甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三上学期第三次检测数学(理)试题

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．）

1．已知全集U=R ，集合A ＝{1,2,3,4,5｝,B ＝[3，十∞），则图中阴影部分所表示的集合为

A. {0，1，2}

B. {0，1}，

C. {1，2}

D.｛1｝

2．若0a b >>，则下列不等式成立的是 A. 112

2

log log a b <

B. 0.20.2a b >

C.

a b +<

3．设平面向量(1,2),(2,)a b y ==-,若a ⊥b ，则=||b

A ．2

B ． 22

C

D ．5

4．已知函数sin ,0,()(1),0,

x x f x f x x π≤?=?

->?那么)32

(f 的值为

A. 21-

B. 23-

C. 2

1

D. 23

5．下列结论正确的是

A.若向量a ∥b ，则存在唯一的实数λ使 b a λ=

B.已知向量a ，b 为非零向量，则“a ，b 的夹角为钝角”的充要条件是“0

:,10p x R x x ?∈-+<，则 2

:,10p x R x x ??∈-+> D ．“若 3

π

θ=

，则 1cos 2θ=

”的否命题为“若 3πθ≠，则 1

cos 2

θ≠” 6. 若数列{}n a 满足

110n n

p

a a +-=，*,n N p ∈为非零常数，

则称数列{}n a 为“梦想数列”。已知正项数列1n b ??

????

为“梦想数列”

，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

7. 已知函数2

(1)(10)

()1)

x x f x x ?+-≤≤?=<≤，则11()f x dx -=?（ ）

A ．3812π-

B ．4312π+

C ．44π+

D ．4312

π-+

8．下列四种说法中，

①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x

R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于12；

④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是2

5

. 说法正确的个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9. 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数， 则不等式()5x

x

e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．()0,+∞

B ．()(),03,-∞+∞U

C ．()(),01,-∞+∞U

D ．()3,+∞

10.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，2

5(02)16

()1()1(2)2

x x x f x x ?≤≤??=??+>?? 若

关于x 的方程2

[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．59(,)24--

B ．9

(,1)4-- C. 599(,)(,1)244---- D ．5

(,1)2

--

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．） 11.在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3

a 成等差数列，则通项公式n a = . 12.已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如右图所示，则(2)f = ．

13.函数2

()(1)2ln(1)f x x x =+-+的单调增区间是 . 14.已知ABC ?中的内角为,,A B C ，重心为G ，若

2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ?+?+?=，则cos B = .

15.定义函数{}{}

()f x x x =?，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，

{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个

数为n a ，则12

11

1

n

a a a +++

=________．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）

若二次函数2

() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足(1)()41f x f x x +-=+，且

(0)3f =.

（1)求()f x 的解析式；

（2)若在区间[1,1]-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.

17.（本小题满分12分）

已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，且{}n b 的前n 项和n T ，求证：2n T ≥.

18．（本小题满分12分）

已知向量3

(sin ,)4

a x =，(cos ,1)

b x =-． (1)当//a b 时，求2cos sin 2x x -的值；

(2)设函数()2()f x a b b =+?，已知在ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，

19.（本小题满分12分）

北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入

2

1(600)6

x -万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入

5

x

万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

20.(本题满分13分)

设函数)2

sin(sin )(x x x f ωπ

ω--=,R ∈x ．

(Ⅰ) 若2

1

＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若8

π

=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.

21.（本小题满分14分）

已知)1ln()(-=x a x f ,bx x x g +=2

)(,)()1()(x g x f x F -+=,其中R b a ∈,. (1)若)(x f y =与)(x g y =的图像在交点(2,)k 处的切线互相垂直,求b a ,的值； (2)若2=x 是函数)(x F 的一个极值点,0x 和1是)(x F 的两个零点,且

0(,1)x n n ∈+，*n N ∈,求n 的值；

(3)当2-=a b 时,若1x ,2x 是)(x F 的两个极值点,当121x x ->时,求证:12()()34ln 2F x F x ->-.

参考答案

14.【解析】

1

12

解析 ：设,,a b c 为角,,A B C 所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=---

即()(

)

23330a c

GA b c GB -+

-=，又因为

,GA GB 不共线，则23=0a c -

,

3=0c -,即23,a c ==所以a ==

2221cos 212a c b B ac +-∴==. 15．定义函数{}{}

()f x x x =?，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.52=，

{}2.52-=-.当(]0,x n ∈，*n N ∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为

n a ，则

1211

1

n

a a a +++

=________． 【答案】

21

n

n + 【解析】易知：当1n =时，因为(]0,1x ∈，所以{}1x =，所以{}{}

1x x =，所以

{}111,1A a ==；

当2n =时，因为(]1,2x ∈，所以{}2x =，所以{}{}

(]2,4x x ∈，所以{}221,3,4,3A a ==； 当3n =时，因为(]2,3x ∈，所以{}3x =，所以{}{}

{}(]36,9x x x =∈，所以

{}331,3,4,7,8,9,6A a ==；

当4n =时，因为(]3,4x ∈，所以{}4x =，所以{}{}

{}(]412,16x x x =∈，所以

{}441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10A a ==；

当5n =时，因为(]4,5x ∈，所以{}5x =，所以{}{}

{}(]520,25x x x =∈，所以

{}551,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25,15A a ==，

由此类推：1n n a a n -=+，所以(1)2n n n a +=

，所以12112(1)1n a n n n n ??==- ?++??

，所以 12

11

121

n n

a a a n +++

=

+ 16．【解析】 (1)由(0)3f =得，3c =. ∴

2

()3f x ax bx =++. 又(1)()41f x f x x +-=+，∴22(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+， 即241ax a b x ++=+，

∴241a a b =??+=?，∴21

a b =??=-?.∴2

()23f x x x =-+. (2) ()6f x x m >+等价于2236x x x m -+>+，即2273x x m -+>在[1,1]-上恒成立，

令2

()273g x x x =-+，则min ()(1)2g x g ==-，∴2m <-.

17.【解析】（1）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，2

3a q =，

∵

1

223

+=s s

，∴

1)(221321++=++a a a a a

则1)1(212

++=++q q q 解得： 2=q 或1-=q （舍去），∴12n n a -= （2）1

21212n n n b n a n -=-+=-+

()()1

13.....2112......2n n T n -=+++-+++????

又∵122-+=n n

n T 在[)+∞,1 上是单调递增的 ∴

2

1=≥T T n ∴

2

≥n T

18．【答案】28(1)cos sin 25x x -=

（2）()21262cos 4123-≤??? ?

?

++≤-πA x f 解析：（1）

33

//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-

22

222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5

x x x x x x x x x ---===++

（2）()2()2sin(2)4f x a b b x =+?=

++2

由正弦定理得

sin ,sin sin 4a b A A A B π===可得所以或4

3π=A

因为a b

>，所以4

π=

A

()

??? ?

?++62cos 4πA x f =)4x π+12-,0,3x π??

∈????112,4412x πππ??∴+∈????, 所以

()21262cos 4123-≤??? ?

?

++≤-πA x f

20.【解析】(Ⅰ) x x x x x f ωωωπ

ωcos sin )2

sin(sin )(-=--=…………………2分

当2

1＝ω时,??

? ??-=42sin 22cos 2sin

)(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤???

?

?π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, …………………………4分 此时

π+π

=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 42

3,Z ∈k , 相应的x 的集合为},42

3|{Z ∈π+π

=k k x x . …………………………6分 （Ⅱ）依题意048

sin 8=???

??-=???

??πππωf , 即

π=π

-

π

k 4

8

ω,Z ∈k ,…………………………8分 整理,得28+=k ω, …………………………9分

又100<<ω,所以10280<+

<<-

k , …………………………10分 而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω, …………………………12分 所以??? ?

?

π-=

42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.……13分

21.【答案】(1)1

)(-=

'x a

x f ,b x x g +='2)( 由题知???-='?'=1)2()2()2()2(g f g f ,即???-=++=1)4(240b a b 解得?????

-=-=2

21b a

(2))()1()(x g x f x F -+= =)(ln 2

bx x x a +-,b x x

a

x F --=

'2)( 由题知???=='0)1(0)2(F F ,即?????=+=--0

1042b b a

解得6a =,1b =-

∴2

()6ln ()F x x x x =--,126)(+-=

'x x x F =

x

x x )

2)(32(-+- ∵0x >,由()0F x '>,解得02x <<;由()0F x '<,解得2x > ∴)(x F 在(0,2)上单调递增,在(2,)+∞单调递减, 故)(x F 至多有两个零点,其中1(0,2)x ∈,2(2,)x ∈+∞

又)2(F >)1(F =0,)3(F =6(3ln -1)>0,)4(F =6(4ln -2)<0 ，∴0x ∈(3,4),故n =3 (3)当2-=a b 时,)(x F =])2([ln 2

x a x x a -+-,

)2(2)(---=

'a x x a x F (2)(1)

x a x x

-+-=

, 由题知)(x F '=0在(0,+∞)上有两个不同根1x ,2x ,则a <0且a ≠-2,此时)(x F '=0的两

根为2a -,1, 由题知|-2

a

-1|>1,则42a +a +1>1,2a +4a >0

又∵a <0,∴a <-4,此时-

2

a

>1 则)(x F 与)(x F '随x 的变化情况如下表:

∴|)(1x F -2()F x |=)(x F 极大值-)(x F 极小值=F(-2)―F(1)=ln(a ―2)+4

2a ―1, 设141)2ln()(2-+-=a a a a ?,则121

)2ln()(++-='a a a ?

211)(+=''a a ?,∵4a <-,∴114a >-,∴11

()02

a a ?''=+>

∴)(a ?'在(―∞,―4)上是增函数,)(a ?'<=-')4(?012ln <- 从而)(a ?在(―∞,―4)上是减函数,∴)(a ?>)4(-?=3-42ln 所以12()()34ln 2F x F x ->-.