向量在轴上的射影的应用
向量在轴上的射影的应用
新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。 课本中（高中第二册（下B ））对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。
对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）
已知向量→
--AB 和轴l ，→
e 是l 上与l 同方向的单位向量（如图）。作点A 在l 上的射影A /
，作点B 在l 上的射影B /
，则→
--/
/B A 叫做向量→--AB 在轴l 上或→
e 方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式：
→
→→→→--==e a
b a AB B A ,cos /
/
（一）求点到平面的距离：
如图，点P 为平面ABC 外一点，设向量→
a ⊥平面ABC ，则显然斜线段PA （或PB 、
PC ）确定的向量→
--PA （或→
--PB 、→
--PC ）在→
a 上的射影的绝对值就是点P 到平面ABC 的距离。利用这一事实，我们可以将点P 到平面ABC 的距离问题，转化为先求平面ABC 的法
向量→
a 的单位向量→
e ，然后求→--PA 在向量→e 算上的射影→
→e a ，它的绝对值即是点P 到平
面ABC 的距离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。
【例1】已正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则B （4，0，0），G （0，0，2），
E （4，－2，0），
F （2，－4，0）；∴→
--GE =（4，―2，―2），→
--GF =（2，―4，―2），→
--BE =（0，－2，0）。
A /
B /
A
B
l
?
?
设→
a ⊥平面GEF ，则显然→
a 不与z 轴垂直，故可设→
a =（x ，y ，1），
则由→
a ⊥平面GEF 0224=--=?⊥?→
--→→--→y x GE
a
GE a
同理有：0242=--=?⊥→
--→
→
--→
y x GF a GF a
解之得：3
1=
x ，3
1-
=y 。故→
a =??
?
??-
1,31
,3
1，和它同方向的单位向量为()3,1,111
1-=
→
e 。
显然，→
--BE 在→
e 上的射影的绝对值即点B 到平面GEF 的距离d 。 ∴点B 到平面GEF 的距离是：
()
()
11
1123,1,111
10,2,0=
--==→
→
--e BE
d
【例2】如图，△ABC 是正三角形，AA 1、CC 1都垂直于平面ABC ，且AA 1=CC 1=AB=a ，E 为CC 1的中点，求点C 到平面A 1BE 的距离。
解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则有
??
?
?
y
B ???
?
?
?-
0,2,2
3a
a ，A 1（0，－a ，a ）
，E ??? ??
2,0,0a ，C （0，0，0） ∴→
--B A 1=????
?
?
-a a
a ,2,23，→--EB =???
? ?
?--2,2,2
3a a
a ，→
--CE =??
?
??2,0,0a 。 设→
a ⊥平面A 1BE ，则显然→
a 不与z 轴垂直，故可设→
a =（x ，y ，1），
则由→
a ⊥平面A 1BE 02
2311=-+
=
?⊥?→
--→→--→a y a x a B A a
B A a
同理有：02
2
2
3=--
?
⊥→
--→a y a x a EB a
解之得：2
3=
x ，21
=y 。故→
a =???
?
??1,21,23，和它同方向的单位向量为
(
)
2,1,32
21=
→
e 。
显然，→--CE 在→
e 上的射影的绝对值即点C 到平面A 1BE 的距离d 。 ∴点B 到平面A 1BE 的距离是：
(
)
4
22,1,32
212,0,0a a e CE
d =
?
?? ?
?
==→
→
--。
二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离：
利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论：
1、如图，要求直线l 到与它平行的平面α的距离，只需求出平面的单位法向量→
e ，然后
分别在直线和平面上任找一点A 和B ，则→
--AB 在上→
e 的射影的绝对值就是直线到平面的距
离d ，由射影计算公式立即可得：→
→
--=e AB d
2、类似地，要求两平行平面α、β之间的距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点A 、B ，求出→
--AB 在平面α（或平面β）的法向量→
a 上的射影，利用上述公式，立即得
?
?
?
?
出两个平行平面α、β之间的距离。
【例3】在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为有向直线A 1B 和AC 上的点，且A 1M = x A 1B, AN = x AC （x ≠1）求证：(1)MN ∥平面BB 1C 1C 。
(2)求MN 到平面BB 1C 1C 的距离。
证明：（1）如图，∵A 1B = AC ，∴ A 1M = AN ，
∴→
---→
---=B A x M A 11，→
--→
--=AC x AN
()→
--→--→
--→
--→
--→
--→
---→
--→
--+-=++=++=BC
x BB x AC x A A BA x AN
A A MA MN 111111 C
C BB MN C
C BB MN 1111?→
--C C BB MN 11??
??
（2）建立如图所示的直角坐标系D —xyz ，易得A 1（1，0，1），B （1，1，0）
)1,,1(11x x M B A x M A -?=→
---→
---,∴()x x BM --=→
--1,1,0。而平面BB 1C 1C 的单位法向量
为()0,1,0=→j ，故MN 到平面BB 1C 1C 的距离即→--BM 在→
j 上的射影的绝对值，故所求距离为：
x j BM
d -==→
→
--1
【例4】如图， ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点。
（1）求证：平面PMN ∥平面QRS ； （2）求平面PMN 与平面QRS 间的距离。 解答： （1）略；
（2）建立如图所示的直角坐标系D —xyz ，则A 1（a ，0，a ），C(0，a ，0),R ??
?
??0,,2a a
，∴ 平面 ∥平面 ∥平面
?
M ??? ?
?
2,0,a a 。易得()a a a C A --=→
--,,1为平面MPN 和QRS 的法向量，和它同方向的的单位
向量是()1,1,131
--=
→
e ，
两平行平面PMN 和QRS 间的距离即向量???
??-=→
--2,,2a a a RM 在→
e 上的射影的绝对值。即：
a e RM
d 3
32=
=→
→
--
三、求两条异面直线间的距离：
如图，直线a 和b 是两条异面直线 现在我们来求它们之间的距离。 过直线a 引平面α与b 平行，则问题转化为求直线a 和与它平行的平面α之间的距离。
在直线a 和b 上分别引向量→
a 和→
b ，利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论：
首先求出平面α垂的单位法向量（即与→
a 和→
b 垂直的单位向量→
e ），然后在直线a 和b
上任取两点A 和B ，求出→
--AB 在→
e 上的射影，它的绝对值即是两条异面直线a 与b 的距离。
【例5】如图，在长方体AC 1中，AB= a ，BC= b ，AA 1= c
求异面直线A 1C 与BD 之间的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系D —xyz ，
则D （0，0，0），B （b ，a ，0），C （0，a ，0）， A 1（b ，0，c ），
∴→
--DB =（b ，a ，0），→
--C A 1=（－b ，a ，－c ）。
=→
--CB （b ，0，0）
设→
--→
⊥DB a ，→
--→
⊥C A a 1，则显然→
a 与A 1C 和DB 的公垂线平行，面B 、C 分别位于两条异面直线
A 1C 和D
B 上，故→
--CB 在→
a 上的射影的绝对值即两异面直线A 1C 和DB 间的距离。显然，→
a
不与z 轴垂直，故可设=（x ，y ，1），由→
--→
⊥DB a 和→
--→
⊥C A a 1可得：?
??=-+-=+00c ay bx ay bx
?
y
解之得：???
????
=-=a c y b
c x 22 故有??? ??-=→
1,2,2a c b c a ，和它同方向的单位向量为：
()
2
2
2
2
2
2
42,,b
a c
b
c a ab bc ac e ++-=
→
，所求距离为：2
2
2
2
2
2
4b
a c
b
c a abc
e CB d ++=
=→
→--
【例6】如图，设△ABC 是边长为24的正三角形，PC ⊥平面ABC ，PC=2，E 、D 分别为BC 、AB 的中点，求PE 和CD 的距离。
解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则P （0，0，2），E ()
0,22,0，如右图，可求得CD=62，DH=
6，CH=23，∴D
(
)
0,23,6，故有：
()2,22,0-=→
--PE ，(
)
0,23,6=
→
--CD 。
设→
--→
⊥PE a ，且→
--→
⊥CD a ，它的坐标为=→
a （x ，y ，z ），则显然有?????=+=-0
2360
222y x z y 解之得：(
)
y y y a 2,,3-
=→，它的一个单位向量
为???
?
?
?-
=→
31,
6
1,
2
1e 。 又由前面的解法知：()2,0,0=→
--CP 在上的射影的绝对值就是两条异面直线PE 和CD 间
的距离，即3
32=
=→
→
--e CP
d 。
此外，利用向量在轴上的射影，我们还可以解决以下问题：
①求点到直线的距离：即先求这一点到直线上任意一点的向量在这条直线上的射影，再使用勾股定理即可解；
?y
y
?
②求两条平行线间的距离：即先在这两条直线各任取两点，求出由这两点所确定的向量在其中一条直线上的射影，最后使用勾股定理求解；
③求直线和平面间的夹角：即先使用向量求出直线上任意一点到平面的距离，再使用直角三角形中的正弦之定义，即可解决直线与平面的夹角问题，还可以得到相关公式，即向
量→
--AB 与平面α的夹角满足：→
--→
→
--=
AB
e
AB
αsin ，（→
e 为平面α的单位法向量）
④求二面角的大小：只需求出二面角的两个半平面的单位法向量→
1e 和→
2e ，则利用公式
→
→
→
→
=2121,cos e e e e 求出两向量→1e 、→
2e 的夹角，显然，二面角与其或其补角相等，计算
时视其实际情况而定。（说明：→
1e 在→
2e 上的射影即→
→
21e e ），总之，向量在轴上的射影以及单位向量的应用，远不止这些。比如，将其用在平面几何的有关计算与证明中，有时也会起到奇效，有兴趣者不妨一试。
???
b5向量在轴上的射影的应用
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 向量在轴上的射影的应用 四川省汶川县威州中学校 邓炜 新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。 课本中（高中第二册（下B ））对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。 对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33） 已知向量→--AB 和轴l ，→ e 是l 上与l 同方向的单位向量（如图）。作点A 在l 上的射影A / ，作点B 在l 上的射影B / ，则 →--/ /B A 叫做向量→--AB 在轴l 上或→ e 方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式： → →→→→--==e a b a AB B A ,cos / / （一）求点到平面的距离： 如图，点P 为平面ABC 外一点，设向量→ a ⊥平面ABC ，则显然斜线段PA （或PB 、PC ）确定的向量→ --PA （或→ --PB 、→ --PC ）在→ a 上的射影的绝对值就是点P 到平面ABC 的距离。利用这一事实，我们可以将点P 到平面ABC 的距离问题，转化为先求平面ABC 的法向量→ a 的单位向量→ e ，然后求→--PA 在向量→e 算上的射影→ →e a ，它的绝对值即是点P 到平面ABC 的距 离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。 【例1】已正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是边 AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。 解：建立如图所示的直角坐标系C —xyz ，则B （4，0，0），G （0，0，2）， E （4，－2，0），F （2，－4，0）；∴→--GE =（4，―2，―2），→--GF =（2，―4，―2），→ --BE =（0，－2，0）。 设→ a ⊥平面GEF ，则显然→ a 不与z 轴垂直，故可设→ a =（x ，y ，1）， 则由→ a ⊥平面GEF 0224=--=?⊥?→ --→ →--→y x GE a GE a 同理有：0242=--=?⊥→ --→ → --→ y x GF a GF a ?A / B / A B l ??
向量投影之妙用
向 量 投 影 之 妙 用 贵州省玉屏民族(高级)中学55400 敖复文 在高一下的数学课本中，向量的投影是这样定义的： ,||||cos ||cos . || a b b b a a b a b a b b a θθθθ== 如果与的夹角为那么||cos 叫做在方向上的投影, 由得投影 如图1，OC 就OB 在OA 方向上的投影，当02πθ≤<时，投影为正；当2 π θ=， 投影为零；当2 π θπ<≤，投影为负。即投影是一个数量，而不是向量。投影的 应用在课本上几乎没有介绍，但是投影的应用非常重要，如在平常的教学中重视之，则在高考解题中会收到奇效，它的应用主要表现如下几个方面： 一． 求点到平面的距离 例1 在三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=1， 求点P 到平面ABC 的距离。 解：如图 ○ 2 ○ 1
,,,(0,0,1),1),1).(,,1),0,0,,22PA PB PC PA PB PC AB PB PA AC PC PA n x y n AB n AC x y n ====-=-=-=-===== 设以O 为坐标原点以为坐标轴建立空间直角坐标系,则设平面ABC 的法向量为由得 故(22 |cos 2||P ABC PA n PA n PA n θ=∴=== 点到平面的距离即为在方向上的投影 | 二． 求直线与平面的夹角 例2 如图○3所示，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E 是CD 边的中点， 以AE 为折痕将三角形DAE 向上折起，使D 为M ，平面MAE ⊥平面 ABCM ，求直线AC 与平面ABM 所成角的大小。 A B
投影在向量问题中的妙用
投影在向量问题中的妙用 在人教版高中数学课本必修4《第二章 平面向量》中给出了数量积和投影的概念，如果能够透彻理解并运用投影概念解决问题，会使一些问题变得非常简单。下面我们将举例说明，看例题之前先把握一下概念：OA ·OB =cos OA OB AOB 贩 ，我们把cos OA AOB 沸叫做OA 在OB 方向上的投影。它的几何意义为线段OA 在OB 上的射影长度或射影长度的相反数。即过Ａ点作AN ^OB 于N 。当AOB D为锐角时，投影即ON 长度；当AOB D为钝角时，投影即ON 长度的相反数。于是，OA ·OB =OA 在OB 方向上的投影′OB . 例1、在ABC ?中，C=900 ，CB=3,点M 满足BM =2MA ，则CM ?CB = 解析：CM ? CB =CM ·CB · cosMCB.注意到ＣＭ、DMCB 都是可变的，要分别求出 来是很困难的。那么，只能把CM ·cosMCB 作为一个整体来处理。而CM ·cosMCB 不就是CM 在CB 方向上的投影吗。过M 点作MN ^BC 于N,CM 在CB 方向上的投影即CN.则 CM ?CB =CN ?CB=1′3=3. A N 例1 例2、 如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=2，DBAD=600 ，E 为BC 边的中点，F 为 平行四边形内（包括边界）一动点，则AE AF ·的最大值为 。 解析：AF 、FAE ∠均为变量，要作成函数来求最值有一定的困难。而如果利用投影概念解 Ｃ O A
决可能会有意想不到的收获。AE AF ·=cos AE AF EAF ??∠=AF 在AE 方向上的投影 ?AE ≤AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AG AE ?，而AG 求起来又有一定困难，而如果 对投影能够透彻理解的话，逆向推回去回收到意想不到的效果。AG AE ?＝AC 在AE 方向上的投影AE ?＝AC AE ?＝（A B B C +）12AB BC ? ? ?+ ?? ? ＝223122AB BC BC AB +?+＝９＋ 92＋２＝31 2 ． 河北省雄县中学高级教师 周新华
射影和投影的区别
射影和投影的区别 1、投影 从初中数学的角度来说（可参见人教网九年级下册电子课本第二十九章投影与视图），一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（Projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（Parallel projection).由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（Center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。 2、射影 所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。 3、向量中摄影和投影的区别 1）概念比较 ①人教A版：（—2.4.1）已知两个非零向量与，我们把数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即，其中是与 的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）。 ②人教B版：（—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作。
2）概念异同 ①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。 ②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，求法是相同的。 2、射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[ 任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： △ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 a=b·cosC+c·cosB， b=c·cosA+a·cosC， c=a·cosB+b·cosA。 注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
ArcGIS投影转换不重叠或不匹配问题解决方案
ArcGIS投影转换不重叠或不匹配问题解决方案（良心原创） Mr.Chen 2015/9 注意，这里讲的主要是将带坐标的txt文件或excel等文件转换成矢量（点、线、面）遇到的投影转换不重叠问题。如果已经存在了两幅数据（栅格或矢量），它们具有相同的椭球和投影，但是仍然不重叠，那是配准问题，这里不做解释。 实践中，我们往往都会遇到这样的情况：外业测绘或者用GPS获取的坐标数据导入ArcGIS 后，经过投影转换却与已有的具有相同椭球和投影的数据不重叠问题。这是什么原因？其实很简单，只要稍加注意就可以避免。 一般外业测绘或GPS在获取坐标时都用的是自己的一套坐标体系。外业测绘一般是大地坐标（米/千米）。GPS一般是地理坐标（经纬度）。以GPS获取的坐标数据为例。其X和Y坐标一般形如116.8, 36.9。拿到记录该坐标的txt文件或excel文件，我们一看就知道这是地理坐标（经纬度）。但是往往我们可能要把这些记录地物的坐标与已存在的具有某个椭球和投影的矢量或栅格数据匹配，比如，叠加到行政区上。假设此时该行政区数据使用的椭球是WGS1984，投影是Beijing1954（一种大地坐标）。很多人，都会将ArcGIS数据框的默认投影直接修改成该投影（椭球WGS1984，投影Beijing1954）或者转换时在选择投影类型时直接选择该投影。导致不重叠就是错在这一步上面！要知道文件中记录的坐标是地理坐标，如果将数据框或者转换时将投影直接设置成行政区的投影坐标，就意味着坐标文件中记录的116.8和36.9变成了以米或千米为单位的大地坐标 (这和遥感图像处理时，将图像另存，得到的并不是原图像的DN值，而是保存前该图像DN值对应的RGB值被保存作为保存后图像的DN值，然后再次导入时转换成的新的RGB值)[1]，此时，无论你怎么通过ArcCatalog 或ArcMap中的ArcToolbox进行坐标定义和转换，都是在那个错误坐标基础上进行转换，结果注定还是错误。就上面的情况解决方案有两种： 方法一.在导入数据前，设置ArcGIS数据框的默认投影类型。一定只选地理坐标（Geographic Coordinate Systems）,因为GPS获得的坐标数据都是WGS1984的地理坐标。然后输出保存。重新打开一个ArcMap，在ArcToolbox中的Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Feature——>Project中选择Projected Coordinate Systems，找到Beijing1954，转换完成。 方法二．在导入数据时，不进行任何数据框或投影的选择。然后重新打开ArcMap，先通过Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Define Projection给数据定义投影WGS1984 (Geographic Coordinate Systems)。然后再通过上述方法（Data Management Tools—>Projections and Transformations——>Feature——>Project）进行投影转换。一定要分两步进行，不能在Define Projection中直接将投影定义成：椭球WGS1984，投影Beijing1954。否则和[1]的错误一模一样。 另外还有外业测绘获取的大地坐标，都是一个道理。最重要的是记住：在将txt或excel 格式的坐标文件导入ArcGIS转换成矢量数据时，首先一定要知道，该坐标是地理坐标还是大地坐标？确定后，还要确定该坐标用的是哪个类型的椭球和哪种投影坐标，如WGS1984椭球，ITRF1988椭球，Beijing 1954投影坐标，Xian 1980投影坐标等等，其椭球参数和
向量与坐标
第一章向量与坐标 &1.1向量的概念 &1.2向量的加法 &1.3数量乘向量 &1.4向量的线性关系与向量的分解 &1.5标架与坐标 &1.6向量在轴上的射影 &1.7两向量的数量积 &1.8两向量的向量积 &1.9三向量的混合积 &1.10三向量的双重向量积 第一章向量与坐标 &1.1向量的概念 定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。 向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度。向量AB与a的模分别记作︱A B︳与︱a︳ 模等于1的向量叫做单位向量，与向量a具有同一方向的单位向量叫做向量a单位向量常用a0来表示 模等于0的向量叫做零向量记作0，它的起点与终点重合的向量，零向量的方向不定，不是零向量的响量叫做非零向量 定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么就叫相等向量，所有零向量都相等，向量a与b相等，记作a＝b 始点可以任意选取，而模和方向决定的向量，这样的向量通常叫做自由向量 *必须注意，由于向量不仅有大小，而且有方向，因此，模相等的向量不一定相等，因此他们的方向可能不同 定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量，向量a的反向量记作-a 定.义1.14平行于同一直线的一组向量叫做共线向量，零向量与任何共线的向量组共线 定义1.1.5平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面 &1.2向量的加法 定义1.2.1设已知向量a,b，以空间任意一点O为始点接连作向量OA＝a,AB＝b得一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的向量OB＝c，叫
做两向量a与b的和，记作c＝a+b,求两向量a与b的和a+b的运算叫做向量加法 定理1.2.1如果以两个向量OA，OB为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量OC=OA+OB，这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律 1》交换律 a+b=b+a 2》结合律（a+b）+c=a+（b+c） 3》a+0=a 4》a+（-a）=0 自任意点O开始，依次引OA1=a1,A1A2=a2,…A n-1A n+1=a n,由此得一折线OA1A2A n，于是向量OA n=a就是n个向量a1a2…a n,的和： a=a1+a2+…+a n 即OA n=OA1+A1A2+…+A n-1A n 特别地当A n与O重合时它们的和为零向量0，这种求和方法叫做多边形法则 定义1.2.2当向量b与向量c的和等于向量a，即b+c=a时，我们把向量c叫做向量a与b的差，并记作c=a-b,有两向量a与b求它们的差a-b的运算叫做向量减法 &1.3数量乘向量 定义1.3.1实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa,它的模是|λa|=|λ||a|λa的方向，当λ＞0时与a相同，当λ＜0时与a相反。我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘 已知向量a和它的单位向量a0,下面的等式显然成立 a=|a|a0或a0=a／|a| 由此可知，一个非零向量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位向量 定理1.3.1数量与向量的乘法满足下面的运算定律 1》 1·a=a; 2》 结合律λ（μ）=（λμ）a 3》 第一分配律（λ+μ）a=λa+μa 4》 第二分配律λ（a+b）=λa+λb 这里a,b为向量，λ，μ为任意实数
平面向量注意的几个问题
平面向量注意的几个问题（二轮） 一、向量加、减法的几何意义 二、共线（平行）的作用 三、向量的坐标运算 学会建立坐标系，转化为坐标运算。特别是动点问题！ 四、向量的数量积及其几何意义 —— 一个向量在另一个向量上的投影。 练习： 一、填空选择： 1、（崇明县2016届高三二模）矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且 1AP =．若AP AB AD λμ=+ (,)R λμ∈，则23λμ+的最大值是 ． 2、（奉贤区2016届高三二模）已知△ABC 中，2AB = ， 3AC = ，0AB AC ?< ，且 △ABC 的面积为3 2 ， 则BAC ∠= ． 3、（虹口区2016届高三三模）在锐角ABC ?中,60,B =?2,AB AC -= 则AB AC ? 的 取值范围为 ( ) （A ）（0， 12） （B ）1,124?? -???? （C ）(]0,4 （D ） (] 0,2 4、（浦东新区2016届高三三模）已知2a = ，3b = ，且a ，b 的夹角为3 π ，则32a b -= 5、（杨浦区2016届高三三模）如图，已知AB AC ⊥，3AB =，3AC =，圆A 是以A 为圆心、半径为1的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为2的圆，设点P 、Q 分别为圆A 、圆B 上的动点，且12 AP BQ = ，则CP CQ ? 的取值范围是 6、（黄浦区2016届高三二模）已知菱形ABCD ，若||1AB = ，3 A π =，则向量AC 在AB 上的投影为 7、（静安区2016届高三二模）已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2 A B A C A O += ，AB AO = ，则CA CB ?= . 8、（闵行区2016届高三二模）平面向量a 与b 的夹角为60?，1a = ，(3,0)b = ，则 2a b += . 9、（闵行区2016届高三二模）若AB 是圆2 2 (3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点， 则OA OB ? 的值为 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的
向量的投影与射影
当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>教学研究>>教师成果展示 向量的投影与射影 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 《学普联考卷2012届高三第一次月考区专用新课标》二、填空题13题（理科）： 已知三点，则向量在方向上的投影为_______________。 或许对于选用了人教版地区的学生来说，这是一道再简单不过的题，但是对于选用了人教版的学生来说，这道题 就不是那么好做了！原因很简单，人教版与人教版上竟 然给出了两个不同的概念，如果上课时没有补充讲解、辨析清楚，这两个概念会使学生一头雾水。刚好我跨年级教学，既用人教版，又用人教版，现在遇到了，就对这两个概 念简单地说明一下。 一、概念比较 ①人教A版：（—2.4.1）已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，
即，其中是与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）。 ②人教B版：（—2.3.1）已知向量和轴（如下图）。作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作。 二、概念异同 ①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。
②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，求法是相同的。 三、求解举例 【例题】已知三点，则向量在方向上的投影为_________。 【解析】向量在方向上的投影是实数，利用投影公式求解。 由得：，，利用投影公式可知：
。 所以，向量在方向上的投影为。 【变式】已知三点，则向量在方向上的射影为_________。 【解析】向量在方向上的射影是向量，利用公式 求解。 由得：，，利用射影公式可知： 所以，向量在方向上的射影为。 注意：向量在方向上的投影为实数，向量在方向上的射影为向量它们的类型显然是不同的；但向
高中数学经典解题技巧和方法：平面向量
高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。 首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景。 （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。 （3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。 （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。 （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示 （1）了解平面向量的基本定理及其意义。 （2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。 （4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。 （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系。 5. 向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。 （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。 好了，搞清楚平面向量的上述内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的
平面向量部分常见考试题型总结
平面向量部分常见得题型练习类型（一):向量得夹角问题 1、平面向量，满足且满足，则得夹角为 2、已知非零向量满足,则得夹角为 3、已知平面向量满足且,则得夹角为 4、设非零向量、、满足，则 ５、已知 6、若非零向量满足则得夹角为 类型(二)：向量共线问题 1.已知平面向量,平面向量若∥，则实数 2.设向量若向量与向量共线，则 ３、已知向量若平行，则实数得值就是( ) A.－2??Ｂ.0 ?C.1?D.２ _____ ) 10 , ( ), 5 4( ), 12 , ( .4 = - = = = k C B A k k 则 三点共线， ， ， ，且 ， 已知向量 5．已知,设,且∥,则ｘ得值为() (A）0 (B）3 (Ｃ）1５(D) １8 6．已知=(１,２），=(-３,2)若k＋2与２-4共线,求实数k得值； ７.已知,就是同一平面内得两个向量,其中＝(1，2）若,且∥,求得坐标 8、n为何值时，向量与共线且方向相同? ９、已知∥,求得坐标。 1０、已知向量,若()∥,则m= １1、已知不共线,,如果∥，那么ｋ=，与得方向关系就是 １2、已知向量∥,则 类型(三）: 向量得垂直问题 １.已知向量,则实数得值为 2．已知向量 3.已知=(1,2),=(-３,2)若k＋2与2-4垂直,求实数k得值 4.已知,且得夹角为,若。 5、已知求当为何值时,垂直？ 6、已知单位向量 7、已知求与垂直得单位向量得坐标。
8、 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 9、 10、 ∥, 类型(四)投影问题 1． 已知,得夹角,则向量在向量上得投影为 2． 在△中, 3.关于且,有下列几种说法: ① ; ② ;③ ④在方向上得投影等于在 方向上得投影 ；⑤;⑥ 其中正确得个数就是 ( ) (Ａ)4个 (B)３个 (C)2个 (Ｄ)1个 类型（四)求向量得模得问题 1. 已知零向量 2. 已知向量满足 3. 已知向量, 4.已知向量得最大值为 5、 设点M 就是线段B Ｃ得中点,点A 在直线BC 外， (A) ８ (B ） ４ (C) 2 (D ） 1 6、 设向量,满足及，求得值 ７、 已知向量满足求 8、 设向量,满足 类型(五)平面向量基本定理得应用问题 1．若=（1,1),＝(1,-1),=(-１,-2)，则等于 ( ） （A) （B) (C) (Ｄ） 2、已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101 ３、设就是平面向量得一组基底，则当时, 4、下列各组向量中,可以作为基底得就是( ） (A ） （B) (Ｃ) （D) 5、 (A) (B) （Ｃ) (D) d c d c m R m m +⊥∈-=+===平行与若为何值时）当（ ） 与,)2?(,1623,23.6π 类型(六）平面向量与三角函数结合题
最新平面向量中的最值问题浅析
平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，13 (, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 13 (cos ,sin )(1,0)(,)22 x y θθ∴=+-即 cos 23sin y x y θθ?-=?? ? ?= cos 3sin 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 πθ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1
2 2 (12)(52)(7)(1)520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解： ,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 22 ()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b =。 设a b c -=，则a =b c +， c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 P A Q B C 图 2 图3
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》难题汇编附答案
【最新】高考数学《平面向量》练习题 一、选择题 1．如图所示，ABC ?中，点D 是线段BC 的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u v （ ） A ．43 AD BE +u u u v u u u v B ．53 AD BE +u u u v u u u v C ．4132A D B E +u u u v u u u v D ．5132 AD BE +u u u v u u u v 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量的加减运算求解即可 【详解】 据题意， 2533 AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选B ． 【点睛】 本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ） A ．,,M N P 三点共线 B ．,,M N Q 三点共线 C ．,,N P Q 三点共线 D ．,,M P Q 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面向量共线定理进行判断即可. 【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以() 2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r , 因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r
向量在轴上的射影的辨析
向量在轴上的射影的辨析 上海市宜山路655弄4号121室陈振宣 向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑. 一、问题呈现 下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正. 《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115： 3.向量在轴上的正射影 已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量 叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量. 在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有 图1图2 例1 已知轴（图2）： (1)向量，在上的正射影； (2)向量在上的正射影. 解：(1).
(2). 上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射 影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？ 《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页: 如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则 叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是. 图3 该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的. 高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下： 10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及 是轴,因为在它们上面具有正负方向. A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合. 矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用 表示矢量的分量： . 矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的
§6矢量在轴上的投影(射影)
§6 矢量在轴上的投影（射影） 一 空间两矢量的夹角： 设有两矢量a 、b 交于点s (若a 、b 不相交，可将其中一个矢量平移使之相交)，将其中一矢量绕s 点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度?(限定0?π<<)称为a 、b 间的夹角，记作,a b ?<>=. (图1.17) 若a 、b 平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为0?=；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为?π=. 类似地，可规定矢量与数轴间的夹角. 将向量平行移动到与数轴相交，然后将矢量绕交点在矢量与数轴所决定的平面内旋转，使矢量的正方向与数轴的正方向重合， 这样得到的旋转角度(0)??π≤≤称为矢量与数轴的夹角. (图1.18) 二 空间点在轴上的投影： 设已知点A 及轴u ，过点A 作轴u 的垂直平面π，则平面π与轴u 的交点叫做点A 在轴u 上的投影. (图1.19) 三 矢量在轴上的投影： 定义1 设矢量AB 的始点A 与终点B 在轴u 的投影分别为A '、/ B ， 那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做矢量AB 在轴u 上的投影， 记作u prj AB A B ''=， 轴u 称为投影轴.
(图1.20) 这里，A B ''的值''A B 是这样的一个数： (1)、''''||||A B A B =即， 数A B ''的绝对值等于向量A B ''的模. (2)、当A B ''的方向与轴u 的正向一致时，0A B ''>；当A B ''的方向与u 轴的正向相反时，0A B ''<. 四 投影定理： 定理1 矢量AB 在轴u 上的投影等于矢量的模||AB 乘以轴u 与矢量AB 的夹角?的余弦.即 prj AB AB u =cos ?, (1.6-1) (图1.21) 证 过矢量AB 的始点A 引轴'u ，且轴'u 与轴u 平行且具有相同的正方向，那未轴u 与向量AB 的夹角等于轴'u 与向量的夹角，而且有 u u prj AB prj AB '= prj AB AB AB u '=''=cos ? 故 prj AB AB u =cos ? 由上式可知：矢量AB 在轴u 上的投影是一个数值，而不是矢量. 当非零矢量AB 与投影轴u 成锐角时， 向量AB 的投影为正. 定理2 对于任何矢量,a b 都有 ()u u u prj a b prj a prj b +=+. (1.6-2) 证 取,AB a BC b ==，那么AC a b =+，设''' ,,A B C 分别是,,A B C 在轴l 上的投影，那么显然有
第23讲 平面向量综合问题
第二十三讲 平面向量综合问题 A 组 一、选择题 1.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13 - D ．23 - 解析：在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ，则22() 33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-12 33 CA CB +， ∴λ=3 2 ， 2. 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 解析222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0 ?⊥a b. 3. 已知AB AC ⊥，|t |1 AB ＝，||AC t ＝，若P 点是ΔABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC +＝ ，PB PC 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 解析：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则B ? ?? ??1t ，0，C ()0，t ，AP →＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P (1，4)，所以1 -1-4t PB ?? ??? ＝，，(14)PC t ＝－，－，因此11·1416174t t PB PC t t ?? + ??? ＝－－＋＝－，因为11444,t t t t ≥＋＝ 所以· PB PC 的最
平面向量常见题型汇编4 平面向量的投影问题
平面向量的投影问题 数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 1. 定值问题 例题1： 已知向量满足，且，则在方向上的投影为 解析：考虑b r 在a r 上的投影为a b b ?r r r ，所以只需求出a b ?r r 即可。由a a b ⊥+r r r 可得： () 20a a b a a b ?+=+?=r r r r r r ，所以9a b ?=-r r 。进而2a b b ?==-r r r 变式1： 两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则 AM AB AN AB ?+?=u u u u r u u u r u u u r u u u r __________. 分析：AB 为两个圆的公共弦， 从而圆心,M N 到弦AB 的投影为AB 的中点，进而,AM AN u u u u r u u u r 在AB uuu r 上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB ?u u u u r u u u r 和AN AB ?u u u r u u u r 时可利用向量的投影定义。 解析：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥ 21922AM AB AT AB AB ∴?=?==u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 21922 AN AB AT AB AB ∴?=?==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 9AM AB AN AB ∴?+?=u u u u r u u u r u u u r u u u r ,a b r r 3,a b ==r r () a a b ⊥+r r r b r a r
平面向量投影的运用
巧 用 投 影 出 奇 制 胜 ————向量数量积几何意义的运用 江西省崇义中学 胡述洪 (341300) 向量数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模与b 在a 方向上投影|b |θcos 的乘积。向量“投影”的概念：|b |θcos 叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量：⑴当θ为锐角时投影为正值；⑵当θ为钝角时投影为负值；⑶当θ为直角时投影为0；⑷当θ = 0?时投影为 |b |；⑸当θ= 180?时投影为 -|b |。 向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们通过例题来体会向量“投影”的神奇。 例一．ABC ? 中，4==BC AB ，030=∠ABC ，AD 是边BC 上的高，求?。 【分析】本题若用普通方法求出、 的模及夹角，再求数量积，运算量较大， 也容易出错。如果向量数量积的几何意义， 巧用向量“投影”就能快速求解。 解：易求=2， 由向量数量积的几何意义知： AD ?AC 等于AC 在AD 上的投影与的乘积。 BC AD ⊥ ∴ AC 在上的投影就是AD ∴ ?AC =2= 4 【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择AD 在AC 上的投影进行计算则显然复杂。 D B C A
例二．等腰三角形ABC 中，2π=A ，2==AC AB ，M 是BC 的中点，P 点在ABC ?的内部或边界上运动，求BP ?AM 的范围。 【分析】本题的常规方法是建立平面直角坐标系， 设P ()y x ,，建立线性约束条件及线性目标函数，利用 线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。 下面用向量“投影”巧妙求解。 解： AM 是确定的， =AM 2 ∴ 只需求出BP 在AM 上的投影的范围。 由向量“投影”的意义知： 当P 点与M 点重合时， BP ⊥AM ， （BP ?AM ）max = 0 当P 点与A 点重合时，BP 在AM 上的投影就是MA ， 注意到此时BP 与AM 的夹角为钝角,（BP ?AM ）min = 222-=?- 综上， BP ?AM ∈ []0,2- 【小结】运用投影解题，要注意： 1、 数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。 2、 投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。 例三．平行四边形AB CD 中,AP ⊥BD ,垂足为P 且AP =3, 则AP ?AC =__ (2012年湖南卷（文科）15) 【分析】本题若试图通过用数量积的定义直 接求解是徒劳的，因为AC 的模及〈AP ，〉 都求不出。注意到AP ⊥BD ，所以可以考虑将AC 分解成AD AB +，再转化成AB 、AD 在AP 上的投影进行计算。 M C B A P D C B A P