2018届高三数学第三次月考试题文

2017——2018学年度（上）高三第三次月考

数学（文科）试卷

命题人：

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A ．φ

B ．{}1,2

C ．{}3,4

D ．{}5,6

2.已知i 为虚数单位，则复数

341i

i -+的虚部为（ ） A.72- B. 72 C. 7

2

i - D.72i

3．已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（ ） （A ）

3π （B ）2π （C ）32π （D ）6

5π

4．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则3a =（ ）

A.10- B 6- C 8- D.4-

5.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ） A ．164石 B ．178石 C ．189石 D ．196石

6. 命题：“00x ?>，使002()1x

x a ->”，这个命题的否定是（ ） A ．0x ?>，使2()1x

x a ->B ．0x ?>，使2()1x

x a -≤ C ．0x ?≤，使2()1x

x a -≤D ．0x ?≤，使2()1x

x a ->

7.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．342π+

B ．63π+

C ．362π+

D ．3

122

π+

8．如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ）

A ．3?k >

B ．4?k >

C ．5?k >

D ．6?k >

9. 若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）

（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =

-∈ （D ）()ππ212

Z k x k =+∈ 10.已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2

2

4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）

A 、2

B 、、6 D 、

11．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为12,F F ，这两条曲线在第一象限的交点为12,P PF F ?是以1PF 为底边的等腰三角形。若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为

12,e e ，则12e e 的取值范围是（ ）

.(0,)A +∞B .1,3??+∞ ??? C.1,5??+∞ ???D.1,9??

+∞ ???

12.已知函数222,0()2,0

x x x f x x x x ?-+≥?=?-

[()]()0f x af x b +-<恰有1个整数解,则

实数a 的最大值是（ ）A ．2 B ．3 C ．5 D ．8

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知一组数据：

的平均数为，则该组数据的方差为______.

14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥??

≥??+-≥?

，则2z x y =+的最小值为.

15. 设数列{}n a 满足1042=+a a ，点),(n n a n P 对任意的+∈N n ，都有向量

)2,1(1=+n n P P ，则数列{}n a 的前n 项和n S =.

16. 已知两条直线1l ：y m =和218

:(0),21

l y m l m =

>+与函数2log y x =的图像从左到右相交于点,A B ,2L 与函数2log y x =的图像从左到右相交于点,,C D 记线段A C B D

和在b

x a

轴的投影长度分别为a,b.当m 变化时，的最小值为______.

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17、如图，平面四边形ABCD

中，AB =

AD =

CD =

30CBD ∠=，120BCD ∠=，

求 （Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ?的面积S .

18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，0

90ACB ∠=，侧

棱

12,A A A B ==,,D E F 分别为棱11,,CC A B AB 的中点.（1）求证：直线//CF 平面1A BD ；（2）求点1A 到平面ADE 的距离.

(18题图) (19题图)

19.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[)20,25，第2组[

)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]

40,45，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.

（1）求该组织的人数；

（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.

20.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2

，它的一个顶点恰好是抛物线2

x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；

（2）直线2x =与椭圆交于P,Q 两点，P 点位于第 一象限，A,B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点.当点 A,B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜 率是否为定值，请说明理由.

21.设函数()ln .f x x x =+ （1）令()()a F x f x x

x

=+-（03x <≤），若()F x 的图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤

2

1

恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若方程2

2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y = 8，圆C 的参数方程是2cos 22sin x y ?

?=??=+?

（φ为参数）。以

O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；

（2）射线OM ：θ = α（其中02

a π

<<

）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2

π

θα=+

与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求||||

||||

OP OQ OM ON ?

的最大值. 23．选修4 - 5：不等式选讲

已知函数()|3|f x m x =--，不等式()2f x >的解集为(2,4).

（1）求实数m 的值；

（2）若关于x 的不等式||()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.

2018届第三次月考数学试题答案

一．选择题 1-6 BACDCB 7-12 CCBCBD 二、填空题 13.2

14. 3 15.

16.8

(17) 【解析】（Ⅰ）在BCD ?中，由正弦定理得：

sin 31sin 22

CD BD BCD CBD =

?∠=?=∠， …………………2分

在ABD ?中，由余弦定理得：

222

cos 2AD BD AB ADB AD BD

+-∠=?

==

…………………4分 所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=

因为6sin sin(4530)ADC ∠=+= …………………8分 所以1

sin 2

S AD

CD ADC =

?

?∠

12=?

=…………………12 18

(1)证明见解析；(2)

3

. 【解析】试题分析： ()1要证明直线//CF 平面1A BD ，连接各中点后证得四边形EFCD 为平行四边形，即可得到直线//CF 平面1A BD （2）利用等体积法，转换棱锥的顶点和底面，即可求出点1A 到平面ADE 的距离

解析：(1) 连结 ,,DE EF FC ，则在三角形1A AB 中EF 为中位线，于是1//EF A A

因为D 为1C C 中点，所以EF 平行且等于DC . 所以在平行四边形EFCD 中， CF 平行于DE 因为DE 在平面 1A BD 上，所以CF 平行于平面1A BD

（2）因为CF 垂直于AB ， CF 垂直于1AA ，所以CF 垂直于平面11ABB A ，

于是DE 垂直于平面11ABB A ， DE =

三角形ADE 1A AE

由11D A AE A ADE V V --=d =

， d = 1A 到平面ADE .

19．（1）100（2）应从第3,4,5组中分别抽取3人， 2人， 1人. （3）

4

5

【解析】试题分析：（1）由题意第2组的人数为3550.07n =??，即可求解该组织人数. （2）根据频率分布直方图，求得第3组，第4组，，第5组的人数，再根据分层抽样的方法，即可求解再第3,4,5组所抽取的人数.

（3）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，第5组的1名志愿者为1C ，列出所有基本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率. 试题解析：

（1）由题意第2组的人数为3550.07n =??，得到100n =，故该组织有100人. （2）第3组的人数为0.06510030??=，第4组的人数为0.04510020??=，第5组的人数为0.02510010??=，

所以第3,4,5组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组

306360?=；第4组206260?=；第5组10

6160

?=. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人， 2人， 1人.

（3）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B ，第5组的1名志愿者为1C ，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有()()()121311,,,,,,A A A A A B ()()1211,,,,A B A C ()()2321,,,,A A A B

()22,,A B

()21,,A C ()()()313231,,,,,,A B A B A C ()()()121121,,,,,B B B C B C ，共15有种.

其中第3组的3名志愿者123,,A A A 至少有一名志愿者被抽中的有()()()()12131112,,,,,,,,A A A A A B A B

()11,,A C ()()()()23212221,,,,,,,,A A A B A B A C ()()()313231,,,,,A B A B A C ，共12有种.

则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为124

155

=. 20.

21.解

22.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.

圆C 的普通方程分别是2

2

(2)4x y +-=，

所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分

（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为???==,,sin 4αθαρ和?

??==.,

8sin αθαρ

所以αsin 4||=OP ，α

sin 8

||=

OM ， 从而2||4sin sin 8||2sin OP OM αα

α

==.

同理，

2sin ()

||2||

2OQ ON π

α+=.

所以||||||||OP OQ OM ON ?2

2

2sin ()sin sin (2)22216

π

ααα+=?=

，

故当4

π

α=

时，

||||||||OP OQ OM ON ?的值最大，该最大值是16

1

. …10分

23.解 ：（Ⅰ）由已知得32x m -<-，得51m x m -<<+，即3m = …… 5分 （Ⅱ）()x a f x -≥得33x x a -+-≥恒成立

33()3x x a x x a a -+-≥---=-（当且仅当(3)()0--≤x x a 时取到等号）

33∴-≥a 解得6a ≥或0a ≤

故a 的取值范围为 0a ≤或6a ≥ …… 10分