2014年高考真题——理科数学(新课标卷Ⅰ)解析版 Word版含答案

2014年高招全国课标1（理科数学word 解析版）

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2

230x x --≥}，B={}

22x x -≤<，则A B ?=

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）

【答案】：A

【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}

22x x -≤<，

∴A B ?={}

21x x -≤≤，选A..

2.32

(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --

【答案】：D

【解析】：∵32

(1)(1)i i +-=

2(1)

12i i i i +=---，选D..

3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

【答案】：C

【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.

4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A .

B .3

C

D .3m

【答案】：A

【解析】：由C ：2

2

3(0)x my m m -=>，得

22

133

x y m -=，233,c m c =+=

设)

F

，一条渐近线y x =

，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线

的距离

d = A. .

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A .18

B .38

C .58

D .

78

【答案】：D

【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4

216=种，

周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，

则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867

168

+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627

168

-=；选D.

6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

【答案】：B

【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,

在Rt OMP ?中，MD=cos sin 1x x

OM PM OP = cos sin x x =

1sin 22x =

，∴()f x 1

sin 2(0)2

x x π=≤≤，选B. .

7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =

A .

203 B .165 C .72 D .15

8

【答案】：D

【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：133

1,2,222

M a b =+

===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815

,,28838M a b =+===；

4n =时：输出15

8

M = . 选D.

8.设(0,

)2π

α∈，(0,)2π

β∈，且1sin tan cos βαβ

+=，则 A .32

π

αβ-=

B .22

π

αβ-=

C .32

π

αβ+=

D .22

π

αβ+=

【答案】：Ｂ

【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβ

ααβ

+=

=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα??

-==- ???

，,02222ππππαβα-<-<<-<

∴2

π

αβα-=

-，即22

π

αβ-=

，选B

9.不等式组1

24

x y x y +≥??

-≤?的解集记为D .有下面四个命题：

1p ：(,),22x y D x y ?∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ?∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ?∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ?∈+≤-.

其中真命题是

A .2p ，3P

B .1p ，4p

C .1p ，2p

D .1p ，3P

【答案】：C

【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122

z

y x =-+，当直线过()2,1A -时，

min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.

10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的

一个交点，若4FP FQ =

，则||QF =

A .

72 B .5

2

C .3

D .2 【答案】：C

【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =

∴34PQ

PF =，又

344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C

11.已知函数()f x =3

2

31ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

【答案】：B

【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2

x a

=， 当0a >时，()22,0,()0;0,

,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ????'''∈-∞>∈<∈+∞> ? ?????

； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

当0a <时，()22,

,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ?

???'''∈-∞<∈>∈+∞< ? ?????

要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2

()0f a

>，即2

4a >，2a <-．选B

【解析2】：由已知0a ≠，()f x =32

31ax x -+有唯一的正零点，等价于3

1

13a x x =-

有唯一的正零根，令1t x

=

，则问题又等价于3

3a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由

()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，

()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .

B .

C .6

D .4

【答案】：C

【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，

其中4,AB BC AC DB DC =====

6DA =

=，故最长的棱的长度为6DA =，选C

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案) 【答案】：-20

【解析】：8()x y +展开式的通项为818(0,1,,8)r r r r T C x y r -+== ， ∴777888T C xy xy ==，626267828T C x y x y ==

∴8()()x y x y -+的展开式中27x y 的项为7262782820x xy y x y x y -=- ，故系数为-20。

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【答案】：A

【解析】：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市 ∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.

15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =+ ，则AB 与AC

的夹角为 .

【答案】：0

90

【解析】：∵1()2

AO AB AC =+ ，∴O 为线段BC 中点，故BC 为O 的直径，

∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为0

90。

16.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

【答案】【解析】：由2a =且 (2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，

即()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，由及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=-

∴2

2

2

b c a bc +-=，故2221

cos 22

b c a A bc +-=

=，∴060A ∠=，∴224b c bc +-=

224b c bc bc =+-≥，∴1

sin 2

ABC S bc A ?=≤

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减

()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分

（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知

数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则1

2

n m +=

，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2

n

m =

，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*

n N ∈），12n n a a +-=

因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2

δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .

12.2.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.

【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s 分别为

1700.021800.091900.222000.33

2100.242200.082300.02

200

x =?+?+?+?+?+?+?= ()()()()()()2

2

2

22

2

2

300.02200.09100.2200.33

100.24200.08300.02

s =-?+-?+-?+?+?+?+?

150= …………6分

（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而

(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826

依题意知(100,0.6826)X B ，所以1000.682668.26EX =?= ………12分

19. (本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；

（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC 求二面角111A A B C --的余弦值.

【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因

为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥ ，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥ 又 1B O CO =，故

1AC AB = ………6分

（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ??? 故O A ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为

0160CBB ∠=，所以1CBB ?为等边三角形．又AB=BC ，则

A ? ??

，()1,0,0B

，1B ??

? ???

，0,C ?? ? ???

10,33AB ?=- ??

，111,0,,3A B AB ??==- ? ???

111,3B C BC ??

==-- ? ??? 设(),,n x y z =

是平面的法向量，则

11100

n AB n A B ?=??=??

，即003y z x z =??-=??

所以可取(n =

设m 是平面的法向量，则111100

m A B n B C ?=??=??

，同理可取(1,m = 则1

cos ,7

n m n m n m ==

，所以二面角111

A A

B

C --的余弦值为17.

20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>

，

F 是椭圆的焦点，直线AF

O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c

，由条件知

2c =

c =

又c a =， 所以a=2 ，2

2

2

1b a c =-= ,故E 的方程2

214

x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y

将2y kx =-代入2

214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当2

16(43)0k ?=->，即2

34k >

时，1,22

814k x k

±=+

从而12PQ x =-=

又点O 到直线PQ

的距离d =

，所以?OPQ 的面积

12OPQ

S d PQ ?==

，

t =，则0t >，244

14

4OPQ t S t t t

?=

=≤++，

当且仅当2t =，2

k =±

等号成立，且满足0?>，所以当?OPQ 的面积最大时，l 的方

程为：22

y x =- 或22y x =--. …………………………12分

21. (本小题满分12分)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的

切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.

【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，11

2()ln x

x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+

-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '== ，故1,2a b == ……………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知， 12()ln x x

e f x e x x

-=+，从而()1f x >等价于2ln x

x x xe e ->-

设函数 ()l n g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ?

?∈ ???

时，()0g x '< ，

当1

,x e ??∈+∞ ??? 时，()0g x '> ，故()g x 在 10,e ?? ???

单调递减，在

1

,e ??+∞ ???

单调递增，从而 ()g x 在()0,+∞ 的最小值为 11()g e

e

=-. ……………8分 设函数 2()x

h x xe

e

-=-

，则()()1x

h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈ 时，()0h x '> ，当()1,x ∈+∞ 时，()0h x '< ，故()h x 在 ()0,1单调递增，

在 ()1,+∞单调递减，从而 ()h x ()g x 在()0,+∞ 的最小值为 1

(1)h e

=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：

只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计

分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形. 【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以

∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E ,

所以∠D=∠E ……………5分

（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知M N ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故

O M ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E 由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

【解析】：.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θ

θ

=??

=? （θ为参数），

直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

3sin 6d θθ=

+-， 则(

)0

||6sin 30d PA θα=

=+- ，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA

N

当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5

. …………10分

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若0,0a b >>，且

11

a b

+=. (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

【解析】：(Ⅰ) 11

a b =

+≥，得2ab ≥，且当a b =时等号成立，

故33a b +≥=a b ==

∴3

3

a b +的最小值为 ………5分

（Ⅱ）由623a b =+≥3

2

ab ≤

，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分