报童问题
关于报童问题的分析
摘要
本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计、数值积分等背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的买进量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。
在问题一中，首先求出概率分布)(r f 。再设定每天报纸的买进量是定值，并将其代入建立好的报童收益模型中求出平均收益最大值，得出n
r r f =
)(，7358.33)(=n MaxG ，200=n 。
在问题二中，即将第一问中的概率分布)(r f 转化为概率密度)(r p ，在matlab 工具箱子cftool 中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标通过数值积分等手段得出报童每天不同买进量下每天平均收入，从而分析得出每天的最优报纸进货量n 。其中2
)
98
.54)1.190((
)(--=x e
r p ，
=)(n G 672.84，=n 207。
关键词
随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益，数值积分
1、问题重述
1.１问题背景
在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。
１.２报童获利途径
报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。
１.３问题提出
现在需用数学建模解决以下问题：
问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？
问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？
２、模型假设
（１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失
（３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用
（４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量
３、符号说明
r报纸需求量
(r
f报纸需求量概率密度（离散型）
)
p报纸需求量概率密度（连续型）
(r
)
n每天报纸买进量
)(n G 报童每天购进n 份报纸的平均收入 )(n g
报童一天的利润收入
1p n r <时的概率 2p n r >时的概率 i s 每天卖出报纸量 i b
每天退回报纸量
４、问题分析
单周期随机贮存在实际生产生活中经常遇到，单周期即只订一次（缺时也不订），期后可处理余货；随机因素是需求和拖后时间，统计规律为历史资料。报童问题模型的提出及最优解决方案可以为类似问题提供借鉴之处。 ４.１问题一的分析
问题一要求将报纸需求量看作离散型分布，根据给出的数据求报纸需求量的分布律。当数据是离散型的时候我们可以直接计算得出报纸需求量的分布律。根据计算出的分布律代入到建立的模型中，经求导等步骤后得出报童每天买进报纸数量及最大平均总收入。 ４.２问题二的分析
问题二要求将报纸需求量看作连续型分布。因统计数据为历史资料，因而只能得出历史条件下的概率密度。在问题一的模型基础上我们需将题目中给出的数据进行统计分析，数据拟合得出概率密度)(r p ，将求和转化为积分，同样利用求导等手段求出最优解。
５、模型的建立与求解
５.１问题一的模型建立与求解 ５.１.１计算)(r f
因该组数据为离散型分布：
所以：
n
r r f =
)( ○1 计算结果如下表：
５.１.２计算目标函数
（１）当天若需求量r 小于供应量n 时，售出r 份，退回)(r n -份，报童收 入为))(2.03.0()3.05.0(r n r ----元；
（２）当天若需求量r 大于供应量n 时，售出n 份，退回０份，报童收 入为n )3.05.0(-元。
故有n
r n r n
r n r n g >
?--=2.0)
(1.02.0)(
根据○
1可得 ∑∑=∞
+=-+
----=n
r n r r nf r f r n r n G 01
)()3.05.0()()])(2.03.0()3.05.0[()(
∑∑=+∞
+=+--=n
r n r r nf r f r n r 0
1
)(2.0)()](1.02.0[ ○
2 即求n 使)(n G 最大 即问题一的数学模型为：
???
????????
∈∈∈∈-==∑=N
b N s N n N r b s n M a x G n r r f i i i i i ,,159)1.02.0()()(1591 (1)
在lingo 环境下计算出)(,n G n 的值。其中 7358.33)(,200==n MaxG n 5．2问题二的模型建立与求解
本模型重在分析连续型分布概率密度)(r p 的求解过程。我们采用插值拟合的方法使用matlab 的曲线拟合工具箱cftool 拟合出)(r p 的图像（图1.1）及函数表达式。
记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为)(n G ，如果这天的需求量n r ≤，则他售出r 份，退回r n -份；如果这天的需求量n r >，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以
∑∑=+∞
+=+--=n
r n r r nf r f r n r n G 0
1
)(2.0)()](1.02.0[)(
问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使)(n G 最大．
通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成
)(n G ??+∞
+--=n
n
dr r np dr r p r n r 0
)(2.0)()](1.02.0[
所以我们第二问的模型是
Max )(n G ??+∞
+--=n
n
dr r np dr r p r n r 0
)(2.0)()](1.02.0[
s.t. N n ∈
5．2．1)(r p 的求解过程
（1）程序
详见附录 （2）验证
在matlab 环境下对使用cftool 拟合出来的正态分布曲线进行验证（图1.2），利用其内函数得出样本方差，标准差，置信区间计算结果： muhat =
189.4340 sigmahat = 38.8318 muci =
183.3516
195.5164 sigmaci = 34.9815 43.6419
图像如下图所示：
图1.1
图1.2
由上图可观察出数据处于置信区间之内。其中
2
)
98
.54)1.190((
)(--=x e
r p ○
3
5．2．2计算目标函数由○2可得，
??+∞
+
-
-
=n
n
dr
r np
dr
r
p
r
n
r
n
G
)
( 2.0
)
(
)]
(1.0
2.0[
)
(
为求上述函数的最大值，即取得最大值时n的取值，我们利用matlab强大的计算能力才解决。在计算积分时，我们采用了数值积分的处理方法，在Matlab 的运行环境下，利用数值积分的方法可以大大的较少运算量和提高运行速度。所谓数值积分，其基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。基于变步长辛普生法，matlab给出了quad函数和quad函数来求定积分，具体程序见后附录。
最后我们得到)
(n
G最大值为673.84，207
=
n，这与我们第一问的答案相近。
6、模型的评价与推广
6.1模型的评价
优点：
在数据离散型分布的情况下，我们较为准确地对报童每天应买进的报纸量进行了计算；在数据连续型分布的情况下，我们对159组数据进行分析，在matlab 环境下进行插值拟合，模拟出符合报纸需求量的正态分布曲线，并且做出验证，证明数据皆处于置信区间之内，具有可信度。
缺点：
我们在建模过程中忽略了缺货损失造成的影响。报纸属于薄利多销型商品，报童在卖报时不会希望自己手中的报纸小于当天的需求量，所以应使报童每天的买进量尽可能地等于报纸的需求量。我们在建模时考虑到了该点，在一定程度上弥补了缺货损失造成的误差。
6.2模型的推广
存储论是运筹学的一个重要分支，在上述模型中，我们运用概率与数理统计及微积分等知识对报童应每天买进多少报纸量才能获得最大收益进行了成功的探讨。本模型对于如何使商品随机贮存获得最大收益有一定价值，可以广泛应用与商品贮存策划中，对生产商供销商面临的商品存贮问题起到了一定得指导作用。
7、参考文献
[1]杨振环，基于excel软件的报童问题计算机系统仿真研究，辽宁工程技术大学工商管理学院
[2]贵州省博弈决策与控制系统实验室，缺货损失厌恶的报童问题
[3]蔡砥，运筹学——随机型存贮模型，广州大学地理科学学院
8、附录
8．1附录清单
附录1：求解问题一得LINGO程序及运算结果
附录2：求解问题二概率密度)
p的散点图、程序及拟合曲线图、程序
(r
附录3：验证)
p准确性的Mathematica程序
(r
附录4：求解问题二中报纸买进量及最大收益的程序
8．2附录正文
附录1：求解问题一的LINGO程序及运算结果
程序：
model:
title :报童问题（一）;
sets:
A/1..159/:buy,demand,c,d;
B/1/:f;
endsets
data:
demand=100 100 100
120 120 120 120 120 120 120 120 120
140 140 140 140 140 140 140 140 140140 140 140 140
160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160160 160 160 160 160 160 160 160 160
180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180
200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200200
220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 220 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 260 260 260 260 260 260 260 260
280 280;
enddata
@for(a(i):buy(i)=f(1));!将进货量固定成定值;
@for(a(i):c(i)=buy(i)-demand(i));!确定每天的供求关系;
@for(a(i):d(i)=@if(c(i)#ge#0,1,0));!如果供大于求，d=1；供小于求，d=0;
max=(@sum(a(i):@if(c(i)#ge#0,demand(i),buy(i))*0.2-0.1*c(i)*d(i)))/15 9;!目标函数;
@gin(f(1));!e必须是整数;
@for(a(i):@bin(d(i)));!将d规定为1，0向量;
@FOR(A(i):@free(C(i)));!扩大数组c的范围;
End
结果：
图2
附录2：求解问题二概率密度)
p的散点图（图3）、程序及拟合曲线图（图1.1）
(r
图3
程序：
x=[100:20:280];
y=[0.0189 0.0566 0.0818 0.1384 0.2013 0.2201 0.1258 0.0943 0.0503 0.0126];
cftool(x,y);
图1.1
附录3：验证)(r
p准确性的Mathematica程序
x=[100 100 100 120 120 120 120 ...
120 120 120 120 120 140 140 140 ...
140 140 140 140 140 140 140 140 ...
140 140 160 160 160 160 160 160 ...
160 160 160 160 160 160 160 160 ...
160 160 160 160 160 160 160 160 ...
180 180 180 180 180 180 180 180 ...
180 180 180 180 180 180 180 180 ...
180 180 180 180 180 180 180 180 ...
180 180 180 180 180 180 180 180 ...
200 200 200 200 200 200 200 200 ...
200 200 200 200 200 200 200 200 ...
200 200 200 200 200 200 200 200 ...
200 200 200 200 200 200 200 200 ...
200 200 200 220 220 220 220 220 ...
220 220 220 220 220 220 220 220 ...
220 220 220 220 220 220 220 240 ...
240 240 240 240 240 240 240 240 ...
240 240 240 240 240 240 260 260 ...
260 260 260 260 260 260 280 280];
D=var(x,1)
s=std(x,1)
D1=var(x)
s1=std(x)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]= normfit(x)
附录4：求解问题二中报纸买进量及最大收益的程序
Myfun1.m
function f=myfun1(x,n);
f=0.2.*n.*0.2044.*exp(-1.*((x-190.1)./54.98).^2);
myfun2.m
function f=myfun2(x,n);
f=(0.2.*x-0.1.*(n-x)).*0.2044.*exp(-1.*((x-190.1)./54.98).^2);主程序
i=1;
for n=100:1:300
c(i)=quad(@(x)myfun2(x,n),0,n)+quad(@(x)myfun1(x,n),n,3000); i=i+1;
end
[d,i]=max(c)
报童数学建模
报童卖报 国贸系报关班：王曦 法学系行政法务一班：何国泽 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型建立： 假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n), 如果这天的需求量r<=n, 则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。需求量为r 的概率是f(r),则 问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。 四、模型求解： 购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) 计算 令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ??∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n --=??∞ n 应满足上式。()10=?∞ dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为 ()c a b a dr r p n --=?0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别
卖报模型作业
一.问题重现 为了掌握需求量的规律，可以用收集历史资料或向其他报童调查的办法作市场预测，假设已经得到159天报纸需求量的情况如表1所示。 根据这些数据，假设零售价1元，购进价0.8元，退回价0.70元，为报童提供最佳决策 二.分析与假设 报童每天从报社购进报纸然后零售，晚上再讲剩余的报纸退回给报社。已知报童购进价是0.8元每份，零售价是1元每份，退回价是0.7元每份。也就是说，报童每售出一份报纸就可获利0.2元，但是如果最终每有一份报纸没有售出而选择退回的话，报童就要亏损0.1元。为了获得最大收益，报童应该确定一个每天购进报纸的份数使之最大可能的接近报纸的需求量，这样就可以最大获利。因为报纸的需求量是随机的，根据上表159天的分布情况，可以估算出每天的报纸需求量。 假设： 1. 购进价，零售价，退回价，一直保持不变，也不会随量的变化而变化。 2. 报童行为不受其他因素干扰，不会发生突发事件 3. 报童退回报纸顺利不产生任何纠纷。 构建模型： 报童每天购进y 份报纸，市场需求量及报童卖出x 份报纸，退回z y x =-份报纸，市场需求量x 的实现概率为()f x ，报童平均每天的收入为()w y ，所以有： 1 ()(0.20.1)()0.2()y x y w y x z f x n f x ∞ =+=-+∑∑ z y x =- 为了方便计算中，用密度函数()p x 表示概率()f x ，将z y x =-代入 则模型变为： ()(0.30.1)()0.2()y y w y x y p x dx n p x ∞ =-+?? 00.2()0.1()0.2()0.2()y y dw yp y p x dx yp y p x dx dy ∞ =--+?? 当 0dw dy =，得到：
《报童》的阅读答案
篇一：《报童》的阅读答案 “卖报、卖报……今天的晚报！”一个清脆的童音在刚降临的暮色中显得格外清新，风把她的声音送向远方。每当她卖掉一份报纸时，她那红红的脸上便漾（yàng）满了笑容。不知是怜爱这个冷风中的女孩，还是被她那清脆的声音所吸引，我掏出两毛钱：“小姑娘，给我一张。”她迅速抽出一张报纸，（恭敬尊敬敬爱）地递给我，又从小口袋里掏出零钱数着找给我。这时公共汽车开过来了，我刚（迈步走步跨步），小女孩连忙喊：“阿姨，等一等……钱！”我想把要找的零钱留给小女孩，就头也没回地上了公共汽车。我刚坐下，那清脆的声音又响在我的耳旁：“阿姨，你的钱！”我吃了一惊，为了八分钱，她（忽然竟然突然）上了车……“阿姨，找你的八分钱，还有这十元钱……”“十元钱？怎么回事？”我诧异了。“嗯，你刚才买报纸掏手套时，钱掉在地上了。”她把八分钱和十元钱塞到我的手里，并轻松地长（舒出呼）了一口气。顿时，一股热流流遍了我的全身，我被她的纯真打动了！我握着小女孩的双手：“你为什么要出来卖报？”“我？”她有些不好意思，“邻居张奶奶病了，我放了学就替她卖报。”说着，她眨巴着晶亮的眼睛冲着我笑了。车到了下一站，小女孩跳下车，钻进了人群里。那瘦小的身影（）消失了，（）她那清脆的声音（仍然突然猛然）（震荡激荡回荡）在我耳旁。啊！多好的孩子！她有一颗金子般的心。1．用“√”选择文中括号里正确的词。2．文中画线句应读出的语气a．关切b．激动c．沉痛d．舒缓3．在第8自然段括号里填上恰当的关联词语。4．小姑娘“金子般的心”在文中指___________________________________，这“金子般的心”主要表现在哪两个方面：________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ______5．“我”诧异的原因是____________________________。“纯真”指____________________________________________。因为_________________________________________，我被小女孩的纯真打动了。6．用“===”画出短文的中心句。 1．恭敬迈步竟然舒仍然回荡2．a3．虽然……但……4．拾金不昧、助人为乐的品质一方面，上车还给“我”卖报多给的八分钱，把“我”掉了的十元钱也还给“我”，有拾金不昧的品质；另一方面，帮助生病的邻居张奶奶卖报，有助人为乐的品质。（意思对即可）5．小姑娘追上车除了把应找的零钱给“我”外，还还给“我”十元钱纯洁真挚“我”的十元钱掉了自己根本不知道，小姑娘拾起钱，且追上车主动塞给“我”（意思对即可）6．提示：最后一个自然段。 报童“卖报.卖报--今天的晚报! 一个清脆的童音在刚降临的暮色中显得格外清新.风把她的声音送向远方.每当她卖掉一份报纸时.她那红红的脸上便漾满了笑容. 不知是怜爱这个冷风中的女孩.还是被她那清脆的声音所吸引.我掏出两毛钱:“小姑娘.给我一张. 她迅速抽出一张报纸.地递给我.又从小口袋里掏出零钱数着找给我.这时公共汽车开过来了.我刚.小女孩连忙喊: “阿姨.等一等--钱! 我想把要找的零钱留给小女孩.就头也没回地上了公共汽车. 我刚坐下.那清脆的声音又响在我的耳旁:“阿姨.你的钱! 我吃了一惊.为了八分钱.她(忽然竟然突然)上了车-- “阿姨.找你的八分钱.还有这十元钱-- “十元钱?怎么回事? 我诧异了. “嗯.你刚才买报纸掏手套时.钱掉在地上了. 她把八分钱和十元钱塞到我的手里. 并轻松地长(舒出呼)了一口气.顿时.一股热流流遍了我的全身.我被她的纯真打动了!我握着小女孩的双手:“你为什么要出来卖报? “我? 她有些不好意思.“邻居张奶奶病了.我放了学就替她卖报. 说着.她眨巴着晶亮的眼睛冲着我笑了. 车到了下一站.小女孩跳下车.钻进了人群里.那瘦小的身影消失了.她那清脆的声音(仍然突然猛然)(震荡激荡回荡)在我耳旁. 啊!多好的孩子!她有一颗金子般的心. 1．用“√选择文中括号里正确的词. 2．文中画线句应读出的语气 [ ]a．关切 b．激动 c．沉痛 d．舒缓 3．在第8自然段括号里填上恰当的关联词语. 4．小姑娘“金子般的心在文中指 .这“金子般的心主要表现在哪两个方面: 5．“我诧
报童问题
关于报童问题的分析 摘要 本文讨论了单周期的随即贮存模型——报童问题。通过运用蒙特卡洛（MC ）算法、插值拟合等基本模型，运用概率论与数理统计的背景知识，得出每天报纸需求量的概率分布，建立报童收益模型，以达到报童最大收益为目的，使报童每天的进货量与需求量尽可能地吻合，以使损失最少，收益最大。 在问题一中，首先对题目中给出的报童159天的报纸需求量进行概率分布计算，得出报纸需求量的概率分布)(r f ，...2,1,0=r ，代入建立好的报童收益模型中求出平均收益的最大值7358.33)(=n MaxG ，n r r f = )(，200=n 。 在问题二中，即将第一问中的概率分布)(r f 转化为概率密度)(r p ，在Matlab 工具箱子CFtool 中计算得出此时概率密度为正态分布，将问题一模型中的求和转化为积分，通过对目标求导等手段分析得出每天的报纸进货量n 。其中 2 ) 98 .54)1.190(( )(--=x e r p ，=)(n G （ ） ，=n 关键词 随即贮存，概率分布，概率密度，平均收益
1、问题重述 1.１问题背景 在实际生产生活过程中，经常会遇到一些随时间、地点、背景不同而发生变化的事物，例如报纸的销售的问题。如果报纸的销售量小于需求量，则会给报童带来缺货损失，失去一部分潜在客户，一部分报纸失销（为简化计算，在本模型中我们忽略缺货损失）；如果报纸的销售量大于需求量，则会导致一部分报纸被退回报社，给报童造成一部分退货损失，减少盈利。所以在实际考虑中，应使报纸的购入量尽可能地吻合需求量，减少报童的损失，获得更大的盈利。 １.２报童获利途径 报童以每份0.3元的价格买进报纸，以0.5元的价格出售。当天销售不出去的报纸将以每份0.2元的价格退还报社。根据长期统计，假设已经得到了159天报纸需求量的情况。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。 １.３问题提出 现在需用数学建模解决以下问题： 问题1：若将据报纸需求量看作离散型分布，试根据给出统计数据，求出报纸需求量的分布律，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？ 问题2：若将据报纸需求量看作连续型分布，试根据给出的统计数据，进行分布假设检验，确定该报纸需求量的分布，并建立数学模型，确定报童每天买进报纸的数量，使报童的平均总收入最大？ ２、模型假设 （１）假设报童在以后的日子里需求量概率分布概率密度遵循这159天的规律（２）假设不考虑缺货损失 （３）假设报童进报纸量达到一定数量后不会产生贮存等其他费用 （４）假设报童每天都能买进计算出来的应进报纸量 ３、符号说明 r报纸需求量 f报纸需求量概率分布（离散型） (r ) p报纸需求量概率密度（连续性） (r ) G报童每天购进n份报纸的平均收入 ) (n
报童__数学建模
报童诀窍 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为 r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型建立： 假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n, ，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n), 如果这天的需求量r<=n, 则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。需求量为r 的概率是f(r),则 ()()()()[]()()()∑∑=∞ +=-+ ----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01 问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。 四、模型求解： 购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) ()()()()[]()()()??∞ -+----=n n dr r np b a dr r p r n c b r b a n G 0 计算 ()()()()?---=n dr r p c b n np b a dn dG 0()()()()dr r p b a n np b a n ?∞-+-- 令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ??∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n --=??∞ 0 n 应满足上式。()10=?∞ dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为 ()c a b a dr r p n --=?0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的
报童问题模型
§2 报童问题模型 [问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设为a>b>c．这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入． [问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是) f．有了) (r r f和a，b，c， ,2,1,0 )( r ( 就可以建立关于购进量的优化模型了． 假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n，等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入． [模型的建立及求解] 记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概率是) f，所以 (r 问题归结为在) f，a，b，c已知时，求n使G(n)最大． (r 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率) f转化为概率密度函数) (r (r p，(1)式变成 计算
令0=dn dG .得到 使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式．因为?∞ =01)(dr r p ，所以(3)式又可表为 根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(3)式确定购进量n ．在图2中用1P ，2P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(3)式可记作 因为当购进n 份报纸时，?=n dr r p P 01)(是需 求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率： ?∞=n dr r p P )(2是需求量r 超过n 的概率，即卖完 的概率，所以（3）式表明，购进的份数 应该使卖 不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多.
报童__数学建模
报童诀窍 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量 ,a和 n-r份； p(r) n c b b a - - = 因为当购进n份报纸时，()dr r p P n?=0 1 是需求量r不超过n的概率； ()dr r p P n? ∞ = 2 是需求量r超过n的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。 五、结论： 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该越多。 六、问题求解： 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量
服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？ 当a=1,b=0.75,c==0.6时需求量r 服从)50,500(~2N r 分布。 3 56.075.075.0121=--=--=c b b a P P 对应的正态分布表得到对应概率为0.9515 所以购进量为5.3128 5500=? 当r<=n 时最高收入为()15.78951.05.31275.01=??- 当r>n
报童模型newsboy
报童模型 某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。未售出的树只能按$1出售。如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？ 一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。那么，他应当订购多少份报纸呢？ 假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？ 基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。 （1）期望损失最小法 比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。 已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则：单件机会成本：Cu=P – C 单件超储成本：Co=C-S 当订货量为Q时，期望损失为： 式中P(d)为实际需求量为d时的概率 某商店挂历需求的分布率： 已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。降价处理S=30元/每份。求该商店应该进多少挂历为好。 （2）期望利润最大法 比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则： 单件收益：Cu=P - C 单件超储成本：Co=C-S 当订货量为Q 时，期望利润为： 式中P(d)为实际需求量为d 时的概率 某商店挂历需求的分布率： （3）边际分析法 考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。 当增加到第D 个产品时，如果下式成立: D 为订货量，P(D)为需求量大于等于D 的概率 从满足需要的最小可能订货量开始，随着订货量的增加，P(D)便随之下降。在某一点上，P(D)可以使上式两个期望值相等，将此时的P(D)记为P*(D)，并称之为临界概率: 已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件 则： 单件机会成本：Cu=P - C 单件超储成本：Co=C-S 计算临界概率P （D*）： P （D*） Cu =[1-P （D*）] Co P D C P D C u o ()(())?>-?1P D C P D C P D C C C u o o u o ***()(())()?=-?=+1
我是小小卖报童活动方案
智慧国学堂“我是小小卖报童”开始招募了 活动目的： 为了给孩子提供正确的观念和知识，全面塑造孩子情绪管理、自我形象、竞争力、挫折抵抗、沟通、人际关系及领导力等成功必备素质，促进儿童情商的完美形成，为其未来的成功奠定坚实的基础。我园决定开展“我是小小卖报童”活动。 活动意义： 现实生活是学习的最大课堂，通过此项活动： 1.可训练孩子的语言表达能力、人际交往、挫折抵抗、理财能力等等。 2.加强学生的社会实践能力，增强与他人的交流能力，增强自身的综合素质和吃苦耐劳的精神，培养孩子们的社会活动能力和团队的协作能力。 3.体验父母挣钱的辛劳，体验劳动的光荣和不易，重视劳动，珍惜劳动成果，同时体会靠自己的双手挣钱的自豪感和快乐！ 4.树立正确的人生观，价值观。 具体安排： 分别在我园附近商城，月亮湾，天利中央，金鼎小区等，以老师带领，家长辅助。 报名方式： 家长可到本班老师处报名，或电话报名。因需要家长陪同，家长没时间陪同孩子的请勿报名！报名截止时间：3月28日 活动收费： 此次活动费用为10元，每个孩子发5份报纸，早卖完的可以跟带队老师申请，多买多得！活动时间：2018年3月31号上午8.30 报名条件：大班学前班 附活动报名表一张 注意事项： 1.如遇雨天，活动时间延期举行，另行通知。 2.为了活动顺利进行，请家长于8:30前将学员送到幼儿园指定地点集合，此活动必须邀请 家长全程参与。 3.所有幼儿必须穿戴国学服，卖报过程中听从老师指挥，注意安全。 4.为了活动顺利进行，希望家长为孩子准备好一元的零钱，园方准备充分的报纸。 5.卖报过程中家长不要参与卖报过程，可跟随学员拍照，录像等，希望小朋友们能够独立 完成任务，切实锻炼自己的能力，但家长可在旁边鼓励！ 6.卖报得到的款项由幼儿自行支配。 7.拍照取素材，尽量关注到每个孩子的表现。 8.如遇到问题，找活动负责老师，寻求帮助。 预祝此次活动圆满成功！ 智慧国学堂 2018年3月21日
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10；
报童问题模型
§2 报 童 问 题 模 型 [问题的提出] 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，应该自然地假设为a >b>c ．这就是说，报童售出一份报纸赚a -b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入． [问题的分析及假设] 众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是),2,1,0)(( r r f ．有了)(r f 和a ，b ，c ，就可以建立关于购进量的优化模型了． 假设每天购进量为n 份，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n ，等于n 或大于n ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入． [模型的建立及求解] 记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n-r 份；如果这天的需求量r>n ，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以 问题归结为在)(r f ，a ，b ，c 已知时，求n 使G(n)最大． 通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(1)式变成 计算
报童数学建模
报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
报童 诀窍 一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。 二、模型分析： 购进量由需求量确定，需求量是随机的。假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。 三、模型建立： 假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。 记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r 份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。需求量为r 的概率是f(r),则 问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。 四、模型求解： 购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r) 计算
令 0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ??∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n --=??∞ 0 n 应满足上式。()10=?∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()c a b a dr r p n --=?0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则 c b b a P P --=21 O nr 因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ?=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ?∞ =2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。 五、结论： 当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比约大时，报童购进的份数就应该越多。 六、问题求解： 利用上述模型计算，若每份报纸的购进价为元，售出价为1元，退回价为元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？ 当a=1,b=,c==时需求量r 服从)50,500(~2N r 分布。 3 56.075.075.0121=--=--=c b b a P P 对应的正态分布表得到对应概率为 所以购进量为5.3128 5500=?
报童问题模型
§ 2报童问题模型 ［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设 报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就 是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c ?报童每天如果购进的报纸太少， 不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱?请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入. ［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量?需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范 围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) ?有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了. 假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于 n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每 天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入. ［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以 问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大. 通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成 计算 第163页
^ = (a-b)npM-f
数学建模 四大模型总结
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
报童模型――物流案例
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言： 报童模型的引入： 公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。 一、已知数据： 年销量/产量output=5000 吨;年产值sales=14250 万；利税B=777 万；年库存总费用H=700 万；单位原蜜购买成本c=9000 元/吨； 需求及采购情况见下表： 项目 需求/t 预计到货 量/t月份 6789 300
40011 60012 6001 8002 5300月初库存/t1000 月末库存/t1200 平均库存 水平=（洋槐花蜜）00 二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设： 1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。依据： 虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。 2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失； 3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分： 一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。 三、无预算约束的报童模型
F(q*)=c u/(c u+c o) 其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。 根据假设： 欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x ); 超储成本=库存维持费用(h) 处理后的报童模型公式： F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h) -1 即q*=F[(p-c+x) /( p-c+x+h)] 单位库存费用h= 年库存总费用/平均库存水平=4098 元/(年*吨)；
数学建模题目及详细答案
数学建模题目及详细答案
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09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1） ，()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使 00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。 作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 x+y+z=10； x/10=235/1000；
报童卖报问题
问题的重述 报童每天清晨从邮局购进报纸零售，购进价格为元，售出价格为元，晚上卖不出去的可以退回，但退回价格要比购进价格低，为元。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。 一．问题的分析 报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。 二．符号的约定 b 购进价格， a 零售价格， c 退回价格 三。模型的基本假设 假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是)(r f ，（r ＝0,1,2,…）。不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期，也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。 四．模型的建立与求解 根据上面的符号约定，显然有c b a >>。设报童每天购进n 份报纸，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n 、等于n 或大于n ；由于报童每卖出一份报纸赚b a -，退回一份报纸赔b －c ，所以当这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n －r 份，即赚了(b a -)r ，赔了(b －c)(n －r)；而当n r >时，则n 份全部售出，即赚了(a －b)n 。 记报童每天购进n 份报纸时平均收入为)(n G ，考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以 ∑∑=∞+=-+----=n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01)()()()])(()[()( ， 问题归结为在c b a r f 、、、)(已知时，求n 使)(n G 最大。 通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量，这时 )(r f 转化为概率密度函数)(r P ，这 样式变为： ??+∞-+----=n n dr r nP b a dr r P r n c b r b a n G 0)()()()])(()[()(， 计算 ?-----=n r nP b a dr r P c b n nP b a dn dG 0)()()()()()( ?+∞-+n dr r P b a )()( ??+∞-+--=n n dr r P b a dr r P c b 0)()()()(， 令 0 =dn dG 得
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题 摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型. 关键词：存贮管理；预期理论；期望损失 1、引言 1不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。因而，当报纸不够卖的时候，报童也就失去了更多赚取利润的机会，这相对于报童来说也是一种损失，往往这种损失就相当于卖一份报纸所获得的利润。这种利润也往往大于报童因报纸卖不完时的处理价。因而，报童更不愿意看到这种情况发生。尤其在市场竞争极其激烈的今天，多数报童宁愿有部分报纸剩余，也不愿意每天过早的退出市场。一个简单的例子，两个报童A和B，市场共需要100份报纸，两个人平分的话一个可以卖50份，但是如果A预定了45份，B预定了60份，根据假设，A不够卖，而B剩余5份。假如报纸定价都是0.2元，每卖出一份赚0.3元，卖 ?=元，而B赚了剩一份赔0.1元。那么对A而言，他赚了450.313.5 ?+?-?=元，比A就多赚了2.5元。而显然在A的订购量不变的前550.550.1600.2 ?=元，比上述两种情况都要优。故导提下，B的最佳订购量是55份，此时赚550.316.5 致报童损失有两种情况，一种是脱销而造成的损失，另一种是报纸有剩余造成的损失。这种类似报童的单阶段存贮问题中，不缺货的情况下还应考虑租赁仓库存储时的费用。此文为讨论方便，我们先不讨论这部分费用所造成的损失。 由于市场需求的随机性，导致了报童在决策订购量时难以把握。当订购量大于销售量时，会因买不出去而导致损失；当订购量小于销售量时会因缺货而造成损失。因而只有当销售量等于需求量时，报童才不会有损失，此时的报童也获得了最大利润。那么，报童决策的核心就是如何去使得订购量接近于销售量，如何最大限度去减少自己的损失。本文同样在预期理论框架下基于损失最小的角度出发对报童问题进行了探讨，得到了报童问题的最优解。２、连续模型 关于预期理论与期望效用理论的主要区别在[6-10]中已做了详细阐述。在不确定性决策中，我们通过上例可以看出：报童要想获得更多利润，要想抓住更多获取利润的机会，他们