极坐标与参数方程数学讲义教师版

2013届选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义

一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构

1.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数

?

?

?==),(),

(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 常见的曲线的参数方程

2.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=a

t y y a

t x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．

) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=

a

b 的直线的参数方程是

??

?+=+=bt

y y at x x 00(t 为参数，1

tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是??

?+=+=?

?sin cos r b y r a x (φ是参数)

(2)椭圆 椭圆

12

22

2=+

b

y a

x (a ＞b ＞0)的参数方程是??

?==??

sin cos b y a x (φ为参数)

椭圆

12

22

2=+

b

y a

y (a ＞b ＞0)的参数方程是 ???==?

?

sin cos a y b x (φ为参数)

(3)抛物线 抛物线px y

22

=的参数方程为()为参数t pt

y pt x ??

?==222

4.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，

缺一不可.

点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.

注意：①点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称；②点),(θρP 与点),(2πθρ+-P 是同一个点；③如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）

；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。④极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．

圆的极坐标方程

①以极点为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是 a ρ=；

②以(,0)a )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； ③以(,

)2

a π

)0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；

直线的极坐标方程

①过极点的直线的极坐标方程是)0(≥=ραθ和(0)θπαρ=+≥.

②过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 化为直角坐标方程为x a =.

③过点(,)2

A a π

且平行于极轴的直线l 的极坐标方程是sin a ρθ=. 化为直角坐标方程为

y a =.

极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式．．．．

的象限由点(x,y)所在的象限确定 三、课前预习

1．直线12+=x y 的参数方程是（ ）

A 、???+==1

22

2

t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数）

C 、 ???-=-=1

21t y t x （t 为参数） D 、??

?+==1

sin 2sin θθ

y x （t 为参数）

答案：C

2．已知??

?

??

-3,

5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、??

?

?

?-3,5π

B 、??

?

?

?

34,

5π

C 、??

?

?

?

-

32,5π D 、??

?

?

?

-

-35,5π 答案：A

3．在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是（ ）

A 、(1,

)2

π

B 、(1,)2

π

-

C 、 (1,0)

D 、(1，π)

解：将极坐标方程化为普通方程得：0222=++y y x ，圆心的坐标为)1,0(-，其极坐标为

)2

3,1(π，选B

4．点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( )

A 、??

?

??

3,

2π

B 、??

?

?

?

34,

2π

C 、??

?

?

?

-

3,2π

D 、??

?

?

?

-

34,2π 答案：C

5．直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在

曲线13cos :sin x C y θ

θ

=+??

=?

（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则A B 的最小值为( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 答案：A

6．参数方程为1()2x t t t y ?

=+?

??=?

为参数表示的曲线是（ ）

A 、一条直线

B 、两条直线

C 、一条射线

D 、两条射线 答案：D

7．()124123x t t x ky k

y t

=-?+==?

=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） A 、-6 B 、16

- C 、6 D 、16

答案：A

8．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )

A 、22(2)4x y -+=

B 、224x y +=

C 、22(2)4x y +-=

D 、22(1)(1)4x y -+-= 答案：A

9．

曲线

4sin()4x π=+

与曲线122

122

x y t ?=-?

??

?

=+??的位置关系是（ ） A 、 相交过圆心 B 、相交 C 、相切 D 、相离 答案：D

10．曲线的参数方程为???-=+=1

2

32

2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）

A 、线段

B 、双曲线的一支

C 、圆

D 、射线 答案：D

11．在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值

是 . 答案：1

12．圆C ：x =1+cos θy =sin θ???(θ为参数)的圆心到直线l

：x =3t y =13t

?-??-??(t 为参数)的距离

为 。 答案：2

13

．已知两曲线参数方程分别为sin x y θ

θ?=??=??

(0)θπ<≤和254x t y t ?

=???=?

(t ∈)R ，它们

的交点坐标为___________．

答案：(1,

5．

14．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分

别为0,3

π

θθ==

，曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θ

θ

=??

=?（θ为参数，且,22ππθ??

∈-????），则

曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 . 答案：

23

π

四、典例分析

考向一 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

相关知识点：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.

互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ??

?

??≠=+=)

0(tan 2

22x x y

y x θρ 【例1 】（1）点M 的极坐标分别是(2,

)2

π

，(4,)π，2(6,

)3

π，3(2,

)4

π

换算成直角坐标依次是 ， ， ，

（2）点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--

，(如果0,02ρθπ≥≤< 换算成极坐标依次是 ， ， ，

【例2】在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．

分析：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22

(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 过圆心的直线的直角坐标方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。 【变式1】在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ）

A 、ρθ=22cos

B 、ρθ=-22cos

C 、ρθ=22sin

D 、ρθ=-22sin 分析：圆心在()2，π即指的是直角坐标系中的)02(，-

圆的直角坐标方程：

2

2

(2x y +

+=。圆的极坐标方程为ρθ=-2

2cos

【变式2】已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2

0,0π

θρ<

≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.

解:曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,32

2

=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为???

?

?

6,

32π

【变式3】在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4

,2(π

,则A 、B 两点间的距离

是 ．

解:如图所示,在△OAB 中，6

53

67,5||,4||ππ

π=

-

=

∠==AOB OB OA

5sin 2

1=∠=

??AOB OB OA S AOB

评述:本题考查极坐标及三角形面积公式，数形结合是关键。

考向二 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

【例3】（1）曲线C :cos 1.sin 1

x y θθ=-??

=+?(θ为参数)的普通方程为 ( C ) A 、22(1)(1)1x y -++=

B 、22(1)(1)1x y +++=

C 、22(1)(1)1x y ++-=

D 、22(1)(1)1x y -+-=

（2）参数方程???

????

-=+=t t y t

t x 11表示的曲线是（ ）

A 、椭圆

B 、双曲线

C 、抛物线

D 、圆

答案：B

【变式1】已知抛物线C 的参数方程为28,

8.

x t y t ?=?=?（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线

C 的焦点，且与圆()2

2

2

4(0)x y r r -+=>相切，则r =________。

答案：2

解：抛物线的标准方程为x y 82=，它的焦点坐标是)0,2(F ，所以直线的方程是2-=x y ，圆心到直线的距离为2

【变式2】若直线340x y m ++=与圆??

?+-=+=θ

θsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，

则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞?+∞ .

【变式3】直线2()1x t t y t =-+??=-?

为参数被圆22

(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）

A

、、140

4

C

分析:2101x t x y y t

=-+??++=?

=-?， 22

(3)(1)25x y -++= 得圆心到直线的距

离

d =

=

，∴弦长

==

【例4】已知点(,)P x y 是圆22

2x y y +=上的动点，求2x y +的取值范围。

解：设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=??

=+?

，22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=++

121x y ∴≤+≤

小结：①设动点的坐标为参数方程形式；②将含参数的坐标代人所求代数式或距离公式；

③利用三角性质及变换公式求解最值.

【变式5】在平面直角坐标系xOy中，点()

P x y

，是椭圆

2

21

3

x

y

+=上的一个动点，求

S x y

=+的最大值．

解：因椭圆

2

21

3

x

y

+=

的参数方程为 (

sin

x

y

θ

θ

θ

?=

?

?

=

??

为参数），故可设动点P

的坐标为

,sin

θθ），其中02

θπ

≤<.

因此

1

sin cos sin)2sin()

223

S x y

π

θθθθθ

=+=+=+=+。所以,当

6

π

θ=是，S 取最大值2。

【题后反思】1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，并且要保证消参的等价性，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。

2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y= (t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y= (t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

3.在参数方程与普通方程的互化中，必须使y

x,的取值范围保持一致。

【课后巩固练习】

1．椭圆的两个焦点坐标是

是参数)

(

sin

5

1

cos

3

Φ

?

?

?

Φ

+

-

=

Φ

+

=

y

x

（）

A、(-3，5)，(-3，-3)

B、(3，3)，(3，-5)

C、(1，1)，(-7，1)

D、(7，-1)，(-1，-1)

解：化为普通方程得1

25

)1

(

9

)3

(2

2

=

+

+

-y

x

，∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)，∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.

2．参数方程表示

)

2

0(

)

sin

1(

2

1

2

sin

2

cos

π

θ

θ

θ

θ

<

<

?

?

?

??

?

?

+

=

+

=

y

x

( )

A.双曲线的一支，这支过点(1，

2

1

) B.抛物线的一部分，这部分过(1，

2

1

)

C.双曲线的一支，这支过(-1，

2

1

) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，

2

1

)

解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0).即y=

2

1

x2(x＞0).∴应选B.

3．在方程

?

?

?

=

=

θ

θ

2

cos

sin

y

x

(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )

A、(2,-7)

B、（

3

1

，

3

2

） C、(

2

1

，

2

1

) D、(1，0)

解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2，将x=

2

1代入，得y=

2

1。∴应选C.

4．曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( )

A 、x 2+(y+2)2=4

B 、x 2+(y-2)2=4 C(x-2)2+y 2=4 D 、(x+2)2+y 2

=4 解：将ρ=2

2y

x +，sin θ=

2

2

y

x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2

=4.∴

应选B.

5．已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6

π

)，则圆心的极坐标和半径分别为( )

A 、(1,

3

π

),r=2 B 、(1,

6

π

),r=1

C 、(1,

3

π

),r=1 D 、(1, -

3

π

),r=2

答案：C

6．在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的一条直线的方程是( )

A 、ρsin θ=2

B 、ρcos θ=2

C 、ρcos θ=-2

D 、ρcos θ=-4 解：点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cos θ=

ρ

2

=

OP

OB ，得ρcos θ=2，∴应选B.

7．52

sin

42

=θ

ρ表示的曲线是( )

A 、圆

B 、椭圆

C 、双曲线的一支

D 、抛物线

解：4ρsin 22θ

=5?4ρ2

.5cos 222

1cos -=?-θρρθ把ρ=2

2y x + ρcos θ=x ，代入上式，得22

2y

x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+

.4

25它表示抛物线.∴应选D.

8.极坐标方程4sin 2

θ=3表示曲线是( )

A 、两条射线

B 、两条相交直线

C 、圆

D 、抛物线

解：由4sin 2

θ=3,得42

2

2

2

y

x y

+＝3,即y 2=3 x 2

，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.

9．直线：3x-4y-9=0与圆：)(,

sin 2cos 2为参数θθθ??

?==y x 的位置关系是( )

A 、相切

B 、相离

C 、直线过圆心

D 、相交但直线不过圆心

答案：D

10．在极坐标系中，点 (,

)π

23

到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（ ）

A 、2

B 、、 D 解：分别化为直角坐标进行计算，)3

,2(π

化为直角坐标是)3,1(，圆θρcos 2=的直角坐

标方程是022

2=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距离为3。答案：D

11．经过点M(1，5)且倾斜角为3

π

的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是

( )

A 、???????+=+=t y t x 235211

B 、???????

+=-=t y t x 235211

C 、???????-=+=t y t x 235211

D 、???

????+=+=t x t y 215231 答案：A 12．若直线??

?=+=bt

y at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )

A 、3

π

B 、3

2π C 、

3

π

或

3

2π D 、

3

π

或

3

5π

答案：C

13．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（C ） A 、22- B 、3

35-

C 、－3

D 、2

7-

14.若直线l 的参数方程为???

????

+-=+=t y t x 5325

43(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y

轴上的截距为 . 答案：-4

15．直线?

??-=+-=t y t

x 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)

的距离为 . 答案：135°，|32t| 16．圆34cos ,()24sin x C y θθθ

=+??

=-+?为参数的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线0

x y -=对称的圆C ′的普通方程是 。

答案：（3，－2）；（x ＋2）2＋（y －3）2＝16

17．在极坐标系中，圆cos ρθ=与直线cos 1ρθ=的位置关系是 . 答案：相切

18．在极坐标系中，直线π3

θ=

（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=

+θ交于A 、B 两点，则

AB = ．

答案： 8

19．（2012年福建理科）在直角坐标系xO y 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方

程为sin x a

y a

?=?

?

=??.

（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，

2

π），判断点P 与直线l 的位置关系；

（II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 解：（１）把极坐标下的点)2

,4(π

化为直角坐标得：)4,0(P 又点Ｐ的坐标满足直线方程，所

以点Ｐ在直线l 上。

（２）因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为)cos ,sin 3(αα，从而点Ｑ到直线l 的距离为

2

4

)6

cos(22

|

4sin cos 3|++=

+-=

παααd 22)6

cos(2++

=πα，因此当

1)6

c o s (-=+

πα时，d 去到最小值，且最小值为2。

20．直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，

B 分别在曲线1

C ：3cos 4sin x y θθ

=+??=+?（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值

为 ．

【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

【解】曲线1C 的方程是2

2

(3)(4)1x y -+-=，曲线2C 的方程是2

2

1x y +=，两圆外离，所以||AB

113--=． 【答案】3