单摆运动的数值分析(本科论文完整版)

编号：059050141092

本科毕业论文

题目：单摆运动的数值分析

学院：物理与电子信息学院

专业：物理学

年级： 2005级

姓名：张志海

指导教师：彭红梅

完成日期： 2009-05-25

中文摘要与关键词 (1)

Abstract and key words (2)

引言 (3)

1、Excel及其功能 (3)

2、Matlab及其功能 (4)

3、对单摆运动的理论分析 (5)

3.1 对单摆的认识 (5)

3.2 单摆及其实验的意义 (6)

3.3 单摆周期公式2

T=的推广及应用 (7)

3.4 对单摆运动的理论分析 (7)

4、用Excel研究单摆的振动周期 (9)

4.1 摆长对周期的影响 (9)

4.2 摆角对周期的影响 (12)

4.3 质量对周期的影响 (14)

5、用Matlab软件分析单摆的运动 (14)

5.1 线性单摆的阻尼振动 (14)

5.2 非线性单摆的无阻尼振动 (16)

6、结论 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

简历 (21)

摘要

目前在普通物理实验中对单摆的研究局限在摆球摆动距平衡位置的角位移很小、摆球运动近似看成绕平衡位置的简谐运动，本文以数学分析的方法讨论了忽略阻力、在给定任意初始条件下摆球可能的运动形式。单摆的振动周期又受多种因素的影响，其中主要有摆长和摆角，文中提供了利用实验和计算机处理（Excel）的方法，来分析振动周期和这些因素的关系，并直接从单摆的运动微分方程出发，应用Matlab软件，求出了线性单摆阻尼振动的解析解和非线性单摆无阻尼振动的数值解，画出了单摆的振动曲线和相图。

关键词：单摆运动；数值分析；周期；EXCEL软件；MATLAB软件；

Abstract

The possible motion pattern and locus of simple pendulum experiment is illustrated with the application of mathematical analysis method. Pendulum vibration period by multi-factors, and long before the main angle. This article provides the use of experiments and computer processing methods and found that the vibration period and the relationship between these factors. On the differential equation of motion of a simple pendulum , the analytic solution of damped linear oscillation and numerical solntion of free nonlinear vibration or damped nonlinear oscillation are obtained；the curve of oscillation or phase diagram are produced with Matlab.

Key Words：Simple Pendulun Motion；Numerical Analysis；Period；Excel；Matlab；

引言

单摆实验是物理学上的典型实验，看似简单，但其中可探索的内容却很丰富，涉及到摆长、摆角、摆动周期、地球的重力加速度等多方面问题的研究。本文通过数值分析的方法对单摆运动形式进行了分析和讨论，并使用Excel软件和Matlab软件对讨论结果进行了图表分析。

1、Excel及其功能

Excel电子表格是Office系列办公软件的一种，实现对日常生活、工作中的表格的数据处理易学的智能化操作方式，使用户轻松拥有实用美观个性十足的实时表格，是工作、生活中的得力助手。它可以进行各种数据的处理、统计分析和辅助决策操作，广泛地应用于管理、统计财经、金融等众多领域。其功能全面，几乎可以处理各种数据，操作方便，具有丰富的数据处理函数、绘制图表功能以及丰富的自动化功能，能够自动创建各种统计图表，自动更正、自动排序、自动筛选等，运算快速准确，更有方便的数据交换能力，Web工具操作简便。Excel 电子数据表软件工作于Windows平台，具有Windows环境软件的所有优点。而在图形用户界面、表格处理、数据分析、图表制作和网络信息共享等方面具有更突出的特色。

本文主要用到的是Excel的数据分析和图表制作功能，它除了能够方便地进行各种表格处理以外，还具有一般电子表格软件所不具备的强大的数据处理和数据分析功能。它提供了包括财务、日期与时间、数学与三角函数、统计、查找与引用、数据库、文本、逻辑和信息等九大类几百个内置函数，可以满足许多领域的数据处理与分析的要求。如果内置函数不能满足需要，还可以使用Excel内置的VBA建立自定义函数。为了解决用户使用函数、编辑函数的困难，Excel还提供了方便的粘贴函数命令。它分门别类地列出了所有内置函数的名称、功能以及每个参数的意义和使用方法，并可以随时为用户提供帮助。除了具有一般数据库软件所提供的数据排序、筛选、查询、统计汇总等数据处理功能以外，Excel 还提供了许多数据分析与辅助决策工具。例如数据透视表，模拟运算表，假设检验，方差分析，移动平均，指数平滑，回归分析，规划求解，多方案管理分析等

工具。利用这些工具，不需掌握很深的数学计算方法，不需了解具体的求解技术细节，更不需编写程序，而只要正确地选择适当的参数，即可完成复杂的求解过程，得到相应的分析结果和完整的求解报告。图表是提交数据处理结果的最佳形式。通过图表，可以直观地显示出数据的众多特征，例如数据的最大值、最小值、发展变化趋势、集中程度和离散程度等都可以在图表中直接反映出来。Excel具有很强的图表处理功能，可以方便地将工作表中的有关数据制作成专业化的图表。Excel提供的图表类型有条形图、柱形图、折线图、散点图、股价图以及多种复合图表和三维图表，且对每一种图表类型还提供了几种不同的自动套用图表格式，用户可以根据需要选择最有效的图表来展现数据。如果所提供的标准图表类型不能满足需要，用户还可以自定义图表类型。并可以对图表的标题、数值、坐标以及图例等各项目分别进行编辑，从而获得最佳的外观效果。Excel还能够自动建立数据与图表的联系，当数据增加或删除时，图表可以随数据变化而方便地更新。

2、Matlab及其功能

MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。

MATLAB在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指，可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，并且加入了对C，FORTRAN，C++，JA V A的支持，可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。

MATLAB的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB函数集）扩展了MATLAB环境，以解决这些应用领域

内特定类型的问题。 Matlab 的特点如下： ●此高级语言可用于技术计算

●此开发环境可对代码、文件和数据进行管理

●交互式工具可以按迭代的方式探查、设计及求解问题

●数学函数可用于线性代数、统计、傅立叶分析、筛选、优化以及数值积分等

●二维和三维图形函数可用于可视化数据 ●各种工具可用于构建自定义的图形用户界面

●各种函数可将基于MATLAB 的算法与外部应用程序和语言（如C 、C++、Fortran 、Java 、COM 以及MicrosoftExcel ）集成

MATLAB 的优势：

（1）友好的工作平台和编程环境（2）简单易用的程序语言

（3）强大的科学计算机数据处理能力（4）出色的图形处理功能（5）应用广泛的模块集合工具箱（6）实用的程序接口和发布平台

（7）应用软件开发（包括用户界面）

3、对单摆运动的理论分析

3.1 对单摆的认识

1）单摆的定义：单摆是实际的摆（如钟摆）的理想化，是指在一根不能伸长且没有质量的线的下端系一质点，这是一个理想化的模型。它忽略了次要因素，突出了主要因素。

2）单摆的回复力在分析单摆运动时把重力分解，是因为摆球沿圆弧方向是变速运动。既有向心加速度又有切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。重力在切向方向的分力提供回复力，在5α< 时，

/x t α≈，sin /F mg mga mgx l kx α=-?=-=-=-可以看成简谐运动。

3.2、单摆及其实验的意义

单摆是由一根不可伸长、质量不计的绳子，上端固定，下端系一质点而组成的装置。单摆在摆角小于5°的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。单摆周

期公式：2

T=。

单摆运动相关情况如下表示

摆的运动

回复力

大小变化

回复力

方向

加速度

大小变化

加速度

方向

速度

大小变化

速度

方向

A→B变大向右变大向右变小向左B→A变小向右变小向右变大向右A→C变大向左变大向左变小向右C→A变小向左变小向左变大向左

单摆是质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为L且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和L和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。首先由牛顿力学，单摆的运动可作如下描述单摆受到的重力矩为s i n

M m g l x

=-?

其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。

我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到M Jβ

其中2

J m l

=?是单摆的转动惯量，''x

β=（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。

于是化简得到''sin

x l g x

?=-?

我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l 与g 约去，再移项就得到化简了的运动方程 ''sin 0x x +=

因为单摆的运动方程（微分方程）是 ''sin 0x x += （1）而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是 ''0x x += （2）我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。

不过，在x 比较小时，近似地有sin x ≈x 。因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。

然后说一下为什么是5°。由于sin x ≈x 这个近似公式只在角度比较小的时候成立，所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。

事实上5° ≈ 0.087266弧度，sin5? ≈ 0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计。但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。

由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度越大越不精确。如果角度很大（比如60度处，误差高达17%），就完全不能说它是简谐振动了。

3.3 单摆周期公式2T π=

1）测量g 是当地重力加速度，其中L 为摆长。

2）时钟快慢的成因与校正这两点不再赘述。在此主要讨论公式字母g '的含

义及变化。课本给出的单摆周期公式2T =中的g ，我们用g '代替称“视重加速度”，根据物体受力不同而变化，大致可以分为两类：①物体在摆动过程中只有绳的拉力是变力，其它力均为恒力。此类可以认为g '在数值上物体相对于悬点静止（处在平衡位置）时悬线拉力跟质量的比值'/t g F m =。②物体在摆动过程中除绳的拉力外，只有重力作用是恒力或有其它力，但力的方向始终在物体与悬点连线的直线上即只有重力提供回复力。此类公式中g 仍是重力加速度。 3.4 对单摆运动的理论分析[1]~[4]

单摆实验是中学物理实验乃至大学普通物理实验必开的力学实验项目之一，

通过它可以使实验者掌握物体作周期性运动的规律、测量重力加速度。设单摆装置摆线长为l ；摆球质量为m ，半径为r ，空气阻尼系数为η。则通过阻力受力分析，可由牛顿第二定律有摆球运动微分方程

226sin 0d d ml r l mg dt dt

θθ

πηθ++=。（3）通过对实验原理作两方面的近似，①忽略阻尼（η＝0）；②摆线与平衡位置间初始角位移很小（θ<5°）即有近似条件

sin tg θθθ== （4）

由近似条件①、②，使方程（4）简化为

2220t d dt

ωθ+= （t ω= （5）（5）式是标准的简谐运动微分方程，正如文献[1]~[4]所讨论的那样物体作简谐运动。在实验室条件下，摆球的运动速度m 大，空气的粘滞系数很小（η→0），小球半径不大，在一个相对较短的测量时间段内空气的阻力不会改变它的运动形式，即满足上面近似条件①（η＝0），将（4）式化为

22sin 0d g

dt L

θθ+= （6）设摆球在运动时角频率为ω。则有

d dt

ω=； 22d d d d t d t d t θθω=d （）＝

dt （7）由（6）、（7）两式可推出

220011sin 22g g

l l

ωθωθ--cos = （8） 00ωθ、由初始条件所决定，C 为常数。

若给（8）式两边同乘以小球对悬点的转动惯量2ml 有

222201122

ml mgl ml mgl ωθωθ++0（1-cos ）=（1-cos ）=E （9）（9）式即为在重力场中机械能守恒定律方程，（8）式的物理意义是它描述的曲线为摆球运动的等能曲线。

从上面的分析我们看到单摆可能的运动形式有静止（C＝0），简谐运动2g

（0 < C < ）

和在竖直面内作圆周运动等多种形式。

4、用Execl研究单摆的振动周期[5]~[6]

4.1 摆长对周期的影响

保持单摆在小角度下振动，改变摆长，测量20次全振动的时间，从而得到振动周期，如表1所示。

表1 T-L 数据

Table 1 T-L data

/L cm/t s

L m/

T s

20 18.1 0.2 0.91

30 22 0.3 1.10

40 25.5 0.4 1.28

50 28.5 0.5 1.43

60 31 0.6 1.55

70 33.4 0.7 1.67

80 35.9 0.8 1.80

从表1中看出周期随着摆长的增加而增加，用Excel直接描点如图1所示。

图1 T-L 描点图

Figure 1 T-L tracing point plan

观察图1，T—L好象是直线关系，我们利用Excel的函数拟合功能，先尝试用直线拟合寻找T—L关系，然后再尝试其它不同的拟合类型。

图2 直线拟合

Figure 2 Linear Fitting

图2的直线拟合结果为T = 1.4589L + 0.6591，小数点后取两位有T = 1.46L + 0.66。

图3 对数拟合

Figure 3 Logarithmic fit

图3为对数拟合，结果为T = 0.164Ln (L) + 1.189。

图4 多项式拟合

Figure 4 Polynomial Fitting

图4表示多项式拟合，结果为T = - 0.80 2L+ 2.26L+ 0.49 。

图5 乘幂拟合

Figure 5 by fitting power

图5 是乘幂拟合，结果近似为T 。

图6 指数拟合

Figure 6 Fitting Index

图6表示指数拟合，结果为 1.1

T e

=，下面我们要分析这五种拟合中哪个

0.78

最好的。即从得到5个描述T—L 关系的方程中挑选最佳的一个，挑选的原则是：

(1) 表达式尽可能简单

(2) 与实验数据符合程度最好，误差小

根据这样两条原则，初步选乘幂拟合结果T=，我们发现根据T=

计算得到的'T与实验值T的相对误差在2 %以内，符合程度很好(相对误差在5 %

以内即可接受) ，因此决定选择T=T —L 关系的方程。

这样我们就发现了单摆小角度振动的周期规律T=。

4.2 摆角对周期的影响

设定单摆的摆长为89.5cm ，改变单摆的振动摆角，测量30次全振动时间，得到周期，实验数据如表2所示。

θ-实验数据

表2 T

θ-Experimental data

Table 2 T

θ 1 3 5 7 10 20 30 45 t57.03 57.03 57.03 57.03 57.19 57.22 57.57 58.08 T 1.90 1.90 1.90 1.90 1.91 1.91 1.92 1.94

θ-图并拟合如图7所示。

根据表2，利用EXCEL 绘T

θ-图

图7 T

θ-diagram

Figure 7 T

由表2和图7可见，摆角在20度以内，振动周期基本没有变化，这与人们一般认定的摆角要小于5度是不同的。

θ-图像

图8 单摆的T

θ-Image of pendulum

Figure 8 the T

θ-关系，我们还可以利用MATLAB解单摆振动的微分方程，从理论上研究T

θ-图象如图8所示。由图8可见，摆角根据解方程结果，绘出摆长为1米的单摆T

在20度之内，振动周期确实无明显变化。 4.3 质量对周期的影响

设定单摆的摆长为54cm ，改变单摆摆球的质量，测量30次全振动时间，得到周期，实验数据如表3所示，绘制T m -图如图9 所示。

表3

T m -数据 Table 3

T m - data

m 3.6 11.2 11.8 27.6 t 22 22 21.9 22 T

1.47

1.46

1.47

图9 T m -图

Figure 9

T m - Image

显然，质量对周期无明显影响。

5、用Matlab 软件分析单摆的运动[7]

5.1 线性单摆的阻尼振动

当小球摆动的速度较小时，小球受到一个与速度方向相反的阻力

/f d s d t γγ=-，为阻力系数，它与物体的形状以及周围媒质的性质有关。根据牛

顿第二定律有

0220d x dx x dt dt βω++= （10）式中/2m βγ=，称为阻尼因数。对于一定振动系统，根据比值0βω（：）小于、

等于、大于1，则称单摆处于欠阻尼、临界阻尼和过阻尼振动状态。设振动系统

的周期

T s

=，初始条件(0)0.10

s mν

=，(0)=0。用Matlab软件中的函数“dsolve”与“ezplot”可求出单摆阻尼振动方程并描绘振动曲线：

1）当

00.3:

βωπ

:时，单摆作欠阻尼振动。仅需运行以下程序：

clear ; clf ; syms s t ;

s = dsolve (’D2s + pi^2*s = 0’ ,’s(0) = 0. 10 ,Ds(0) = 0’) ,

v = diff (s ,t ,l) ,ezplot (s ,[0 ,6 , - 0. 1 ,0. 1 ] ,1) ,ezplot (s ,v[0 ,6 ] ,2)

即可得到单摆的阻尼振动（见图10）和相图（见图11），振动方程（略）。

图10 单摆的欠阻尼振动曲线

Figure 10 due to the simple pendulum vibration damping curve

图11 单摆的欠阻尼振动的相图

Figure 11 the pendulum due to the phase diagram of the vibration damping

从图10、图11可以看出，线性单摆的阻尼振动周期T 大于无阻尼的振动周期（02T s =），随着振幅的指数衰减，相轨迹向内卷缩，呈螺旋状，最后趋于中心的不动点（稳定平衡位置）。该点是动力学系统的一个吸引子（attractor ）。

2）当01βω=:时，单摆作临界阻尼振动。运行程序： s = dsolve (’D2s + 2*pi*Ds + pi^2*s = 0’ ,’s(0) = 0. 10 ,Ds(0) = 0’) ezplot (s ,[0 ,12 ,0 ,0. 1 ] ,1)

图12 单摆的临界阻尼与过阻尼振动曲线

Figure 12 the pendulum of critical damping vibration curve overdamping

可得单摆的临界阻尼振动曲线见图12曲线1，振动方程（略）。 3）当09:βωπ=:时，单摆作过阻尼振动。运行程序： s = dsolve (’D2s + 2*9*Ds + pi^2*s = 0’ ,’s(0) = 0. 10 ,Ds(0) = 0’) ezplot (s ,[0 ,12 ,0 ,0. 1 ] ,2)

可得单摆的过阻尼振动曲线见图12曲线2，振动方程（略)。从图12可看出，单摆作临界阻尼、过阻尼振动时，分别经时间

01.25 2.5t T s ==临，04.59t T s ==临，其振幅趋于零，即单摆静止。

5.2 非线性单摆的无阻尼振动

根据牛顿第二定律，单摆的运动微分方程为

02sin 0d dt

θωθ+= （11）

上式是一个非线性的二阶微分方程。

下面介绍用Matlab 软件的函数“ode45”求数值解的方法。首先根据方程编写M 函数文件（即ODE 文件） % fodelx__db2. m

function dydt = fodelx__db2 (t ,y) w = pi ;dydt = [ y (2) ; - w^2*sin (y (1) ) ] ; 然后编写M 命令文件求解微分方程并绘图 % odelx__db2. m

tspan = [0 ,10 ] ;y0 = [pi/ 2 ;0 ] ; [ tt ,yy ] = ode45 ( @fodelx__db2 ,t span ,y0) ; subplot (2 ,1 ,1) , plot (t t ,yy ( : ,1) ) ,title (’ \ theta - t’) ,grid on , subplot (2 ,1 ,2) , plot (yy ( : ,1) , yy ( : ,2) ) ,title (’v - \ theta’)

保存后运行，可得单摆的振动曲线和相图（见图13，单摆的振幅0/2θπ=，

/rad s ωπ0＝）。

从图13可以看出,非线性单摆的无阻尼振动周期T 明显大于线性单摆的无阻

尼振动周期（02T s =），且03T T -≈（

）1s ；单摆运动的相轨迹为一对称的封闭曲线，表明单摆作周期性的振动。

图13 非线性单摆无阻尼振动曲线和相图

Figure 13 Non-linear pendulum-free damped vibration curve and phase diagram

6、结论

用Excel软件分析单摆的运动以及用Matlab软件实时求解微分方程并形象化地用图表展示其解，可以较好地把抽象思维转化为形象思维，建立清晰的物理图像，加深对理论的理解；它能使物理现象及过程得到充分探讨，对传统分析方法构成良好的补充，达到了预期的效果和目的。