2013年高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测试 新人教B版

2013年高考数学总复习 2-3 函数的奇偶性与周期性但因为测

试新人教B版

1.(2010·北京西城区抽检)下列各函数中，()是R上的偶函数()

A．y＝x2－2x B．y＝2x

C．y＝cos2x D．y＝

1 |x|－1

[答案] C

[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.

2．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)的值等于()

A．－1 B.11 4

C．1 D．－11 4

[答案] A

[解析]f(2)＝22－3＝1，又f(x)是奇函数，

∴f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.

(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋m(m为常数)，则f(－1)的值为()

A．－3 B．－1

C．1 D．3

[答案] A

[解析]∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1.

∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝21＋2×1－1＝3，

f(－1)＝－f(1)＝－3.

3．(文)(2011·济南模拟)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2011)的值为()

A．a B．－a

C．0 D．2a

[答案] B

[解析]∵f(x)周期为3，

∴f(2011)＝f(670×3＋1)＝f(1)，

∵f(x)为奇函数，f(－1)＝a，

∴f(1)＝－a，故选B.

(理)(2011·兰州诊断、河北三校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝

－1

f x ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( ) A ．4.5 B ．－4.5 C ．0.5 D ．－0.5

[答案] D

[解析] ∵f (x ＋2)＝－1f x ，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1

f x ＋2 ＝f (x )，∴f (x )周期为4，∴f (6.5)

＝f (6.5－8)＝f (－1.5)＝f (1.5)＝1.5－2＝－0.5.

4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )

[答案] C

[解析] 函数f (x )＝ln(x ＋1)的图象由f (x )＝ln x 的图象向左平移1个单位得到，选取x >0的部分，然后作关于y 轴的对称图形即得．

(理)

(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )

A ．y ＝x 2＋1

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝?

????

2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0

D ．y ＝?

????

e x

，x ≥0

e －x ，x <0

[答案] C

[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．

5．(2011·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝

1

－f x ，则f (2010)的值为( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3 D ．－3－ 3

[答案] A

[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1

－f x ＋3

＝

1

－－1f x ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6. f (2010)＝f (335×6)＝f (6)，而f (6)＝f (3＋3)＝－1f 3＝－1

2－3

＝－2－ 3.

6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4的所有x 之和为( )

A ．－92

B ．－72

C ．－8

D ．8

[答案] C

[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1

x ＋4

)

∴f (|2x |)＝f (|x ＋1

x ＋4

|)

又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1

x ＋4

|， 即2x ＝

x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1

x ＋4

整理得2x 2

＋7x －1＝0或2x 2

＋9x ＋1＝0

设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－9

2

)＝－8.

(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 12

3)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )

A ．c

B ．b

C ．b

D ．a

[答案] C

[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．

∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，

∴|log 12

3|>|log 47|>|0.20.6|.

又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b

7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.

[答案] 0

[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2

＋1＝0.

(理)(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f x g x 的解集是________．

[答案] ????－π3，0∪???

?π

3，π

[解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，

∵f x g x <0，∴??? f x <0g x >0，或???

f x >0

g x <0

，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3

3

8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. [答案] π

6

[解析] ∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)． ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2cos ???

?

3x ＋φ＋π3.

f (x )＋f ′(x )是奇函数?φ＋π3＝k π＋π

2(k ∈Z)，

即φ＝k π＋π

6

(k ∈Z)．

又∵0<φ<π，∴k ＝0时，φ＝π

6

.

9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (1

2

)＝0，则满足f (log 14 x )<0的

集合为________．

[答案] (0，1

2

)∪(2，＋∞)

[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－1

2，

∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14

x <－1

2

，

∴0

2

或x >2.

10．(文)已知函数f (x )＝1－4

2a x ＋a (a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数．

(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的值域；

(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围．

[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0. 即1－

4

2×a 0

＋a

＝0， 解得a ＝2.

(2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y ，

由2x

>0知1＋y 1－y

>0，

∴－1

－2即为t ·2x －t 2x ＋1

≥2x

－2.

即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x

＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．

∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．

∴?

????

12

－t ＋1 ×1＋t －2≤022－t ＋1 ×2＋t －2≤0，解得t ≥0. (理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)．

(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当a ＝0时，f (x )＝1

x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；

当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2， f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1

x 22

＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 2

1

x 21x 22

＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2

x 21x 22

)．

∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2

在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<

227，∴a ≥2

27

.

11.(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )

A ．1

B ．4

C ．3

D ．2 [答案] B

[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，

故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．

12．(2011·开封调研)已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )

A.12 B ．1 C.32 D ．2

[答案] C

[分析] 为求f (3)先求f (1)，为求f (1)先在f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)中，令x ＝－1，利用f (x )为奇函数，可解出f (1)．

[解析] 令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)， ∴f (1)＝12f (2)＝12，∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝3

2

.

[点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用，请再练习下题：

若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ????

32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12

[答案] C

[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ????32＝f ????－3

2＋f (3)，∴f (x )是奇函数，且

f (3)＝1，

∴f ????32＝1

2.

13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1

，则a 的取值范围是( )

A ．a <－1或a ≥2

3

B ．a <－1

C ．－1

3

D ．a ≤2

3

[答案] C

[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，

则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1－1解得，－1

3

.

(理)(2011·新方一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A ．f (－25)

B ．f (80)

C ．f (11)

D ．f (－25)

[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，

∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，

∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，

∴f (－1)

14．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1

2对称，则f (1)＋

f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.

[答案] 0

[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝1

2对称，

∴f ????12＋x ＝f ????12－x ，对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )＝f (1－x )，又f (x )为奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－f (1＋x ) ＝f (－1－x )＝f (2＋x )，

∴周期T ＝2 ∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝0 又f (1)与f (0)关于x ＝1

2对称

∴f (1)＝0 ∴f (3)＝f (5)＝0 填0.

(理)若函数f (x )＝a －e

x

1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．

[答案] 1或－1

[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1

e x ＋a

f (x )＋f (－x )

＝a －e x a ＋e x ＋1＋ae x a e x －1 1＋ae x e x ＋a

＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x

－11＋ae x e x ＋a ＝0恒成立，

所以a ＝1或－1.

15．已知函数f (x )＝e x

－e －x

(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；

(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； ∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x

为增函数，y ＝－1e x 为增函数，∴f (x )为增函数．

(2)∵f (x －t )＋f (x 2

－t 2

)≥0，∴f (x 2

－t 2

)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )，

∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x .

由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－1

4.

∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－1

2

故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2

)≥0对一切实数x 都成立．

16．(2010·泉州模拟)已知函数f (x )＝log a 1－mx

x －1(a >0且a ≠1)是奇函数．

(1)求m 的值；

(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；

(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．

[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内， 令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，

任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1

x 2－1，

∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2 x 2－x 1x 1－1 x 2－1 ，

∵x 1>1，x 2>1，x 10，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1

x 2－1，

∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1

x 2－1

， 即f (x 1)>f (x 2)；

当0

x 2－1

，即f (x 1)

∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当01，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.

1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )

A ．1005个

B ．1006个

C ．2009个

D ．2011个

[答案] D

[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．

2．(2010·杭州模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )

A ．(－∞，2)

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(2，＋∞) [答案] B

[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，由f (x )

得f (|x |)

3．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x

)

D ．f (x )＝ln 2－x

2＋x

[答案] D

[解析] y ＝sin x 与y ＝ln

2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12

(a x ＋a －x

)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.

4．(2010·安徽理，4)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

[答案] A

[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A. 5．定义两种运算：a ?b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2?x x ⊕2 －2( )

A ．是偶函数

B．是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数[答案] B

[解析]f(x)＝4－x2

|x－2|－2

，

∵x2≤4，∴－2≤x≤2，

又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．

则f(x)＝4－x2

－x

，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.

6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为()

A．2 B．0

C．－2 D．±2

[答案] A

[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，

又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，

∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，

∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.