近世代数期末考试试卷及答案

近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。

A 、{}a

B 、{}e a ,

C 、{}3,a e

D 、{}3

,,a a e

2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群

A 、G 为整数集合,*为加法

B 、G 为偶数集合,*为加法

C 、G 为有理数集合,*为加法

D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3

σ

是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),

3

σ

=

(1324),则3

σ

=( )

A 、1

B 、1σ2σ

C 、2

D 、2σ1σ

5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G

中的元素a

的阶等于

50,则4

a

的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。

7、α叫做域

F

的一个代数元,如果存在

F

的-----

n

a a a ,,,10 使得

10=+++n

n a a a α

α 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素,

对任何A

x ∈均成立x

a

x = ,则称a 为---------。

9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群,如果满足G 对于乘法封闭;结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群,则P 是----------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群,H 是G 的子群,H={I,(1 2)},写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合,“?”是数的乘法,则“?”是E 中的运算,(E ,?)是一个代数系统,问(E ,?)是不是群,为什么?

3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、若是群,则对于任意的a 、b ∈G ,必有惟一的x ∈G 使得a*x =b 。 2、设m 是一个正整数,利用m 定义整数集Z 上的二元关系:a ?b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题三

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A 、2阶 B 、3 阶 C 、4 阶 D 、 6 阶

2、设G 是群,G 有( )个元素,则不能肯定G 是交换群。 A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个

3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A 、偶数

B 、奇数

C 、4的倍数

D 、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格( )

A 、(N,≤)

B 、(Z,≥)

C 、({2,3,4,6,12},|(整除关系))

D 、 (P(A),?)

5、设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有( )

A 、(1),(123),(132)

B 、12),(13),(23)

C 、(1),(123)

D 、S3中的所有元素

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。

2、如果

f

是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则

()[]=-a f f

1

----------。

3、区间[1,2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是-------。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。

5、环Z 8的零因子有 -----------------------。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数----------。

7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的-----------。 9、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e

a

n

=,那么m 与n 存在整除关系为--------。

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?

2、S 1,S 2是A 的子环,则S 1∩S 2也是子环。S 1+S 2也是子环吗?

3、设有置换)

1245)(1345(=σ,

6

)456)(234(S ∈=τ。

1.求στ和σ

τ

-1

2.确定置换στ和σ

τ

-1

的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群,证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

一、单项选择题。

1、C ;

2、D ;

3、B ;

4、C ;

5、D ;

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。

1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--;

2、单位元;

3、交换环;

4、整数环;

5、变换群;

6、同构;

7、零、-a ;

8、S=I 或S=R ;

9、域; 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、解:把σ和τ写成不相杂轮换的乘积:

)

8)(247)(1653(=σ )

6)(57)(48)(123(=τ

可知σ为奇置换,τ为偶置换。 σ和τ可以写成如下对换的乘积:

)

27)(24)(16)(15)(13(=σ )

57)(48)(12)(13(=τ

2、解:设A 是任意方阵,令)

(2

1A A B '+=

)

(2

1A A C '-=

,则B 是对称矩阵,

而C 是反对称矩阵,且C

B A +=。若令有1

1C B A

+=,这里1B 和1C 分别为对称

矩阵和反对称矩阵,则C

C B B

-=-11,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称

矩阵,于是两边必须都等于0,即:1

B B =,1

C C

=,所以,表示法唯一。

3、答:(

m

M

m

+)不是群,因为

m

M

中有两个不同的单位元素0和m 。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、对于G 中任意元x ,y ,由于e

xy =2

)(,所以yx

x

y

xy xy

===---1

1

1

)

((对每

个x ,从e

x

=2

可得1

-=x

x

)。

2、证明在F 里

)

0,,(1

1

≠∈=

=--b R b a b

a a b

ab

有意义,作F

的子集)

0,,(≠∈??????

=-

b R b a b a Q 所有

-

Q

显然是R 的一个商域 证毕。

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。

1、C;

2、D;

3、B;

4、B;

5、A;

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。

1、变换群;

2、交换环;

3、25;

4、模n乘余类加群;

5、{2};

6、一一映射;

7、不都等于零的元;

8、右单位元;

9、消去律成立;10、交换环;

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、解:H的3个右陪集为:{I,(1 2)},{(1 2 3 ),(1 3)},{(1 3 2 ),(2 3 )} H的3个左陪集为:{I,(1 2)} ,{(1 2 3 ),(2 3)},{(1 3 2 ),(1 3 )}

2、答:(E,?)不是群,因为(E,?)中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。列以下算式:

a=b+102

b=3×102+85

102=1×85+17

由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代:17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.

所以 p=4, q=-5.

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)

1、证明设e是群的幺元。令x=a-1*b,则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b。所以,x=a-1*b是a*x=b的解。

若x'∈G也是a*x=b的解,则x'=e*x'=(a-1*a)*x'=a-1*(a*x')=a-1*b=x。所以,x=a-1*b是a*x=b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a,称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时,Z2仅含2个元:[0]与[1]。

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1、C ;

2、C ;

3、D ;

4、D ;

5、A ;

二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1、唯一、唯一;

2、a ;

3、2;

4、24;

5、;

6、相等;

7、商群;

8、特征;

9、

n

m ;

三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)

1、解 在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,…等等,可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2:

因为S1,S2是A 的子环,故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 , 因而a-b, ab ∈S1∩S2 ,所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例:

3、解: 1.

)

56)(1243(=στ,

)

16524(1

=στ-;

2.两个都是偶置换。

四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、证明:假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想,那么a 0≠

∈μ

,由理想的定

μ

∈=-11

a a

,因而R 的任意元μ

∈?=1b b

这就是说μ=R ,证毕。

2、证 必要性:将b 代入即可得。 充分性:利用结合律作以下运算: ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e , ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e , 所以b=a-1。

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算,2)不是代数运算. 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n. 3. 解例如AοB=E与AοB=AB—A—B. 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1)略 2)例如规定 4.

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射,但非满射和单射;2)是双射,但不是自同构映射3)是自同态映射,但非满射和单射.4)是双射,但非自同构映射. 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是.因为不满足对称性;2)不是.因为不满足传递性; 3)是等价关系;4)是等价关系. 3. 解 3)每个元素是一个类,4)整个实数集作成一个类. 4. 则易知此关系不满足反身性,但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系,此外任何二有理数都不符合关系).5. 6.证 1)略2) 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1.群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子. 2.群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一; 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一: 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G). 4)有限半群作成群?两个消去律成立. 二、释疑解难 有资料指出,群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以下四种: 1)教材中的定义方法.简称为“左左定义法”; 2)把左单位元换成有单位元,把左逆元换成右逆元(其余不动〕.简称为“右右定义法”; 3)不分左右,把单位元和逆元都规定成双边的,此简称为“双边定义法”; 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G).此简称为“方程定义法”. “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异,不再多说.“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立,而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的,多了一层手续

近世代数期末考试试卷及答案Word版

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ= (1324),则 3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

近世代数期末考试试卷与答案

一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设 G 有 6 个元素的循环群, a 是生成元,则 G 的子集()是子群。 A、a B、 a , e 33 C、 e, a D、 e, a , a 2、下面的代数系统( G, * )中,()不是群 A、G为整数集合, * 为加法 B、G为偶数集合, * 为加法 C、G为有理数集合, * 为加法 D、G为有理数集合, * 为乘法 3、在自然数集 N 上,下列哪种运算是可结合的?() A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、 3 是三个置换,其中 1 =(12)(23)(13),2 =(24)(14),3=( 1324),则3=() A、2 B 、12 D 、2 1 12C 、2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群,它()。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题,每空 3 分,共 30 分) 请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环。 4 3、已知群G中的元素a的阶等于 50,则a的阶等于 ------。 4、a 的阶若是一个有限整数n,那么 G与-------同构。 5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么 A∩B=----- 。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。 7 、叫做域F的一个代数元,如果存在F的----- a 0 , a1 , , a n使得 n a 0 a 1 a n0 。

多所高校近世代数期末考试题库[]

多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》 习题答案与解答

引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足:,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足: I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足: I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律:.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义: 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),= ,3(1324),则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。,,

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近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 C、7????D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说 A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ) A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有---------。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。 3、环得乘法一般不交换。如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。 4、偶数环就就是---------得子环。 5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。 8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。 9、一个除环得中心就就是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环,F就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G有6个元素得循环群,a就就是生成元,则G得子集( )就就是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*)中,( )不就就是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( c )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( D )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( B ) A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( A )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---{2}--。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为----双射-------------。

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一.概念解释 1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想 7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元 二.判断题 1.Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。 2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。 4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。 5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是: 1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。 7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。 9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。 10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。 11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。 12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 ( ) 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ?也为G 的子群。 ( ) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 ( ) 三.证明题 1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2.设G=(a )是循环群,证明:当∞=a 时,G=(a )与整数加群同构。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整 数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C -1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S={(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ={1,-1,i,-i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b =a +b -3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换σ和τ分别为:??? ???=6417352812345678σ,? ? ? ???=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

《近世代数》模拟试题及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元(). A. 0 B. 1 C. -1 D. 1/n,n是整数 2、下列说法不正确的是(). A . G只包含一个元g,乘法是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是(). A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. -1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是()。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题(每题10分,共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求中G 中下列各个元素1213, ,0101c d cd ?? ??== ? ?-????, 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗?若是,请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

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世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射:x→x+2,x∈R,则是从A到B的( c ) A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有( d )个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解是(b )乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数(c ) A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的(d ) A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换和分别为:,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积: 可知为奇置换,为偶置换。和可以写成如下对换的乘积: 2解:设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:,,所以,表示法唯一。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。 2、证明在F里 有意义,作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集(c )是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统(G,*)中,(d )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?( b ) A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=(b )

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题 一、判断题(在括号里打上 √ 或 ? ) 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中,若右消去律成立,则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中,逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群,环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态,则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中,元素(123)的阶为 ,(123)的逆元为 ,(123) 所生成的子群在3S 中的指数为 ,该子群是否3S 的不变子群? 。 2、环Z 6的全部零因子是 ,全部可逆元是 。 3、在环Z 10中,[6]+[7]= ,[6][7]= ,[6]-[7]= ,[6]3= , [7]-1= 。 三、证明:(1)若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . (2)若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . (3)在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明:设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环,证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群,证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z+)中,下列那个是单位元(). A. 0 B. 1 C. -1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是(). A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是(). A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是(). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. -1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是()。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题(每题10 分,共30 分) 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群,试求中G中下列各个元素c ,cd , 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45 分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题

多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打,错的打“X” ;每小题1分,共10 分) 1、设A与B都是非空集合,那么A_. B」xx?A且B:。() 2、设A、B、D都是非空集合,则A B到D的每个映射都叫作二元运算。() 3、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f」。() 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的,贝U G与整数加群同构。() 5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。() 6、近世代数中,群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。() 7、如果环R的阶_2,那么R的单位元1-0。 () 8若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。() 9、F(x)中满足条件p(「)=0的多项式叫做元[在域F上的极小多项式。() 10、若域E的特征是无限大,那么E含有一个与%p)同构的子域,这里Z是整数环,(p )是由素数p生成的主理想。() 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号 内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设A,A2,…,A n和D都是非空集合,而f是A1 A2… A n到D的一个映射,那么() ①集合A,A2,…,A n,D中两两都不相同;② A1,A2/ , A n的次序不能调换; ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同; ④一个元a1,a2,…,a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算() ①在整数集Z上,a °b = —b;②在有理数集Q上,a°b = Jab ; ab 、 ③在正实数集R*上,a ^b=alnb:④在集合{n^Zn^。}上,a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算,其中a ^max:a,b?(即取a与b中的最大者),那么?在Z中() ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:a ^a b k,这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是() ①0和-x ;②1和0 ;③k和x-2k ;④-k和-(x 2k)。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」,acx =xac,那么x=() ① bc J a 4;② c °a ';③ a J bc J;④ b 'ca。 6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH }。如果6,那么G的阶G =() ①6;②24;③10 ;④12。 7、设f :G1 > G2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是() ①f的同态核是G1的不变子群;②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群;③G1的子群的象是G2的子群;④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射,f(a)二b,那么下列错误的结论为() ①若a是零元,则b是零元;②若a是单位元,则b是单位元; ③若a不是零因子,则b不是零因子;④若R2是不交换的,则R1不交换。 9、下列正确的命题是() ①欧氏环一定是唯一分解环;②主理想环必是欧氏环; ③唯一分解环必是主理想环;④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么() ①E:I = E:I I :F ;② F:E=I:FE:I ; ③ I:…E:FF:I ;④ E:…E:II:F。

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