2010年名校精华重组数学试题(5)

数学

第4题

2010年天利名校精华重组（5）

数学试卷

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。 1．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2

A B ==，则集合A B *的所有元素

之和为（） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6

2．若数列{a n }前8项的值各异，且a n +8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列

为（） A ．{a 2k +1} B ．{a 3k +1} C ．{a 4k +1} D ．{a 6k +1} 3

现要使销售额达到6万元，则需广告费约为

（）

A ．16千元

B ．15千元

C ．18千元

D ．19千元

4．如图给出的是计算

614121+???+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）

A ．i>10

B ．i<10

C ．i>20

D ．i<20

5．在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

6．圆2x 2

＋2y 2

＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ

≠2

π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是（）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定的 7．连续掷两次骰子分别得到的点数为m 、n ，则点P （m,n ）在直线x+y=5左下方的概率为（）

A ．

1 B ．

1 C ．

1 D ．

8．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（） A ．BC//平面PDF B ．DF ⊥平面PAE

C ．平面PDF ⊥平面ABC

D ．平面PA

E ⊥平面ABC

数学

9．给定函数y ＝f （x 2(2)2

x --

（x ∈R ）及函数y ＝?（x 2

x -（x ∈R ），则关于函数f （x ）

及?（x ）的下列论断中都正确的命题序号组合是（）

①曲线y ＝f （x ）与y ＝?（x ）的最高点的纵坐标相等 ②曲线y ＝f （x ）和y ＝?（x ）与x 轴之间图形的面积相等 ③以曲线y ＝?（x ）为概率密度曲线的总体的方差与以曲线y ＝f （x ）为概率密度曲线的总体的方差相等

④以曲线y ＝?（x ）为概率密率曲线的总体的期望与以曲线y ＝f （x ）为概率密度曲线的总体的期望相

等 A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④

10．若不等式|ax +2|<6的解集为（－1，2），则实数a 等于

（）

A ．8

B ．2

C ．－4

D ．－8

11．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（a ·b ）c －（c ·a ）b =0 ②|a |－|b |<|a －b | ③（b ·c ）a －（c ·a ）b 不与c 垂直 ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9|a |2－4|b |2中，是真命题的有

（）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④

12．已知函数

()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，

则函数

()x

g x a b =+的图象是

（）

A ．

B ．

C ．

D ．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若直线2y a =与函数|1|(01)x

y a a a =->≠且的图象有两个公共点，

则a 的取值范围是_______．

14．已知直线x +2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧

上求一

点P ，当△P AB 面积最大时，P 点坐标为．

15．函数)3(log +=x y a －1（1,0≠>a a ）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，

则

1+的最小值为

数学 16．某班共有

40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是（结果用最简分数表示）．三、解答题 17．（本小题满分12分）

已知：A 、B 、C

是ABC ?的内角，,,a b c 分别是其对边长，向

量

())

1,cos ,12m A n A ππ??

??=

--=- ? ????

，n m ⊥．

（Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若2,cos 3

a B ==

，求b 的长． 18．（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同

的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张

都不是“海宝”卡的概率是

，求抽奖者获奖的概率；（Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及

ξE ．

19．（本小题满分12分）

数列1111

{}22n n n a a a a +==-满足，．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设In(1)x x +<在x > 0时成立，数列{}n a 的前n 项和为S n ，证明2

ln()2

n n S n +<-．

20．（本小题满分12分）已知在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且1

CG CD =．

（1）求证：EF ⊥B 1C ；

（2）求二面角F —EG —C 1的大小．

21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x C 的离心率22

=e ，左、右焦点分别为1F 、

2F ，点)3,2(P 满足2F 在线段1PF 的中垂线上．

（1）求椭圆C 的方程;

（2）如果圆E ：222

()2

x y r -+=被椭圆C 所覆盖，求圆的半径r 的最大值．

22．（本小题满分14分）已知a ＞0，函数f （x ）＝ax －bx 2．（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2

b ；

（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；

（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件

参考答案

一、选择题

1．D 解析：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知

A B *={}4,2,0，故应选择D

2．B 解析：∵k ∈N *，∴当k =0，1，2，…7时，利用a n +8=a n ，数列{a 3k +1}可以取遍数列{a n }的前8项．评述：本题考查了数列的基本知识和考生分析问题、解决问题的能力．

3．B 解析：x －＝7，y －

＝41．6，Σ5i ＝1

x i y i ＝1697，Σ5

i ＝1

x i 2＝349，

b ＝1697－5×7×41.6

349－5×49

≈2．3，

a ＝41．6－2．3×7＝25．5，故回归直线方程y ＝2．3x ＋25．5．

当y ＝6万元＝60千元时， 60＝2．3x ＋25．5，解得x ＝15千元．

4．A 解析：当n=22时，要退出循环，此时i=11

5．D 解析：∵sin 2sin 22cos()sin()0,A B A B A B -=-+-=∴,2A B A B π

=或

6．C 解析：圆2x 2＋2y 2＝1的圆心为原点（0，0）半径r 为

，圆心到直线x sin θ＋y －1＝0的距离为：1

sin 11

sin |1|2

θθd ∵θ∈R ，θ≠

π＋k π，k ∈Z

∴0≤sin 2θ＜1 ∴d ＞

∴d ＞r

∴圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ，θ≠

π＋k π，k ∈Z ）的位置关系是相离．

7．A 解析：点P （m,n ）的个数有36个,而满足题意的点有以下6个:（1,1）,（1,2）（2,1）（1,3）,（2,2）,

（3,1）所求的概率为

8．C 解析：由DF//BC 可得BC//平面PDF ，故A 正确。若PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 在AE 上，则DF ⊥PO ，又DF ⊥AE 故DF ⊥平面PAE ，故B 正确。由DF ⊥平面PAE 可得，平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确。 9．B

10．C 解析：∵|ax +2|<6，∴－6

当a >0时，有a

x a 4

8<<-

，而已知原不等式的解集为（－1，2），所以有：

数学

??????

-=-=1824

．此方程无解（舍去）．

当a <0时，有a x a 48<<-，所以有???????-==-1

428a

解得a =－4，当a =0时，原不等式的解集为R ，与题设不符（舍去），故a =－4．

11．D 解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假； ②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故

②真； ③因为［（b ·c ）a －（c ·a ）b ］·c =（b ·c ）a ·c －（c ·a ）b ·c =0，所以垂直．故③假； ④（3a +2b ）（3a －2b ）=9·a ·a －4b ·b =9|a |2－4|b |2成立．故④真． 12．A 解析：由()()()f x x a x b =--的图象知1,1-<<

二、填空题 13．102a <<

解析：1

(0,)2

；画出函数|1|(01)x y a a a =->≠且的草图知，若直线2y a =与函数|1|(01)x y a a a =->≠且的图象有两个公共点，则021a <<，即1

a <<。

14．P （4,－4）解析：|AB |为定值，△P AB 面积最大，只要P 到AB 的距离最大，只要点P 是抛物线的平

行于AB 的切线的切点，设P （x ,y ）．由图可知，点P 在x 轴下方的图象上 ∴y =－2x ,∴y ′=－

x 1,∵k AB =－21,∴－

1-=x

∴x =4,代入y 2=4x （y <0）得y =－4． ∴P （4,－4）

15．8 解析：函数)3(log +=x y a －1图象恒过定点A （-2,-1）,

12012=+∴=+--∴n m n m ,844)2)(21(21≥++=++=+∴