2．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．13
3．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重(kg) ，得到频率分布直方图如图K15－1－2.
图K15－1－2
根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50
4．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
5．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图如图K15－1－3中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为( )
图K15－1－3
A ．0.4,12
B ．0.6,16
C ．0.4,16
D ．0.6,12
6．一个总体分为A 、B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已
知B 层中每个个体被抽到的概率都为1
12
，则总体中的个体数为________．
7．如图K15－1－4是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10]内的频数为________，数据落在(2,10)内的概率约为________．
图K15－1－4
8．(2010浙江)在如图K15－1－5所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是____________．
图K15－1－5
9．(2010年湖南)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)．
高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y
(1)求x ，y ；
(2)若从高校B 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率．
10．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图(如图K15－1－6)，解答下列问题：
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数条形图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
图K15－1－6
分组频数频率
50.5～60.540.08
60.5～70.50.16
70.5～80.510
80.5～90.5160.32
90.5～100.5
合计50
11．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图K15－1－7.
图K15－1－7
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
第2讲 变量的相关性
1．某工厂某产品产量x (千件)与单位成本y (元)满足回归直线方程y ^
＝77.36－1.82x ，则以下说法中正确的是( )
A ．产量每增加1 000件，单位成本下降1.82元
B ．产量每增加1 000件，单位成本上升1.82元
C ．产量每减少1 000件，单位成本上升1.82元
D ．产量每减少1 000件，单位成本下降1.82元
2．(2011年陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图K15－2－1)，以下结论正确的是( )
图K15－2－1
A ．直线l 过点(x －，y －
)
B ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率
C ．x 和y 的相关系数在0到1之间
D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
3．统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱．对于变量x ，y ，计算r ＝－0.01，则x ，y 的相关关系的强弱为( )
A ．相关性很强
B ．相关性很弱
C ．相关性一般
D ．不相关
4．(2011年山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x (万元)
4 2 3
5 销售额y (万元)
49 26 39 54 根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
5．(2010湖南)某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.y ^＝－10x ＋200
B.y ^
＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^
＝10x －200 6．已知x ，y 的取值如下表所示：
x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7
从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^
＝0.95x ＋a ，则a ＝__________.
7．甲、乙两同学各自独立地考察两个变量x ，y 的线性相关关系时，发现两人对x 的观察数据的平均值相等，都是s ，对y 的观察数据的平均值也相等，都是t ，各自求出的回归直线分别是l 1，l 2，则直线l 1与l 2必经过同一点____________________________________．
8．(2010广东文改编)某市居民2005—2009年家庭年平均收入(单位：万元)与年平均支出(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005 2006 2007 2008 2009 收入x
11.5 12.1 13 13.3 15 支出y
6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________________________________， 家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系，其线性回归方程为__________．
9．已知三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的横坐标x 与纵坐标y 具有线性关系，则其线性回归方程是________________．
10．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1—6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日 期
1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月
10日 昼夜温差x (℃)
10 11 13 12 8 6 就诊人数y (人)
22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2—5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
11．(2011年安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002 2004 2006 2008 2010 需求量(万吨)
236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
12．(2010年广东惠州调研)为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表：
学生编号
1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x
60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y
72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数z
67 72 76 80 84 87 90 92 (1)若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和化学分数均为优秀的概率；
(2)用变量y 与x ，z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
(3)求y 与x ，z 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并用相关指数比较所求回归模型的效果．
参考数据：x ＝77.5，y ＝85，z ＝81，∑i ＝1
8
(x i －x )2
≈1 050，∑i ＝18
(y i －y )2
≈456，∑i ＝1
8
(z i
－z )2
≈550，∑i ＝1
8(x i －x )(y i －y )≈688，∑i ＝1
8
(x i －x )(z i －z )≈755，∑i ＝1
8
(y i －y ^
i )2≈7，
∑i ＝1
8
(z i －z ^
i )2≈94， 1 050≈32.4，456≈21.4，550≈23.5.
第3讲 回归分析与独立性检验
1．考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系，调查了457株黄烟，得到下表中数据：
培养液处理 未处理 合计
青花病
25 210 235 无青花病
80 142 222 合计
105 352 457 根据表中数据可知K 2
＝( ) A ．40.682 B ．31.64 C ．45.331 D ．41.61 2．两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心(x －，y －
)
B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型的拟合效果越好
D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系 3．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P (K 2≥6.635)≈0.01表示的意义是( )
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
4．(2010年宁夏银川)下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1 2 3 4 用水量y
4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程式y ^
＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )
A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
5．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果K 2＝6.23，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )
P (K 2>k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0.455 0.70
8
1.323
2.072 2.706
3.84 5.024 6.635 7.879 10.83
A.90% B ．95.5% C ．97.5% D ．99% 6．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀 作文成绩一般 合计
课外阅读量较大
22 10 32 课外阅读量一般
8 20 28 合计
30 30 60 由以上数据，计算得出K 2＝9.643.根据临界值表，以下说法正确的是( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
7．在求两个变量x 和y 的线性回归方程过程中，计算得∑i ＝1
5
x i ＝25，∑i ＝1
5
y i ＝250，∑i ＝1
5
x 2i ＝145，
∑i ＝1
5
x i y i ＝1 380，则该回归方程是__________________________．
参考公式：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y ∑i ＝1
n x 2i －n x
2
.
8．(2011年广东珠海综合测试)调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：
晚上 白天
雄性
20 10 雌性
9 21 从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有____．
参考公式：K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
P (K 2≥k 0)
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
9.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x (℃)
17 13 8 2 月销售量y (件)
24 33 40
55 由表中数据算出线性回归方程y ^
＝bx ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为_________件．
参考公式：b ＝
∑i ＝1
n
x i －y i －n x －y
－
∑i ＝1
n
x 2i ＝nx x －
2
，a ＝y －－b x －
.
10．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：
推销员编号
1 2 3 4 5 工作年限x /年
3 5 6 7 9 推销金额y /万元
2 3 3 4 5 (1)以工作年限为自变量x ，推销金额为因变量y ，作出散点图； (2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；
(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的推销金额． 11．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：
甲厂
分组
[29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10，
30．14) 频数
12 63 86 182 92 61 4 乙厂
分组
[29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10，
30．14) 频数
29 71 85 159 76 62 18 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率； (2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
甲 厂 乙 厂 合计
优质品
非优质品
合计
附：K 2＝n (ad －bc )
2
(a ＋d )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
12．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计
心脏搭桥手术
39 157 196 血管清障手术
29 167 196 合计
68 324 392 试利用独立性检验判断这两种手术对病人是否发作心脏病有关，有多大把握认为两者有关？
专题六 概率与统计
1．随机抽取某中学甲乙两班各6名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图K6－1.则甲班样本数据的众数和乙班样本数据的中位数分别是( )
图K6－1
A ．170,170
B ．171,171
C ．171,170
D ．170,172
2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为( )
A.65
B.65
C ．2 D. 2 3．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图K6－2所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
图K6－2
A ．18
B ．36
C ．54
D ．72
4．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )
A.1936
B.12
C.59
D.1736
5．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法，抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，那么此样本的容量n 等于( )
A ．100
B ．200
C ．90
D ．80
6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则P 点落入区域A 的概率为( )
A.13
B.23
C.19
D.29
7．(2011年湖北)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1 400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市
________家．
8．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为______________．
9．某公司的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系.
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70
根据上表提供的数据得到回归方程y ^
＝bx ＋a 中的b ＝________，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
参考公式：
? ??
???
回归方程为y ^
＝bx ＋a ，其中b ＝∑i ＝1
n x i y i －n x －y －
∑i ＝1
n x 2
i
＝n 2
，a ＝y －－b x －.
10．(2011届广东惠州调研)惠州某中学高三(16)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)试验结束后，第一次做试验的同学A 得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试
验的同学B得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．11．“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80
mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属
醉酒驾车．”
2011年8月15日晚8时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒后驾车者60名，图K6－3是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．
(1)求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数(图K6－3中每组包括左端点，不包括右端点)；
图K6－3
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图K6－4的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图2输出的S值，并说明S的统计意义(图K6－4中数据m i与f i分别表示图K6－3中各组的组中值及频率)；
(3)本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70 mg/100 ml(含70)以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70 mg/100 ml(含70)以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．
图K6－4
12．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(满分100分)如下表所示：
序号 1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学 成绩 95 75
80
94
92
65
67
84
98
71
67
93
64 78
77
90
57
83
72
83
物理 成绩
90 63 72 87 91 71 58 82 93 81 77 82 48 85 69 91 61 84 78 86
若单科成绩85分以上(含85分)，则该科成绩为优秀． (1)根据上表完成下面的2×2列联表(单位：人)：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计
20 (2)根据题(1)中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
(3)若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率．
参考数据：
①假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}x 1，x 2)和{}y 1，y 2)，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y 1 y 2 合计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 合计 a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d
则随机变量K 2＝n (ad －bc )
2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量；
②独立检验随机变量K 2的临界值参考表： P (K 2
≥k 0)
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.82
8
随机事件的概率知识点总结
随机事件的概率 一、事件 1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． 2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． 3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． 二、概率和频率 1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据． 2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现 的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n 为事件A出现的频率． 3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)． 三、事件的关系与运算
四、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率P(E)＝1. 3．不可能事件的概率P(F)＝0. 4．概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 5．对立事件的概率： 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是( ) A．P(M)＝1 3 P(N)＝ 1 2 B．P(M)＝1 2 P(N)＝ 1 2 C．P(M)＝1 3 P(N)＝ 3 4 D．P(M)＝1 2 P(N)＝ 3 4 解析：选D 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)． 故P(M)＝1 2 ，P(N)＝ 3 4 . 2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D
随机事件及其运算
第一章随机事件与概率 一、教材说明 本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。 1．教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算； （2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算； （3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。 本章的教学要求是： （１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念； （２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题； （３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。 ２．本章的重点与难点 本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。 二、教学内容 本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。 1.1随机事件及其运算 本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。 自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如
自由落体，1000C 时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。 概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。 概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。 1.1.1 随机现象 １．定义 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。 例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上； （２）掷一颗骰子，出现的点数； （３）一天内进入某超市的顾客数； （４）某种型号电视机的寿命； （５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。 随机现象到处可见。 ２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。 ３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。 1.1.2 样本空间 １．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为 }{ω=Ω 其中，ω表示基本结果，称为样本点。 （１）执一枚硬币的样本空间为：},{211ωω=Ω； 两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成， 1ω=（正，正），2ω=（正，反），3ω=（反，正），4ω=（反，反），则 A=“至少出现一个正面”={123,,ωωω}；B=“最多出现一个正面”={234,,ωωω}；C=“恰好出现一个正面”={23,ωω}；D=“出现两面相同”={14,ωω}。 （２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：
12.1随机事件的概率
1 随机事件的概率 一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( ) A ．合格产品少于9件 B ．合格产品多于9件 C ．合格产品正好是9件 D ．合格产品可能是9件 2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶 3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一 次正面朝上，则下列结果正确的是( ) A ．P (M )＝13，P (N )＝12 B ．P (M )＝12，P (N )＝12 C ．P (M )＝13，P (N )＝34 D ．P (M )＝12，P (N )＝34 4．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1 次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( ) A ．A 与 B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件 5．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( ) A ．甲是乙的充分但不必要条件 B ．甲是乙的必要但不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的 概率为________． 7．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是________． 8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率
随机事件及其概率教案(精)
<随机事件及其概率>教案 （一）教学目标： 1、知识目标： 使学生掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念及概率的统计定义，并了解实际生活中的随机现象，能用概率的知识初步解释这些现象 2、能力目标： 通过自主探究，动手实践的方法使学生理解相关概念，使学生学会主动探究问题，自主实践，分析问题，总结问题。 3、德育目标： 1.培养学生的辩证唯物主义观点. 2.增强学生的科学意识 （二）教学重点与难点： 重点：理解概率统计定义。 难点：认识频率与概率之间的联系与区别。 （三）教学过程： 一、引入新课： 试验1：扔钥匙，钥匙下落。 试验2：掷色子，数字几朝上。 讨论：下列事件能否发生？ (1)“导体通电时,发热”---------------必然发生(2)“抛一石块,下 落”---------------必然发生 (3)“在常温下,铁熔化” -------------不可能发生 (4)“某人射击一次，中靶” -----可能发生也可能不发生(5)“掷一枚硬币，国徽朝上” -----可能发生也可能不发生(6)“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化” ---不可能发生思考： 1、“结果”是否发生与“一定条件”有无直接关系? 2、按事件发生的结果，事件可以如何来分类？ 二、新授： （一）随机事件： 定义1、在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。 定义2、在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。 定义3、在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 例1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件： （1）扬中明年1月1日刮西北风； x （2）当x是实数时，20 （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%。 （5）从分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签。讨论：各举一个你生活或学习中的必然事件、不可能事件、随机事件的例子 做一做:(投币实验)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上?（两人一组） 1.你的结果和其他同学一致吗？为什么会出现这样的情况？ 2.重复试验10次并记录结果(正面朝上的次数)。（一人试验，一人记录）
随机事件的概率教案(绝对经典)
§12.1 随机事件的概率 会这样考 1.考查随机事件的概率，以选择或填空题形式出现；2.考查互斥事件、对立事件的概率；3.和统计知识相结合，考查概率与统计的综合应用． 1．随机事件和确定事件 (1)在条件S 下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件． (4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S 的随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C …表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3． 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．
②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． ③事件A 的对立事件一般记为A , 则P (A )＝1－P (A ) [难点正本 疑点清源] 1．频率和概率 (1)频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次 数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率． (2)概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小；概率的定义实际上也是求一个事件的概率的基本方法． 2．互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件． 1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个． ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验， 结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3 7 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，3 7 是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两 个不同的概念． 2．在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为m n ，当n 很大时，P (A )与m n 的关系是( ) A ．P (A )≈m n B ．P (A )m n D ．P (A )＝m n 答案 A 解析 在n 次重复进行的试验中，试验次数很大时，频率可近似当作随机事件的概率． 3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有两个红球 答案 D 4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________. 答案 0.5. 题型一 事件的关系及运算 例1 判断下列给出的每对事件，是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、 方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件．
高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率1.事件及样本空间
高中数学讲义 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ， 都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式： 若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1 212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++． 事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件 知识内容 板块一.事件及样本空间
习题一 随机事件与概率计算
习题一随机事件与概率计算 1.写出下列随机试验的样本空间：； （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数。 2.在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示： A=“至少出现一个正面”； B=“最多出现一个正面”； C=“恰好出现一个正面”； D =“出现三面相同”。 3.对飞机进行两次射击，每次射一次弹，设A={恰有一弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两弹都击中飞机}，D={两弹都没击中飞机}。又设随机变量X为击中飞机的次数，试用X表示事件A，B，C，D。进一步问A，B，C，D中哪些是互不相容的事件？哪些是对立的事件？ 4．试问下列命题是否成立？ （1）A—（B—C）=（A—B）∪C； （2）若AB≠?且C A ,则BC=?； （3）（A∪B）—B=A； （4）（A—B）∪B=A。 5.抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率。 6.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。 7.掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7； （2）点数之和不超过5；
（3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。 8.从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色。 9.设5个产品中3个合格品、2个不合格品。从中不返回地任取2个，求取出的2个全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 10.从n个数1,2，……，n中任取2个，问其中一个小于k（1随机事件的概率教案8必修3
随机事件的概率 教学目标： 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、确定事件等基本概念. 2.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的定义. 3.理解频率与概率的区别与联系. 重点：随机事件、必然事件、不可能事件、频率、概率等基本概念； 难点：对概率定义的理解.问题提出 教学过程： 1.日常生活中，有些问题是能够准确回答的. 例如: 明天太阳一定从东方升起吗？明天上午第一节课一定是八点钟上课吗？ 这些事情的发生都是必然的. 2.从辨证的观点看问题，事情发生的偶然性与必然性之间往往存在有某种内在联系. 例如:长沙地区一年四季的变化有着确定的、必然的规律，但长沙地区一年里哪一天最热，哪一天最冷，哪一天降雨量最大，那一天下第一场雪等，都是不确定的、偶然的. 3.数学理论的建立，往往来自于解决实际问题的需要.对于事情发生的必然性与偶然性，及偶然性事情发生的可能性有多大，我们将从数学的角度进行分析与探究. 知识探究（一）：必然事件、不可能事件和随机事件 思考1：考察下列事件：（1）导体通电时发热；（2）向上抛出的石头会下落； （3）在标准大气压下水温升高到100°C会沸腾. 这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 思考2：我们把上述事件叫做必然事件，你指出必然事件的一般含义吗？ 在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件. 你能列举一些必然事件的实例吗？ 思考3：考察下列事件：（1）在没有水分的真空中种子发芽； （2）在常温常压下钢铁融化； （3）服用一种药物使人永远年轻. 这些事件就其发生与否有什么共同特点？ 思考4：我们把上述事件叫做不可能事件，能指出不可能事件的一般含义吗？ 在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件 你能列举一些不可能事件的实例吗？ 思考5：考察下列事件： （1）某人射击一次命中目标； （2）马琳能夺取伦敦奥运会男子乒乓球单打冠军； （3）抛掷一个骰字出现的点数为偶数. 这些事件 就其发生与否有什么共同特点？ 思考6：我们把上述事件叫做随机事件，你指出随机事件的一般含义吗？ 在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件. 你能列举一些随机事件的实例吗？ 归纳： 必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示. 思考7:对于事件A，能否通过改变条件，使事件A在这个条件下是确定事件，在另一条件
高中数学完整讲义——概率-随机事件的概率1.事件及样本空间
版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C L ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B I ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ， 都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =U ． 若C A B =U ，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B U 是由事件A 或B 所包含的基本事 知识内容 板块一.事件及样本空间
随机事件的概率
随机事件的概率 1．概率和频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的 次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)． 2．事件的关系与运算 3. (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 4．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．(×) (2)随机事件和随机试验是一回事．(×) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√) (6)两互斥事件的概率和为1.(×) (7)一个人打靶连续射击两次，事件“至少有一次中靶”与“至多有一次中靶”是对立事件．(×) (8)“冬去春来”为必然事件．(√) (9)有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件次品．(×) (10)做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率为3 7.(×) 考点一随机事件的关系 [例1](1)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是() A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件 解析：
习题1 随机事件及其概率
习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
高中数学完整讲义——概率-随机事件的概率1.事件及样本空间
1 / 4 版块一：事件及样本空间 1．必然现象与随机现象 必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象； 随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象． 2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果． 一次试验是指事件的条件实现一次． 在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件； 在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C L ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果． 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示． 版块二：随机事件的概率计算 1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B I ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义 一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率m n ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =U ． 若C A B =U ，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B U 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式： 若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+U 若事件12n A A A L ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++U UL U L ． 事件“12n A A A U UL U ”发生是指事件12n A A A L ， ，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件 知识内容 板块一.事件及样本空间
1随机事件与概率
1.随机事件与概率 【导入】 问题1 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签，我们在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3， 4， 5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意(随机)从盒中抽取一个纸团.请思考以下问题： （1）抽到的数字有几种可能的结果？ （2）抽到的数字小于6吗？ （3）抽到的数字会是0吗？ （4）抽到的数字会是1吗？ 问题2 小伟掷一枚质地均匀的骸子，骸子的六个面上分别刻有1到6的点数．请思考以下问题：掷一次骸子，在骸子向上的一面上， （1）可能出现哪些点数？ （2）出现的点数大于0吗？ （3）出现的点数会是7吗？ （4）出现的点数会是4吗？ 问题3袋子中装有4个黑球、2个白球．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球． （1）这个球是白球还是黑球？ （2）如果两种球都有可能被摸出，那么摸出黑球和摸出白球的可能性一样大吗？ 【知识要点】 1.在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称确定性事件．可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2. 一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率 P (A )＝ n m ． 在P (A )＝n m 中，由m 和n 的含义，可知0≤m ≤n ，进而有0≤n m ≤1，因此0≤P (A )≤1． 特别地，当A 为必然事件时，P (A )＝1； 当A 为不可能事件时，P (A )＝0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0
2015高考数学(理)一轮题组训练：13-1随机事件的概率
第十三篇概率、随机变量及其分布 第1讲随机事件的概率 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n 的逐渐增加，下列结论正确的是________． ①f(n)与某个常数相等②f(n)与某个常数的差逐渐减小③f(n)与某个常数 差的绝对值逐渐减小④f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定 解析随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系． 答案④ 2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是________． ①至少有一个红球与都是红球②至少有一个红球与都是白球③至少有一 个红球与至少有一个白球④恰有一个红球与恰有二个红球 解析对于①中的两个事件不互斥，对于②中两个事件互斥且对立，对于③中两个事件不互斥，对于④中的两个互斥而不对立． 答案④ 3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________． 解析由题意知该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3. 答案0.3 4．(2014·沈阳模拟)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________． 解析从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球通过列举知共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1
个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是1－110＝9 10. 答案 9 10 5．(2013·陕西卷)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________． 解析 由频率分布直方图可知，一等品的频率为0.06×5＝0.3，三等品的频率为0.02×5＋0.03×5＝0.25，所以二等品的频率为1－(0.3＋0.25)＝0.45.用频率估计概率可得其为二等品的概率为0.45. 答案 0.45 6．(2014·郑州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝1 6，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋1 6＝23. 答案 2 3 7．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)． 解析 ∵P (A )＝152，P (B )＝1352，
高中数学：随机事件的概率 (1)
必修三第三部分概率 3.1事件与概率 典型例题： 1．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P 、 23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P 等于（ ） A ． 23 B ．34 C. 45 D ．56 2．从一批产品取出三件产品，设A =“三件产品全部是次品”，B =“三件产品全是次品”， C = “三件产品不全是次品” ，则下列结论哪个是正确的（ ） A.A 与C 互斥 B.B 与C 互斥 C.,,A B C 中任何两个均互斥 D.,,A B C 中任何两个均不互斥 3．对于随机事件A ，若()0.65P A =，则对立事件A 的概率()P A = . 巩固练习： 1.已知随机事件A 、B 是互斥事件，若()0.25()0.78P A P A B =?=，，则()P B = ． 2. 把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是（ ） A. 对立事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件 3. 抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B 为“落地时向上的数是偶数”，事件C 为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D 为“落地时向上的数是4的倍数”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. A 与B B. B 与C C. A 与D D. B 与D 4. 从一批产品中取出三件产品，设{}A =三件产品全是正品，
{}B =三件产品全是次品， {}C =三件产品不全是次品，则下列结论不正确的是（ ） A. A 与B 互斥且为对立事件 B. B 与C 为对立事件 C. A 与C 存在着包含关系 D. A 与C 不是互斥事件 5.下列关于概率的理解中正确的命题的个数是 ①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0．4； ②某种体育彩票的中奖概率为1000 1，则买1000张这种彩票一定能中奖； ③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域不下雨． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 已知事件A 与事件B 发生的概率分别为()P A 、()P B ，有下列命题： ①若A 为必然事件，则()1P A =； ②若A 与B 互斥，则()()1P A P B +=； ③若A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B ?=+. 其中真命题有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3 7. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是______．(填序号) ①“至少有一个黑球”与“都是黑球”； ②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”； ③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”； ④“至少有一个黑球”与“都是红球”． 8．齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马，现各出上、中、下三匹马分组进行比赛． (1) 如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率； (2) 为了得到更大的获胜概率，田忌预先了解到齐王第一场必出上等马．那么，田忌怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？
知识讲解随机事件的概率提高
随机事件的概率 【学习目标】 1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念； 2.正确理解事件A出现的频率的意义； 3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系； 4.通过实例了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据二者概念辨别一些事件是否是互斥是否是对立，初步学会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。 【要点梳理】 要点一：随机现象 （1）必然现象 在一定条件下必然发生某种结果的现象。 （2）在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象。 （3）试验 把观察到随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察的结果或实验的结果称为试验的结果。 要点二：随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件； 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件. (3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件. 要点诠释： 1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究； 2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性. 要点三：基本事件与基本事件空间 基本事件的概念类似于集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件（或试验结果），基本事件不能分解，不能同时发生相当于集合中元素的互异的现象。 基本事件具有如下性质： （1）不能或不必分解为更小的随机事件； （2）不同的基本事件不可能同时发生。 要点诠释：
第四节 随机事件的概率
第四节 随机事件的概率 高考概览：1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式． [知识梳理] 1．事件 (1)在条件S 下，一定发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件． 2．概率和频率 (1)频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数， 称事件A 出现的比例f n (A)＝n A n 为事件A 出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P (A)，因此可以用频率f n (A)来估计概率P (A)． (3)频率和概率的区别：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：[0,1]． (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件． P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． [辨识巧记] 1．频率与概率 频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率
随机事件及其概率运算
第一周随机事件及其概率运算 1.1随机试验与随机事件 同学们好！欢迎大家参加中国大学先修课程《概率论与数理统计》的学习。我是清华大学数学科学系的教师梁恒，很高兴在今后一段时间里与大家分享一些概率论与统计学中最基本、最重要也是最常用的经典成果。概率论与统计学集中对不确定性进行定量研究，建立了描述不确定性的有效数学模型和理论方法。随着现代科学技术的发展，深刻地理解不确定性有着越来广泛和紧要的需求，概率论与统计学已经成为科学研究、工程技术、经济管理，乃至人文社科等领域不可或缺的工具。这门课程的基本内容和方法不仅是提供了一些有效工具，更反映出独特的思维模式，很好地体现了数学理论和实际应用的联系。本课程面向已经有一些微积分基础的优秀中学生，强调抽象原理与现实应用的紧密结合，希望通过深入浅出的内容，引导同学们从传统的确定性思维模式逐步熟悉和掌握随机性思维模式，当然也希望能够激发同学们的学习兴趣，提升大家的科学素养，为同学们在大学后继课的学习奠定良好的数学基础并帮助同学们适应从初等数学到高等数学，学习观念上的转变，更好地适应即将到来的大学学习和生活。第一周我们主要学习随机事件及事件的概率运算。 ********************************************************* 偶然性与不确定性的概念几乎与人类文明本身一样的古老。人们不得不应付天气变化、传染病的侵袭、战争胜负，以及一次捕猎是否成功等等的不确定现象。很久以前，人们就对理解和运用不确定性的机理和特征产生了兴趣。早在公元前3500年左右，古埃及等地就已经出现了利用动物骨头制作的具有随机性质的游戏。 通常人们都认为近代的概率论，也就是概率的数学理论是由十七世纪法国数学家帕斯卡和费马共同开创的，他们成功地推导出一些赌博规则对应的实际概率，获得了一些有效的计算公式。从那时起，概率论得到了稳步的发展，被越来越多地应用到工程、科学、管理、医药等领域，成为与微积分、线性代数同等重要的最基础的数学工具之一。 ********************************************************* 随机试验与样本空间 如果一个试验事先能够明确地知道试验所有可能的基本结果，在每一次观察中，不能
