名师测控2017年春八年级数学下册1三角形的证明课题三角形内角的平分线学案

名师测控2017年春八年级数学下册1三角形的证明课题三角形内角的平分线学案
名师测控2017年春八年级数学下册1三角形的证明课题三角形内角的平分线学案

课题三角形内角的平分线

【学习目标】

1.能证明三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边距离相等.

2.能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算.

【学习重点】

理解三角形三内角平分线交于一点,并进行相关应用.

【学习难点】

角平分线性质定理及判定定理的熟练应用.

行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么.

行为提示:认真阅读课本,独立完成“自学互研”中的题目,并在练习中发现规律,从猜测到探索到理解知识.

方法指导:

1.证明三线共点的方法是先设其中两条直线相交于一点,再证明这一点在第三条直线上.

2.到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点,此点必在三角形的内部.

情景导入生成问题

旧知回顾:

1.角平分线的性质定理和判定定理内容是什么?

答:(1)角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

(2)在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

2.我们曾学过三角形三边的垂直平分线交于一点,这一点到三顶点距离相等,本节课我们学习三角形三条角平分线的性质.

自学互研生成能力

知识模块一三角形三条角平分线的性质

【自主探究】

阅读教材P30-31的内容,回答下列问题:

三角形三条角平分线性质是什么?如何证明?

答:三角形三条角平分线交于一点,这一点到三条边的距离相等.

已知:如图,在△ABC 中,角平分线BM 与角平分线CN 相交于点P ,过点P 分别作AB 、BC 、AC 的垂线,垂足分别是D 、E 、F.

求证:∠A 的平分线经过点P ,且PD =PE =PF.

证明:∵BM 是△ABC 的角平分线,点P 在BM 上,∴PD =PE(角平分线上的点到角的两边距离相等).同理:PE =PF ,∴PD =PE =PF ,∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上),即∠A 的平分线经过点P.

归纳:三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到三条边距离相等.

范例1:如图,有三条铁路a 、b 、c 相互交叉,现在建一个货物中转站,要求到三条铁路的距离相等,可供选择的地址有4处.

,(范例1题)) ,(仿例1题)) ,(仿例2题))

仿例1:如图,已知O 为△ABC 的两条角平分线BO 、CO 的交点,过点O 作OD⊥BC 于点D ,且OD =2 cm ,若

△ABC 的周长是17 cm ,则△ABC 的面积为17__cm 2.

学习笔记:

行为提示:教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务,各组在展示过程中,老师引导其他组进行补充,纠错,最后进行总结评分.

学习笔记:

检测可当堂完成.

仿例2:如图,PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线,且相交于点P.求证:点P 在∠BAC 的平分线上.

证明:过点P 分别作PE⊥AB 于E ,PF ⊥AC 于F ,PG ⊥BC 于G.∵PB、PC 分别是△ABC 的外角平分线,∴PE =PG ,PG =PF ,则PE =PF ,所以点P 在∠BAC 的平分线上.

知识模块二 有关角平分线的计算与证明

范例2:

如图,BE 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于D ,S △ABC =36 cm 2,AB =18 cm ,BC =12 cm ,则DE = 125

cm . 仿例1:如图,AB ∥CD ,BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,点E 在AD 上.求证:BC =AB +CD.

证明:在BC上截取BF=AB,连接EF.∵AB=BF,∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴△ABE≌△FBE,∴∠A=∠BFE.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∵∠BFE+∠EF C=180°,∴∠EFC=∠D.∵CE平分∠BCD,∴∠ECD=∠ECF.又∵CE=CE,∴△ECF≌△ECD,∴CF=CD,∴BC=BF+CF=AB+CD.

仿例2:如图,在四边形OACB中,CM⊥OA于M,若∠1=∠2,∠3+∠4=180°.求证:CA=CB.

证明:过点C作CN⊥OB于点N.∵∠1=∠2,CM⊥OA,∴CN=CM.∵∠3+∠4=180°,∠4+∠CBN=180°,∴∠3=∠CBN.又∵∠CMA=∠N=90°,∴△AMC≌△BNC,∴CA=CB.

归纳:证明线段的和或差通常用截长补短法,联系角平分线对称性添加辅助线构造全等三角形.

交流展示生成新知

【交流预展】

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.【展示提升】

知识模块一三角形三条角平分线的性质

知识模块二有关角平分线的计算与证明

检测反馈达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书;【课后检测】见学生用书.

课后反思查漏补缺

1.收获:________________________________________________________________________

2.存在困惑:________________________________________________________________________

初二几何证明题

28.(本小题满分10分) 如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A 向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP-CQ。设AP=x (1)当PQ∥AD时,求x的值; (2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围; (3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围。 21.(本小题满分9分) 如图,直线y x m =+与双曲线 k y x =相交于A(2,1)、B两点. (1)求m及k的值; (2)不解关于x、y的方程组 , , y x m k y x =+ ? ? ? = ?? 直接写出点B的坐标; (3)直线24 y x m =-+经过点B吗?请说明理由. (第21题)

28.(2010江苏淮安,28,12分)如题28(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周. (1)点C坐标是( ,),当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ,); (2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值 时,S最大; (3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如题28(b)图,若点E与点D同时 出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A.O为对应顶点的情况): 题28(a)图题28(b)图 (10江苏南京)21.(7分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O,△ABC≌△BAD。求证:(1)OA=OB;(2)AB∥CD. (10江苏南京)28.(8分)如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A

初二数学下册证明题

(1)求证:BG FG =; (2)若2 ==,求AB的长. AD DC 二:如图,已知矩形ABCD,延长CB到E,使CE=CA,连结AE并取中点F,连结AE并取中点F,连结BF、DF,求证BF⊥DF。 三:已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.

求证:AE平分∠BAD. 四、(本题7分)如图,△ABC中,M是BC的中点,AD是∠A的平分线,BD⊥AD于D,AB=12, AC=18,求DM的长。

五、(本题8分)如图,四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,AB=CD ,对角线AC 、BD 交于点O , 且AC ⊥BD ,DH ⊥BC 。 ⑴求证:DH=2 1(AD+BC ) ⑵若AC=6,求梯形ABCD 的面积。 六、(6分) 、如图,P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,PE ⊥DC ,PF ⊥BC ,E 、F 分别为垂足,若CF=3,CE=4,求AP 的长.

七、(8分)如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,M 、N 分别是AD 、BC 的中点,E 、F 分别是BM 、CM 的中点. (1)在不添加线段的前提下,图中有哪几对全等三角形?请直接写出结论; (2)判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形? (3)当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时?四边形MENF 是正方形(直接写出结论,不需要证明). 选择题: 15、如图,每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的,梯形上、下底及腰长如 图,依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 16、如图,矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ,B 点坐标为 (―1,―3),若一反比例函数x k y 的图象过点D ,则其 解析式为 。 M F E N D C A B

八年级上册几何证明题专项练习

八年级上册几何证明题专项练习 1.如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上.求证:△CDA≌△CEB. 2.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证:BE=CD. 3.如图,已知点B,E,C,F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,∠A=∠D. (1)求证:AC∥DE; (2)若BF=13,EC=5,求BC的长. 4.如图:点C是AE的中点,∠A=∠ECD,AB=CD,求证:∠B=∠D. 5.如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB 求证:AE=CE.

6.如图,BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D,BE=CD.求证:AB=AC. 7.如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB. 8.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分别在AC,BC上,求证:DE=DF. 9.如图,点A、C、D、B四点共线,且AC=BD,∠A=∠B,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF. 10.如图,已知∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC. 求证:BC=AD.

11.如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE. 12.如图,AB∥CD,E是CD上一点,BE交AD于点F,EF=BF.求证:AF=DF. 13.已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2. (1)求证:BD=CE; (2)求证:∠M=∠N. 14.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E. 求证:△ACD≌△CBE. 15.如图,四边形ABCD中,E点在AD上,∠BAE=∠BCE=90°,且BC=CE,AB=DE.求证:△ABC≌△DEC.

八年级数学下册-几何证明初步知识点汇编

第十一章几何证明初步知识点整理定义:用来说明一个名词含义的语句叫做定义. 2.命题:对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组 成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项. 3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部 分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题: 4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气;⑷不许讲话。 5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题. 6.反例:要指出一个命题是假命题,只要能举出一个例子,使它具备命题的条 件,而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。 5.公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理. 本套教材以下列基本事实作为公理: 1.两点确定一条直线。 2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。 3.两直线平行,同位角相等。 4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 5.判断三角形全等的方法:SAS ASA SSS。 6.全等三角形的对应角相等,对应边相等。 7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”. 判断:

所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。 所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。 6.在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。 Eg: (1)两条直线平行,内错角相等. (2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等. (3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等. (4)全等三角形的对应角相等. 注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这个逆命题就是原来定理的逆定理!(勾股定理和它的逆定理) 7.三角形内角和定理:三角形三个角的内角和等于180° 推论一:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论二:三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。 三角形的外角和等于360°。 9.反证法:先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法. 反证法的步骤:否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg: 1、“a<b”的反面应是() (A)a≠>b (B)a >b (C)a=b (D)a=b或a >b

八年级数学全等三角形证明题

八年级数学全等三角形证 明题 Prepared on 21 November 2021

第十三章全等三角形测试卷 (测试时间:90分钟总分:100分) 班级姓名得分 一、选择题(本大题共10题;每小题2分,共20分) 1.对于△ABC 与△DEF ,已知∠A =∠D ,∠B =∠E ,则下列条件①AB=DE ;② AC=DF ;③BC=DF ;④AB=EF 中,能判定它们全等的有() A .①②B .①③C .②③D .③④ 2.下列说法正确的是() A .面积相等的两个三角形全等 B .周长相等的两个三角形全等 C .三个角对应相等的两个三角形全等 D .能够完全重合的两个三角形全等 3.下列数据能确定形状和大小的是() A .A B =4,B C =5,∠C =60°B .AB =6,∠C =60°,∠B =70° C .AB =4,BC =5,CA =10 D .∠C =60°,∠B =70°,∠A =50° 4.在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D ,AB =DE ,添加下列哪一个条件,依然不能证 明△ABC ≌△DEF () A .AC =DF B .B C =EF C .∠B=∠E D .∠C=∠F 5.OP 是∠AOB 的平分线,则下列说法正确的是() A .射线OP 上的点与OA ,O B 上任意一点的距离相等 B .射线OP 上的点与边OA ,OB 的距离相等 C .射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D .射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6.如图,∠1=∠2,∠E=∠A ,EC=DA ,则△ABD ≌△EBC 时,运用的判定定理是() A .SSS B .ASA C .AAS D .SAS 7.如图,若线段AB ,CD 交于点O ,且AB 、CD 互相平分,则下列结论错误的是 () A .AD=BC B .∠C=∠D C .A D ∥BC D .OB=OC 8.如图,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,AB =CD ,AE =CF , 则图中全等三角形共有() A .1对 B .2对 C .3对 (第8题) A D C B E F O A D C B (第7题) A C E D (第6题) 2 1

八年级数学下册证明一试卷

八年级数学下册第六章《证明(一)》测验试卷 1.下列语句中,是命 题的是( ) A .两点确定一条直线吗? B .在线段AB 上任取一点 C .作∠A 的平分线AM D .两个锐角的和大于直角 2、满足下列条件的△ABC 中,不是直角三角形的是( ) A 、∠B+∠A=∠C B 、∠A :∠B :∠C=2:3:5 C 、∠A=2∠B=3∠C D 、 一个外角等于和它相邻的一个内角 3、如图,∠ACB=90o ,CD ⊥AB ,垂足为D ,下列结论错 误 的是( ) A 、图中有三个直角三角形 B 、∠1=∠2 C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角 D 、∠2=∠A 4、三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、无法确定 5、下列命题中的真命题是( ) A 、锐角大于它的余角 B 、锐角大于它的补角 C 、钝角大于它的补角 D 、锐角与钝角之和等于平角 6、如图,AB ∥CD ,∠C=110°,∠B=120°,则∠BEC= ( ) A 、110° B 、120° C 、130° D 、150° 7、如图,下列哪种说法是错误的( ) A 、∠ B >∠ACD B 、∠B+∠ACB =180°-∠A C 、∠B+∠ACB < 180° D 、∠HEC>∠B (第6题图) (第7题图) (第8题图) 8、已知:如图,下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是( ) 学 班 姓名 学 2 1 D C B A

A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180° 9、如图,AB∥CD,直线HE⊥MN交MN于E,∠1=130o,则∠2等于() A、50o B、40o C、30o D、60o 10、如图,如果AB∥CD,则角α、β、γ之间的关系式为() A、α+β+γ=360o B、α-β+γ=180o C、α+β+γ=180o D、α+β-γ=180 o (第9题图)(第10题图) 二、填空题(每小题3分,共15分) 11.把命题“对顶角相等”改写成:如果, 那么 . 12、△ABC中,∠B=45o,∠C=72o,那么与∠A相邻的一个外角等于 . 13、直角三角形中两个锐角的差为20o,则两个锐角的度数分别为 . 14、如图,AB∥CD,EG⊥AB,垂足为G.若∠1=50°,则∠E=________度.; 15、如图,下列结论:①∠A >∠ACD;②∠B+∠ACB=180°-∠A;③∠B+ ∠ACB<180°;④∠HEC>∠B。其中正确的是(填上你认为正确的所有序号). (第14题图)(第15题图) 三、解答题(每小题5分,共25分) 16. 如上图右,已知,∠ADC=∠ABC,BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC,且∠1=∠2,求证:∠A=∠C. 17、已知如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D, 连接DE。 求证:∠1 > ∠2 18、已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的平分 线,BH是∠ABC的平分线。 求证:∠A= 2∠H. 19、如图,BC⊥ED,垂足为O,∠A=27o,∠ D=20o,求∠ACB与∠B的度数. 20、如图:∠A=65o ,∠ABD=∠DCE=30o,且CE平 分∠ACB,求∠BEC. 四、解答题(每小题7分,共21分) 21、. 求证:两条直线平行,同旁内角的角平分线 互相垂直。 (提示:先画图,写出已知,求证,然后进行证明) 22、如图,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=36°,∠C=76°,求∠DAE的度数. 23、如图:已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠ADC,∠1+∠2=90o, 求证:AB∥CD 五、解答题(9分) 24.已知如图,AB∥DE. 密 封

八年级几何证明题

几何证明题 1、已知:如图1所示,?ABC 中,∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90,,,。 求证:DE =DF 2、已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。求证:∠E =∠F 3、如图3所示,设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证:KH ∥BC

4、已知:如图4所示,AB =AC ,∠,,A AE BF BD DC =?==90。求证:FD ⊥ED 5、已知:如图6所示在?ABC 中,∠=?B 60,∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证:AC =AE +CD 6、已知:如图7所示,正方形ABCD 中,F 在DC 上,E 在BC 上,∠=?EAF 45。 求证:EF =BE +DF

7、如图8所示,已知?ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、DE 。 求证:EC =ED 8、例题:已知:如图9所示,∠=∠>12,AB AC 。 求证:BD DC > 作业 1. 已知:如图11所示,?ABC 中,∠= C 90于E ,且有AC A D C E ==。求证:DE CD = 1 2 C 图11 A B D E

2. 已知:如图 求证:BC = 3. 已知:如图13所示,过?ABC 的顶点A ,在∠A 内任引一射线,过 B 、 C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证:MP =MQ 4. ?ABC 中,∠=?⊥BAC AD BC 90,于D ,求证:()AD AB AC BC < ++4

八年级数学下册三角形证明知识点

第一节. 等腰三角形 1. 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 2. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 3. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(即“三线合一”). 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释:勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心,可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线: 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN就是线段AB 的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题:真命题就是正确的命题,即如果命题的条件成立,那么结论一定成立。 假命题:条件和结果相矛盾的命题是假命题, 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分;逆命题是将原命题的已知和结论交换; 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用数学语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因“ (5)依据思路,运用数学语言条理清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完整. 3、用反证法证明几何命题的步骤: (1)假设命题的结论不成立. (2)由假设作为条件,根据已知条件及学过的定义、定理、公理进行逐步的推导直至与假设或与某个己知条件或与学过的某个定义、定理、公理出现矛盾. (3)从而判断假设错误,原命题成立

最新八年级上册证明题

八年级上册证明题 课堂练习 一、解答题 1.(本题7分)已知如图,在△ABC 中,CH 是外角∠ACD 的角平分线,BH 是∠ABC 的平 分线, ∠A=58°.求∠H 的度数. 2.(本题10分)如图(1):已知等腰直角三角形ABC 中,∠ACB= 90,直线l 经过点C,AD ⊥l ,BE ⊥l ,垂足分别为D 、E 。 (1)证明ΔACD ≌ΔCBE ;(5分) (2)如图2,当直线l 经过ΔABC 内部时,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?如果成立, A B C D H 图1

3.(6分)阅读理解题: (1)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD=1 2BC. 求证:∠BAC=90°. 证明:∵AD=1 2BC,BD=CD= 1 2BC, ∴AD=BD=DC, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD, ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°, ∴∠BAD+∠CAD=90°,即∠BAC=90°. (2)此题实际上是直角三角形的另一个判定定理,请你用文字语言叙述出来.(3)直线运用这个结论解答题目:一个三角形一边长为2,这边上的中线长为1,另两边之和为1+ 3,求这个三角形的面积. 4、如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F

⑴求证:AE=CF (6分) ⑵是否还有其他结论,不要求证明(至少2个,4分) 5.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3. (1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置,使E 点落在AB 上,则CC ′=______; (2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置,使点E 落在AB 上,则△ECD 绕点 C 旋转的度数=______; (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置,ED ′与AB 相交于点F ,求证AF=FD ′. 6、如图,已知点P 为∠ABC 的任意一点,求证∠BPC > ∠BAC. D (1) (2) 第23题 A C B E 4 D E ’ A C B E D l (3) l D ’ F A C B E D (4) A C B E D l E ’ C ’

八年级下册几何证明题精选精编版

八年级下册几何证明题精选 1、如图,矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,BE AC ⊥于BD CF E ⊥,于F ,求证:CF BE = 2、 如图,在平行四边形ABCD 中,DN CL BL AN ,,,分别为D C B A ∠∠∠∠,,,的 角平分线,试证明:四边形MNKL 是矩形 3、 如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O ,DE ∥CE AC ,∥CE DE DB ,,相 交于E ,请判断四边形DOCE 的形状,并说明理由 4、 如图,△ABC 中,B ACB ∠?=∠,90的平分线交高CD 于点E , 交AC 于F ,G AB FG ,⊥为垂足,请证明:四边形CEGF 是菱形 5、 如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,EF 经过点O ,分别与 边AB ,DC 相交于点F E ,,点N M ,分别是线段OC OA , 的中点,求证:四B

边形ENFM 是平行四边形 6、 已知,如图,点M H F E ,,,分别是正方形ABCD 的四条边上的点,并且 DM CH BF AE ===,求证:四边形EFHM 是正方形 F B 7、 如图,在梯形ABCD 中,N M ,分别为梯形两腰AB ,CD 的中点,ME ∥ AN 交BC 于点E ,试证明:NE AM = 8、 如图,在△ABC 中,AC AB =,CE BD ,分别为ACB ABC ∠∠, 的平分线,求证:四边形EBCD 是等腰梯形 9、 如图,在直角梯形纸片ABCD 中,AB ∥DC ,?=∠90A ,CD 〉AD , 将纸片沿过点D 的直线折叠,使点A 落在边CD 上的点E ,折痕为DF ,连结EF 并展开纸片。(1)求证:四边形ADEF 是正方形;(2)取线段AF 的中点G ,连结EG ,结果CD BG =,试说明四边形GBCE 是等腰梯形

北师大版八年级下册数学第一章《证明(二)》知识点及习题

1等腰三角形 知识点1 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角). 用符号语言表示为:如图1-1所示,在△ABC 中,∵AB =A C,∴∠B =∠C . 定理的证明: 取BC 的中点D ,连接AD . ∵(),()()AB AC BD CD AD AD =??=??=? 已知中点定义,公共边,∴△ABD ≌△A CD (SSS). ∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等). 定理的作用:证明同一个三角形中的两个内角相等. 拓展 等腰三角形还具有其他性质. (1)等腰直角三角形的两个底角相等,都等于45°. (2)等腰三角形的底角只能是锐角,不能是钝角或直角,但顶角可以是锐角、钝角或直角. (3)等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b ,则2 b <a. (4)等腰三角形的三角关系:设顶角为∠A ,底角为∠B ,∠C ,则∠A =180°-∠B -∠C=180°-2∠B =180°-2∠C . 知识点2 等腰三角形的性质定理的推论 推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”). (1)用符号语言表示为:如图1-3所示, ①在△AB C中,∵AB =A C,∠1=∠2,∴A D⊥B C.BD =DC ; ②在△ABC 中,∵AB =A C,AD ⊥BC ,∴∠1=∠2,BD =DC ; ③在△ABC 中,∵AB =AC ,BD =DC ,∴∠1=∠2,AD ⊥BC . (2)推论1的证明. ①在△A BC 中,∵A B=AC ,∠1=∠2,AD =AD , ∴△ABD ≌△ACD (SAS). ∴BD =DC,∠ADB =∠ADC =90°.∴AD ⊥B C. ②在△ABC 中,∵AD ⊥B C,∴∠ADB =∠ADC =90°.

八年级数学上册几何证明题有难度

八年级数学上册几何证明题(提高题) 1.如图,在平面上将△ABC 绕 B 点旋转到△A/BC/的位置时,AA/∥BC,∠ABC=700,则∠CBC/为度. 2.如图,△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、AC 边翻折1800形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,则∠a 的度数为 3.将直角三角形(∠ACB 为直角)沿线段CD 折叠使B 落在B/处,若∠ACB/=50°,则∠ACD 度数为______. 4.如图,已知BD 平分∠ABC,DE⊥AB 于E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE 的长为 5.如图,∠DEF=360,AB=BC=CD=DE=EF,求∠A 的度数。 6.已知△ABC≌△A/B/C/,△ABC 的三边为3、m、n,△A/B/C/的三边为5、p、q,若△ABC的各边都是整数,则m+n+p+q 的最大值为__________ 7.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为( ) 8.已知,如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是() A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③ 9.如图,ΔABC 和ΔBDE 是等边三角形,D 在AE 延长线上。求证:BD+DC=AD。 10.如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC.求证:∠ADC+∠B=1800. 11.如图,在△ABC 中,D,E 分别为AB,AC 边中点,连接CD、BE 并分别延长至F、G,使BE=EG,CD=DF,连接FA,GA.求证:AF=AG. 12.如图,△ABC 中,∠BAC=900,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E, 直线CE 交BA 的延长线于F.求证:BD=2CE. 13.如图,已知△ABC中,AD平分∠BAC,E、F 分别在 BD、AD 上.DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB. 14.如图,∠A+∠D=1800,BE 平分∠ABC,CE平分∠BCD,点 E在 AD上. (1)探讨线段AB、CD 和BC 之间的等量关系;(2)探讨线段BE 与CE 之间的位置关系. 15.已知AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD的长. 16.已知,E 是AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC的长. 17.如图,在△ABC 中,∠B,∠C相邻的外角的平分线交于点 D.求证:点 D 在∠A 的平分线上. 18.已知,在Rt△ABC 中,∠C=900,AC=BC,AD 为∠BAC 的平分线,DE⊥AB,垂足为C. 求证:△DBE 的周长等于AB的长. 19.已知,如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC的角平分线,E、F 分别是AB、AC上的点,且∠EDF+∠EAF=1800. 求证:DE=DF. 20.已知:如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F,交AC 的平行线BG 于点G,DE⊥GF,并交AB 于点E,连结EG.

北师大八年级下册数学第一章三角形的证明及详细答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一.选择题(共12小题) 1.(2014?遂宁)如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是() A.3B.4C.6D.5 2.(2014?台湾)如图,锐角三角形ABC中,直线L为BC的中垂线,直线M为∠ABC的角平分线,L与M相交于P 点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP的度数为何?() A.24B.30C.32D.36 3.(2014?安顺)已知等腰三角形的两边长分別为a、b,且a、b满足+(2a+3b﹣13)2=0,则此等腰三角形的周长为() A.7或8B.6或1O C.6或7D.7或10 4.(2014?宁波)如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是() A.B.C.D.2 5.(2014?甘井子区一模)如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=4cm,△ABD的周长为14cm,则△ABC的周长为() A.18cm B.22cm C.24cm D.26cm 6.(2014?本溪一模)如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D,E为垂足,若BD=10cm,则AC等于() A.10cm B.8cm C.5cm D. 7.(2013?西宁)如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M 是OP的中点,则DM的长是() A.2B.C.D. 8.(2013?滨城区二模)如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C等于() A.28°B.25°C.°D.20° 9.(2013?澄江县一模)若一个等腰三角形至少有一个内角是88°,则它的顶角是() A.88°或2°B.4°或86°C.88°或4°D.4°或46° 10.(2012?泰安)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则CE的长为()

八年级数学几何证明题技巧(含答案)

几何证明题的技巧 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)分析综合法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知:如图1所示,?ABC 中,∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90,,,。求证:DE =DF C F B A E D 图1 分析:由?ABC 是等腰直角三角形可知,∠=∠=?A B 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD ,易得CD AD =, ∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明:连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90,,,, ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的

新北师大版八年级数学(下册)第一章证明

新北师大版八年级数学下册第一章证明(二)辅导资料 第一节等腰三角形 知识回顾: 复习证明全等三角形的判定方法 等腰三角形的性质: (1)、等腰三角形的两个底角,也就是说,在同一个三角形中,;(2)、等腰三角形的顶角、底边上的和互相重合,简称等腰三角形。 等腰三角形有下面的判定方法: (1)、依据三角形定义:如果一个三角形有相等,那么这个三角形是等腰三角形。(2)、依据定理:如果一个三角形有相等,那么这个三角形是等腰三角形。简单地说:在同一个三角形中,; 3、有边相等的三角形叫做等腰三角形。 有三边相等的三角形叫做三角形,也叫三角形。 4、等边三角形的角都,且等于;等边三角形是 图形 5、等边三角形的判定方法: (1)有边相等的三角形叫做等边三角形; (2)有角相等的三角形叫做等边三角形; (3)有个角都等于600的三角形叫做等边三角形; (4)有个角等于600的三角形叫做等边三角形。 典型例题: 1、已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为 。 2、已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 .则腰长为 3、如果等腰三角形的顶角等于36°,则底角等于_________度;如果底角等于36°,那么

顶角的度数为_________. 4、有一个角等于50°,另一个角等于__________的三角形是等腰三角形. 5、等边三角形的三个角的度数分别为_______. 6、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为______. 7、有一个角为的等腰三角形的另外两个角的度数为________. 8、在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的2倍,那么顶角等于_____度;如果一个底角是顶角的2倍,那么顶角等于_______度. 9、如图,,交BC于点D,,那么BC的长为_________. 10、如图,在中,D是AC上的一点,且,,则 _______, ______, ________. 11、如图,已知:在中,,,BD是的角平分线,求 的度数.

人教版八年级数学《全等三角形》证明题

(第8题) A D C B E F 全等三角 形测试卷 姓名得分 一、选择题(30分) 1.对于△ABC 与△DEF ,已知∠A =∠D ,∠B =∠E ,则下列条件①AB=DE ;②AC=DF ;③BC=DF ;④AB=EF 中,能判定 它们全等的有() A .①② B .①③ C .②③ D .③④ 2.下列说法正确的是() A .面积相等的两个三角形全等 B .周长相等的两个三角形全等 C .三个角对应相等的两个三角形全等 D .能够完全重合的两个三角形全等 3.下列数据能确定形状和大小的是() A .A B =4,B C =5,∠C =60°B .AB =6,∠C =60°,∠B =70° C .AB =4,BC =5,CA =10 D .∠C =60°,∠B =70°,∠A =50° 4.在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D ,AB =DE ,添加下列哪一个条件,依然不能证明△ABC ≌△DEF () A .AC =DF B .B C =EF C .∠B=∠E D .∠C=∠F 5.OP 是∠AOB 的平分线,则下列说法正确的是() A .射线OP 上的点与OA ,O B 上任意一点的距离相等 B .射线OP 上的点与边OA ,OB 的距离相等 C .射线OP 上的点与OA 上各点的距离相等 D .射线OP 上的点与OB 上各点的距离相等 6.如图,∠1=∠2,∠E=∠A ,EC=DA ,则△ABD ≌△EBC 时,运用的判定定理是() A .SSS B .ASA C .AAS D .SAS 7.如图,若线段AB ,CD 交于点O ,且AB 、CD 互相平分,则下列结论错误的是() A .AD=BC B .∠C=∠D C .A D ∥BC D .OB=OC 8.如图,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,AB =CD ,AE =CF ,则图中全等三角形共有() A .1对B .2对C .3对D .4对 9.如图,AB =AC ,CF ⊥AB 于F ,BE ⊥AC 于E ,CF 与BE 交于点D .有下列结论:①△ABE ≌△ ACF ;②△BDF ≌△CDE ;③点D 在∠BAC 的平分线上.以上结论正确的A .只有①B .只有②C .只有③D .有①和②和③ 10.如图,DE ⊥BC ,BE=EC ,且AB =5,AC =8,则△ABD 的周长为() A .21 B .18 C .13 D .9 二、填空题(18分) 11.如图,除公共边AB 外,根据下列括号内三角形全等的条件,在横线上添加适当的条件,使△ABC 与△ABD 全 等:(1),(ASA);(2),∠3=∠4(AAS). 12.如图,AD 是△ABC 的中线,延长AD 到E ,使DE =AD ,连结BE ,则有△ACD ≌△。 13.如图,△ABC ≌△ADE ,此时∠1=. 14.如图,AB ⊥AC ,垂足为A ,CD ⊥AC ,垂足为C ,DE ⊥BC ,且AB=CE ,若BC =5cm , 则DE 的长为cm . 15.如图,AD=BD ,AD ⊥BC ,垂足为D ,BF ⊥AC ,垂足为F ,BC =6cm ,DC =2cm , 则AE =cm . A B F C E D (第9题) O A D C B (第7题) A C E D (第6题) 2 1 E B A D C (第10题) A B C 3 4 1 2 (第11题) D D A B C F (第12题) B E D C (第13题) 3 1 2

八年级几何证明题集锦及解答值得收藏

八年级几何全等证明题归纳 1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB 于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连接EG、AF. 求证:CF=AB+AF. 证明:在线段CF上截取CH=BA,连接DH, ∵BD⊥CD,BE⊥CE, ∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°, ∵∠EFB=∠DFC, ∴∠EBF=∠DCF, ∵DB=CD,BA=CH, ∴△ABD≌△HCD, ∴AD=DH,∠ADB=∠HDC, ∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC=45°, ∴∠HDC=45°,∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°, ∴∠ADB=∠HDB, ∵AD=HD,DF=DF, ∴△ADF≌△HDF, ∴AF=HF,

∴CF=CH+HF=AB+AF, ∴CF=AB+AF. 2.如图,ABCD为正方形,E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,连接CF,交ED于点G.判断CF与ED的位置关系,并说明理由. 解:垂直. 理由:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠ABD=∠CBD,AB=BC, ∵BF=BF, ∴△ABF≌△CBF, ∴∠BAF=∠BCF, ∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC, ∴RT△ABE≌△DCE, ∴∠BAE=∠CDE, ∴∠BCF=∠CDE,∵∠CDE+∠DEC=90°, ∴∠BCF+∠DEC=90°, ∴DE⊥CF. 3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90o,AB=AD,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.证 明:CF=EF 解: A E D

【配套K12】八年级下册数学《三角形的证明》知识点复习

八年级下册数学《三角形的证明》知识点复 习 节.等腰三角形 性质:等腰三角形的两个底角相等. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴. 判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 含30°的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么

它所对应的直角边等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释:勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节.线段的垂直平分线 线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心,可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线: 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点、N;作直线N就是线段AB的垂直平分线。 第四节.角平分线 角平分线的性质及判定定理

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