2013年全国高考文科数学试题及答案-江西卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学解析

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。 考生注意：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。

4. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案]：D

[解析]：Z ＝-2i-i 2 =1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限

2. 若集合A=｛x ∈R|ax 2

+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或4 [答案]：A

[解析]： 010a =≠?当时，

＝不合，当a 0时，＝0，则a=4

3. sin cos 2

α

α=

=若 （ ） A. 23-

B. 13-

C. 13

D.23

[答案]：C [解析]：2

11

cos 12sin

12233

α

α=-=-?= 4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 A B. C. D.

[答案]：C

[解析]：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选C

5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A.08

B.07

C.02

D.01 [答案]：D

[解析]：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D 6. 下列选项中，使不等式x ＜1x

＜2

x 成立的x 的取值范围是（ ） A.（

，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+）

[答案]：A

[解析]：令x=-2,不等式成立，只能选A 。

7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是

A.S ＜8

B. S ＜9

C. S ＜10

D. S ＜11 [答案]：B

[解析]：依次运行i=1,2,3,4,时s=0，5，8，9若输出i=4,则表示s=8时运行是，s=9运行否，故选B

8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π

D. 140+18π

[答案]：A

[解析]：还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱。

9. 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|= A.2:

B.1:2

C. 1:

D.

1:3

[答案]：C

[解析]：依题意可得AF 所在直线方程为

12x y +=代入x 2=4y 得y =，又|FM|：|MN|=（1-y ）：（1+y ）＝1:

10.如图。已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O

在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀 速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ， 令y=cosx ，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ） 的函数y=f （t ）的图像大致为

[答案]：B

[解析]：法1：取特值x=0时t=0,则y=1排除A ，D ，取2

x π

=时10.30.52

t =-

≈<,选B 法2：依题意可知cos

12x t =-，则22cos 2cos 12(1)1(01)2

x

y x t t ==-=--≤≤选B 第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若曲线1y x α

=+（α∈R ）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。 [答案]：2 [解析]：1

y x

αα-'=，则k α=，故切线方程y x α=过点（1，2）解得2α=

12.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n （n ∈N*）等于 。 [答案]：6

[解析]：直接计算2+4+8+16+32+64＝128得n=6, 或解231

222...222100n n +++++=-≥得n

为6. 13设f （x ）=

sin3x+cos3x ，若对任意实数x 都有|f （x ）|≤a ，则实数a 的取值范围是 。

[答案]：2a ≥

[解析]：()cos32sin(3)f x x x x φ=+=+得|()|2f x ≤故2a ≥

14.若圆C 经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C 的方程是 。

[答案]：2

2

3

25

(2)()2

4

x y -++=

[解析]：设圆心坐标为（x ，y ）,半径为r ，则x=2,又2222(1)r r =+-故r=

52，则32

y =-。 15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD,则直线EF 与正方体的六

个面所在的平面相交的平面个数为 。

[答案]：4

[解析]：设CD 的中点为M ，连结EM ，FM 易证平面EFM ⊥平面α，则EF 与平面α平行，不会相交，故EF 只与其余四个面相交。

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分） 正项数列｛a n ｝满足2(21)20n n a n a n ---=。

（1） 求数列｛a n ｝的通项公式a n ； （2） 令1

(1)n n

b n a =

+，求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。

[解析]：(21)20n n ---=2n n n n 解：（1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0 由于｛a n ｝是正项数列，则2n =n a 。

（2）由（1）知2n =n a ，故11111

()(1)(1)(2)2(1)

n n b n a n n n n =

==-+++

11111111(1...)(1)222312122

n T n n n n ∴=

-+-++-=-=+++n

17.（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. （1） 求证：a ，b ，c 成等差数列；

（2） 若C=

23

π，求

a

b

的值。 [解析]：（1）由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B

因为sinB 不为0，所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a ，b ，c 成等差数列

（2）由余弦定理知222

2cos c a b ac C =+-得2

2

2

2(2)2cos

3b a a b ac π-=+-化简得35

a b =

18．（本小题满分12分）

小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O 为起点，再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X ，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋

（1） 写出数量积X 的所有可能取值 （2） 分别求小波去下棋的概率和不．

去唱歌的概率 解：（1） x 的所有可能取值为-2 ，-1 ，0， 1。 （2）数量积为-2的只有25OA OA ?一种

数量积为-1的有15OA OA ?，1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ?????六种 数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ????四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ????四种 故所有可能的情况共有15种。 所以小波去下棋的概率为1715

p = 因为去唱歌的概率为2415p =，所以小波不去唱歌的概率2411

111515

p p =-=-

= 19．（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=，AA 1=3，E 为CD 上一点，

DE=1，EC=3

（1） 证明：BE ⊥平面BB 1C 1C;

（2） 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离

解.（1）证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，则1,2BF AD EF AB DE FC ===-==

在Rt BFE BE Rt BFC BC ??中，，中，

在222

9BCE BE BC EC ?+中，因为＝＝，故BE BC ⊥

由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面

（2）111111113

A B C E A B C V AA S ?-?三棱锥的体积＝

11111

Rt A D C AC ?在中，，

同理，1EC ，

1EA

因此11

A C E S ?=。设点B1到平面11EAC 的距离为d ，则111

B EA

C -三棱锥的体积

1113A EC V d S ???＝d ==

20.（本小题满分13分） 椭圆C:

=1(a>b>0)的离心率

，a+b=3

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 如图，A,B,D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的

任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m-k 为定值。

222222

23124

c c a b b a a a a -===-=20.解：（1）因为e=故 所以2a b =再由a+b=3得a=2,b=1,

2

214

x C y ∴+=椭圆的方程为：

1

)

2

≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k

①

将①代入22

14x y +=，解得222824(,)4141

k k P k k --++

又直线AD 的方程为1

12

y x =

+ ② ①与②联立解得424(

,)2121

k k

M k k +-- 由22

2824(0,1),(,),(,0)4141

k k

D P N x k k --++三点共线可角得42(,0)21k N k -- 所以MN 的分斜率为m=214k +，则211

222

k m k k +-=

-=（定值）

21．（本小题满分14分）

设函数1

,0()1(1),11x x a a

f x x a x a ?≤≤??=??-<≤?-?

a 为 常数且a ∈（0，1）.

（1） 当a=

12时，求f （f （1

3

））； （2） 若x 0满足f （f （x 0））= x 0,但f （x 0）≠x 0，则称x 0为f （x ）的二阶周期点，证明函数()

f x 有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x 1，x 2；

（3） 对于（2）中x 1，x 2，设A （x 1,f （f （x 1））），B （x 2,f （f （x 2）））,C(a 2

,0)，记△ABC

的面积为s （a ），求s （a ）在区间[1

3,1

2

]上的最大值和最小值。

当2

0x a ≤≤时，由21x x a

=解得x=0,由于f （0）=0,故x=0不是f （x ）的二阶周期点；

当2

a x a <≤时由

1

()(1)

a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈

因222211(

)1111

a a a

f a a a a a a a a a =?=≠-++-++-++-++

故2

1

a

x a a =-++是f （x ）的二阶周期点； 当2

1a x a a <<-+时，由

2

1

()(1)

x a x a -=-解得12x a =-2(,1)a a a ∈-+ 因1111(

)(1)2122f a a a a =?-=----故1

2x a

=-不是f （x ）的二阶周期点； 当2

11a a x -+≤≤时，

1

(1)(1)

x x a a -=-解得2

11x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+ 因22221111

(

)(1)11111

a f a a a a a a a a a =?-=≠-++--++-++-++

故21

1

x a a =-++是f （x ）的二阶周期点。

因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，22

1

1

x a a =-++。 （3）由（2）得2

22211

(,),(,)1111

a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++ 则2322

22

1(1)1(222)

(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=?=?-++-++

因为a 在[

13,12]内，故()0s a '>，则11()[]32

s a 在区间，上单调递增，