数学常用口诀

数学常用口诀

1.“1”的自述

我的名字叫做“1”，自然数中是小弟；

正弦、余弦我最大，真分数永远比我低。

禀性忠厚又老实，“乘以”、“除以”没关系。

两数之积若是我，互为倒数无置疑。

同学莫把我藐视，我的作用妙无比。

说明：在恒等变形时，巧用1（如将1 与tg45°，tgα·ctgα，sin2α＋cos2α，lg10，a0（a≠0），x/x，x·1/x 互化）（x≠0）可使解法简便。

2.式子无意义三诀

分母不得为零，偶次方根为负，零负没有对数。

注：开偶次方时，根号中式子的值为负数时，没有意义。

3. 多个有理数相乘符号法则歌

多个有理数相乘，负号当家起作用；

奇负偶正规律定，一数为0 必得0。

说明：几个不等于0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定（“负号当家起作用”）。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个有理数相乘，其中若有一个因数为0，则积为0。

4.常用速算口诀（三则）十几与十几相乘

十几乘十几，方法最容易，

保留十位加个位，添零再加个位积。

证明：设m、n 为1 至9 的任意整数，则

（10＋m）（10＋n）

＝100＋10m＋10n＋mn

＝10［10＋（m＋n）］＋mn。

例：17×l6

∵10＋（7＋6）＝23（第三句），

∴230＋7×6＝230＋42＝272（第四句），

∴17×16＝272。

5.十位数字相同、个位数字互补（和为10）的两位数相乘

十位同，个位补，两数相乘要记住：

十位加一乘十位，个位之积紧相随。

证明：设m、n 为1 到9 的任意整数，则

（10m＋n）［10m＋（10－n）］

＝100m（m＋1）＋n（10－n）。

例：34×36

∵（3＋1）×3＝4×3＝12（第三句），

个位之积4×6＝24，

∴34×36＝1224。（第四句）

注意：两个数之积小于10 时，十位数字应写零。

6.用11 去乘其它任意两位数

两位数乘十一，此数两边去，

中间留个空，用和补进去。

证明：设m、n 为1 至9 的任意整数，则

（10m＋n）×（10＋1）＝100m＋10（m＋n）＋n。

例：36×ll

∵306＋90＝396，

∴36×11＝396。

注意：当两位数字之和大于10 时，要进到百位上，那么百位数数字就成为m＋1，如：84×11

∵804＋12×10＝804＋120＝924，

∴84×11＝924。

7.奇数连加法

从1 开始连续奇数加，其中自有妙算法，

1 加末数除以2，平方得数即是它。

举例：1＋3＋5＋7&;;#8943 #8943;＋21

＝〔（1＋21）÷2〕2

＝112

＝121。

8.合并同类项法则

合并同类项，法则不能忘；只求系数代数和，字母、指数不变样。

9.分解因式歌

首先提取公因式，然后考虑用公式。

十字相乘试一试，分组分得要合适。

四种方法反复试，分解完成连乘式。

10.算术根运算法则歌

绝对值，算术根，永不为负记在心。

两个好像亲姐妹，形影相随不离分。

两人一旦分了手，谬误可能就降临。

说明：绝对值和算术根都是非负数。对于算术根的运算，一般是先化成绝对值的形式，再根据绝对值的概念，化去绝对值符号，这样可以减少差错。

11.二元二次方程组一般解法

未知项，成比例，消元降次都可以。

方程一边等于零，因式分解再降次。

方程缺了一次项，常数消去再求解。

12.一元一次不等式的解法

如有分母，去分母；如有括号，去括号。

常数都往右边挪，未知都往左边靠。（注）如有同类须合并，化为标准再求解。

注：未知指未知数。

13.一元一次不等式组的四种情况

大大取较大，小小取较小，小大，大小中间找，小小，大大解不了。

14.不等式解集的几种情况

两大从大，两小从小，一大一小就相连，不能相连是空集。15.取对数口诀

已知真数求对数，首数尾数分别求，

根据位数定首数，再用数表查尾数。

16.取反对数口诀

已知对数求真数，定数定位两步走，

先用数表查数字，再用首数定位数。

17.巧背圆周率

解放前，江南某处山下有一所学校，山巅有一座寺庙。一天，教师上山同和尚对饮，临走时布置学生背圆周率，要求背到小数点以后22 位。学生背诵终日，还是记不住。眼看就要日落西山，有个学生灵机一动，把老师上山喝酒的事编成一段顺口溜：

山巅一寺一壶酒，（3，14159）尔乐苦煞吾。（26535）

把酒吃，酒杀尔，（897932）杀不死，乐尔乐。（384626）

18.求积顺口溜

周长除以π得直径，直径除以2 得半径。

半径平方乘π等于圆面积，外圆内圆面积相减求环形。

扇形面积是乘以圆心角，圆柱侧面积是底面周长乘以高。

圆柱表面积两底加一侧，圆柱体积底面积乘高。

套管体积外圆柱减内圆柱，圆锥体积底面积乘高再三等分。

19.面积公式歌

正方长方最简单，要知面积长乘宽；

平行四边底乘高，三角乘后再折半；

梯形上底加下底，乘高除二便算完；

知道直径就知周，圆形面积也好求，

直径折半自相乘，再乘3.1416。

遇到奇形与怪状，先截后算莫慌张，

能截三角截三角，能截方来就截方，

大块小块加一起，整个面积就知详。

几种体积的计算长方形体积如何求？

长乘宽来再乘高。正方形体积如何求？就是棱长三次方。圆柱体体积如何求？圆底面积乘以高。圆锥体体积如何求？先把底面积乘以高，然后再乘三分之一，这步千万别忘了。

20.角的集合

数学里面角很多，组成一个大集合。

射线绕着端点转，生成一个平面角。

转一圈，叫周角，转半圈，叫平角。

顺时针转，叫负角，逆时针转，叫正角。绕着端点不断转，生成终边相同的角。90°角是直角，还有锐角和钝角。

两角之和为直角，它们互相称余角；两角之和为平角，它们彼此称补角。

21.许多角和圆有关：

圆心角，圆周角，圆内角，圆外角，还有一个弦切角。搞测量，也要角，望物体，称视角，测目标，方位角，向上看，叫仰角，向下瞧，是俯角。就是划分经纬度，处处也要用到角。一条直线有倾斜角，两条交成对顶角。三条直线若相交，还会构成许多角：同位角，内错角，同旁内角和外角。多边形，有顶角，相似就有对应角。有内角，有外角，外角角和为周角。内外两角若相邻，彼此互为邻补角。若是等腰三角形，顶角之外叫底角。圆的内接四边形，外角等于内对角。扇形有个中心角，还可定义新的角。就是平日解题目，也常设个辅助角。记住上面种种角，科学研究唱主角。

22.几何证明题歌诀

几何证明并不难，首先过好审题关。字斟句酌细琢磨，命题反复看几遍。

画图正确利思考，已知求证要写全。

知识联想更重要，紧扣题意再“优选”。分析途径是逆转，根据结论寻条件。

字迹工整层次清，论证步骤写周全。

证明两线垂直或平行欲证垂直、平行线，多依定理来判断。平行、垂直常互变，其中直角是关键。四点共圆很有用，

找角相等极方便。如有公用一斜边，

证出直角不为难。若用中点证平行，

常常利用中位线。如能找到弦中点，

连接中心即垂线。若知两圆相外切，

必有一外公切线。连接切点必垂直，

再做一个公切线。内外公切线相交，

连线也能成垂直。平行、垂直挺有用，证明常添辅助线。只要规律掌握好，

平行、垂直题得证。

23.证明成比例（成等积）线段

证明比例是重点，掌握规律并不难。

比例等积可互换，先把定理牢记全。

射影定理分角线，圆幂定理平行线。

若无定理可引用，相似定理排里边。

相似不行也好办，只寻等比或等线。

再用定理或相似，找到等比好代换。

条件一定要认准，常常需添辅助线。

24.平面几何辅助线一般添加法

角之关系要细辨，构造等、差、倍、半是关键。

比例线段平行线，构造相似三角形也常见。

比例线段中有和差，延截相等线段好办法。

诸圆相交公共弦，有时得用连心线。

诸圆相切公切线，切点圆心还需连。

直角相对想共圆，互补二角共弦想共圆，

四边形外角等于不相邻内对角想共圆。

若遇中点找中点，两点相连平行线。

角之平分线遇垂线，延长垂线得等边。

25.圆的辅助线之歌

三圆和两圆，圆心紧相连；

两圆紧为伴，必连公切线；

两圆扣成环，必连公共弦。

说明：几何题目涉及两圆、三圆的问题，常常把它们的圆心连起来。两圆若外切和内切要作出它们的公切线；两圆若相交要作出其公共弦。

26.三角函数值在象限内的符号

郑玄吃鱼说明：郑玄是我国三国时的一位数学家。“郑玄吃鱼”可以帮助记忆六个三角函数在四个不同象限内的符号。“郑”，

（Ⅰ）中皆为正（音同郑）；“玄”，（Ⅱ）只有正弦（音近弦）和它的倒函数余割为正；“吃”，（Ⅲ）中只有正切（音近切）和它的倒函数余切为正；“鱼”，（Ⅳ）只有余（音同鱼）弦和它的倒函数正割为正。

27.三角函数符号、互倒及奇偶性记忆法

如果将三角函数按顺序编号，正弦函数为一，余弦函数为二，正切函数为三，余切函数为四，正割函数为五，余割函数为六，那么可以熟记下面的口诀：全正；一、六；三、四；二、五；二、五不变。

说明：在第一象限六个函数都为正，第二象限一、六为正（即正弦，余割函数为正，其余四个函数都为负）；第三象限三、四为正（即正切，余切为正，其它为负）；

第四象限二、五为正（即余弦、正割为正，其余为负）。二、五不变，是说余弦，正割为偶函数〔cos（－x）＝cosx，sec（－x）＝secx〕，其余四个函数均为奇函数。并且一、六，三、四，二、五互为倒数关系（即sinα2 cscα＝1，tgα2ctgα＝1，cosα2sec α＝1）。

28.记忆诱导公式

关于180°±α， 360°±α，－α的诱导公式口诀为：

函数名不变，符号看象限。

关于90°±α，270°±α的诱导公式口诀为：

函数名改变，符号看象限。

说明，①不管α是什么样的角，都把它看作锐角来确定诱导公式中角所在的象限，从而确定它的符号。

②符号的确定，是由原来函数的角所在象限决定的。

③函数名改变，指正弦、余弦互变，正切、余切互变，正割、余割互变。

29.三角函数诱导公式的共同特点

奇变偶不变符号看象限通过正六边形记三角公式

30.记忆三角公式，有一张图形会对我们有所帮助：

在这个六边形中，位于对角线两端的两项乘积均为1，即：tg

α2ctgα＝1，sinα2cscα＝1，cosα2secα＝1，共三个公式。

画有格线的三角形中，肩上两角两项的平方和等于下面一项的平方，即sin2α＋cos2α＝1，ctg2α＋1＝csc2α，tg2α＋1＝sec2α，共三个公式。

相邻三个顶点的外项乘积等于中间一项，即：sinα＝cosα2tg α，cosα＝sinα2ctgα，tgα＝sinα2secα&;;#8943 #8943;共六个公式。该图形中，正弦、正切、正割依次位于六边形右侧，而余弦、余切、余割位于左侧，易于记住。记住一个图形即可记起十几个公式，确是一种经济省力的记忆方法。

31.积化和差公式

正弦2余弦（＝）正加正。余弦2正弦（＝）正减正。

余弦2余弦（＝）余加余。系数二分之一要牢记。

角角关系变和差。

32.公式符号记忆法

一减余弦想正弦，一加余弦想余弦，

异名减，同名加，幂高一次角减半。

33.三倍角正弦与余弦函数公式

三倍角正弦：3 减43。三倍角余弦：43 减3。系数后面很好记，都是单角的同名函数。

公式：sin3θ＝3sinθ－4sin3θ。

cos3θ＝4cos3θ－3cosθ。

34.和差化积公式

和差化积需同名，变量置换要记清；

假若函数不同名，互余角度换名称。

简记为：S＋S＝2S2C S－S＝2C2S

C＋C＝2C2C C－C＝－2S2S