，设0x >，11x A =+，
x B =，则A B -A ?B 的最小值为（ ）
A ．
B ．1
C ．1
D ． 8
-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的
两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =
，则m n +的值为 ．
14．若正数a ，b 满足1a b +=，则11a b a b +
++的最大值为
_______．
15
．已知5
2x ?
?
的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当
[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．
16．设C ?A B 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，
且c o s C a b =+
B
．若
1c =，3a =，C A 的中点为D ，则D B 的长为
_______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）（改编）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a 、、，且满
足=
-B A 2cos 2cos
?
??
??+π??? ??-πA A 6cos 6cos 2。 （1）求角B 的值； （2）若3=
b ，求
c a 2
1
-的取值范围．
18．（本小题满分12分）某商场决定对某种电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100元，但是购买此商品的顾客可以抽奖，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m 元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m 元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m 元的奖金，假设顾客每次中奖的概率都是13
，设顾客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量ξ， （1）求ξ的分布列；
（2）若要使促销方案对商场有利，试问商场最高能将奖金数额m 定为多少元？
19．（本小题满分12分）在斜三棱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥面ABC ，AA 1=2a ，A 1C =CA =AB =a ，AB ⊥AC ，D 为AA 1中点。 （1）求证：CD ⊥面ABB 1A 1； （2）在侧棱BB 1上一点E ，满足12
3
BE BB =
,求二面角E -A 1C 1-A 的余弦值。
20．（本小题满分12分） 如图，分别过椭圆22
22E 1(0)x y a b a b
+=>>：左右焦点1
2F F ，的动直线12,l l 交于P 点，与椭圆E 分别交于A B 、与C D 、不同四点，直线
OA OB OC OD 、、、的斜率1234k 、k 、k 、k 满足1234+=+k k k k ，已知当1l 与x 轴重合
时，
AB
，CD =
3
． （1）求椭圆E 的方程；
（2）设点12,E E 的坐标分别为(0,1)-，（0,1),证明12PE PE +为定值。
21．（本小题满分12分） 已知函数()ln f x x mx m =-+，m R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x ≤在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数m 的取值的集合；
（3）在（2）的条件下，任意的0a b <<，证明：()()a
a b a f b f -≤--1ln ln
22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
（改编）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M ． （1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）求证：AM ·MB ＝DF ·DA
23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
（改编）以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,
),M 2
π
是曲线2:cos 210C ρθ+=上任意一点，点P 满足
OP OM ON =+
,设点P 的轨迹为曲线Q
（1）求曲线Q 的直角坐标方程；
（2）若直线2:(
2x t
l t y =--???
=??为参数） 与曲线Q 的交点为A 、B ，求|AB|的长．
24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
（改编）设不等式||||--+≥-345x x 的解集为集合A （1）求集合A ；
（2）若,(,)∈+∞0a b ，证明：当∈t A 时(+≥3a b t a 成立．
1．A 本题重点考查了集合的交集运算、不等式的解法等知识．
【解析】根据集合M 得20212x -<=，得到2x <，由集合N 得2223(1)22x x x ++=++≥，故{|1}N y y =≥，所以{}|12M N x x =≤< ，故选A ． 2．A 本题考查复数代数形式的运算，是基础题．
【解析】由z 2+2=0，z 2=-2，z 2=（）2，∴． 3．A 本题旨在考查算法与程序框图．
【解析】执行程序框图，第1次运行：A=-2，i=1；第2次运行：A=－1
3
，i=2；第3次运行：A=
1
2
，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A 的值为3． 【举一反三】本题的关键是寻找规律，同时结合循环控制的条件确定循环次数． 4．B 主要考查函数的奇偶性和单调性、基本初等函数的图象处理能力．
【解析】选项中的3y x =和sin 2y x =是奇函数，且为区间(0+)∞，
上为增函数的是3
y x =，故选B ．
5．C 本题考查了双曲线的离心率及正切函数的图象与性质等，关键是通过c 2=a 2+b 2将离心率 的范围转化为渐近线的斜率
b
a
的范围． 【解析】∵]2,2[∈e ，∴2≤2
2c a
≤4，
又∵c 2
=a 2
+b 2
，∴2≤222b a a +≤4，即1≤2
2
a b ≤3，得1≤b a
由题意知，y ＝b
a
x 为双曲线的一条渐近线的方程，
设此渐近线与实轴所成的角为θ，则tanθ＝b
a
，即
∵0＜θ＜
2π，∴4π≤θ≤3
π
，即θ的取值范围是． 6．A 本题主要考查不等式的求解方法、充分条件、必要条件，充要条件及其判定方法等知
识，属于基础题，考查不等式的运算求解能力和逻辑推理能力．
【解析】根据2
230x x +->，得到31x x <->或，故“1x >”是“2
230x x +->”的充分而不必要条件，故选A ．
7．D 本题主要考查同角三角函数基本关系式，三角函数的符号确定、二倍角公式及其应用等知识，属于中档题．本题主要考查运算求解和等价转化能力．
【解析】因为()3cos 24απ-=
，得到3cos 4
α=，结合(,0)2απ
∈-，所以sin 0α<，
所以sin α==
，所以sin 22sin cos ααα==． 8．A 本题考查概率的计算，列举出满足条件的基本事件是关键．
【解析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，
其中4条长度为1，4
条长度为
2
2个点之间的距离不小于该正方形边长的有4+2=6条，∴所求概率为P=
610=35
． 9．D 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．
【解析】据题意知，△PMF 为等边三角形，PF=PM ， ∴PM ⊥抛物线的准线，
设P （24m ，m ），则M （-1，m ），等边三角形边长为1+2
4m ，F （1，0），所以由PM=FM ，
得1+2
4
m
4，其面积为
10．C 本题考查利用导数求函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 【解析】（1）f ′（x ）＝2x ?
a x +
b ，∵x=2是函数f （x ）的极值点，∴f ′（2）＝4?2
a
+b ＝0． ∵1是函数f （x ）的零点，得f （1）=1+b=0，由1
40
2
10a b b ?-+=???+=?，解得a=6，b=-1． ∴f （x ）=x 2
-x-6lnx ，令f ′（x ）＝2x ?6x ?1=226x x x --＝()()232x x x
+-＞0，x ∈（0，+∞），
得x ＞2； 令f′（x ）＜0得0＜x ＜2，所以f （x ）在（0，2）上单调递减；在（2，+∞）上单
调递增．故函数f （x ）至多有两个零点，其中1∈（0，2），x 0∈（2，+∞），因为f （2）＜
f （1）=0，f （3）=6（1-ln3）＜0，f （4）=6（2-ln4）=6ln 2
4
e ＞0，所以x 0∈（3，4），故n=3，
选C ．
11．D 本题主要考查线性规划、可行域、目标函数等知识．考查数形结合思想和运算求解能力．
【解析】因为抛物线的离心率为1，它是方程320x ax bx c ++-=的根，故10a b c ++-=，
得到1c a b =++，代人，得到32(1)0x ax bx a b ++-++=，分解因式，得
()21[(1)1]0x x a x a b -+++++=，令2()(1)1f x x a x a b =+++++，则该函数与Ox 轴的两
个交点位于（0,1）和（1，+∞）内，故
()(0)0
10f f >???
，解得10320a b a b ++>??++
而
1
1
b a +-的几何意义为：连接可行域内的点(),a b 与()1,1-相连所得的直线的斜率，根据题意，得点P ()2,1-，故1121(2)3PQ K --=
=---，由图象，得11b a +-的取值范围为22,3?
?-- ??
?，故选D 。
12．C 本题是一道创新题型，考查了值域，学生创新意识，归纳转化能力和分类讨论思想．
【解析】根据题意可得
,111,11x x x A B x x x ?<-??+=??+>-?+? ，1
,11,11x x x
A B x x x ?+<-??+?=??>-?+?，若x ＞0，则
211,1111x x A B A B x x x x x +-?=+-=>-+++ ，令2
11x y x +=+，化简整理得
210x yx y --+=，式子成立的充要条件是0
02
y ?≥??
?≥??，
解得22()y y ≥≤-或舍，所以A B A B -?
的最小值为2，故选C ． 13．2 本题考查三点共线的充要条件、向量的基本运算等知识，属于中档题。 【解析】=（
）
=
+
，因为M 、O 、N 三点共，得到+=1，从而有m+n=2．
14．
2
3
本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
【解析】∵正数a ，b 满足a+b=1，∴
()()()()
11211111a b b a a b
ab a b a b a b ab a b ++++++==
+++++++= ()2
22321332
22222322ab ab ab ab ab a b +-+==-≤-=++++??
+ ???，当且仅当a=b=12时取等号， 即11
a b
a b +++最大值是23．
15．1
(0,]4
本题旨在考查二项式定理、函数的图像等知识，考查数形结合思想的应用，属于
难题．
【解析】结合题意，有5
2x ?
?
的常数项为
=2，从而有f （x ）是以2为周期的偶
函数，又该函数区间是两个周期，故区间内，函数g （x ）=f （x ）﹣kx ﹣k 有4个零点等价于
为f （x ）与r （x ）=kx+k 有四个交点，当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∵r （﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r （3）≤1解得0＜k≤
16
． 本题主要考查了正弦定理．余弦定理，平面向量在解三角形中的应用，属于常考
题，中档题．
【解析】依据正弦定理得：
sinA=sinBcosC+
3
sinCsinB ，∵sinA=sin （B+C ）， ∴
，化简可得：
又0＜B ＜π，∴B=3π
∵2BD =BA +BC ，两边平方可得：4BD 2=BA 2+BC 2+2BA?BCcosB=1+9+2×1×3×1
2
=13，可
解得：
． 17．（1）3
π
=
B ；（2）3(0,)2
本题重点考查了三角恒等变换、二倍角公式等知识．
【解析】（1）由已知得：2
2
(12sin )(12sin )A B ---………2分
2231
2(cos sin )44
A A =-……………4分
即：4
3sin 2
=B ，……………5分
则2
3
sin =
B ，故3π=B ……………6分
（2） 由正弦定理得：A a sin 2=，C c sin 2=……………7分 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=??
? ??-π-=-=-
??? ?
?
π-=6sin 3A ……………10分
因为022032A A πππ
?<
，所以62A ππ<<，063A ππ<-<， ……………11分
0sin()6A π<-<
所以13
(0,)22
a c -
∈……………12分 18．（Ⅰ）省略；（Ⅱ） 商场最高能将奖金数额m 应低于75元．
本题重点考查了随机变量的分布列、古典概型公式、期望的求解等知识． 【解析】（Ⅰ） 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m ，3m ，6m 元． ∴ 278)32
()0(3=
==ξP ；2712)32(31)(2
13===C m P ξ； 27
632)
31()3(2
23=
==C m P ξ；271
)31()6(3===m P ξ； ξ的分布列为：
………………………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：342716276327122780m
m m m E =
?+?+?+?
=ξ， …………9分 若要使促销方案对商场有利，则3
4m
<100，解得m <75．
即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m 应低于75元．…12分
19．（1）省略；（2 本题重点考查了线面垂直的判定、空间坐标和空间向量的基本运算等知识，属于中档题．
【解析】（1）证: 面ACC 1A 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ……………1分 ∴AB ⊥面ACC 1A 1，即有AB ⊥CD ； ……………2分 又AC =A 1C ，D 为AA 1中点，则CD ⊥AA 1 ……………3分 ∴CD ⊥面ABB 1A 1 ………………4分
（2）解:如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴，CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C -xyz ，则有A （a ,0,0）,B （a ,a ,0）,A 1（0,0,a ）, B 1（0,a ,a ）
C 1（-a ,0,a ），设()E x,y,z ，且12BE BB 3= ，即有()()02
x a,y a,z a,,a 3--=-
所以E 点坐标为1
2a,a,a 3
3?? ???,……………7分
111
(,,)33
A E a a a =- ,11(,0,0)AC a =-
由条件易得面A 1C 1A 的一个法向量为()1010n ,,=
……………8分
设平面EA 1C 1的一个法向量为()2n x,y,z =
，
由21121n A C n A E ?⊥??⊥?? 可得01
03ax 1ax ay az 3
-=???+-=?? 令y =1，则有()2013n ,,=
…………………11分
则121212n n cos n ,n n n ?<>===
， ∴二面角E -A 1C 1-A
………12分 20．（1）12
32
2=+y x ；
（2）22 本题重点考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，考查解题能力、数据分析能力、化归思想等知识．
【解析】（1）当l 1与x 轴重合时，04321=+=+k k k k ，即43k k -=， ……………1分 ∴ l 2垂直于x 轴，得322||==a AB ， ……………2分 3
342||2==a b CD ， ……………3分
得3=a ，2=b ，
∴ 椭圆E 的方程为12
32
2=+y x ． ……………4分
（2）设直线l 1、l 2斜率分别为1m ，2m ，设),(11y x A ，),(22y x B ，
由??
???+==+)
1(12
312
2x m y y x 得：0636)32(2
121221=-+++m x m x m ， ∴ 2
1
2
1
21326m m x x +-=+，212236
23m x x m -=+．……………5分 )2()11(2121122111221121x x x x m x x x x m x y x y k k ++=+++=+=+2
4)222(211212
11--=--=m m
m m m ，
………………………………………………………………………………………7分 同理43k k +2
42
2
2
--=
m m ．…………………8分
∵4321k k k k +=+， ∴
2
42
42
22
211
--=
--m m m m ，即0))(2(1221=-+m m m m ．
由题意知21m m ≠， ∴0221=+m m ． ……………9分
设),(y x P ，则0211=+-?+x y x y ，即)1(12
22
±≠=+x x y ，………10分
由当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（—1，0）或（1，0）也满足此方程，
∴),(y x P 点椭圆12
22
=+x y 上， ……………11分
其焦点坐标分别为，12(1,0),(1,0)E E - ,所以
12PE PE +=22．…12分
21．（1）当0m ≤时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数； 当0m >时，函数()f x 在10,m ?? ???上为增函数，在1,m ??+∞ ???
上为减函数； （2）{}1；（3）省略
本题综合考查了导数的计算、函数的单调性与导数、函数的最值与导数、恒成立问题的处理思路和方法、分类讨论思想的应用等知识． 【解析】（1）()1mx f x x
-'=
()0>x ……………1分 当0m ≤时， ()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上为增函数；……………2分 当0m >时，令()0f x '>，可得10x m <<
，令()0f x '<，可得1
x m
>，所以函数()f x 在
10,m ?? ???上为增函数，在1,m ??
+∞ ???
上为减函数-……………4分
（2）方法1：由（1）可知，当0m ≤时，()0f x ≤不恒成立； 当0m >时，()max 1ln 1f x f m m m ??
==--+
???
， 要使()0f x ≤恒成立，即ln 10m m --+≤……………6分 令()ln 1h m m m =--+，()1
m h m m
-'=
，可得()0,1m ∈时，()h m 为减函数， ()1,m ∈+∞时，()h m 为增函数，所以()()min 10h m h ==，
所以 1m =． m 的取值的集合是{}
1……………8分 方法2：即()()1-≤x m x f 在()0,x ∈+∞上恒成立，当x=1时，成立。
当x>1时，
1ln -≥
x x m 在()+∞,1上恒成立， 令()1ln -=
x x x g ，则
()()21ln 1
1---
='x x x
x g ，
令
(),ln 11x x x h --
=则()0112<-='x x x h ，()x h 在()+∞,1为减函数，
()()01=()11
lim 1ln lim
11
==-<→→x x x x g x x ，
∴m ≥1，
同理当x<1时，
1ln -≤
x x
m 在()0,x ∈+∞上恒成立，得m ≤1，m=1
（3）因为0a b <<，不妨令()1b at t =>，则
()()()()t t a t t a t a b a f b f ln 11ln 1ln ln ln --=--=--……………10分
由（2）知()ln 10f x x x =-+≤，可得ln 1t t ≤-，
1
1ln t t
-≥， 得
()
1ln a t a t
--≤-
所以()()a a b a f b f -≤--1ln ln ……………12分
22．略
本题重点考查了切割线定理、割线定理等知识． 【解析】（1）连接OC ， ∵OA ＝OC ，
∴∠OCA ＝∠OAC ．
又∵CA 是∠BAF 的平分线， ∴∠DAC ＝∠OAC ． ∴∠DAC ＝∠OCA ． 2
∴AD ∥OC ．又CD ⊥AD ，
∴OC ⊥CD ，即DC 是⊙O 的切线
（2）∵CA 是∠BAF 的平分线，∠CDA ＝∠CMA ＝90°， ∴CD ＝CM ．
由（1）知DC 2＝DF ·DA ，又CM 2＝AM ·MB ， ∴AM ·MB ＝DF ·DA ．
23．（1）22(2)10x y --+=；（2
）本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程之间的转化、直线的参数方程和普通方程的转化等知识．
【解析】（1）由已知曲线2:cos210C ρθ+=
得222cos sin )10ρθθ-+=（
所以直角坐标方程为2
2
10x y -+=，……………2分 又点N 的直角坐标为(0,2),……………3分
设11(,),(,)P x y M x y ，由OP OM ON =+
得11(,)(,)(0,2)x y x y =+
所以112
x x
y y =??
=-? ……………4分
221110x y -+=代入
得2
2
(2)10x y --+=
所以曲线Q 的直角坐标方程为2
2
(2)10x y --+=，……………5分
（2）把直线
2:(2x t
l t y =--???=??为参数）化为
/
/
/
1
2+
2
(
x t
t
y
?
=-
??
?
?=
??
为参数）……………6分
和曲线22
(2)10
x y
--+=联立得/2/
)4100
t t
+-=
（……………8分
//
12
AB t t
=-==……………10分24．（Ⅰ）{x|x2
≤} ；（2）略
本题重点考查了绝对值不等式的解法、不等式的性质等知识．
【解析】（Ⅰ）
|x－3|－|x＋4|＝
7,4
21,43
7,3
x
x x
x
<-
?
?
---≤≤
?
?->
?
当x＜－4时，不等式不成立；……………1分
当－4≤x≤3时，由－2x－1≥-5，得42
x
-≤≤；……………2分
当x＞3时，不等式必成立．……………3分
综上，不等式f（x）＜-5的解集为{x|x2
≤}．……………5分（2）证明：,(,)
∈+∞
a b
+
≥=
+
+
3
2
2
a b
a b
a
……………8分2
≤
t
≥t
(
∴+≥
3a b t a……………10分
