2011-2012学年度下学期期末考试高二年级文科数学试卷参考答案

2011-2012学年度下学期期末考试高二年级文科数学试卷

参考答案

1-5 CCABB 6-10 BCDBD 11-12 AD

13 2322212S S S S ++= 14 )1,31()1,(?--∞ 15 e 1 16 ),2

1(+∞- 17解：（Ⅰ）

……………………………………3分

（Ⅱ）对数据预处理如下

则01=x ， 4.01=y ∴2322220

54.02.00)2.0()4.0(4.005)4(4.0)2(2.000)32.0()54.0(?-+++-+-??--?+-?+?+?-+?-=∧b 5.11-= 所以11x b y a ?-=∧

∧0)5.11(4.0?--=4.0=

∴1y 对1x 的回归的直线方程为4.05.1111+-=x y

∴4.0)8.11(5.11107+--=-x y

即得y 对x 的回归的直线方程为

1.2435.11+-=x y …………………………………………………………………9分 （Ⅲ）当9.11=x 时，25.106=y 8.111-=x x 4.0-

2.0- 0 2.0 4.0 1071-=y y 5 3 0

2- 4-

即当价格定为9.11元时，预测销售量大约是

106.25kg. …………………………………………………………………………12分 18解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm 的男生的频率为0.0850.4?=，

设男生数为1n ，则1

160.4n =，得140n =.………………………………………4分 由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40.

（Ⅱ）男生身高cm 170≥的人数30405)01.002.004.008.0(=??+++=，女生身高cm 170≥的人数440502.0=??，所以可得到下列列联表：

≥170cm <170cm 总计 男生身高

30 10 40 女生身高

4 36 40 总计 34 46 80

……………………6分

635.657.3446344040)4103630(802

2

>≈????-?=χ，……………………………………7分 所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关；……………………………………8分 （Ⅲ）在170～175cm 之间的男生有16人，女生人数有4人．

按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人. ……………………9分 设男生为1234,,,A A A A ，女生为B .

从5人任选3名有:

123(,,),A A A 124(,,),A A A 12(,,),A A B 134(,,),A A A 13(,,),A A B 14(,,),A A B

234(,,),A A A 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,)A A B ,共10种可能，……………10分 3人中恰好有一名女生有:

12(,,),A A B 13(,,),A A B 14(,,),A A B 23(,,),A A B 24(,,),A A B 34(,,),A A B

共6种可能，………………………11分

故所求概率为

63105

=．…………………………………………12分 19 解：

(Ⅰ))()(x f x f -=- ∴2

211x b ax x b ax ++=++-得0=b 又5

2)21(=f ，代入函数得1=a ∴.1)(2x

x x f += …………4分 (Ⅱ)在)1,1(-上任取两个值21,x x ，且.21x x < 则)

1)(1()1)((11)()(2221212122221121x x x x x x x x x x x f x f ++--=+-+=- ∵1121<<<-x x ∴.1121<<-x x ∴0121>-x x

又01,01,0222121>+>+<-x x x x

∴0)()(21<-x f x f ，∴)()(21x f x f <

∴)(x f 在)1,1(-上是增函数. …………8分

(Ⅲ)由已知得)()()1(x f x f x f -=-<-

∴??

???-<-<<-<-<-x x x x 111111 ∴210<

若()2

14b ac ->，则方程2(1)0a t b t c +-+=有两不同实根设为,αβ，则()(),,x y αα=与()(),,x y ββ=都为原方程组的实数解。与恰有唯一一组实数解答矛盾。 -------6分

若()2

14b ac -<，此时我们来证明原方程组无实数解，不妨设0a >，故对于任意实数,x y 都有22,ax bx c x ay by c y ++>++>，从而有 22ax bx c ay by c x y +++++>+,故不存在实数对(),x y 使原方程组成立。 综上，我们有()2

14b ac -=。 ………………………12 21解：（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2

-=，当),1(+∞∈x ，0)1(2)(2>-='x x x f ， 故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．…………………………………………………2分

（2）)0(2)(2>+='x x

a x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．

若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在

],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ．

若222-<<-a e ，当2a x -=时，0)(='x f ；当2

1a x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e x a ≤<-2时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数．故=min )]([x f )2(a f - 2

)2ln(2a a a --=．…………………………………………………………4分 若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +．

综上可知，当2-≥a 时，)(x f 的最小值为1，相应的x 值为1；当222-<<-a e 时，)(x f 的最小值为2

)2ln(2a a a --，相应的x 值为2a -；当22e a -≤时，)(x f 的最小值为2e a +， 相应的x 值为e ．……………………………………………………………………8分

（3）不等式x a x f )2()(+≤， 可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．

∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x -x x ， 因而x

x x x a ln 22--≥（],1[e x ∈）…………………………………………………………10分 令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2

)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='， 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，

从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数，

故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． …………………12分

22、解（Ⅰ）如图，连接OC ， 因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥．

因为OC 是圆的半径，

所以AB 是圆的切线．……………………3分

（Ⅱ）因为ED 是直径，

所以90ECD ?∠=，所以90E EDC ?∠+∠=，

又90,BCD OCD OCD ODC ?∠+∠=∠=∠，

所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠，

所以BCD ?∽BEC ?， 所以2BC BD BC BD BE BE BC

=?=?，……………5分 2

1tan ==∠EC CD CED ，BCD ?∽BEC ?， 2

1==EC CD BC BD ．………………………7分 设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =?，

所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =．………………9分

所以235OA OB BD OD ==+=+=．……………………10分

23、解：（I ）曲线C 的直角坐标方程为0422=+-y x x

将???

????=+-=t y t x 21232代入上式并整理的012342=+-t t ………………2分 解得32=t ∴ 点T 的坐标为)3,1(

其极坐标为)3,2(π………………4分

（II ）由已知可得直线1l 与x 轴不垂直，设1l 的方程为)1(3-=-x k y ，………6分 即03=-+-k y kx

由（I ）得曲线C 是以)0,2(为圆心，2为半径的圆，

直线1l 被曲线C 截得的线段长为为2，∴圆心到直线1l 的距离为3

∴31|

3|2=++k k ，解得0=k 或3=k ，………………8分

∴直线1l 的直角坐标方程为3=y 或x y 3=

其极坐标方程为3sin =?θρ或3π

θ=)(R ∈ρ………………10分

24解：（I ） 62|2|≤+-a a x ，∴a a x 26|2|-≤-，a a x a 26262-≤-≤-∴

a x a 2

13323-≤≤-∴………………2分 又 不等式6)(≤x f 的解集为}46|{≤≤-x x 所以???????=--=-42

136323a a 解得2-=a ………………4分 （II ）由（I ）得4|22|)(-+=x x f ，由不等式2()(1)5f x k x ≤--得

5)1(4|22|2--≤-+x k x

化简得x k x )1(1|22|2-≤++………………6分

令???----≥+=++=,

1,12,1,321|22|)(x x x x x x g ……8分 )(x g y =的图象如图所示

要使不等式2

()(1)5f x k x ≤--的解集非空

只需212>-k 或112-≤-k ∴实数k 的取值范围是3|{-k 或}0=k ………………10分