含参数集合问题
含参数集合练习
1.设集合{}{}22|320,|220A x x x B x x ax =-+==-+=,若A B ?,求实数a 的取
值集合.
2. 设A=}012{},082{222=-++==--a ax x x B x x x ，若B B A = ,求实数
a 的取值集合。
3、设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，集合B ＝{x |x <－1或x >5}，分别就下列条件求实数a 的取值范围：
(1)A ∩B ≠?，(2)A ∩B ＝A .
4．设全集R U =，集合A =}31|{<≤
-x x ，B =}242|{-≥-x x x 。
（1）求()U C A B ?；
（2）若集合D =}02|{>+a
x x ,满足B D D ?=，求实数a 的取值范围；
5．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．
(1)若A ?B ，求a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝{x |3 解含参集合问题的几个注意点 同学们在集合学习中，由于对有关概念 、知识理解不深，经常出现某些模糊认识，特别在解含有参数问题时往往顾此失彼，造成失误．笔者根据以往教学经验，提醒同学们在解含参集合题时，必须注意以下几点： 1．注意空集的特殊作用 例1 已知集合A={x ∣2x +（a +2）x +1=0, x R ∈}．B={x ∣x >0}, 若φ=B A ，求a 的取值范围． 解析：由φ=B A 知，A 中的元素为非正数，即方程 2x +（a +2）x +1=0只有非正数解． ∴ ()???≥+≥-+=?0 20422a a 解得 0≥a 实际上,这个结果是不完整的，上述解法只注意到Ａ为非空解集，当Ａ为空集时，仍满足φ=B A ． 当Ａ=φ时，()0422 <-+=?a ，解得－4＜a ＜０， 综上可得 ： a ＞－4 评注：空集是任何非空集合的子集，且A φφ= ， A =φ A.， 在解有关含有参数的集合题时，忽视了空集的特殊性，就会造成解题解结果的残缺不全． ２．注意题中的隐含条件 例２设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值． 错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５?Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝ ２，或a ＝－４． 分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ?Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９?Ｓ，不符合题意；故a ＝２． 评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件． ３．注意端点值的舍取 集合中含参的问题 1、已知{}53<<-=x x A ，{}a x x B <=，若满足B A ?，则实数a 的取值范围为________。 2、已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若满足A B ?，则实数m 的取值范围为________。 3、已知集合{}0232≤+-=x x x A ，{} a x x B ≤≤=1，且φ≠B .若A 是B 的真子集，则实数a 的取值范围为________若A B ?，则实数a 的取值范围为________。 4、已知集合{}，0232=+-=x x x A 且集合{}， 02=-=mx x B 若A B ?，则实数m 的取值范围为________。 5、已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,0232，若集合A 中不含任何元素，则实数a 的取值范围为________；若集合A 中只有一个元素，则实数a =_____；若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围为________。 6、设集合A={x|2420,x x a x R +-+=∈} （1）、当A 中有两个元素时，求a 的取值范围. （2）、当A 中没有元素时，求a 的取值范围. （3）、当A 中有且仅有一个元素，求a 的取值范围. 7、已知集合{}220A x x x =-=，集合{ }2220B x x ax a a =-+-=，x R ∈. （1）若A B B = ,求实数a 的值； （2）若A B B = ，求实数a 的取值范围. 8、已知集合A={x|2x -2x-8≤0}，集合B={x|2x -（2m-3）x+(3)m m -≤0，m ∈R}， （Ⅰ）若A ∩B=[2，4]，求实数m 的值； （Ⅱ）设全集为R ，若A ??R B ，求实数m 的取值范围． 9、已知集合{}220A x x x a =+->， (1)A R =,求实数a 的取值范围. (2)若[)1,B =+∞,A B A = ，求实数a 的取值范围. 10、已知集合A={222(1)(1)0y y a a y a a -++++>}，B={}215,0322 y y x x x = -+≤≤ （1）若A ∩B φ=，求实数a 的取值范围. （2）当a 取使不等式21()x ax x R +≥∈恒成立的a 的最小值时，求（?R A ）∩B. 第二周含参集合分类讨论问题 重点知识梳理 1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是： (1)明确讨论的对象； (2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则： ①分类应按同一标准进行； ②分类应当没有遗漏； ③分类应是没有重复的； (3)逐类讨论，分级进行； (4)归纳并作出结论． 3．集合中引起分类讨论的原因： (1)由元素的特性引起的讨论； (2)由空集引起的讨论； (3)由方程的有解性引起的讨论． 典型例题剖析 例1同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合． 【解析】按集合M中元素个数分类讨论： M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}； M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}； M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}； M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}； M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}， 所以适合条件的集合M共有7个． 变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}， 高中数学题型分析系列：集合含参问题 （一）特别注意：空集为任何集合的子集，因此在考虑集合之间的基本关系时第一考虑集合是否为空集（这里的空集存在于含参集合） （1）φφ=≠???=B B A B A B A 或 （2）φφ=≠???=B B A B B B A 或 （二）、针对集合中各种问题，下面进行图像展示（这里先规定处理集合含参问题一定从绘制数轴图像开始） （1）φφ=≠???=B B A B A B A 或 ，φφ=≠???=B B A B B B A 或 ，图像如下： （2）φ?φφφφφφφ≠≠=≠=≠≠≠?=B A B A A B A B B A ,,或且或且或或 图像如下： （3）R B A = ，图像如下： 解题步骤： 步骤一、处理含参数集合问题，规定首先考虑含参数集合为空集（将不等式两边数字大小互换就好，利用假设法处理是否可以取等号） 步骤二、在考虑集合之间的基本关系时，在这里约定用数轴将集合B A ,的具体情况绘制在数轴上，并在数轴上按照从左到右的顺序依次写出参数的大小关系，并用花括号表示出来（注意不要遗漏），并解出不等式组，得到结果。 注意：①同一个花括号下求交集，不同情况（分类讨论）的结果求并集 ②对于等号能否取到可以带特值验算 ③若φ=A 取等号，则φ≠A 不能取等号，反之亦然 典型例题教学 典例1、已知集合{}3+≤≤=a x a x A {}51-><=x x x B 或，{}53><=x x x C 或 （1）若A B =?，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围. （3）若R C A = ,求a 的取值范围 解析：因为则又,,φφ≠=B B A ①φ=A 满足，②φ≠A ，但B A 与无共同元素 解：（1）①当φ≠A 时，知道3+>a a ，无解，故φ≠A ②当φ≠A 时，用图像可以表示为 得到：?? ???≤++≤-≥5331a a a a ，即：12a -≤≤，故a 的取值范围为[]21-, （2）①当φ=A 时，有3+>a a ，知a 无解，故φ≠A ②当φ≠A 时，有以下两种情况其图像可以表示为： 1） 得到：? ??-<++≤133a a a ，解得4- 含参、分类讨论 1、解不等式：04)22(2>++-x a ax 2、已知m mx x x f 22)(2+-=（)R m ∈，若当]1,2[-∈x ，3)(-≥x f 恒成立，则实数m 的取值范围为 3、已知关于x 的方程043)4(9=+++x x a 有解，则则实数a 的取值范围为 4、已知二次函数)(x f =12+-x x ，在区间]1,1[-上)(x f y =的图象恒在m x y +=2图象的上方，求实数m 的范围 5、若函数)34lg()(2++=mx mx x f 定义域为R ，则实数m 的取值范围 ；若值域为R ，则实数m 的取值范围为 6、若存在正数x ，使1)(2<-a x x 成立，则实数a 的取值范围为 7、若函数2)(-=x a x f 恒有)())((x f x f f <，则实数a 的取值范围是_________． 8、已知函数()()2log 2f x x =+与()()21g x x a =-+，若对任意的[)12,6x ∈，都存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是_________． 9、已知函数563)(2--=x x x f ，若对于任意的]2,1[∈a ，关于x 的不等式b a x a x x f +++-≤)62()(2在区间[]3,1上恒成立，则实数b 的取值范围为 10、对一切正实数t x ,，不等式t x a x t 9sin cos 42-≥-都成立，求a 的取值范围 11、已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （1）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围 12、设a 为实数，函数2 ()1f x x x a =+-+，x ∈R ．（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求()f x 的最小值． 13 ）若，求实数a 的值； 上是减函数，且对任意的1x ，[]21,1x a ∈+， 14、已知函数9()||f x x a a x =-- +，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性； (2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a 含参集合分类讨论问题 重点知识梳理 1．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 2．用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是： (1)明确讨论的对象； (2)进行合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则： ①分类应按同一标准进行； ②分类应当没有遗漏； ③分类应是没有重复的； (3)逐类讨论，分级进行； (4)归纳并作出结论． 3．集合中引起分类讨论的原因： (1)由元素的特性引起的讨论； (2)由空集引起的讨论； (3)由方程的有解性引起的讨论． 典型例题剖析 例1同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则(6－a)∈M的非空集合M有多少个？并写出这些集合． 【解析】按集合M中元素个数分类讨论： M中只有1个元素时，若3∈M，则6－a＝6－3＝3∈M，所以M＝{3}； M中有2个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,5}，M＝{2,4}； M中有3个元素时，满足条件的M有2个：M＝{1,3,5}，M＝{2,3,4}； M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：M＝{1,2,4,5}； M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：M＝{1,2,3,4,5}， 所以适合条件的集合M共有7个． 变式训练已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】∵M∩N＝{－3}，∴－3∈N＝{a－3,2a－1，a2＋1}， 若a－3＝－3，则a＝0，此时M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1，1}，则M∩N＝{－3,1}， 故不适合． 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，M∩N＝{－3}， 满足题意． 若a2＋1＝－3，此方程无实数解． 故选A. 【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想，分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性． 例2已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．【解析】A＝{0，－4}． ①B＝?时，Δ＝a2－4a<0，即0 常见的分类讨论问题解题策略 （仅供教师参考） 许多数学问题由于受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，范围的不同，性质的不同等，不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理，这就需要我们对所研究的对象进行分类，然后进行讨论． 分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略．在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚，刻画得十分准确．在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用． 有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样、综合性强，对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用． ▲引起分类讨论的因素： （1）涉及的数学概念是分类定义的； （2）涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的； （3）涉及题中所给的限制条件或研究对象的性质而引起的； （4）涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的； （5）涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的； （6）一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．在解题中，我们要明确分类的原因是什么？对象是什么？掌握好分类的原则，这被称之为逻辑划分．同时，我们有要把握好分类讨论的时机，重视分类讨论的合理性和完整性． ▲分类讨论的基本原则： （1）按引起讨论的原因分类； （2）不重复、不遗漏； 即每一类均是定义域的真子集，任何两类的交集为空集，所有各类的并集为定义域； （3）每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的； （4）分类应是最少的． 1 2 ▲分类讨论的基本步骤： （1）确定讨论对象和研究的全域范围； （2）按照科学的分类原则进行分类； （3）逐类进行讨论； （4）归纳总结讨论的结果． 每当我们努力解决一个非常复杂的问题时，如果能出现一个非常惊人的转折：它把这各个复杂的问题分解为若干的部分，通过简单的方法就能轻而易举的解决了，这就是我们平时所讲的真正的一种数学美．它展现了“建筑”结构上的“优美”，又让你体验了人类在追求的完美的目标，即数学的“简洁美”，清晰易懂和不失数学的严格性．因为人类学习数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界． 下面就根据不同的分类原则，举例说明： 一．按元素存在的不确定性进行分类讨论 例1：已知非空集合( {} ,log 0,0,1a M x y y t a a = -+=>≠且， (){} 2 2,3N x y x y = +=，当M N =?时，求t 得取值范围． 解：设圆心()0,0到直 线 l o g 0a y t -+=的距离为d ， 则M N d =?? d = > 当1a >时，log 3a t >，故3t a >或30t a -<<； 当01a <<时，3t a ->或30t a <<． 点评：本题根据对数中底数的定义及性质进行分类，解决了不等式解的问题． 例2：已知函 数()c o s 2 3s i n c o s 2f x a x a x x a b =--++的定义域为 0,2π?? ???? ，值域为[]5,1-，求常数,a b 的值． 精品文档 精品文档 含参导数问题常见的分类讨论 学生 1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论: 例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2): (2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围. 2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论: 例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性; （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()()1f x f x x x ->--。 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2 (1)()x f x x -'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。 故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 （iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分 （2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+= -+-+， 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 含参导数问题常见的分类讨论 学生 1.求导后,需要判断导数等于零是否有实根,从而引发讨论: 例1.(11全国Ⅱ文21)已知函数f(x)=x 3+3ax 2+(3-6a)x+12a-4 (a ∈R). (1)证明:曲线y=f(x)在x=0处的切线过点(2,2): (2)若f(x)在x=x 0处取得极小值,x 0∈(1,3),求a 的取值范围. 2.求导后,需要比较导数等于零的不同实根的大小,从而引发讨论: 例2.(09辽理)已知函数f(x)=0.5x 2-ax+(a-1)lnx,a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性; （2）证明：若5a <，则对任意x 1，x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有 1212 ()()1f x f x x x ->--。 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，211(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分 （i ）若11a -=，即a=2，则2 (1)()x f x x -'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。 （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。 故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 （iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。 -----------------6分 （2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+= -+-+， 则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212 ()()1f x f x x x ->--； 当120x x <<时，有12211221 ()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---。----------------12分 含参函数单调性的分类讨论问题 一、含参函数单调性讨论步骤 1.求定义域； 2.求导数； 3.数轴标根； 4.判断导数正负； 5.确定函数的单调性（单调区间）. 二、常见含参函数的形式分类 1.一次函数形式 ?? ???→-=→>→-=→<→+=单调区间数轴标根单调区间数轴标根(0(0)(k b x k k b x k b kx x f 2.二次函数形式 ) )(()()(212x x x x a x f c bx ax x f --='→→++=因式分解??? ?????????→<>→>→→<→→=?→→<>→=→单调区间或比较两根大小单调区间数轴标根单调区间数轴标根不能判断或一次函数讨论形式讨论参数)(0000002121x x x x a a a 3.指数函数形式（含x e ）???→++='→++='→→=根据参数分类讨论根据参数分类讨论因式分解的式子含))(()())(()()()(c bx a e x f c e b e a x f e x f x x x x 题型一一次函数型 例1.1讨论函数ax x x f -=ln )(的单调性.【解析】 练1.1已知函数x a ax x x f )12(ln )(2 +++=，讨论)(x f 的单调性.【解析】 题型二二次函数型 例2.1设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈，讨论()f x 的单调性. 【解析】由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x -=-=>①当0a 时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减. ②当0a >时，令()0f x '=，有 x =，当x ∈时，()'0f x <；当)x ∈+∞ 时，()'0f x >，故()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.解含参集合问题的几个注意点
集合中含参的问题
含参集合分类讨论问题
高中数学题型分析系列：集合含参问题
含参问题
高中数学 含参集合分类讨论问题
常见的分类讨论问题解题策略
含参导数问题常见的分类讨论上课讲义
含参导数问题常见的分类讨论
专题 含参函数单调性的分类讨论问题