湖北省宜昌市葛洲坝中学2018届高三9月月考数学(文)试题Word版含答案

2017学年高三文科9月月考数学卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（每小题5分共60分）

1．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( ) A. 3y x = B. 2x y = C. 1

y x x

=-

D. sin2y x = 2．若复数z 满足()()121i z i +=-，则z =（ ）

A.

25 B. 3

5

C. 5

D. 3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ） A. 所有实数的平方都不是正数 B. 有的实数的平方是正数

C. 至少有一个实数的平方是正数

D. 至少有一个实数的平方不是正数

4．若,x y 满足约束条件10

{20 220

x y x y x y -+≤-≤+-≤，则z x y =+的最大值是( )

A. 3-

B.

1

2

C. 1

D. 1- 5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3 A. 243π+

B.342π+

C.263π+

D. 362

π+ 6．定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则

55sin *cos 1212ππ???? ? ??

???的值为 ( )

A.

B. 14

C. 34

D. 7．已知1,2,5a b a b >>+=，则19

12

a b +--的最小值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 9 D. 6 8

．若)sin sin 2cos 4πααα??

+

=+ ??

?

，则sin2α=（ ）

A. 45-

B. 45

C. 35-

D. 35

9．已知单位向量,a b 满足a b a b +=- ，则a 与b a -

的夹角是( )

A.

6π B. 3π C. 4

π D. 34π

10．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，

b = 6

C π

=， 1

sin 2

A =

，若D 是BC 的中点，则AD = ( ) A.

74

B. C. 14 D. 12 11．若双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左支与圆()222222

x y c c a b +==+相交于,A B 两点，

C 的右焦点为F ，且AFB 为正三角形，则双曲线C 的离心率是( )

A.

1

B. 1

C.

D. 12．若曲线(),0f x y =上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为（ ） ①2

1y x x =-+； ②sin 4cos y x x =-； ③1y x x

=+；

④1x += A. ②③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③

二、填空题（每小题5分共20分）

13．函数tan 24y x π??

=+

??

?

的最小正周期为_____________. 14．若f (x )＝1

2x －1

＋a 是奇函数，则a ＝________．

15．设P 是圆2

2

:2O x y +=上任意一点，定点()2,0Q

，则PQ ≤

__________．

16．已知函数1()2x

f x ??

= ???，12

()log g x x =，，记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤?=?>?，则函数

()()5F x h x x =+-所有零点的和为____________.

三、解答题

17．已知递增的等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，满足14231832a a a a +==，， 2b 是1a 和2a 的等差中项，且333b a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）若1

1

n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .（本题12分）

18．在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，

（1）过点C 作与面1A BD 平行的截面；（2）求证： 11AC A BD ⊥面 （3）若正方体的棱长为2，求四面体11A BC D 的体积。（本题12分）

19．某班20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如下茎叶图，由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.

(1)完成频率分布直方图；

(2)根据(1)中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)设根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为y ，并假设{},|27 a b n Z n ∈∈≤≤，且,a b 各自取得每一个可能值的机会相等，在(2)的条件下，求概率()P y x >.（12分）

20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2A ??

???

， C 的四个顶点构成的四边形面积为(1)求椭圆C 的方程；

(2) ,E F 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线,AE AF ，使其满足：①直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数；②线段EF 的中点在直线1

2

x =上，若存在，求出直线AE 和AF 的方程；若不存在，请说明理由. （本题12分）

21．设函数()()ln 2a x

f x x a a R x

=-

+-+∈. （Ⅰ）当曲线()y f x =在点()()

1,1f ，处的切线与直线y x =垂直时，求a 的值； （Ⅱ）若函数()()2

4a F x f x x

=+有两个零点，求实数a 的取值范围. （本题12分）

22．选修4—4：极坐标与参数方程

已知直线l

：sin()3π

ρθ+=，曲线C

：1x y θ

θ

?=+??

=?? （Ⅰ）当m ＝3时，判断直线l 与曲线C 的位置关系； （Ⅱ）若曲线C 上存在到直线l

m 的范围．（本题10分）

参考答案

1．A

2．C 【解析】试题分析：

113125i i z z i ---==?=

+，故选C. 3．D

4．C 【解析】由约束条件10

{20 220

x y x y x y -+≤-≤+-≤，作出可行域如图，

由10{

220

x y x y -+=+-=，得A （0，1）

化目标函数z=x+y 为y=﹣x+z ，

由图可知，当直线y=﹣x+z 过A （0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1． 故选：C ．

5．D 【解析】试题分析：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为，高为；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为），高

为．∴

．故本题选D.

6．B 【解析】由程序框图可得， 55sin

cos 1212

a b ππ

=>= 5555151sin *cos sin cos sin 12121212264S πππππ???

?????∴==?== ? ? ? ?

????????

故选B. 7．B 【解析】

19

12a b +--=()()12911912108212212a b a b a b a b ??-+---??+=++≥?? ?----???

?,当且仅当()91212

a b a b --=--成立时，等号成立，即37,22a b ==。选B.

8．C

【解析】

))sin sin 2cos sin cos ,sin 3cos 0,4πααααααα??

+

=+=+∴+= ??

? 222

2sin cos 2tan 3

tan 3,sin2.sin cos 1tan 5αααααααα∴=-∴=

==-++ 9．D 【解析】∵单位向量,a b 满足a b a b +=- ,∴a ⊥b

，

则a 与b a -

的夹角是α=π?4π=34

π，

10．B 【解析】由6C π=， 1sin 2A =，易得： A 6

π

=，所以ABC 为等腰三角形，且BA=BC=1

在△ACD 中， 222

7AD AC 2304CD AC CDcos =+-?=

，即AD = 11．A 【解析】设左焦点为1F ,易得：

FA =， 1c F A =，根据双曲线定义有：

c 2a -=

，即e 1=.

12．B 【解析】①. 2

2

213,024

1{

13,024x x y x x x x ?

?-+≥ ???=-+=??++< ??

?,在12

x =

和12x =-处的切线都是34

y =，故有自公切线；②.

()34

34cos 5,cos ,55

y sinx x sin x sin ???=+=+==，此函数是周期函数，过图象的最高

点的切线都重合，故此函数有自公切线，③. 1

y x x

-+为对勾函数，分别位于一三象限,图

象关于原点对称且导数为21

'1y x

=-，在()(),1,1,-∞-+∞递增， ()()1,0,0,1-递减，存

在平行的切线，不存在自公切线；④.

由于1x +=22230x x y ++-=，结

合图象可得，此曲线没有自公切线，故选B. 13．

2

π 14．0【解析】因为()x

f x e '=，所以曲线()y f x =在点()()

11f 处的切线为l 的斜率为k e =故切线为l 的方程为： ()y e m e 1x --=-，又坐标原点O 在直线l 上，所以

()0e m e 01--=-，即m=0

15

．

14

【解析】设P 点坐标

为

)

αα

，

[]

αππPQ ∈-=

，，易得： cos α≥

， []αππ∈-，， 44ππα-≤≤，故P

活动区域是圆O 周长的14，

PQ ≤1

4

.

16

．5【解析】∵函数

，，关于直线y=x 对称，

记函数

，，

∴可知h(x)关于直线y=x 对称。 ∵

y=x 与y=5?x,交点为A(2.5,2.5) ∴y=5?x,与函数h(x)交点关于A 对称，

，

∴函数F(x)=h(x)+x?5的零点。

设h(x)与y=5?x 交点问题,可以解决函数F(x)=h(x)+x?5零点问题。 绘制函数图像，观察可得函数F(x)=h(x)+x?5所有零点的和为5. 故答案为：5.

17．(1) 2n n a =,21n b n =-;(2) n S =

21

n

n +. 【解析】试题分析：（1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：

（Ⅰ）由题意知， 14142314

18

{32 a a a a a a a a +===<，解得142

{ 16

a a ==，设等比数列{}n a 的公比为q ，

∴2q =，∴2n n a =；由题意知， 12

2333,352

a a

b b a +=

==-=，则等差数列{}n b 的公差2d =,∴()()2232221n b b n d n n =+-=+-=-. （

Ⅱ

）

∵

()()1

111212122121n C n n n n ??=

=-

?-+-+??

，

∴1111111112323522121n S n n ??????=

-+-+???+- ? ? ?-+?????? 11122121

n

n n ??=-= ?

++??.

18．（1）见解析；（2）见解析；（3）

8

3

. 【解析】试题分析：（1）由平行的性质即可得解；

（2）易证得

1AC BD ⊥， 11AC A B ⊥即可证明线面垂直； （3）由（2）知11AC A BD ⊥面，设垂足为O,由等积法知

111111

?3

A BC D A BD AO C O V S C O ?=

∴==即可求解. 试题解析： (1)见下图

(2)证明： 正方体1

111A B C D A B C D -

， 1C C A B C D

⊥面 1CC BD ∴⊥又有A C B D ⊥,11BD ACC A ∴⊥面,111

1AC ACC A BD AC ?∴⊥ 面， 同理11AC A B ⊥,而1BD A B B ?=, 11AC A

BD ∴⊥面。 (3)法一（直接计算）由（2）知11AC A BD ⊥面，设垂足为O,由等积法知

1AO C O =∴=(111

211138

·333

A BC D A BD V S C O ?∴=== 法二：（间接计算）用正方体体积减去四个角落的体积

19．(1) ;(2) 78分；（3）0.7.

【解析】试题分析：(1)利用茎叶图提供的数据完成频率分布直方图；（2）

550.1650.15750.3850.25950.278x =?+?+?+?+?=；（3）

()()15587820.720a P y x P P a +??

>=>=>= ???

.

试题解析：

(1)频率分布直方图如下：

(2) 550.1650.15750.3850.25950.278x =?+?+?+?+?=， 即全班同学平均成绩可估计为78分. (3) 5026037068059049815582020

a a

y ?+?+?+?+?+++=

=，

故()()15587820.720a P y x P P a +??

>=>=>=

???

.

20．(1)

22143x y +=;(2) 直线,A E A F 的方程分别为32y x =， 332y x =-+或332y x =-

+， 3

2

y x =. 试题解析：(1)

由已知得2219

14{ 0

a b

ab a b +==>>，

解得2

2

4,3a b ==，∴椭圆C 的方程22

143

x y +=. (2)设直线AE 的方程为()3

12y k x -=-，代入

22143

x y +=，得 ()()2

2

23443241230k x

k k x k k ++-+--=.(*)

设()11,E x y ， ()22,F x y ，且1x =是方程(*)的根，

∴212

412334k k x k --=+，用k -代替上式中的k ，可得222

4123

34k k x k +-=+， 故EF 中点横坐标为212341222x x k ++==

，解得k =， ∴直线,AE AF 的方程分别为32y x =， 332y x =-+或332y x =-+， 3

2

y x =. 21．(1) 2a =;(2) ()2,e +∞.

（Ⅰ）由题意知，函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()2

ln 1'1a x f x x

-=

+，