平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积

A 组 专项基础训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于

( )

A ．－1

B ．－1

2

C.1

2

D ．1

2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a

＋b |等于( )

A. 5

B.10 C ．2 5 D ．10

3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )

A.? ??

??

79，73

B.? ????－73，－79

C.? ????73，79

D.? ??

??－7

9，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC

→等于

( )

A ．－3

2

B ．－2

3

C.2

3

D.32

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC

→＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)

8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.

(1)求b ；

(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .

9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与

向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC

→＝1，则BC 等于

( )

A. 3

B.7

C ．2 2

D.23

2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2

3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等

于( ) A ．2

B ．4

C ．5

D ．10

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.

5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点

F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．

6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且

满足|BM →||BC →|＝|CN →|

|CD →|，则AM →·AN

→的取值范围是________．

三、解答题

7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝? ????

－12，32.(1)求证：向量

a ＋

b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．

平面向量的数量积参考答案

A 组 专项基础训练

1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1?x ＝1. 2． 答案 B

解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.

由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D

解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4．答案 D

解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)

5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，

∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×2

2|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． 答案 －16

解析 如图所示，

AB

→＝AM →＋MB →， AC

→＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM

→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪? ?

?

??－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：

6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<3

2，且λ≠－6. 三、解答题(共22分)

8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，

∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2

－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．

(2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb·a －|a |2

＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝

1

2b ＝(－1,3)．

9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×1

2＝1，

∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2

＋7)e 1·

e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7

2.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则???

2t ＝λ，λt ＝7?2t 2＝7?t ＝－142或t ＝14

2(舍)．

故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－1

2)．

B 组 专项能力提升

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．答案 A

解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1.

在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3. 2．答案 A

解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4. 3． 答案 D

解析 ∵P A →＝CA →－CP →，∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB →|2 ＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB

→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|P A →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10.

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解．

a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥

b ， ∴(a ＋

c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－1

2.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 5．答案

2解析 方法一 坐标法．

以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB

→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，

∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB

→，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF

→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋? ????22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB

→＋BE →)·??????BC →＋? ????22－1AB → ＝? ????AB →＋12BC →????

??BC →＋? ????2

2－1AB → ＝? ????22－1AB →2＋12BC →2＝? ????22－1×2＋12×4＝ 2. 6．答案 [1,4]

解析 利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．

如图所示， 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|

＝λ(0≤λ≤1)，则BM

→＝λBC →，

CN

→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1.∴AM →·AN

→∈[1,4]．

三、解答题

7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2

－b 2

＝|a |2

－|b |2

＝(cos 2

α＋sin 2

α)－? ??

??

14＋34＝0，

故向量a ＋b 与a －b 垂直．

(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即? ??

??

－12·cos α＋32·sin α＝0，

即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.