象关于y 轴对称；
（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；
（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x 轴对称。
定理3 复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如y=x -21
, u=2-x 在（-∞,2）上是减函数，y=u 1
在（0，+∞）上是减函数，所以y=x -21
在（-∞,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。
一、基础知识（初中知识 必会）
1．二次函数：当≠a 0时，y=ax2+bx+c 或f(x)=ax2+bx+c 称为关于x 的二次函数，其对称
轴为直线x=-a b
2，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-a b
2，下同。
2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。
3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别 是{x|x a b 2- ≠}和空集?，f(x)的图象与x 轴有唯一公共点。 3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和?.f(x)图象与x 轴无公 共点。 当a<0时，请读者自己分析。 4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)= a b ac 442 -,若a<0，则当 x=x0=a b 2-时，f(x)取最大值f(x0)= a b a c 442 -.对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0 定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。 一定注意： “p 或q ”复合命题只有当p ，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q ”复合命题只有当p ，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非p ”即“p ”恰好一真一假。 定义2 原命题：若p 则q （p 为条件，q 为结论）；逆命题：若q 则p ；否命题：若非p 则q ；逆否命题：若非q 则非p 。 一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义3 如果命题“若p 则q ”为真，则记为p ?q 否则记作p ≠q.在命题“若p 则q ”中，如果已知p ?q,则p 是q 的充分条件；如果q ?p ，则称p 是q 的必要条件；如果p ?q 但q 不?p ，则称p 是q 的充分非必要条件；如果p 不?q 但p ?q ，则p 称为q 的必要非充分条件；若p ?q 且q ?p ，则p 是q 的充要条件。 二、基础例题（必懂） 1．数形结合法。 例1（09.江西） 求方程|x-1|=x 1 的正根的个数. 【解】 分别画出y=|x-1|和y=x 1 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。 例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=1 13632 4 2 4 +--+--x x x x x 的最大值。 【解】 f(x)= 2 2 2 2 2 2 ) 0()1() 3()2(-+-- -+-x x x x ，记点P(x, x-2)，A （3，2） ， B （0，1），则f(x)表示动点P 到点A 和B 距离的差。 因为|PA|-|PA|≤|AB|=10 ) 12(32 2 =-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y=x2的交点 时等号成立。 所以f(x)max=.10 2.函数性质的应用。 例3 （10、全国） 设x, y ∈R ，且满足?????=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(32 y y x x ，求x+y. 【解】 设f(t)=t3+1997t ，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y ，所以x+y=2. 例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a 的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z, 用Ik 表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x ∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik 上的解析式。 【解】 设x ∈Ik ，则2k-1 又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x ∈Ik 时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例6 （102全国） 解方程：(3x-1)(15692++-x x )+(2x-3)(131242 +-x x +1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m(42 +m +1)+n(42 +n +1)=0. ① 若m=0，则由①得n=0，但m, n 不同时为0，所以m ≠0, n ≠0. ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t(42 +t +1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)， 所以m=-n ，所以3x-1+2x-3=0，所以x=. 54 ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=54 ,但与m<0矛盾。 综上，方程有唯一实数解x=.54 3.配方法。 例7 （经典例题） 求函数y=x+12+x 的值域。 【解】 y=x+12+x =21 [2x+1+212+x +1]-1 =21 (12+x +1)-1≥21 -1=-21 . 当x=-21 时，y 取最小值-21 ，所以函数值域是[-21 ，+∞）。 4．换元法。 例8 （经典例题） 求函数y=(x +1+x -1+2)(2 1x -+1),x ∈[0,1]的值域。 【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0,1]，所以2≤u2=2+22 1x -≤4,所以2≤u ≤2, 所以 2 2 2+≤ 2 2 +u ≤2，1≤22 u ≤2，所以y=2 2+u ,u2∈[2+2，8]。 所以该函数值域为[2+2，8]。 5．判别式法。 例9 求函数y=434 32 2 +++-x x x x 的值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得71 ≤y ≤1. 又当y=1时，存在x=0使解析式成立， 所以函数值域为[71 ，7]。 6．关于反函数。 例10 （10年宁夏）若函数y=f(x)定义域、值域均为R ，且存在反函数。若f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设x1 例11 （经典例题）设函数f(x)=4 231 4++x x ，解方程：f(x)=f-1(x). 【解】 首先f(x)定义域为（-∞，-32 ）∪[-41 ，+∞）；其次，设x1, x2是定义域内变量， 且x1 ; 2 31422++x x 2 31411++- x x = ) 23)(23() (51212++-x x x x >0, 所以f(x)在（-∞，-32 ）上递增，同理f(x)在[-41 ，+∞）上递增。 在方程f(x)=f-1(x)中，记f(x)=f-1(x)=y ，则y ≥0，又由f-1(x)=y 得f(y)=x ，所以x ≥0,所以 x,y ∈[-41 ，+∞）. 若x ≠y ，设x 因为x ≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1. 7．待定系数法。 例1 （经典例题） 设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x). 【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a ≠0), 则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）a+b+1]=0， 因为方程x2-x+1=0中△≠0， 所以α≠β，所以(α+β)a+b+1=0. 又α+β=1,所以a+b+1=0. 又因为f(1)=a+b+c=1， 所以c-1=1，所以c=2. 又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由f(α)=β得a α2-(a+1)α+2=β, 所以a α2-a α+2=α+β=1，所以a α2-a α+1=0. 即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0， 所以a=1, 所以f(x)=x2-2x+2. 8．方程的思想 例2 （10.全国） 已知f(x)=ax2-c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c ≤-1, 所以1≤-f(1)=c-a ≤4. 又-1≤f(2)=4a-c ≤5, f(3)=38 f(2)-35 f(1), 所以38 3(-1)+35 ≤f(3)≤38 ×5+35 ×4, 所以-1≤f(3)≤20. 9．利用二次函数的性质。 例3 （经典例题） 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c ∈R, a ≠0)，若方程f(x)=x 无实根，求证：方程f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若a>0，因为f(x)=x 无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x 图象与x 轴无公共点且开口向上，所以对任意的x ∈R,f(x)-x>0即f(x)>x ，从而f(f(x))>f(x)。 所以f(f(x))>x ，所以方程f(f(x))=x 无实根。 注：请读者思考例3的逆命题是否正确。 10．利用二次函数表达式解题。 例 4 （经典例题）设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x 的两根x1, x2满足 0 , （Ⅰ）当x ∈(0, x1)时，求证：x （Ⅱ）设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<. 21 x 【证明】 因为x1, x2是方程f(x)-x=0的两根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当x ∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x. 其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+a 1 ]<0，所以f(x) （Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以x0= a x x a x x a 212 21 )(2 121-+=-+, 所以 0121212 22210 -= - a x a x x x ， 所以 . 21 0x x < 11．构造二次函数解题。 例5 （经典例题） 已知关于x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。 【证明】 方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比1小，负根比-1大。 12．定义在区间上的二次函数的最值。 例6 （经典例题）当x 取何值时，函数y= 2 22 4 ) 1(5 +++x x x 取最小值？求出这个最小值。 【解】 y=1- 2 2 2 ) 1(51 1 ++ +x x ,令= +1 1 2 x u,则0 y=5u2-u+1=5201920191012 ≥+ ??? ? ? -u , 且当101 = u 即x=±3时，ymin=2019 . 例7 设变量x 满足x2+bx ≤-x(b<-1)，并且x2+bx 的最小值是21 - ，求b 的值。 【解】 由x2+bx ≤-x(b<-1)，得0≤x ≤-(b+1). ⅰ)-2b ≤-(b+1)，即b ≤-2时，x2+bx 的最小值为-21 4 ,42 2 - =- b b ，所以b2=2，所以2 ±=b （舍去）。 ⅱ) -2b >-(b+1)，即b>-2时，x2+bx 在[0，-(b+1)]上是减函数， 所以x2+bx 的最小值为b+1,b+1=-21 ,b=-23 . 综上，b=-23 . 13.一元二次不等式问题的解法。 例8 （经典例题） 已知不等式组?? ?>+<-+-1 20 22a x a a x x ①②的整数解恰好有两个，求a 的取值范围。 【解】 因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a, x2=1-a, 若a ≤0，则x1