统计学原理电子教案下载-样章doc讲解

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第六章 相关与回归分析

教学目的和要求：

①了解相关关系的概念、种类；

②掌握一元线性相关与回归分析的方法。

教学重点：

相关分析的方法和回归分析的方法。在具体应用时要根据给定的数据资料，列示统计计算表，进而据以计算。掌握简捷计算法公式。

教学难点：

理解并掌握有关计算公式和应用条件。

教学方法：基本知识通过案例结合EXCEL 软件演示授课。 授课时数：6学时 基本内容：

第一单元 相关分析

教学目的要求：

理解相关关系的概念、种类 理解相关分析的主要内容 了解相关表和相关图

理解并掌握相关系数的定义、种类、计算、意义及显著性检验

教学重点：

相关关系的概念、种类

相关系数的定义、种类、计算、意义及显著性检验

教学难点：

相关系数的种类、计算、意义及显著性检验

授课时数：2学时

（一）相关关系的概念

1．函数关系

它反映现象之间存在着严格的依存关系，在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一个变量的确定值与之相对应，并且这种关系可以用一个数学表达式反映出来。如：圆的面积与半径之间的关系，即2

R S π=

2．相关关系

它反映现象之间确实存在的，但关系数值不固定的相互依存关系。这一概念表明： （1）相关关系是指现象之间确实存在数量上的相互依存关系。 （2）现象之间数量依存关系的具体关系值不是固定的。 3．相关关系与函数关系的联系 由于有观察或测量误差等原因，函数关系在实际中往往通过相关关系表现出来。在研究相关关系时，又常常要使用函数关系的形式来表现，以便找到相关关系的一般数量表现形式。

（二）相关关系的种类

1.按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。

2.按相关的方向可分为正相关和负相关。

3.按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。

4.按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。

各类相关关系的表现形态如下图所示：

（三）相关分析的主要内容

1．确定现象之间有无相关关系，以及相关关系的表现形式。

2．确定相关关系的密切程度。

3．选择合适的数学模型。

4．测定变量估计值的可靠程度。

5．对计算出的相关系数，进行显著检验。

（四）相关表和相关图

1．相关表

相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。

例1：某地区某企业近8年产品产量与生产费用的相关情况如表1所示：

表1 产品产量与生产费用相关表

从上表可以看出，产品产量与生产费用之间存在一定的正相关关系。

2．相关图

相关图又称散点图，它是将相关表中的观测值在平面直角坐标系中用坐标点描绘出来，以表明相关点的分布状况。通过相关图，可以大致看出两个变量之间有无相关关系以及相关的形态、方向和密切程度。

例2：以表1为例，用EXCEL 绘制相关图如下：

（五）相关系数 1．相关系数的定义

相关系数是用来说明变量之间在直线相关条件下相关关系密切程度和方向的统计分析指标。其定义公式为：

n

y y n

x x n

y y x x r ∑∑∑----=

2

2

)

()()

)((

式中：n 表示数据项数，x 为自变量，y 为因变量。

相关系数公式的涵义理解：

（1）两个变量之间的相关程度和方向，取决于两个变量离差乘积之和

∑--))((y y x x ，当它为0时，r 为0；当它为正时，r 为正；当它为负时，r 为负。

（2）相关程度的大小与计量单位无关。为了消除积差中两个变量原有计量单位的影响，将各变量的离差除以该变量数列的标准差，使之成为相对积差，即y

x

y

y x

x σσ--和

，所以相

关系数是无量纲的数量。 2．相关系数的计算

（1）根据相关系数定义的公式推导得简化公式：

∑∑∑∑∑∑∑-?-?-=

2

2

2

2

)

()(y y n x x n y

x xy n r

例3：以表1为例，用EXCEL 计算相关系数见表2。

表2 相关系数计算表

于是：2

2

8800

1042140084.3654.20788800

4.36454468-??-??-?=

r =0.9697

（2）利用EXCEL 计算相关系数

以表1的资料为例，处理的简要步骤与结果如下：

在EXCEL 主页面中，从[工具]——[数据分析]——[相关关系]进入相关关系窗口做相应处理得以下结果：

产品产量（千吨）

生产费用（千元）

产品产量（千吨） 1

生产费用（万元）

0.969704

1

3．相关系数的意义

相关系数一般可以从正负符号和绝对数值的大小两个层面理解。正负说明现象之间是正相关还是负相关。绝对数值的大小说明两现象之间线性相关的密切程度。

（1）r 的取值在-1到+1之间。

（2）r=+1，为完全正相关；r=-1为完全负相关。表明变量之间为完全线性相关，即函数关系。

（3）r=0，表明两变量无线性相关关系。

（4）r>0,表明变量之间为正相关；r<0，表明变量之间为负相关。

（5）r 的绝对值越接近于1，表明线性相关关系越密切；r 越接近于0，表明线性相关关系越不密切。根据经验可将相关程度分为以下几种情况：

①3.0

以上说明必须建立在相关系数通过显著性检验的基础之上。 4．相关系数的显著性检验

相关系数是根据样本数据计算的，具有一定随机性，能否真实地表现变量总体的相关情况受到随机因素和样本容量大小的影响。故需要对其进行检验。

样本相关系数的检验包括两类检验：

（1）对总体相关系数是否等于0进行检验；

（2）对总体相关系数是否等于某一给定的不为0的数值进行检验。 下面仅介绍对总体相关系数是否等于0的检验。 总体相关系数的检验统计上用t 检验。其步骤如下：

第一步，提出原假设和备择假设。假设样本相关系数r 是抽自具有零相关的总体，即

0H ：ρ=0，1H ：ρ≠0

第二步，规定显著性水平，并依据自由度（n-2）确定临界值 ； 第三步，计算检验0H 的统计量：2

12r

n r T --=

第四步，做出判断。将计算的统计量与临界值对比，若统计量大于或等于临界值，表明变量间线性相关在统计上是显著的，若统计量小于临界值，则说明相关关系在统计上并不显著。

例4：对例3中产品产量与生产费用之间的相关系数检验。 ①提出原假设和备择假设。

0H ：ρ=0，1H ：ρ≠0

②取显著性水平05.0=α，根据自由度62=-n 查t 分布表得

025.02/t t =α=2.4469

③计算检验0H 的统计量：2

2

9697

.01289697.012--=

--=

r

n r T =9.7236

④由于2/αt T >，则拒绝0H ，表明变量间线性相关在统计上是显著的。即产品产量与生产费用之间的相关系数是显著的。

单元小结

1 相关关系是反映现象之间确实存在的，但关系数值不固定的相互依存关系。相关关系的种类：按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关；按相关的方向可分为正相关和负相关；按相关的形式可分为线性相关和非线性相关；按所研究的变量多少可分为单相关、复相关和偏相关。

2相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。相关图又称散点图，它是将相关表中的观测值在平面直角坐标系中用坐标点描绘出来，以表明相关点的分布状况。通过相关图，可以大致看出两个变量之间有无相关关系以及相关的形态、方向和密切程度。

3相关系数是用来说明变量之间在直线相关条件下相关关系密切程度和方向的统计分析指标。其定义公式为：

n

y y n x x n

y y x x r ∑∑∑----=

2

2

)

()()

)((

（1）r 的取值在-1到+1之间。

（2）r=+1，为完全正相关；r=-1为完全负相关。表明变量之间为完全线性相关，即函数关系。

（3）r=0，表明两变量无线性相关关系。

（4）r>0,表明变量之间为正相关；r<0，表明变量之间为负相关。

（5）r 的绝对值越接近于1，表明线性相关关系越密切；r 越接近于0，表明线性相关关系越不密切。根据经验可将相关程度分为以下几种情况：

①3.0

习题布置：

见《统计学原理习题集》第八章 第70页，朱胜主编，中国统计出版社

第二单元 一元线性回归（一）

教学目的要求：

理解并掌握回归分析的概念、回归分析的特点

一元线性回归模型的确定、参数a 、b 的最小二乘估计

教学重点：

一元线性回归模型的确定、参数a 、b 的最小二乘估计

教学难点：

一元线性回归模型参数a 、b 的最小二乘估计 授课时数：2学时

（一）回归分析的概念和特点

1．回归分析的概念

回归分析就是对具有相关关系的变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便于进行估计或预测的统计方法。

2．回归分析的特点

（1）在变量之间，必须根据研究目的具体确定哪些是自变量，哪个是因变量。

（2）回归方程的作用在于，在给定自变量的数值情况下来估计因变量的可能值。一个回归方程只能做一种推算。推算的结果表明变量之间具体的变动关系。

（3）直线回归方程中，自变量的系数为回归系数。回归系数的符号为正时，表示正相关；回归系数的符号为负时，表示负相关。

（4）确定回归方程时，只要求因变量是随机的，而自变量是给定的数值。 3．回归分析的类型

（1）按回归变量的个数不同可以分为一元回归分析和多元回归分析。 （2）按回归的形式不同可以分为线性回归分析和非线性回归分析。 （二）一元线性回归分析 1．一元线性回归模型的确定

设有两个变量x 和y ，变量y 的取值随变量x 取值的变化而变化，我们称y 为因变量，

x 为自变量；反之亦然。一般来说，对于具有线性相关关系的两个变量，可以用一条直线方

程来表示它们之间的关系，即：

y 倚 x 回归方程：bx a y c +=

x 倚 y 回归方程：dy c x c +=

上述模型中，c c x y 和为回归估计值；c a 和是两条直线的截距，d b 和是两条直线的回归系数。d c b a ,,,都是待定参数，通常采用最小平方法计算。

2．参数a 、b 的最小二乘估计

就y 倚 x 回归方程来讲，参数a 、b 的最小二乘估计的基本原理是：要使配合的方程

bx a y c +=最能概括反映观察值的变化规律。所配合直线模型使得离差的平方和为最小，

即

∑=-2

)

(c

y y 最小值的a 、b 值。

令∑∑--=-=

22

)()

(),(bx a y y y b a Q c

要使函数),(b a Q 有极小值，则必须满足函数对参数a 、b 的一阶偏导等于0

??????

?=??=??00b

Q a

Q

即 ， ????

?=---=---∑∑0

))((20

)1)((2x bx a y bx a y 整理得标准方程组：?????+=+=∑∑∑∑∑2

x

b x a xy x

b na y

解该方程组得： ?

??

?

???-=-=?-=--=∑∑∑∑∑∑∑x b y n x b n y a y x xy x x n y x xy n b 22

2)(σ

其中，xy =

n

xy ∑

例5：仍以表1的资料，建立一元线性回归模型。

根据表2的计算数据代入参数a 、b 的最小二乘估计方程。

=-??-?=

2

4.3654.20788800

4.36454468b 128.9599 8

4

.369599.12888800?

-=a =513.2323 一元线性回归模型为：x y c 9599.1282323.513+=

以上模型表明：产品产量每增加1千吨，生产费用平均增加128.9599千元。

单元小结

1 回归分析就是对具有相关关系的变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相

关的数学表达式，以便于进行估计或预测的统计方法。回归分析的类型：按回归变量的个数不同可以分为一元回归分析和多元回归分析；按回归的形式不同可以分为线性回归分析和非线性回归分析。

2一元线性回归模型：

一般来说，对于具有线性相关关系的两个变量，可以用一条直线方程来表示它们之间的关系，即：bx a y c +=

?

??

????-=-=?-=--=∑∑∑∑∑∑∑x b y n x b n y a y x xy x x n y x xy n b 22

2)(σ

习题布置

见《统计学原理习题集》第八章 第70页，朱胜主编，中国统计出版社

第三单元 一元线性回归（二）

教学目的要求：

理解并掌握线性关系的显著性检验； 理解并掌握回归系数的显著性检验 了解一元线性回归问题的EXCEL 处理 理解并掌握回归预测

教学重点：

线性关系的显著性检验； 回归系数的显著性检验 理解并掌握回归预测

教学难点：

线性关系的显著性检验； 回归系数的显著性检验

授课时数：2学时

3．回归方程的显著性检验

对于回归方程进行显著性检验基于以下两点： 第一，在根据样本数据拟合回归方程时，我们首先假设变量x 与y 之间存在着线性关系，但这种假设是否成立？就必须通过检验才能证实；

第二，样本回归方程bx a y c +=中的a 、b 是对总体回归方程中参数βα和的最小二

乘估计值，样本回归系数b 能否作为总体回归系数β的估计值，还需要对总体回归系数β的显著性进行检验。

回归方程的检验一般包括两个方面的内容：一是线性关系的检验；二是回归系数的检验。 （1）线性关系的检验

具体方法是将回归离差平方和（SSR ）同剩余离差平方和（SSE ）加以比较，应用F 检验来分析二者之间的差别是否显著。检验的具体步骤如下：

第一步，提出假设。

0H ：β=0，1H ：β≠0

第二步，计算检验统计量F 。

∑∑---=

-=)

2/()(1/)()

2/(1/n y y y y n SSE SSR F c

c 可以证明，在原假设成立的情况下，F 统计量服从F 分布，第一自由度为1，第二自由度为2-n ，即F~F （1，2-n ）。

第三步，确定显著性水平以及临界值F 。 确定显著性水平α（通常α=0.05）。

依据α和两个自由度1f 、2f 查F 分布表可得相应的临界值αF 。 第四步，做出判断。

如果F >αF ，拒绝原假设0H ，表明回归效果显著；反之，则接受原假设，表明线性回归方程的回归效果不显著。

例6：以表1的资料为例，对其回归模型作F 检验。F 检验计算表见表3所示。 表3 一元线性回归模型F 检验计算表

①提出假设。假设线性关系不显著。即

0H ：β=0

②计算检验统计量F 。

∑∑---=

)2/()(1/)(n y y y y F c

c =6

/653.4424209.697157=94.54547

③确定显著性水平以及临界值F 。

设α=0.05，1f =1，2f =2-n =6，查F 分布得临界值99.5)6,1(05.0=F ④做出判断。

由于F=94.54547>99.5)6,1(05.0=F ，所以拒绝原假设0H ，表明回归效果显著。 （2）回归系数的检验

回归系数的检验就是检验自变量对因变量的影响程度是否显著的问题。即总体回归系数

β是否等于零。其检验步骤如下：

第一步，提出假设。假设样本是从一个没有线性关系的总体中选出，即

0H ：β=0，1H ：β≠0

第二步，计算检验的统计量T 值。

b S b T /=

其中：b S 是回归系数b 的标准差，y S 是估计标准误差。计算公式如下：

2

2

)

(2

2

---=

--=∑∑∑∑n xy b y a y

n y y S c

y

∑-=

2

2

)

(x x S S y

b

第三步，确定显著性水平α（通常α=0.05），并根据自由度2-=n f 查t 分布表得相应的临界值2/αt 。

第四步，做出判断。若2/αt t >，拒绝0H ，回归系数b=0的可能性小于5%，表明两个变量之间存在线性关系；反之，表明两个变量之间不存在线性关系。 例6：以表1为例，对回归模型做回归系数检验。 ①提出假设。

0H ：β=0，1H ：β≠0

②计算检验的统计量T 值。

2

)(2

--=

∑n y

y S c

y =

6

653

.44242=85.87

∑

-=2

2)(x x S S y

b =92.4187.852=13.26277 于是，b S b T /==128.9599/13.26277=9.72345

③取显著性水平α=0.05，并根据自由度2-=n f =6，查t 分布表得相应的临界值

4469.2025.02/==t t α。

④由于T =9.72345>4469.2025.02/==t t α，拒绝0H ，表明样本回归系数是显著的，生产费用与产品产量之间确实存在着线性关系，产品产量是影响生产费用的显著因素。

4．一元线性回归问题的EXCEL 处理

以表1的资料为例，处理的简要步骤与结果如下：

在EXCEL 主页面中，从[工具]——[数据分析]——[回归]进入回归分析的窗口做相应处理得如下图所示结果。

由上图可知：相关系数R=0.9697，F 检验回归方程显著，t 检验回归系数P 值小于0.05，说明回归系数是显著的，于是有可预测的回归方程：x y c 96.128232.513+=。

5．回归预测

在对一元线性回归模型检验其显著性之后，就可以利用该模型进行预测。所谓预测，就是当自变量x 取一个值0x 时，估计y 的取值。一般有点预测和区间预测两种，而点预测的结果往往与实际结果有偏差，所以，我们通常用区间预测来估计因变量值的可能范围。

在小样本情况下（n<30），通常用t 分布进行预测。当给定置信水平α-1时，0y 值的预测区间为：

∑--++--2202/0)()(11)2(x x x x n S n t y y

c α≤0y ≤∑--++-+2

202/0)

()(11)2(x x x x n S n t y y c α 在大样本情况下（n>30），则根据正态分布原理预测，当给定置信水平α-1时，0y 值

的预测区间为：

{}y c y c S y y S y P +≤≤-000=68.27% {}y c y c S y y S y P 22000+≤≤-=95.45% {}y c y c S y y S y P 33000+≤≤-=99.73%

例7：以表1所建的回归方程为例，取0x =10千吨，试计算生产费用在95%的预测区间。 解：根据前例计算结果知x y c 9599.1282323.513+=，=y S 85.87，

4469.2025.02/==t t α。

取0x =10千吨时，根据回归方程得：

0c y =513.2323+128.9599×10= 1802.83（千元）

于是，0y 值的预测区间为： 1802.83±2.4469×85.8792

.417

.29811+

+ 即，1518.32≤0y ≤2087.35

以上预测区间说明，我们可以95%的概率保证，当产量为10千吨时，生产费用在1518.32到2087.35千元之间。

单元小结

1.回归方程的检验一般包括两个方面的内容：一是线性关系的检验；二是回归系数的检验 检验步骤①提出假设。假设线性关系不显著。

②计算检验统计量F 。

③确定显著性水平以及临界值F 。 ④做出判断。

2.回归预测

对一元线性回归模型检验其显著性之后，就可以利用该模型进行预测。所谓预测，就是当自变量x 取一个值0x 时，估计y 的取值。一般有点预测和区间预测两种，而点预测的结果往往与实际结果有偏差，所以，我们通常用区间预测来估计因变量值的可能范围。

习题布置

见《统计学原理习题集》第八章 第70页，朱胜主编，中国统计出版社

本章小结

1.相关关系是反映现象之间确实存在的，但关系数值不固定的相互依存关系。相关关系的种类：按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关；按相关的方向可分为正相关和负相关；按相关的形式可分为线性相关和非线性相关；按所研究的变量多少可分为单相关、

复相关和偏相关。

2.相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。将某一变量按其取值的大小排列，然后再将与其相关的另一变量的对应值平行排列，便可得到简单的相关表。相关图又称散点图，它是将相关表中的观测值在平面直角坐标系中用坐标点描绘出来，以表明相关点的分布状况。通过相关图，可以大致看出两个变量之间有无相关关系以及相关的形态、方向和密切程度。

3.相关系数是用来说明变量之间在直线相关条件下相关关系密切程度和方向的统计分析指标。其定义公式为：

n

y y n x x n

y y x x r ∑∑∑----=

2

2

)

()()

)((

（1）r 的取值在-1到+1之间。

（2）r=+1，为完全正相关；r=-1为完全负相关。表明变量之间为完全线性相关，即函数关系。

（3）r=0，表明两变量无线性相关关系。

（4）r>0,表明变量之间为正相关；r<0，表明变量之间为负相关。

（5）r 的绝对值越接近于1，表明线性相关关系越密切；r 越接近于0，表明线性相关关系越不密切。根据经验可将相关程度分为以下几种情况：

①3.0

4.回归分析就是对具有相关关系的变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便于进行估计或预测的统计方法。回归分析的类型：按回归变量的个数不同可以分为一元回归分析和多元回归分析；按回归的形式不同可以分为线性回归分析和非线性回归分析。

5.一元线性回归模型：

一般来说，对于具有线性相关关系的两个变量，可以用一条直线方程来表示它们之间的关系，即：bx a y c +=

?

??

????-=-=?-=--=∑∑∑∑∑∑∑x b y n x b n y a y x xy x x n y x xy n b 22

2)(σ

6.回归方程的检验

一般包括两个方面的内容：一是线性关系的检验；二是回归系数的检验 检验步骤①提出假设。假设线性关系不显著。

②计算检验统计量F。

③确定显著性水平以及临界值F。

④做出判断。

7.回归预测

对一元线性回归模型检验其显著性之后，就可以利用该模型进行预测。所谓预测，就是当自变量x取一个值0x时，估计y的取值。一般有点预测和区间预测两种，而点预测的结果往往与实际结果有偏差，所以，我们通常用区间预测来估计因变量值的可能范围。

本章习题布置

见《统计学原理习题集》第八章第70页，朱胜主编，中国统计出版社

参考书目：

[1] 黄良文主编，《统计学原理》，中国统计出版社，1999。

[2] 李洁明、祁新娥著，《统计学原理》，复旦大学出版社，2002。

[3] 袁卫等编著，《统计学》，中国统计出版社，2004。

[4] 朱胜主编，《统计学原理》，中国统计出版社，2002。

[5] 粟方忠主编，《统计学原理》，东北财经大学出版社，2002。