2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

M

（第2题图）

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120 分钟）

姓名

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）

A ．41

B ．31

C ．

2

1

D ．1

2．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38

B ．39

C ．40

D . 41

3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则

y

x

的值等于（ ） A ．

95 B ．5

9

C ．52011-

D ．9

2011

- 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6

B . 7

C ．8

D ．9

5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2

)2(2b

a cx x

b a y -

---=在1=x 时取最小值b 5

8

-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形

6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ，

e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不

同顺序的取法的种数有（ ）

（1） （2）

（第5题图）

A ．5种

B ．6种

C ．10种

D ．12种

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .

8．（人教版考生做）如图A

ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD

相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ．

8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D

，E 分别为AB ，BC 边上的两个动

点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则

FG

AF

= ． 9．已知012

=--a a ，且32

22322

324-=-++-a

xa a xa a ，则=x ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．

11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，

如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 _______m ．

12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，

y

x

四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）

已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．

(第11题图)

A

B

C

D

（第8题图A ）

G

F

E

C

B

A

（第8题图B ）

D

14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．

（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有

最大值？

（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三

角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的3

1

？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）

（备用图）

(第14题图)

对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；

（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.

参考答案

一、选择题（每小题5分，共30分） 1—6 C D B A D C

二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：

5

16

；B ：12 ； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12.

)1,21(-)1,2

1

(--. 三、解答题：（每题20分，共60分）

13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得

原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0. 即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,

(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：??

?

??=-=-=-000

a c c

b b a

解这个方程组，得c b a ==. 14. 解：（1）（6，4）；（2

,

3

t t ）.（其中写对B 点得1分）………………………………3分 （2）∵S △OMP =

12×OM ×2

3

t ， ∴S =

12

×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝2

1(3)33t --+（0 < t <6）．

∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分

（3）存在．

由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43

y x =．

设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3

b y x b =-+，

解方程组43

3y x b y x b

?=???

?=-+??

得3444b x b b y b ?=??+??=?+? ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(

,)44b b

b b

++．

∵S △OCN ＝

1

2

×4×3＝6，∴S △ORT ＝13 S △OCN ＝2． ················· …………………10分

当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1， 如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，

则S △OR 1T 1＝12????RD 1?OT ＝12?34b b +?b ＝2.

∴2

34160b b --=， b

.∴b 1

，b 2

此时点T 1的坐标为（0

）. ········· ……………………………………………15分 ② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312

b b

-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝

12?EN ?D 2 =12?312(3)b b --?4(4)4b b -+96(4)

b b =+＝2. ∴2

4480b b +-=，b

2=±.

∴b 1

＝2，b 2

＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0

，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0

），T 2（0

，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=

∴b ap q -=

2

代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-a

x p b x y

得?????=+=-+-0202a x b x y 解得：???

?

???-=-=4422

b

a y a x ， 故抛物线q px x y ++=2

通过定点)4

4,

2(2b a a --……………………10分 （2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=?-=-

=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---

∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p

（备用图）

∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.

∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分