湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳(数学应试笔记)
湖北省高考数学复习知识点按难度与题型归纳（数学应试笔记）
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；
③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ．
如果C A C B B A ???，那么，．
【注意】：
①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）．
2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n
-个.
3、A B C A B A C A B C A B A C == （）（）（）,（）（）（）；
A B C A B C A B C A B C ??=??= （）（）,（）（） 4、 De Morgan 公式:()U U U C A B C A C B = ；()U U U C A B C A C B = .
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
A2.命题的否定与否命题
*1.命题p q ?的否定与它的否命题的区别：
命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.
命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：
全称命题p ：,()x M p x ?∈；全称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. 特称命题p ：,()x M p x ?∈；特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?. A3.复数运算
*1.运算律：?m n m n z z z +?=； ?()m n mn z z =； ?1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：
?1212||||||z z z z =； ?1122||||||
z z z z =
； ?n n
z z =. *3.重要结论：
?2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ?2
2
12
z z z z ?==； ?()2
12i i ±=±； ?
11i i i -=-+，11i
i i +=-； ?i 性质：T=4；1 , ,1,43
42414=-=-==+++n n n n i i i i i i .
【拓展】：()()
3
2
11101ωωωωω=?-++=?=
或1
i 2
2ω=-±
.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律：
(1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点(1,1)；
(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y
1x
轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当趋于时，图像在轴上方无限地逼近轴正半轴． 【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1)，
并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概
率都相等（
n
N
）. 2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ?频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=样本容量
频数
.
②小长方形面积=组距×组距
频率
=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1. 【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ?茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 121
11()n
n i i x x x x x n n ==+++=∑
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).
(1)一组数据123,,,,n x x x x ?
①样本方差
2
222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+???+-2
22111
111()()()n n n i i i i i i x x x x n n n ====-=-∑∑∑ ；
②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则y ax b =+,它们
的方差为222
y x S a S =,标准差为||y x a σσ=
③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2
s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均数为ax b +，方差
为22
a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'
x ax b =+，222()S a S '=.
B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠）
，则
数学应试笔记 第2页
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；
若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.
①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小； ②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，
z 越小. （2）
y m x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别
y x
表示过原点和(),n m 的直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4）
y =
(),x y 到点
()0,0的距离.
（5）(cos ,sin )F θθ； （
6）d =
；
（7）22
a a
b b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2
+y 2
=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。 B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形
技巧，如下：
2=+ααα，22αα=?；
22
αβ
αβ++=?
，
(
)(
)
2
22
αβ
β
ααβ+=-
--； ()()2
2
2
2
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβαβ
βα
βα
；
22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα； 2()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；
154530,754530?=?-??=?+?；
()
4
2
4ππααπ+=--等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形2cos 2sin 12=-αα，2sin 2cos 12
=+αα，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”
的互化.
（3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用
的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值12可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：2222
1sin cos sec tan tan cot 2sin30tan sin cos042
x x x x x x ππ=+=-=?=?==== 等.
（5）引入辅助角
一般的，
sin cos )sin()a b +==+ααααα?，期中
cos tan a ===???.
特别的，sin cos )4A A A +=+π
;
sin 2sin()3x x x +=+π
，
cos 2sin()6
x x x +=+π
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.
举例：2
2
sin 20cos 50sin 20cos50A =?+?+??，22
cos 20sin 50cos 20sin50B =?+?+?? 可以通过1
2sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=-
-?两式和，作进一步化简. （7）整体代换
举例：sin cos x x m +=2
2sin cos 1x x m ?=-
sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用. B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换
因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos
sin
A B C +=；2
2
tan
cot
A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式：11
sin 22
a S sh a
b C r p =
==?. 其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222
A B B C C A
++=
(3)对任意ABC ?，；
在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ?中，熟记并会证明：
数学应试笔记 第4页
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．
*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列． *3.三边,,a b c 成等差数列?2b a c
=+?2sin sin sin A B C =+?1tan tan
223A C =；3
≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3
≤B π
.
(5)锐角ABC ?中,2
A B π
+>
?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++.
【思考】：钝角ABC ?中的类比结论 (6)两内角与其正弦值：
在ABC ?中，sin sin a b A B A B >?>?>?cos 2cos 2B A >，… (7)若π=++C B A ，则2
2
2
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥. B 4.三角恒等与不等式 组一
33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=-
()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=- 323tan tan tan 3tan tan(
)tan(
)13tan 3
3
θθπ
π
θθθθθ
-=
=-+-
组二
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos 222A B C
A B C ++=
cos cos cos 14sin sin sin 222
A B C
A B C ++=+
222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,
)2
x π
∈，则sin tan x x x <<； (2) 若(0,
)2
x π
∈
，则1sin cos x x <+
(3) |sin ||cos |1x x +≥；
(4)x
x
x f sin )(=
在),0(π上是减函数； B5.概率的计算公式：
?古典概型：()A P A =包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()
()()
m card A p A n card I ==；
②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；
③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；
④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
()(1)
k k n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n
的第(k +1)项). ?几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ?Ω}，则A 的概率定义为
()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件
转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. 【说明】：条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =
为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
①直接法：
位置分析法
元素分析法
用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）
用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）
???
???? ②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n . B7.最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +
有最小值
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值2
14
s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2
2+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小. （2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +
∈，若1ax by +=
，则有：
2
11
11()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++++=≥ ④,,,R a x b y +
∈，若
1a
b
x y +
=则有：(
)2
(
)ay
bx
x y x y a b x y +=++
=++
B8.求函数值域的常用方法：
①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解； 【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如
数学应试笔记 第6页
,(,)ax b y x m n cx d
+=
∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥不等式法：
利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+
=k x
k
x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；
⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.2
b
y k x =
+型，可直接用不等式性质； 2.2bx
y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式；
3.22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；
4.2x m x n y mx n
''++=+型，可用判别式法或均值不等式法；
?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.…… B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数. (二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.
(2)(2)cx d
y x ax b
+=
≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围. (3)22232
61
x x y x x +-=--：
(21)(2)21
()(21)(31)312
x x x y x x x x -++=
=≠-++ ，则1y 13y ≠≠且且y R ∈. (4)求221
1x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。
2211
x y x x -=++?2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
?凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
?凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <
，求函数1
()4245f x x x =-+-的最大值.
?调整分子：例3.求函数2710
()(1)1x x f x x x ++=
≠-+的值域； ?变用公式：基本不等
式2a b +≥有几个常用变形： 22
2
a b ab +≥, 2()2a b ab +≥
，2
a b +，22
2()22a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.
求函数15
()22
y x =<<的最大值；
?连用公式：例5.已知0a b >>，求2
16()
y a b a b =+-的最小值；
?对数变换：例6.已知1
,12
x y >>，且xy e =，求ln (2)y t x =的最大值；
?三角变换：例7.已知2
0y x π
<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
?常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11
t a b
=+的最小值.
B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
?平方和为定值
若22x y a +=（a 为定值，0a ≠）
，可设,,x y αα==，其中02απ<≤.
①(,))4f x y x y πααα=+=
+=+在15
[0,],[,2)44
πππ上是增函数，在
15[,]44
π
π上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357
[,],[,]4444
ππππ上是减
函数；
③11(,)x y m x y x y xy +=
+==.
令sin cos )4t πααα=+=+，其
中
[,1)(,1)(1,2]t ∈-- .由212sin cos t αα=+，得2
2s i n c
o s 1t αα=-，从
而2
(,)1)m x y t t
==-
在[1)(1,1)(1-- 上是减函数. ?和为定值
若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-
①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b
-∞上是增函数，在[,)2
b +∞上是减函数；
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②2
11(,)x y b
m x y x y xy x bx
+=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2
b
+∞上是增函数.
③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2
b
+∞上是增函数；
?积为定值
若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x
= ①(,)c
f x y x y x x
=+=+
.当0c >
时，在[
上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c
m x y x x y xy c x
+=+==+.当0c >时，
在[,0),]上是减函数，
在
(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；
③22
2
2
2
2(,)()2c c n x y x y x x c x x
=+=+=+-
在(,-∞
上是减函数，在()+∞上是
增函数.
?倒数和为定值
若
112x y d +=（d 为定值，111
,,x d y
），则.c y x =成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d ≠±，
则1111
,,z z x d y d
=-=+得,.11d d x y dz dz =
=-+. ①22
2()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11
[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11
[0,),(,)d d
--+∞上减函数；
②2
22
(,).1d g x y xy d z
==-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11
[0,),(,)d d --+∞上是增函数；
③22222
222
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22
2
22(,)4(2)4d t d n x y t t t
==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，则2
40b ac ?=-≥是
方程[]2
()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称
为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D ；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段MP ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ； 当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x ''；
(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根；
(3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有2
21
(
)[()()]22x x f f x f x ++11≥，则称是()f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有221
()[()()]22
x x f f x f x ++11≤，则称()f x D 是上的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，那末在(,)a b 内至少有一点c ，使
()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形，即：()()f b f a =的情形.描述如下：
若()x ?在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??=，那么在(,)a b 内至少有一点c ，使()0c ?'=成立. *2. 零点定理： 设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ． *3. 介值定理：
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）． *4. 夹逼定理：
设当00||x x δ-＜＜时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则必有.)(lim 0
A x f x x =→
【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）
C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
数学应试笔记 第10页
C1.线段的定比分点公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点，λ是实数，且12
PP PP λ=
（或P 2P λ
1P 1P
），则
12
1211x x x y y y λλλλ
+?=??+?+?=?+?
?1
21OP OP OP λλ+=+
?12
(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+） 推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222
y y y x x x +?
=???
+?=?? 推广2λ=则λ
λ++=1PM （λ对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++?
=???
++?=?? 注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键(1λ≠-)
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合，λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远，λ=1- *2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例； *3.始点终点很重要，如若P 分21P P 的定比λ=2
1
，则P 分12P 的定比λ=2； *4.12,,,x x x λ知三求一；
*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x
f x a
=?()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=
+==≠.
③对数函数型：()log a f x x =?()()(),()()(),()1(0,1)x f f x f y y
f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.
④幂函数型：()f x x α
=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()
x f x f y
f y =
.
⑤三角函数型：()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim
1x x
f x
→==.
()f x tanx =,()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
O
B
A
P ?1
2
1
P 2
P P
?2
P 1
P P ?
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：
（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反
证法等）进行逻辑探究。
C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性 性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有的图像关于直线2
a b x +=
对
称. 【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然. 【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然. 性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有()()f a x f b x +=-()f x ?的
图像关于点(
,0)2
a b
+对称.
【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称.
【注】：()(2)f x f a x =--亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则
()y f x =的图像关于直线2
a b x +=
对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，
则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
【注】：f ”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.
2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.
3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.
4.函数()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x =对称. 5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b a x m
-=
对称.
特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)
(1)若()()f x f x a =+，或()()2
2
a
f x f x a
+=-，则()f x 的周期T a =；
(2)若()()0f x f x a ++=，或1()
()1()
f x f x a f x -+=+，或()()22f f a a x x =-+- ，或()()f x a f x a +=-，
数学应试笔记 第12页
或()()
1f x a f x +=±(()0)f x ≠，或()()()f a x f a x f x +=-??
?为偶函数
，或()()
()f a x f a x f x +=--???为奇函数，
或()()
()f a x f a x f x +=-??
?为偶函数
，或[]1(),(()0,1)2f x a f x +
=+∈，则()f x 的周期2T a =；
(3)若1()1(()0)()
f x f x f x a =-≠+，则()f x 的周期3T a =；
(4)若()()()f a x f a x f x +=--??
?为偶函数，或()()()f a x f a x f x +=-???为奇函数
，或()()f x a f x a +=--，或
1()()1()f x f x a f x -+=-
+，或1()
()1()f x f x a f x ++=-，或121212()()()1()()
f x f x f x x f x f x ++=-?且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则()f x 的周期4T a =；
(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ?+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ????=++++，则()f x 的周期
5T a =；
(6)若()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =.
【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
C5.对称性与周期性的关系
定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
2a b -是它的一个周期.
推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.
定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
4a b -是它的一个周期.
推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则()f x 是以4a b -为周期的周期函数.
定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且
2a b -是它的一个周期.
推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()f x 是以
2a b -为周期的周期函数.
C6.
1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满
足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数. 2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.
8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数. 【拓展】：
1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.
2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.
3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .
4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称. C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上也是递增的; ② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间(),0-∞上是递减的;
【思考】：结论推导
C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中：
①体对角线长为222c b a ++，外接球直径2R ②棱长总和为4()a b c ++；
③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，sin 2α+sin 2β+sin 2
γ=1.
数学应试笔记第14页
C B
2.在正三棱锥中：①侧棱长相等
(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为a
，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积2
S
；②体积3
12
V=
；③对棱间的距离
2
d=；
④相邻面所成二面角1
3
arccos
α=；⑤外接球半径
4
R=；⑥内切球半径
12
r=；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值
3
h=.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为a，则
①体对角线长为a
3，②全面积为2
6a，③体积3
V
a
=，④内切球
半径为
1
r,外接球半径为
2
r,与十二条棱均相切的球半径为
3
r,则1
2r a
=,
2
2r=,
2
2r=,且
123
1
r r r=
::
【点拨】形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅
小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．
球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r
掌握球面上两点A、B间的距离求法：
?计算线段AB的长；?计算球心角AOB
∠的弧度数；?用弧长公式计算劣弧AB的长.
【注】：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.
【补充】：
一、四面体．
1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；
③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；
④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°．
2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．
3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体．
（在等腰四面体ABCD中，记BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有
①等腰四面体的体积可表示为
2
2
2
3
12
2
2
2
2
2
2
2
2c
b
a
b
a
c
a
c
b
V
-
+
?
-
+
?
-
+
=；
②等腰四面体的外接球半径可表示为2
2
2
4
2
c
b
a
R+
+
=；
O
A
B
C
D
④h = 4r ．
二、空间正余弦定理．
空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D 6.直角四面体的性质：
在直角四面体O ABC -中,,,OA OB OC 两两垂直,令,,OA a OB b OC c ===,则 ?底面三角形ABC 为锐角三角形；
?直角顶点O 在底面的射影H 为三角形ABC 的垂心；
?2BOC BHC ABC S S S ???=?； ?2222AOB BOC COA ABC S S S S ????++=；
?
1111OH
a
b
c
=
+
+
；
?外接球半径R=R =
.
7. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对
角线长．
(3)
球与正四面体的组合体:
棱长为a
, 外接球的半径为
4
a ． C10.圆锥曲线几何性质
如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或 “离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.
椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,
2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线
21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹．简言之就是 “e =点点距点线距
（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.
当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线；
当0=e 时，轨迹为圆（a
c
e =，当b a c ==,0时）．
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线
的变化趋势.其中
c e a =，椭圆中b
a =、双曲线中
b a
=.
圆锥曲线的焦半径公式如下图：
asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆
数学应试笔记 第16页
特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.
C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1.平移变换
向量平移法则：
()y f x =按,a h k =()平移得()y f x h k =-+，即(),0F x y =按,a h k
=()平移得(),0F x h y k --=，当
0m >时，向右平移，0m <时，向左平移.当0n >时，向上平移，0n <时向下平移.对于“从()y f x =到()y f x h k =-+”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“,a h k
=()”是“左负右正，上正下负”.
【小结】：“按向量平移”的几个结论
①点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移后得到点'
(,)P x h y k ++.
②函数()y f x =的图像C 按向量(,)a h k =平移后得到图像'
C ，则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =-+.
③图像'
C 按向量(,)a h k =平移后得到图像C ，若C 的解析式()y f x =，则'
C 的函数解析式为
()y f x h k =+-.
④曲线C ：(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移后得到图像'C ，则'
C 的方程为(,)0f x h y k --=. ⑤向量(,)m x y =按向量(,)a h k =平移后得到的向量仍然为(,)m x y =.
2.翻折变换
(1)由()y f x =得到|()|y f x =，就是把()y f x =的图像在x 轴下方的部分作关于x 轴对称的图像，即把x 轴下方的部分翻到x 轴上方，而原来x 轴上方的部分不变. (2)由()y f x =得到(||)y f x =，就是把()y f x =的图像在y 轴右边的部分作关于y 轴对称的图像，即把y 轴右边的部分翻到y 轴的左边，而原来y 轴左边的部分去掉，右边的部分不变. 3.伸缩变换
(1)设点(),P x y 是平面直角坐标系内的任意一点，在变换()
()
//0:0x x y y λλ?μμ=>=>???的作用下，点(),P x y 对
应于点()///
,P x y ，函数()f x 在变换()()
//0:0x x y y λλ?μμ=>=>???下得到/
/1y f x μλ=?? ???
(2)将()y f x =的横坐标变为原来的a 倍，纵坐标变为原来的m 倍，得到x y mf a =?? ???
即()///
/
x ax x y f x y mf a y my ===/=???? ????
4.对称变换
d =(a -
(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；
()()轴
y y f x y f x =??→=-
(2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； ()()轴
x y f x y f x =??→=-
(3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； ()()原点
y f x y f x =???→=--
(4)函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.
()()直线y x
y f x x f y ==????→=
(5)函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；
()()直线2x a
y f x y f a x ==????→=-.
【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题
(1) 观察变换前后位置变化：.函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置； 深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一.
(2)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数()0k
y x k x
=+>”及函数()0k y x k x
=+<等）相互转化.
(3)理解等轴双曲线(0,)ax b y c ad bc cx d
+=≠≠+与反比例函数()0k
y k x
=>图像的本质联系.
(4)应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系,理解函数、方程、曲线及不等方程的联系.
(1)x x 2111+
≈+
；x n
x n 111+≈+. (2)(1)1()x x R α
αα+≈+∈；
x x
-≈+111. (3)x e x
+≈1；x x l n ≈+)1(. (4)x x ≈sin （x 为弧度）；x x ≈tan （x 为弧度）；tan arc x x ≈（x 为弧度）.
C 14.大小比较常用方法：
①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； ②作商（常用于分数指数幂的代数式）； ③分析法； ④平方法；
⑤分子（或分母）有理化； ⑥利用函数的单调性；
⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；
⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. C 15.不定项填空题易误知识点拾遗： (1)情况存在的“个数”问题
数学应试笔记 第18页
①空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面＿＿个.（7个）； ②过直线外一点有＿＿个平面与该直线平行（无数个）；
③一直线与一平面斜交，则平面内有＿＿条直线与该直线平行.（0）； ④3条两两相交的直线可以确定＿＿个平面（1个或3个）；
⑤经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有＿＿条（0或1）； ⑥3个平面可以把空间分＿＿个部分.（4或6或7或8）； ⑦两两相交的4条直线最多可以确定＿＿个平面（6个）；
⑧两异面直线成60°，经过空间外一点与它们都成30°（45°，60°，80°）的直线有＿＿条.（1；2；3；4）；
(2)平面与空间的“区分”问题 1.错误的命题
①垂直于同一条直线的两直线平行； ②平行于同一直线的两平面平行； ③平行于同一平面的两直线平行；
④过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；
⑥一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直…… 2.正确的命题
①平行于同一条直线的两条直线平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行；
③两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行； ④两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面…… (3)易误提点：
①0a b ?< 是,a b <>
为钝角的必要非充分条件.
②截距不一定大于零，可为负数，可为零；
③0 常常会是等式不成立的原因，0
模为0，方向和任意向量平行，却不垂直；
④在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”； ⑤直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
C16．关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体
多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … …. D 、13～14，把关题，考点灵活/题型新颖/方法隐蔽 D1.熟知几个重要函数
1.()f x x
b
a x =+
(1) 0,0a b >>时，()f x 为“双钩函数”： ① 定义域：(,0)(0,)-∞+∞ ；值域为(,)-∞+∞ ； ② 奇偶性：奇函数（有对称中心）；
③ 单调性：在区间(,)-∞+∞上单调递增；
在区间[上单调递减. ④ 极值：x =时取到极大值，x =. ⑤ 记住()f x x
b
a x =+(0,0)a
b >>的图像的草图.
⑥ 不等式性质：0x >
时，()f x x
b
a x =+≥；
0x <时，
()f x x
b
a x =+-≤(2) 0,0a
b <>时，()f x 在区间00,（，）（，）-∞+∞上为增函数.
【思考】：图像大致如何分布.
(3)常用地，当1a b ==时，()1
f x x x
=+的特殊性质略. 【探究】：①函数()1
f x x
b
a x =
+
的图像变化趋势怎样？
②()()()22,n n b b f x ax f x ax n x x
*=+=+∈N 的有关性质.
2.(0,)ax b y c
ad bc cx d
+=≠≠+
化简为，ax b y cx d b
a c c d
x c
+==+++
①定义域：(,)(,)d d c c
-∞-+∞ ；值域为a
y c
≠的一切实数； ②奇偶性：不作讨论； ③单调性：当
0b c <时，在区间(,],[,)d d
c c -∞-+∞上单调递增； 当0b c >时，在区间(,],[,)
d d
c c
-∞-+∞上单调递减. ④对称中心是点(,)d a c c
-；
⑤两渐近线：直线d x =-和直线a y =；
【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x 的系数确定.
⑥平移变换：(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+可由反比例函数(0)b
c k y x
=≠图像经过平移得到；
⑦反函数为b dx cx a
y --=；
y
江苏省高中数学知识点大全
数学必修一知识点大全 一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算： 数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具 如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值； （2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。 如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为： ；
二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠； 零指数幂的底数0≠；实际问题有意义； 如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域） （1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是： （2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________
高考数学高考必备知识点总结精华版
高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。
@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
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2013年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为 ． 2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为． 3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为． 4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集． 5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为． 6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第一次第二次第三 次 第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为． 7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为． 8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：
V2=． 9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是． 10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若 =λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为． 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞ 0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为． 14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|=，求证：⊥；
高考数学高考必备知识点总结
高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021
高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
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高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 2016年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2016?江苏）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=______．2．（5分）（2016?江苏）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．3．（5分）（2016?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016?江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是______． 5．（5分）（2016?江苏）函数y=的定义域是______． 6．（5分）（2016?江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______． 7．（5分）（2016?江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016?江苏）已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是______． 9．（5分）（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______． 10．（5分）（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（a＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是______． 11．（5分）（2016?江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是______．12．（5分）（2016?江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是 ______． 13．（5分）（2016?江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，?=4，?=﹣1，则?的值是______． 14．（5分）（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______． 二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣）的值． 2019年高考数学主要考查哪些知识点 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师” 为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是． 9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函 数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ 高考数学常考的100个基础知识点 广州市育才中学 邓军民 整理 1．德摩根公式C U （A ∩B ）= C u A ∪C u B ；B C A C )B A (C U U U =。 2．A ∩B =A ?A ∪B =B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A ∩C U B =φ?C U A ∪B =R 3．card （A ∪B ）=cardA +cardB －card （A ∩B ） 4．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）； ②顶点式f （x ）=a （x －h ）2+k （a ≠0）； ③零点式f （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）。 5．设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2 那么 ?>--? >--0) ()(0)]()()[(21212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是增函数； ?<--? <--0) ()(0)]()()[(2 1212121x x x f x f x f x f x x f （x ）在[a ，b ]上是减函数。 设函数y = f （x ）在某个区间内可导，如果f ′（x ） > 0 ，则f （x ） 为增函数；如果f ′（x ） <0 ，则f （x ） 为减函数。 6．函数y = f （x ） 的图象的对称性: ① 函数y = f （x ） 的图象关于直线x = a 对称? f （a +x ）= f （a －x ）?f （2a －x ）= f （x ）。 7．两个函数图象的对称性： （1）函数y = f （x ）与函数y = f （－x ）的图象关于直线x = 0（即y 轴）对称。 （2）函数y = f （x ） 和y = f －1 （x ） 的图象关于直线y =x 对称。 8．分数指数幂n m n m a a 1 = -（a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 分数指数幂n m n m a 1 a = - （a >0，m ，n ∈N*，且n >1）。 9．log a N=b ?a b =N （a >0，a ≠1，N>0）2016届江苏省高考数学试卷 解析版
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