高中数学 排列 组合和概率练习

高中数学必修 排列 组合和概率练习题

一、选择题（每小题5分，共60分）

(1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11}，B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐

标系中所确定的不同点的个数是

(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36

解 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P 分别以{}1357911，，，，，和{}1711，，的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1

1

63P P

不同点的个数总数是1

1

1

1

636336P P P P += 个（）

(2) 从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，则可以得到不同的对

数值的个数为

(A) 64 (B) 56 (C) 53 55 (D) 51

解 ①从1，2，3，…，9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为2

92P ；

②1不能为底数，以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去；

③1为真数时，对数为0，以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个； ④23log 4log 92==，491log 2log 32

==

，应减去2个

所示求不同的对数值的个数为2

9287255()C ---=个

（3） 四名男生三名女生排成一排，若三名女生中有两名站在一起，但三名女生不能全排在一起，则不同

的排法数有

（A ）3600 （B ）3200 （C ）3080 （D ）2880

解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是2

3P ；

②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是6

6P ，其中的三名女生排在一起的

站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列，排列数为5

5P ，站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列，故三名女生排在一起的种数是15

25P P 。 符合题设的排列数为：

2

6

1

5

3625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种（）（）（）

（4） 由100

+

展开所得x 多项式中，系数为有理项的共有

（A ）50项 （B ）17项 （C ）16项 （D ）15项

解 100

100

1

1001

1r 100r

r 100100

100100100100=C )

+C )++C )

++C --+

可见通项式为:100310023001001001001002

3

66

6

100

100

100

100

)

66

6

r

r r r

r

r

r

r

r r

r r

r

r

C C

x

C

x

C

x

---++----===（）

且当r=06121896 ，，

，，，时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. （5） 设有甲、 乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有2把钥匙，这4把钥匙与不能开这两

把锁的2把钥匙混在一起，从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是

（A ） 4/15 （B ） 2/5 （C ） 1/3 （D ） 2/3

解 从6把钥匙中任取2把的组合数为2

6P ，若从中任取的2把钥匙能打开2把锁，则取出的必是甲锁

的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。假设分二次取钥匙，第一次取到甲锁的钥匙，第二次取到乙锁的钥匙，取法的种数为1

1

22P P ；当然，第一次取到乙锁的钥匙，第二次取到甲锁的钥匙，取法的种数也为1

1

22P P 。这二种取法都能打开2把锁。故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是：

11

22

26

2415

P P P

=

（6） 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

（A ） 5/6 （B ） 4/5 （C ） 2/3 （D ） 1/2

解 ①所有两位数的个数为90个；

②能被2或3整除的二位数的个数60个:能被2整除的二位数的个数是有5

90=4510

?

个（）,能被3 整除的二位数的个数为有24个(从369，，中选2的排列2

3P 个,121518242745485778，、，、，、，、，、，、，、，、，

九组中各选2的排列有229P 个),能被3整除的二位数中有9个(121824425472488478、、、、、、、、)也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是2232459960P P -++=个； 所有的两位数中，能被2或3整除二位数所占比例是602

=903

.因此, 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是

2

3

（7） 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是

（A ）1/8 （B ）3/8 （C ） 7/8 （D 5/8

解 恰好出现一次正面的概率为1

1

31

3

1

1

3P 1=C 1=228

--（）（）（）

恰好出现二次正面的概率为22

32

3

1

1

3

P 1=C 1=2

216--（）（）（）

恰好出现三次正面的概率为33

333

1

11P 1=C 1=228

--（）（）（） 至少出现一次正面的概率是3315

P =++=81688

（8） 在四次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A

在一次试验中发生的概率中的取值范围是

（A ）0.41［，）？ （B ）00.4（，］ （C ）00.6（，）

（D 0.61［，） 解 设事件A 在一次试验中发生的概率为x ，由题设得

11412242

4

4

2

3

2

11446520

C x x C x x x x x

x x ---≤--≤-≥（）（）（）（）

对于2

52=0x x -，有120, 0.4x x ==

对于2

520x x -≥，有1200.4x x ≤≥，

根据概率的性质，x 的取值范围为0.41［，］

（9） 若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+ ，则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2

-(a 1+a 3+…+a 99)2

的值为

（A ）1 （B ）-1 （C ） 0 （D ）2

解

（10） 从集合{

}+

17N

A x x x ≤≤∈，中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是

（A ） 19/68 （B ） 13/35 （C ） 4/13 （D ） 9/34

解 从集合{

}+

17N

A x x x ≤≤∈，中任取3个数的取法种数为3

7

P

；

取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57，能被3整除的数的个数为1

1

236P 2P ； 取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7，取法种数有3

3P 种；

x

y

因此，所求概率为：

113

233

37

621223613613765

765

35

P P P P

+??+?=

=

=

????

（11） 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁盘，根

据需要至少买3片软件，至少买2盒磁盘，则不同的选购方式共有

（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 D ）8种

解 设选购x 片软件，y 盒磁盘，则：

500-602(3)70500-703(2)

60x

x y y ?≥≥??

?≥≥?

，解得：6324x y ≥≥??≤≤?， 软件和磁盘数量的选购方式分别为(3,2)333442435262、（，）（，）（，）（，）（，）（，），共7种。

（12） 已知0xy <，且1x y +=，而9()x y +按x 的降幂排列的展开式中，T 2≤T 3，则x 的取值范围是

（A ）)

51,

(-∞ （B ）),5

4[+∞ （C ）),1(+∞ （D ）]5

4,(-

-∞

二、填空题（每小题4分，共16分）

（13） 已知A 、B 是互相独立事件，C 与A B 、分别是互斥事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.6，P(C)=0.14，

则A B C 、、至少有一个发生的概率P A+B+C （）____________

解 A 、B 同时发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.6=0.12?? A 发生而B 没有发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.4=0.08?? A 没有发生而B 发生的概率P(A B)=P(A )P(B)=0.80.6=0.48?? C 发生的概率P(C)=0.14 A B C 、、至少有一个发生的概率

P A+B+C =P(A B)+P(A B)+P(A

0.48+0.14=0.82 （）

（14） 3

)

2|

x |1|x (|-+

()()()3

3

2

33

23

3

2

23

3

2

21||2||1

1111 =||++2+32+32+12x +6||2||||||||||13612 =x +8+3x 6++12x +12||x x 1

156 =x ++15x 6+20||x x x x x x

x x

x x x x x x x x x

x ??

+- ?

????????????

---+??-

? ? ? ?????????

????

??----

???

??---

???解

（15） 求值：0123

10

10

101010101

1

1

1=2

3

4

11

C C C C C -+-++ ____________

1

2

3

10

101010101010

9

8

7

6

5

6

7

8

9

10

1010101010101010101010

10

9876

6

7

8

9

10

1010101010101010101011111 C C C C C 23411

1111111111 =C C C C C C C C C C C 2345678910

11

111111111 =C C C C C C C C C C C 2

3

4

5

5

4

3

2

11

-

+-++-

+-+-+-+-

+

-+-

+

-

+

-

+

-+

解10

101011 =

C =

11

11

（16） 5人担任5种不同的工作，现需调整，调整后至少有2人与原来工作不同，则共有多少种不同的调

整方法？________________

解法一 设该5 人分别为A B C D E ,调整前的工作分别是abcde ,当他们的排列为B A C D E 时, 工作也

分别是abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为：

55P 1=119-种（）

解法二 设该5 人分别为A B C D E ,调整前的工作分别是abcde 。

①求恰有2人调整工作的种数:2

5C =10种（）

②求恰有3人调整工作的种数:

从5人中选 3人的组合数为35

C =10,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下： 22222A B C A B C A C B B A C C B A A B

D A B D A D B B A D D B A A B

E A B E A E B B A E E B A B C D B C D B D C C B D D C B B C E B C E B E C C B E E C B C D E C D E C E D D C E E 有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，B C A C A B B D A D A B B E A E A B C D B D B C C E B E B C D E C E C D 22222D C C D A C D A C A D A D C D C A D E A D E A D A E E D A A E D D E B D E B D B E E D B B E D D E C D E C D C E C E D D E C ?

?

?

??

?

?

??

??

?

???

有种调整方式

有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，：，，，，，，A C D D A C E A D A D E E B D B D E C D E D C E

恰有3人调整工作的种数: 210=20?种（）[35

11

P =2023-（）

！！

] ③求恰有4人调换工作的种数:

从5人中选 4人的组合数为4

5C =5,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下：

A B C D A B C D A B D C A C B D A C D B A D B C A D C B B C D A B C A D B A C D B D C A A B C D 9C D A B C A B D C B D A C B A D D A B C D A C B D B A C D B C A B C D E B C D E B C E D B D E C B D C E B E C D B E D C C B C D E ??????????

????有种调整方式：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，B C D A B A D C B D A C C D A B C D B A C A D B D A B C D C A B D C B A D E B C D B E C B D E C E D B 9D E B C D B C E D C B E D C E B E B C D E B D C E C B D E C D B C D E A C D E A C D A E C A D E C A E D C E A D C E D A D E A C D E C A D A E C D C E A C D E A E A C D ??????

????

????有种调整方式：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：C D E B C B E D C E B D D E B C D E C B D B E C E B C D E D B C E D C B D E A C D A C E D C A E E 9E C D A E D A C E D C A

A C D E A C E D A D C E A D E C D E A

B D E A B D E B A D A B E D A E B D B A E D B E A E A B D E A D B E B A D E D A B D E A B A B D E A D E B A E B D A E D B

B D E A B ??????????????

有种调整方式，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，A C D E A D C E C A D A C D E A E C D A E D C E A B D E B D A E D B A A B D E A B E D A D B E B D E A 99D A E B E A D B E D A E A B C E A B C E A C B E B A C E B C A E C A B E C B A A B C E A B E C A C B E A E B C E A B C B C E A B A E C B A C E B E A C C E A B C E B A C A B E C A E B ??????

????????

??

????????????有种调整方式有，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，B A D E B A E D A B C E A C E B A E C B B C E A B C A E B E C A

C E A B C B A E C B E A ??????

??????

??????

??????

??????

??

??

????

????????????

??

??

????????

种调整方式

恰有4人调换工作的种数:95=45?种（）[4

5

111

P +=45234-（）

！！！

] ④求恰有5人调换工作的种数:

B 换任A 的工作的排列：

BC D EA BC D AE BC AD E BC ED A BD EAC BD AC E BD C AE BD C EA B BEAC D BEAD C BEC AD BEC D A BAC D E BAC D E BAC ED BAD C E BAED C ??????

????????????：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，B C D E A B C A E D B C E A D B D E A C B D E C A B D A E C B E A C D B E D A C B E D C A B A D E C B A E C D 11种调整方式

C 换任A 的工作的排列：

C D EAB C D ABE C D BAE C EABD C EAD B C EBD A C C ABD E C ABD E C AD BE C AED B C BD EA C BD EA C BD AE C BAD E C BAED C BEAD C BED A ??????

????????????

：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，C D E A B C D E B A C D A E B C D B E A C E A B D C E B A D C E D A B C E D B A C A B E D C A D E B C A E B D 11种调整方式

D 换任A 的工作的排列：

D EABC D EC AB D EC BA D ABC

E D ABC E D AC BE D AC EB D D BC EA D BC EA D BC AE D BAEC D BAC E D BEAC D BEC A D C EAB D C ABE D C BAE ??????

????????????

：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，D E A B C D E A C B D E B A C D E B C A D A B E C D A E B C D A E C B D C E A B D C E B A D C A E B D C B E A 11种调整方式

E 换任A 的工作的排列：

EABC D EABD C EAC BD EAC D B EBC D A EBC D A EBC AD EBAC D EBAD C EBD C A EBD AC E EC D AB EC AD B EC BD A ED ABC ED C AB ED C BA ??????

????????????

：，，，，，：，，，，，：，，，，，：，，，，，E A B C D E A D B C E A D C B E C D A B E C D B A E C A B D E C B A D E D A B C E D A C B E D B A C E D B C A 11种调整方式

恰有5人调换工作的种数共有114=44?种（）[44

)!

51!

41!

31!

21(

!5=-

+

-

]

故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是：10+20+45+44=119（种）

三、解答题

（17

）在二项式n

-

的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列

（Ⅰ）求展开式的第四项； （Ⅱ）求展开式的常数项； （Ⅲ）求展开式中各项的系数和

解

二项式n

-

展开式的通项为

23

33

111()

()()()22

n r r

n r

r n r

r

r r r r

r n

n

n T C a

b C x x C x --- -+==-=-，0,1,2,3,,r n =

由已知得：00122

1

11(),(),()222

n n n C C C -成等差数列

∴ 1

21

1212

4n n C C ?=+

，2

(1)1 9808n n n n n -=+

-+=，，解得1281n n =???=??舍去（

） （Ⅰ）823

22

333

3

3481

1876()==72832

T C x

x x -???=--?-?

（Ⅱ）由23

1

1()2

n r r r

r n T C x

-+=-知：当

282033

n r r

--==，即4r =时，5T 为常数项 445811876535()==

21648

T C ???=-?！ （Ⅲ）令1x =，则展开式的各项（也即各项系数）为：

001122334455667788

8888888881

11111111()()()()((()()()222222222

C C C C C C C C C ---------，，，，），），，，

各项系数和为：

001122334455667788888888888

12343210

888888888111111111()+()+()+()+()+()+()+()+()22222222211111111=++++248163264128256

3577111

=14+77+

++=841616256256

C C C C C C C C C C C C C C C C C C ----------

-------

（18） 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5

个盒子内

(Ⅰ)只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

(Ⅱ)没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？

(Ⅲ)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 解 （Ⅰ）从5个盒子中任选4个来放球（其中的任1个盒放2个球），有45P 种选法；从5个球中任选2

个球（不分先后）的选法有25C ，故盒子的45P 种选法中的每一种都有2

5C 种放球的方法。因此投放方法种数为：

24

5554

543212002

C P ?=

????=种（）

（Ⅱ）5个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求：

5

5P 1=119-（种）

（Ⅲ）12345，，，，

五个球分别放在12345，，，，五个盒子中，则球的球的编号与盒子编号全部相同；12345，，，，五个球分别放在21345，，，，五个盒子中，则有2个球的编号与盒子编号不相同。所以

球号与盒号相同度情况分类如下： ①没有相同的（也即5个全部不同），551111()442!3!4!5!

P -+-=种［参考第（16）题分析］；

②有1个相同（也即有4个不同），有45111(

)452!3!4!P -+=种；

③有2个相同（也即有3个不同），有251

102P ?=！种 ；

④有3个相同（也即有2个不同），有3511(

)202!

3!P -=种；

⑤有5个相同（也即没有不相同的），有05110!

P ?

=种；

本小题求的是③、④、⑤这三类的相同数这种之和，或者说是①～⑤各类的总数减去①～②二类之和。因此，如每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投放方法的种数是：

10201=31++种（） 或 5

5444531P --=种（）

（19）掷三颗骰子，试求：

（Ⅰ）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （Ⅱ）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

解 设i A 表示第i 颗骰子出现1点或6点，i=123，，

，则i A 互相独立，1()3

i P A =，i A 与i A 之间也互相

独立。

（Ⅰ）1231231232228()()()()[1()][(1()][(1()]3

3

3

27

P A A A P A P A P A P A P A P A ==---=

??=

（Ⅱ）掷一颗骰子出现1点或6点的概率为13

P =

，将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次，根据公式⑸

1

()(1)

k

n k

n n P k C P P -=-，可知恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率是：

1131233

1

1

4(1)(1)3(1)3

3

9

P C P P -=-=??-=

也可以这样解：

设i A 表示“第i 颗骰子出现1点或6点”，D 表示“恰好一颗骰子出现1点或6点”，则

231312123D=A A A +A A A +A A A ，因231A A A ，132A A A ，123A A A 互斥，故

2313121232313121232131213232()P (A A A +A A A +A A A )

=(A A A )(A A A )(A A A )

P (A )P (A )P (A )+P (A )P (A )P (A )+P (A )P (A )P (A )12=3()33

4=9P D P P P =++=?? （20）已知{}21log 3A x x x N =<<∈，|{}63A x x x N =-<∈，

（Ⅰ）从集A 及B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ （Ⅱ）从A B 中取出三个不同元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数共有

多少个？

（Ⅲ）从集A 中取一个元素，从B 中取三个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数. 解 {}A=3,4,5,6,7, {}B=4,5,6,7,8, {}A B=345678 ，，，，，, {}A B=4567 ，，，,

（Ⅰ）从集A 及B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点，就是从集合A B 中任

选2个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合A B 中任选1个元素既作x 坐标又作y 坐标组成点，所求不同的点的点数为：

2

6P 4=34+个（）

（Ⅱ）三个不同元素组成三位数有6个, 其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有1个,故所求

三位数的个数是:

3

3

66206P C ==个（）345346347348356357358367368378456457458467468478567568578678?? ???

，，，，，，，，，，，，，，，，，， （Ⅲ）①A 中取3,而3不能排头,只能排在第二、三、四位，即有3种13P （）

站位；B 中5选 3，有3

5P 种选法.故A 中取元素3, B 中取三个元素的取法有1

3

35P P 种；

②A 中分别取4，5，5，6，7，则B 中不能取4，5，5，6，7，A 中可取的元素与B 中可取的元素总是45678，，，，。从45678，，，，中任取4个元素的排列是4

5P 所求四倍位数的个数是： 134

355180P P P += 种（）

（21） 一个布袋里有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个，并待放回后再抽下一次，求：

（Ⅰ）每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率；

（Ⅱ）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球同色的概率； （Ⅲ）有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球，还有1次取出的2个球是红球的概率

解（Ⅰ）∵11

322

5

()0.6C C P A C =

=

∴ 33033(3)0.6(10.6)0.216P C =??-= （Ⅱ）∵ A C B =+

∴ 可以使用n 次独立重复试验

∴ 所求概率为432.0)6.01(6.0C )2(P 232233=-??=- ……8分 （Ⅲ）本题事件可以表示为A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A

∴ P(A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A)=C 31

P(A)P(A)P(C)=0.324 ……14分

[网上参考解答] 一、选择题

（1）D （2）C （3）D （4）B （5）A （6）C （7）C （8）A （9）A （10）B （11）C （12）C 二、填空题

（13）0.82 （14）-20 （15）1/11 （16）119 三、解答题

（17） 展开式的通项为23

11

()2n r

r

r r n

T C x

-+=-，r=0，1，2，…，n

由已知：00122

111

(),(),()222

n n

n C C C -成等差数列 ∴ 1

2

11212

4

n

n C C ?=+

∴ n=8 ……2分

（Ⅰ）32

4x 7T -= ……4分 （Ⅱ）8

35T 5=

……8分

（Ⅲ）令x=1，各项系数和为

256

1 ……12分

（18）（Ⅰ）C 52

A 54

=1200（种） ……4分

（Ⅱ）A 55

-1=119（种） ……8分 （Ⅲ）不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法： C 51×9=45

第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法： 44

)!51!41!31!21(

!5=-+-

∴ 满足条件的放法数为：

A 55

-45-44=31（种） ……12分

（19） 设A i 表示第i 颗骰子出现1点或6点， i=1，2，3，则A i 互相独立，A i 与i A 之间也互相独立，

3

1)A (P )A (P )A (P 321=

==

（1）))A (P 1))(A (P 1))(A (P 1()A (P )A (P )A (P )A A A (P 321321321---== 27

8323232=??=

……6分

（2）设D 表示“恰好一颗骰子出现1点或6点的概率”

则321321321A A A A A A A A A D ++= ……8分

因321321321A A A ,A A A ,A A A 互斥

∴ )A A A (P )A A A (P )A A A (P )D (P 321321321++=

9

4)

A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P 321321321=

++=……12分

（20） A={3，4，5，6，7}，B={4，5，6，7，8} ……2分

（Ⅰ）A 62

+4=34（个） ……4分 （Ⅱ）C 63

=20（个） ……8分 （Ⅲ）A 中取3有C 31A 53

种 A 中不取3，有A 54

种

∴ 共有C 31A 53+A 54

=300（种） ……12分

（21） 记事件A 为“一次取出的2个球是1个白球和1个红球”，事件B 为“一次取出的2个球都是白球”，

事件C 为“一次取出的2个球都是红球”，A B C 互相独立

（Ⅰ）∵6

.0C C C )A (P 2

5

1

213==

∴ 3

3

33(3)0.6(10.6)0.26P C =??-= ……4分

（Ⅱ）∵ A C B =+

∴ 可以使用n 次独立重复试验

∴ 所求概率为2232

33(2)0.6(10.6)

0.432P C -=??-= ……8分

（Ⅲ）本题事件可以表示为A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A

∴ P(A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A)=C 31

P(A)P(A)P(C)=0.324 ……14分

一、选择题：

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）

（A ）81 （B ）64 （C ）12 （D ）14

解 ①三个球全放在一个盒子中，放法有1

4P 种；

②二个球放在一个盒子中，另一球放在一个盒中，放法有2

2

34C P 种； ③每个球单独放在一个盒子中，放法有3

4P 种。 所求放法有1

2

2

3

434464P C P P ++=种（）

2、n N ∈且55n <，则乘积(5-)(56-)(69-)n n n 等于（ ）

（A ）5569n

n P -- （B ）15

69n P - （B ）15

55n P - （D ）14

69n P -

3、用1，2，3，4这四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数（ ）

（A ）64 （1

2

3

4

4444P P P P +++） （B ）60 （C ）24 （D ）256

4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是（ ）

（A ）2160 （B ）120 （C ）240 （D ）720（3

10P ）

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（ ）

（A ）3538P P （B ）5354P P （C ）5355P P （D ）5356P P

解 5个独唱节目有的排列有55P 种；

3个合唱节目可在5个位置中任选3个位置排列（12345?????），排列数有35P 种。 所求不同排法的种数是5355P P 种

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）

（A ）33P （B ）334P （C ）523533P P P - （D ）2311323233P P P P P +

解 ①5个人的总排列有55P 种；

②甲乙都不排在两端时（如???甲乙），另三人的排法有33P 种，中间的三个位置甲或乙都可站，排法是23P 种，甲乙都不排在两端的排法是3233P P 种； 所求不同排法的种数是523533P P P -种

7、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（ ）

（A ）24 （B ）36 （C ）46 （D ）60

解 数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数的总个数为5

5P ，其中偶数有5

525

P 个； 5排在首位时的数大于50000，有4

4P 个，其中偶数有4

412

P 个应减去； 小于50000的偶数有

54

542136()52

P P -=个 8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中A 不能担任正班长，

B 不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是（ ）

（A ）4

1

1

3

4333P P P P + （B ）2

3

1

3

3

33333P P P P P ++ （C ）5

4

542P P - （D ）5

4

3

543P P P -+

解法一 ①B 为正班长时，其他委员可任意分工，有44P 种；

②B 为副班长时，A 不能任正班长，其他委员可任意分工，有43

43P P -种； ③B 为劳动委员时，A 不能任正班长，其他委员可任意分工，有4343P P -种； ④B 为体育委员时，A 不能任正班长，其他委员可任意分工，有4

3

43P P -种；

所求不同的分工方案的种数是443434113

4434343333()43P P P P P P P P P +-=-=+ 解法二 ①假设任意分工，则不同的分工方案有5

5P 种。

②A 为正班长、B 为任学习委员的分工方案各有44P ，应减去442P ；但4

42P 中包含A 为正班长且B 为任学习委员的分工方案，有332P 种；只能减去33P ；减去332P 后就应加上3

3P 。 所求不同的分工方案的种数是543434434113

543434434333232P P P P P P P P P P P P -+=+=++=+

解法三 ①B 为正班长时，其他委员可任意分工，有4

4P 种；

②B 非正班长时，B 有13P 种选择，而A 在B 的分工确定后也有1

3P ，其他三个委员在剩下的三种工作中选择，共有33P 。故B 非正班长时，分工方案有113

333P P P 。 所求不同的分工方案的种数是4113

4333P P P P +种.

二、填空题 9、（1）

4

5

886

5

89

420!P P P P +?=- 4？

解

45

44

88886

5448

9

8

8

424240!14

129P P P P P P

P P

++??=

?=--?

（2）若332=10n n P P ，则n = 8 . 解 由332=10n n P P 得：

2(21)(2

2)

10(

1)(

2) 2(21)(1)5(

1)n n n n n n n n n n n

--=----

=--=，， 10、从A 、B 、C 、D 这四个不同元素中，取出三个不同元素的排列为____________. 解 从四个不同元素的排列中取出三个不同元素的排列的个数为34P =24个（）

，分别是： A

B C

B C D C D A D A A C B

B D

C C A

D D B A B

A C C

B D

D A C A B D

A B C B C D

C D A D A B B C A C D B

D C A A D B C A B D B C

A D C

B D A

C B A

D C B A C D

D A B

???

???????

???????

?????

???????????

??

?

11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有_________种不同排法。 解 ①四女生排在一起,如男女女女女男男男,有144344P P P 种；

②三女生排在一起,另一女生分开排,如男女女女男女男男,有234344P P P 种； ③二女生排在一起,另二女生分开排,如男女女男女男女男,有3

2

4

344P P P 种；

④二女生排在一起且与另二排在一起的女生分开排,如男女女男女女男男,有224344P P P 种； 所求不同排法有:

1

4

4

2

3

4

3

2

4

2

2

4

1

2

3

2

2

4

344344344344333344228640P P P P P P P P P P P P P P P P P P +++=+++=（）（种）

12、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成_________种不同币值。

解 ①单张纸币的不同币值种数: 一角、5角、1元，共3种；

②多张一角纸币组成的不同币值种数:2角、3角，共2种； ③多张一元纸币组成的不同币值种数:2元、3元，4元，共3种； ④一角纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 6角、7角，8角，共3种； ⑤一元纸币与1角纸币组成的不同币值种数: 1.1元、1.2元、1.3元

2.1元、2.2元、2.3元

3.1元、3.2元、3.3元

4.1元、4.2元、4.3元

⑥一元纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 1.5元、2.5元、3.5元、4.5元，共4种； ⑦含有一元、五角、一角纸币的不同币值种数: 1.6元、1.7元、1.8元

2.6元、2.7元、2.8元

3.6元、3.7元、3.8元

4.6元、4.7元、4.8元

所求不同的币值种数为3+2+3+3+12+4+12=39种 三、解答题

13、用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的五位数， （1）在下列情况，各有多少个？

①奇数；②能被5整除；③能被15整除；④比35142小；⑤比50000小且不是5的倍数. （2）若把这些五位数按从小到大排列，第100个数是什么？ 解（1）

①

655

6551333288255P P P -=-=个（）（） ②655

6552112216655

P P P -=-=个（）（） ③ ④ ⑤

1 × × × × 1 0 × × × 1

2 × × × 1

3 × × × 1

4 × × × 1

5 0 2 × 1 5 0 3 2 1 5 0 3 4

14、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头；

（2）甲不排头，也不排尾； （3）甲、乙、丙三人必须在一起； （4）甲、乙之间有且只有两人； （5）甲、乙、丙三人两两不相邻； （6）甲在乙的左边（不一定相邻）；

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序； （8）甲不排头，乙不排当中。 解（1）6

6720P =

（2）7

6

7623600P P -= （3）3

535720P P =

（4）甲、乙之间有且只有两人的站位形式为，????????????????????甲乙甲乙甲乙甲乙，

，，, ??

????????????

????

乙甲乙甲乙甲乙甲，，，。从其余甲乙外的五名学生中任选二人排在甲乙之间的选法有2

5P 种，剩下的三名学生的排法有3

3P 。所求排法种数为： 2

3

538960P P =种（）

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法形式有

①3

4

3

4

3

4

343434P P P P P P ????????????甲乙丙（种），甲乙丙（种），甲乙丙（种），

共3

33P P 4

4种；

②3434

3434P P P P ????????甲乙丙（种），甲乙丙（种），共34342P P 种； ③34343434P P P P ????????甲乙丙（种），甲乙丙（种），

共34342P P 种； ④3434P P ????甲乙丙（种），

⑤34343434P P P P ????????甲乙丙（种），甲乙丙（种），共34342P P 种; 所求排法种数为：3434101440P P =种（）

（6）从七人中任选七人的排列数为77P ，甲在乙左边与乙在甲左边的排列数是相等的，所求排法种数：

77125202

P =种（）（注意：如果甲乙一定相邻，则甲在乙左边的排列数为6

6P ） （7）甲、乙、丙三人从左到右，从高到矮排列，可看成一人参与排列，所求排列数为：

47840P =种（）（注意：如甲、乙、丙三人三人从左到右，从高到矮排列在一起的排列数为55P 种） （8）7人中选7的全排列为77P ；甲排头的排列为66P ，乙排尾的排列也为66P ；甲排头和乙排尾中的

相同排列是55P 。因此，所求排列数为： 7

6

5

5

7655242-1213720P P P P -+=+=种（）（）

15、从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数。 （1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ （3）所有这些三位数的和是多少？ 解（1）35P =60个（）

（2）个位上的数字分别是2，3，4，7，9的数的个数分别是

60

125

=个（），所有这些三位数的个位上的数字之和是：

12234793

0?++++=（） （3）百位、十位、个位上的数字之和都是300，故所有这些三位数的和是： 300100

101

333

?++=（） 答案：

一、选择题： 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A

二、填空题 9．（1）5；（2）8

10．abc ，abd ，acd ，bac ，bad ，bcd ，cab ，cad ，cbd ，dab ，dac ，dbc 11．8640 12．39

三、解答题

13．（1）①3×=288

②

③

④

⑤

（2）略。

14．（1）=720

（2）5=3600

（3）=720

（4）=960

（5）=1440

（6）=2520

（7）=840

（8）

15．（1）

（2）

（3）300×（100+10+1）=33300 排列与组合练习

1、若346n n P C =，则n 的值为（ ）

（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9

解 由346n n P C =得： 6(1)(2)(

3)

(1)(2)

4!

n n n n n n --

---

=，6(3)4!n -=，7n =

2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ）

（A ）221302046C C C （B ）555

503020C C C -- （C ）514415*********C C C C C -- （D ）322330203020C C C C +

3、空间有10个点，其中5点在共面，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数是（ ）

（A ）206 （B ）205 （C ）111 （D ）110

4、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）

（A ）2

26

4

C C （B ）

222

642

3

3

C C C P （C ）336P （

D ）336C

解 从6本书（,,,,,a b c d e f ）中选2本的组合是2

6C 种：

,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 。当分给甲、乙、丙三人中的一人的书确定后（如ab ），剩下四本书（,,,c d e f ）选2本的组合是24C 种：（cd ，,,,,ce cf de df ef ），可见分给三人中的另二人书的分法有24C 种，故总分法是： 2

2

64C C 种

5、由5个1，2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是（ ）

（A ）21 （B ）25 （C ）32 （D ）42

解 ①2个2排列在一起时的数列的个数1

6P ； ②2个2分开排列时的数列的个数2

6C ； 构成不同的数列的个数: 1

2

66P C =21+个（）

. 6、设P1、P2…，P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点，以这些点为顶点的直角三角形的个数为（ ）

（A ）360 （B ）180 （C ）90 （D ）45

7、若4

2

1

212121(),k k k C C C k N ---<<∈，则k 的取值范围是（ ）

（A ）[5，11] （B ）[4，11] （C ）[4，12] （D ）4，15]

8、口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，则使总分不小于5分的取球方法种数是（ ）

（A ）1

3

2

2

3

1

464646C C +C C +C C （B ）4

4

462C +C

（C ）4

4

106C C - （D ）3

4

463C C

解 取球的顺序与计分是无关的，并且只当所取的三个球都是白球时, 总分才小于5分，故使总分不小

于5分的取球方法种数是：4

4

106C C -

答案：

1、B

2、D

3、C

4、A

5、A

6、B

7、B

8、C

1、计算：（1）2345678

567891011C C C C C C C ++++++=_______

23

4

56

7

833333

33567

8910

115678910

11

543654765876987109811109

3 1020355684120165 490

C C C

C C C

C C C C C C C

C

++++++=++++++??+??+??+??+??+??+??=

=++++++=解！

（2）1732013=n n

n C C -++_______

2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超1个，则有_______种不同放法。 解 每个盒子中放球不超1个，故每7个小球的每一种放法都必须用7个盒子；因7个小球都是相同的，

故小球的放法与盒子的排列顺序无关，从10个不同的盒子中任选7个盒子组合放球是一种放法。

因此，所求小球不同放法的种数是731010C =C =120()种？

3、在∠AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有_______个。

4、以1，2，3，…，9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有_______种不同取法。 解 444229544560()C C C C C ---=种

5、已知

56711710m

m

m

C C C -

=

，求8m

C

解 由5

6

7

11

7

10m m

m

C C C -

=

得：

2

1252,(6-)!6!7!

654(7-)(6-)65(7-)(6-)1076(8-)(7-)(6-)

6610

23420

(2)(21)0

2,21(m 5,21)

m

m m m m m m m m m m m m m m m m m m C m -=

???????????--=

-+=--== =≤= 由知不合题意舍去（）

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8828m C C ==

6、（1）以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？ （2）以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？ （3）以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？

7、集合A 中有7个元素，集合B 中有10个元素，集合A∩B 中有4个元素，集合C 满足 （1）C 有3个元素； （2）C A B ? ；

（3）C B ≠? ，C A ≠? . 求这样的集合C 的个数。

8、在1，2，3，……30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？

答案：

1、490

2、31

3、165

4、60

5、解：

6、解：（1）

（2）

（3）58+48=106

7、解：A∪B中有元素7+10-4=13

8、解：把这30个数按除以3后的余数分为三类：

A={3，6，9， (30)

B={1，4，7， (28)

C={2，5，8， (29)

（个）