【解析版】福建省六校联考2013届高三上学期第一次联考数学(理)试题

福建省六校联考2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

1. 稳中有升，深度适中，紧扣高考；本卷选择题第15题，综合性较强，考查了函数的

性质——单调性、奇偶性，导数与单调性间的关系，导数与最值之间的关系，以及作出简单的函数图像的能力；因此该题要求学生对函数的认识形成一个完整的知识体系； 2.

大题难度适中，但考点较多，能力体系如下：第16题——集合+一元二次不等式，

考查基本的逻辑思维；第17题——条件与集合+一元二次不等式，考查基础计算能力以及分类讨论的思想；第18题——函数的性质，考查学生化归与转化的数学思想；第19题——分段函数+基本不等式，考查学生构建数学模型的能力；第20题——函数与导数，重点考查学生转化问题的能力. 3.

选考部分难度与高考持平；

总的来说，该卷是一轮复习中一份很好的测试示范卷.

第I 卷（选择题 共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、已知集合{,}23A a =，集合{,,}01B b a =-，且{}1A B ?=，则A B ?=( ) A ．{,,}013 B ．{,,}124 C ．{,,,}0123 D ．{,,,,}01234

2、函数)13lg(13)(2

++-=

x x

x

x f 的定义域是（ ）

A ．),31

(+∞-

B ．

)1,31

(-

C ． )31,31(-

D ．

)

31

,(--∞

3、在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：

x

0.50 0.99 2.01 3.98 y

0.99-

0.01

0.98

2.00

则对x ,y 最适合的拟合函数是 （ ）

A ．x y 2=

B ．12-=x y

C ．22-=x y

D ． x y 2log = 【答案】D.

【解析】A 选项，2x y =，当2x =时，4y =，与题设坐标相差太远，舍去；B 选项，当2x =时，3y =，与题设坐标相差太远，舍去；C 选项，当2x =时，2y =，4x =时，6y =，与题设坐标相差太远，舍去；故选择D.

【考点定位】本题考查函数的拟合，主要考查学生的观察分析能力.

4、已知函数()f x =4log ,03,0

x x x x >??≤?，则1

[()]16f f =（ ）

A ．

19

B ．1

9

- C ．9 D ．9-

【答案】A. 【解析】因为4

11

(

)log 216

16f ==-，所以11()(2)169f f f ?

?=-=????

. 【考点定位】本题考查分段函数的计算，主要考查学生的基本运算能力.

5、设1

23log 2,ln 2,5a b c ===，则（ ） A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．c b a <<

D ．b c a <<

6、设()4x f x e x =+-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)

C ．(1,2)

D ．(2,3)

7、下列关于命题的说法错误的是 ( )

A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；

B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；

C ．若命题p ：,21000n n N ?∈>，则p ?：,21000n n N ?∈≤；

D ．命题“(,0),23x x x ?∈-∞< ”是真命题 【答案】D.

【解析】D 选项错误，(,0),23x x x ?∈-∞>.

【考点定位】本题考查简易逻辑，主要考查学生分析问题的能力.

8、设a 为实数，函数3()()f x x ax x R =+∈在1x =处有极值，则曲线)(x f y =在原点处的切线方程为( ) A ．x

y 2-= B ．

x y 3-= C ．x y 3= D

．

x

y 4=

9 ）

【答案】C.

10、设函数()()x

f x F x e

=

是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '<

对于x R ∈恒成立，则 （ ）

A ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f >>

B ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <<

C ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <>

D ．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f ><

【答案】B.

【解析】解法一：令()2f x x =+，所以(2)4f =，(0)2f =，(2012)2014f =，所以2

(2)(0)f e f <，2012

(2012)(0)f e

f <；

解法二：因为()()f x f x '<，所以

()()x

x

f x f x e

e

'<

，即()()x x

f x e f x e

'< ，

''

2()()()0x x

x

f x e f x e

F x e

-=

< ，所以()()x

f x F x e

=

在R 上为减函数，所以

2012

2

(2012)(2)(0)f f f e

e

e

<<

，所以选择B.

【考点定位】本题考查导数与函数的单调性的关系，主要考查学生转化问题的能力.

第II 卷（非选择题，共100分）

二、填空题：(本大题5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置). 11、如图，已知幂函数a y x =的图象过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于 .

12、已知奇函数()f x 满足(2)(),(0,1)f x f x x +=-∈且当时，()2x f x =，则7

()2f 的

值为 .

13、已知函数()f x =32

,2

(1),2x x x x ?≥???-

，

若关于x 的方程()1f x k =-有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(1，2).

【解析】做出两个函数的图像可知要想()1f x k =-有两个不等的实根，则011k <-<，所以12k <<.

【考点定位】本题考查方程的根与函数的交点之间的关系，主要考查学生数形结合的能力.

14、已知函数3

2

()3f x x ax x =--在区间[1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】](,0-∞.

【解析】'2()323f x x ax =--，令'()0f x ≥，所以23230x ax --≥，所以3322a x x

≤-

在区间[1,)+∞上恒成立，所以令33

()22g x x x =

-

，所以'2

3

6

()024g x x

=

+

>，

所以()g x 在[1,)+∞上是增函数，所以33

(1)022

a g ≤=-=，所以a 的取值范围是](,0-∞.

【考点定位】本题考查“分离参数法”，主要考查学生分析转化问题的能力.

15、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，),1()(-=-x e x f x 给出以下命题： ①当x 0<时，)1()(+=x e x f x ； ②函数)(x f 有五个零点；

③若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-； ④对1221,,()()2x x R f x f x ?∈-<恒成立. 其中，正确命题的序号是 . 【答案】①④.

由图可知，若关于x 的方程m x f =)(有解，则11m -<<，且对

1221,,()()2x x R f x f x ?∈-<恒成立.

【考点定位】本题考查函数综合性问题，考查学生探究问题的能力以及数形结合的数学思想. 三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、（本小题满分13分）

已知集合{})(0)1(|R a a x x x M ∈<--=，{}2|230N x x x =--≤,若M N N = ,求实数a 的取值范围.

【解析】本题为简单题；具体思路为：因为M N N = ，所以M N ?；然后先求出集合

例1、若集合{},{}x A x x B x

x

-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ?=（ ）

A. {}x x -1≤<0

B. {}x x 0<≤1

C. {}x x 0≤≤2

D.{}x x 0≤≤1

例2、集合{|lg 0}M x x =>,2

{|4}N x x =≤,则M N = （ ）

A ．(1,2)

B ．[1,2)

C ．(1,2]

D ．[1,2]

因此，除了掌握好基本的一元二次不等式以外，还需要掌握一元二次不等式的几种变式，如分式不等式、绝对值不等式以及基本的高次不等式的解法，这样才能够在高考中更加灵活的驾驭考试时间.

17、（本小题满分13分） 已知命题:p 实数x 满足12123

x --≤-

≤,命题:q 实数x 满足22

2(1)0x x m -+-≤

(0)m >，若p ?是q ?的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.

【答案】解法一 ：由12123

x --≤-

≤,得210x -≤≤, …………………3分

∴记{}{}||210A x p x x ==-≤≤

由22210(0)x x m m -+-≤>得11m x m -≤≤+，…………………6分 记{}{}||11(0)B x q x m x m m ==-≤≤+> ∵p ?是q ?的必要不充分条件

∴p 是q 的充分不必要条件, 即p ?q 且q ?/p , ∴

A

B ，…………………8分

要使

A

B ，又0m >，则只需0

12110m m m >??

-≤-??+≥?

…………………11分

∴9m ≥

故所求实数m 的取值范围是9m ≥. …………………13分 解法二：由12123

x --≤-

≤,得210x -≤≤, …………………3分

故所求实数m 的取值范围是9m ≥. …………………13分

【解析】本题为简单题，现提供以下两种解法；方法一：将“p ?是q ?的必要不充分条件”转化为“p 是q 的充分不必要条件”，然后分别求出求出p 和q 所代表的不等式，结合数轴进行分析即可；方法二：先求出p 和q 所代表的不等式，然后再去求p ?和q ?所代表的不

等式，再利用“p ?是q ?的必要不充分条件”，结合数轴分析即可得到结论；两种方法中必须注意，对于”222(1)0x x m -+-≤”，虽然有参数m ，但是是可以进行因式分解的. 【考点定位】本题考查条件与集合的关系以及一元二次不等式的解法，主要考查学生分析转化问题的能力以及分类讨论的数学思想. 利用条件与集合的关系，来确定参数的取值范围，是一类重要的题型，此类问题的解题方法如下：①确定题设条件所代表的含义；②根据所给的条件（如本例给出的p ?是q ?的必要不充分条件）确定集合的包含关系；③利用数轴列出不等式组进行求解. 可以尝试一下问题：已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>条件且p q ??是的充分不必要条件，则a 的取值范围是 .

18、（本小题满分13分）

已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(0)1f =-，对任意x R ∈都有()1f x x ≥-，且

11()()2

2f x f x -

+=-

-．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）是否存在实数a ，使函数12

()log [()]x g x f a =在(,)-∞+∞上为减函数？若存在，求出

实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．

即2(1)0ax b x +-≥对任意x R ∈成立，

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【解析】本题为中档题；第（1）问，利用“(0)1f =-”求出c ，利用“11()()2

2

f x f x -

+=-

-”

定出二次函数的对称轴，得到关于a 和b 的关系，最后再利用“对任意x R ∈都有

()1f x x ≥-”定出a 和b ；第（2）问，先确定12

()log [()]x

g x f a =，然后利用复合函数的

单调性确定a 的取值范围.

【考点定位】本题考查函数的解析式以及复合函数的单调性，主要考查学生的逻辑思维与转化与化归的数学思想. 恒成立问题一般都两种：①对于定区间恒成立问题，一般是采用分离参数，例如：（1）已知函数32()24f x x x x =++-,2()7g x x ax =+-.若对任意的

[0,)x ∈+∞都有'()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.

解：'()()f x g x ≥ 即223417x x x ax ++≥+-2

248ax x x ∴≤++ 若0x =，则08≤恒成立， a R ∴∈ 若0x >，则824a x x

≤+

+

，824412x x

+

+≥= 又，12a ∴≤

综上所述：12a ∴≤；

②对于定义在R 上的二次函数恒成立问题，一般是采用数形结合的

方法，看二次函数的开口与?，如本题中，要求“2

(1)0ax b x +-≥对任意x R ∈成立”，

则2

0(1)0a b >???=-≤?

；此外，对于复合函数的单调性的记忆，可以类比正负数的乘法进行 记忆.

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19、（本小题满分13分）

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ．当年产量不足80千件时，x x x C 103

1)(2

+=

(万元)．当年产量不小于80千件时，

14501000051)(-+

=x

x x C (万元)．每件．．

商品售价为 05.0万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润 )(x L (万元)关于年产量 x (千件．．)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件．．

时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

(2)当0

3

(x －60)2＋950.

此时，当x ＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元． ………………9分 当x≥80时，L(x)＝1 200－???

?

x ＋10 000x ≤1 200－2 x·10 000x

＝1 200－200＝1000.

此时，当x ＝

10 000

x

时，即x ＝100时，L(x)取得最大值1000万元．………………12分 ∵ 950 < 1000

所以，当产量为100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000 万元． ………………13分

【解析】本题为中档题；第(1)问，利用利润=（售价—成本）×销售量，求出利润函数，注意根据题目要求进行分段；第(2)问，根据第(1)问列出的利润函数L(x)＝

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???

－13x 2

＋40x －250 0

?x ＋10 000x x ≥80 .可知，当0

方法或者二次函数顶点坐标公式求出这个二次函数的最大值；当x≥80时，函数为对勾函数的形式，应该使用基本不等式求解其最大值，但要注意等号成立的条件.

【考点定位】本题以函数为背景，考查基本不等式的使用，意在考查学生的观察、分析、转化、应用知识的能力. 基本不等式，作为高考的考点，主要有一下几种类型：

20、（本小题满分14分） 已知函数()x f x e =,()ln g x x =

(1)若曲线2

()()()h x f x ax ex a R =+-∈在点(1,(1))h 处的切线垂直于y 轴，求函数()h x 的单调区间； (2)若函数()1()()a F x g x a R x

=-

-∈在区间)2,0(上无极值，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）∵2

()()h x f x ax ex =+-2

()x

e ax ex a R =+∈- ∴()2x

h x e ax e '=+- ………………1分 又∵曲线()h x 在点(1,(1))h 处的切线垂直于y 轴 ∴(1)2k h a '==，

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由02==a k 得0=a ， ………………3分

∴()x h x e ex =- ∴()x h x e e '=- 令()0x h x e e '=->得1>x ，

令()0x h x e e '=-<得1

∴故()h x 的增区间为),1(+∞,减区间为)1,(-∞ ………………6分 （2）∵()1()a

F x g x x =-

-1ln a

x x

=-- (0)x >

∴22

1()a a x

F x x x x

-'=-= ………………7分 ①当0≤a 时，在区间)2,0(上2

()0a x

F x x

-'=<恒成立，即函数()F x 在区间)2,0(上单调递减，故函数()F x 在区间)2,0(上无极值； ……………9分

先将题目条件“函数()1()()a F x g x a R x

=-

-∈在区间)2,0(上无极值”转化为“方程

'

'

2

()()0a F x g x x

=

-=的根不在)2,0(上”，然后根据0x >界定出分类讨论的依据，即

0a <或0a ≥，结合题目条件进行分析即可.

【考点定位】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及导数与极值的应用，主要考查学生转化与化归的数学思想. 导数与极值的问题，在高考中往往较少出现，但是一定要注意在求极值的过程中，令'

()0f x =，这就涉及到方程的思想；此外，还要注意导数的基本考点：①导数与单调性；②导数的几何意义；③导数与极值、最值；④导数与不等式；⑤恒成立问题；⑥利用求导来作函数图像.

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21、（本小题满分14分）

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵21

a A

b ??

=?

???有一个属于特征值1的特征向量21α??=??-??

， ①求矩阵A ； ②已知矩阵1

10

1B -??

=?

???

，点(0,0)O ，(2,1)M -，(0,2)N ，求OMN ?在矩阵AB 的对应变换作用下所得到的O M N '''?的面积． 【答案】解：①由已知得：21

a b ???

???

21????-??211??

=???-??

， ∴22221a b -=??-=-?， 解得23a b =??=?， 故221

3A ??

=????

. ……………3分

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为3x t y t

=-???

=

??，（t 为参数），在极坐标系（与直

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角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为24s 30co ρρθ-+=.

①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.

【答案】①直线l

0y -+=. …………………2分 曲线C 的直角坐标方程为：22430x y x +-+=【或22(2)1x y -+=】. …………………4分

②曲线C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1； ∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为

:d =

= …………………6分

所以点P 到直线l

的距离的取值范围是1]- ………………7分

【解析】第①问，可以利用极坐标的知识求出直线l 与曲线C 的方程；第②问圆上的点到直线l 的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径，圆上的点到直线l 的最小距离等于圆心到直线的距离减去半径.

【考点定位】本题考查极坐标与指教坐标系的互化、圆的参数方程等基础知识，主要考查学生运算求解能力和转化与化归的事项.

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|1||1|.f x x x =-++ ①求不等式()3f x ≥的解集；

②若关于x 的不等式2()f x a a ≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.

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()f x 后，转化为一元一次不等式进行求解；第②问，要想2

()f x a a ≥-在R 上恒成立，

只要2min max ()()f x a a ≥-即可，转化为去求函数的最值问题进行求解.

【考点定位】本题考查绝对值不等式的知识，主要考查学生分类讨论的能力. 解绝对值不等式的关键在用零点分段法脱掉绝对值符号，然后运用分类讨论的思想进行求解. 函数的恒成立问题，往往转化为最值问题进行求解.