利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
利用中值定理证明问题时
辅助函数的几种构造方法
◆ 刘 坤
摘要：文章对高等数学中利用中值定理证明时，如何构造造辅助函数的
问题，分别就使用洛尔定理、拉格朗日定理、柯西定理给出了构造辅助函数
的方法。
关键词：中值定理；构造；辅助函数
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，
使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;
中值定理证明
中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有： 构造辅助函数证明微分中值定理及应用 摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。 关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理 Constructing auxiliary function to prove differential median theorem and its copplications Abstract: Constructing auxiliary function is the important method to prove median theorem. This paper gives several ways of constructing auxiliary function:Differential equation, Constant K, Geometry law, Primary function law, Determinant law;and Gives some specific examples to illustrate how to constructing. Key words: Auxiliary function; Differential equation; Differential median theorem 目录 一：引言 (4) 二：数学分析中三个中值定理 (4) 三：五种方法构造辅助函数 (6) 1：几何直观法 (6) 2：行列式法…………………………………………………………………… .第7页 3：原函数法 (8) 4：微分方程法 (10) 5：常数k值法 (13) 四：结论 (15) 参考文献 (15) 致谢 (16) 一:引言 微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础，这部分内容理论性强，抽象程度高，所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 与微分中值定理有关的证明题，辅助函数方法介绍 一．积分法 例 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ， 满足：22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 分析 将求证等式改写为22[()()]2[]()0f b f a b a f ξξ'-?--?= 左端看成一个函数()F x （辅助函数）在ξ处的导数，即令 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 积分得222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 证明：作辅助函数222()[()()][]()F x f b f a x b a f x =-?--? 22()[()()]2[]()F x f b f a x b a f x ''=-?--? 则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且 22 ()()()()F a a f b b f a F b =-= 由罗尔定理知：存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即得 22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 说明：（1）由于积分的不唯一性，也可以取 2222 ()[()()]()[](()())F x f b f a x a b a f x f a =----- 由此可得()()0F a F b ==，不但计算更方便，而且对证明更有信心 （2）本题若取2()g x x =，所以()2g x x '= 由柯西中值定理得：存在(,)a b ξ∈， 使得 22()()()2f b f a f b a ξξ '-=- 移项得22[()()]2[]()f b f a b a f ξξ'-?=-? 但是为了应用柯西中值定理，必须假定00a b a b ≤<<≤或，以确保()0g x '≠ 而对0a b <<情况，不能应用柯西中值定理 二．微分方程法（含有求知函数以及未知函数的等式，称为微分方程，课本第6章） 例 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证：在(0,1)内至少存在 一点ξ，满足：2()()0f f ξξξ'+= 分析 本题求证式中不仅含有()f ξ'，而且含有()f ξ，对()f ξ是难以直接积分法，像上例的求出一个()F x ，使得它的导数满足()2()()F x f x x f x ''=+常常不可能 由于[()()]()()()()u x f x u x f x u x f x '''=+中既含有含有()f x 又含有()f x ' 与求证式构造已是相同的了，但要使()2()u x u x x '==和同时成立也是不可能的， 解决矛盾的关键，结论中可能约去了一个不等于的的公因子 因为任给一个()0x ?≠，有 2()()0()[2()()]0f f f f ξξξ?ξξξξ''+=?+= 从而求证式等价于2()()()()0f f ?ξξ?ξξξ'+= 上式左端看成一个函数()()()F x u x f x =（辅助函数）在ξ处的导数，即令 ()()()()() 2()()()()F x u x f x u x f x x f x x x f x ??'''=+'=+ 令 () () ()2()()()()2u x u x u x x u x x x x x ???''==?== （说明()f x 与()f x '的系数对应成比例） 所以 () ()222 u x u x du u du dx x dx x u x '=?==分离变量得 22ln ln du dx u x c u x =?=+? ? 得 2u cx = 取1c = 得2u x = 作辅助函数2()()F x x f x = 中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 第三章中值定理证明 1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义 1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数 我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立. 专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造 构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了. 在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法. 数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性. 例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁. 构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了. 微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式： F（x）=f(x)— ()() f b f a b a - - x c + 此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数. 微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0. 微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(> 第五讲中值定理的证明技巧 一、考试要求 1、理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定 理），并会应用这些性质。 2、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中 值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。 3、了解定积分中值定理。 二、内容提要 1、介值定理（根的存在性定理） （1）介值定理在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值. （2）零点定理 设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c (a、 b)，使得f(c)=0 2、罗尔定理 若函数满足： （1）在上连续 （2）在内可导 （3） 则一定存在使得 3、拉格朗日中值定理 若函数满足： （1）在上连续 （2）在内可导 则一定存在，使得 4、柯西中值定理 若函数满足: （1）在上连续 （2）在内可导 （3） 则至少有一点使得 5、泰勒公式 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数? 则当在内时? 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即 其中 (介于与之间)? 在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点： 1．展开的基点； 2．展开的阶数； 3．余项的形式． 其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式． 而基点和阶数，要根据具体的问题来确定． 6、 积分中值定理 若f(x)在[a 、b]上连续，则至少存在一点c ∈[a 、b]，使得 b a ? f(x)dx=f(c)(b-a) 三、 典型题型与例题 题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在ξ使0)(=ξf 或方程f(x)=0有根） 方法：大多用介值定理 f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0. 思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法 例1、设)(x f 在[a,b]上连续，),,2,1(0,21n i c b x x x a i n ΛΛ=><<<<<，证明存在],[b a ∈ξ ，使得 n n n c c c x f c x f c x f c f ++++++= ΛΛ212211) ()()()(ξ 例2、设)(,0x f a b >>在[a,b]上连续、单调递增，且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ 使得 )(2)()(222ξξf a f b b f a =+ 例3、设)(x f 在[a,b]上连续且0)(>x f ，证明存在),(b a ∈ξ使得 ??? = =b b a a dx x f dx x f dx x f ξ ξ )(2 1)()(。 微分中值定理的证明题[1](1) 微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ?∈（，使()0F ξ'= 即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 证：将上等式变形得：1111 111111 (1)()b a e e e b a b a ξξ-=-- 作辅助函数1 ()x f x xe =，则()f x 在11[,]b a 上连续，在11 (,)b a 内可导， 由拉格朗日定理得： 11()()1()11f f b a f b a ξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 11111(1)11b a e e b a e b a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即： )()1(b a e be ae a b --=-ξξ (,)a b ξ∈。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ?∈，使得0()0F x '= 又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈?(0,1)，即证谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
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