历届(1-10)希望杯数学邀请赛1式高二试题(含答案)
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1990年3月18日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）
（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定
2、设S k =11k ++12k ++ (12)
，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +
121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122
k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +
3、函数y ）
（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值
（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值
4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件
5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2
α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异
（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号
（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号
6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）
（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V
7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）
（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分
8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17
)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a
9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
10、在四个数arctan
2，12arcsin 3中，与等的个数是（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二、填空题
11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2
π的解集是 。 12、与直线x + 2 y – 3 = 0关于直线x = a （a 为常数）对称的直线的方程是 。
13、若平面内的动点P 到定点F( 1，0 )的距离比点P 到y 轴的距离多1，则动点P 的轨迹方程是 。
14、函数y = 2 –
( x ∈[ 1，2 ] )的反函数为 y = f ( x )，则f [ f ( – 1 ) ] = 。
15、A ，B ，C 是三角形的三个内角，那么cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C = 。
16、坐标平面内有两个圆x 2 + y 2 = 16和x 2 + y 2 – 6 x + 8 y + 24 = 0，这两个圆的内公切线的方程是 。
17、棱长为1的正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，P 在线段AC 内，CP = 1，则直线AD 和C 1P 所成的角的弧度值是 。
18
≥ x + t 的解集是空集，则实数t 的取值范围（用区间形式）是 。
19、数列{ a n }中，若a 1 = – 1，a 2 = 2，a n + 1 – a n – a n + 2 = 0，则数列的前1990项的和等于 。
20、若x ，y > 0，且x + 2 y = 1，则( x +1x ) ( y +14y
)的最小值是 。 答案：一、B 、C 、C 、B 、A 、B 、C 、B 、A 、D ；
二、11、{ x | x =4
π+ k π且k ∈Z }；12、x – 2 y – 2 a + 3 = 0；13、y 2 = 2 x – 1；14、1；15、– 1；16、3 x – 4 y – 20 = 0；17、3π；18、( – ∞，1
∪
，+ ∞ )；19、5；20、258
。 简解：1、d = – 1；5、sin 2 α tan 2α= 4 sin 22αcos α；6、
AF =3，
，
；8、b >2π> a > 0 > c ； 17、CC 1 = CP = 1，C 1
，C 1
18
x + t 222110tx t x ?≤-??-≥??，若t > 0，则有21211t x t x ?-≤???-≤≤?无解，F G 第6题图A
B E D O 第17题图Q
P B 1
A
B
C D A 1
C 1
D 1
则2
12t t -< – 1，∴ t 2 – 2 t – 1 > 0，∴ t < 1
或t
若t < 0，则有21211t x t x ?-≥???-≤≤?无解，则2
12t t
-> 1，∴ t 2 – 2 t – 1 > 0，∴ t < 1
t
； 19、– 1，2，3，1，– 2，– 3，– 1，2，3，…
20、2 x y ≤ (22x y +) 2 =14，x y ≤18
， ( x +1x ) ( y +14y ) =22221444x y x y xy +++=2211444xy x y xy +-+=21(12)4xy xy
+-≥211(1)412
+-=258。 第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1991年3月17日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、条件“AB ≠ 0或C = 0”是直线A x + B y + C = 0与两条坐标轴都有交点的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）以上都不对
2、如果sin θ + cos θ =15
，且0 < θ < π，则tan θ的值是（ ） （A ）–43 （B ）–34 （C ）43 （D ）34
3、设集合P = { x ，1 }，Q = { y ，1，2 }，其中x ，y ∈{ 1，2，…，9 }，且P ? Q 。将满足这些条件的每一个有序整数对（x ，y ）看作一个点，这样的点的数目是（ ）
（A ）9 （B ）14 （C ）15 （D ）21
4、圆台上底面积为1，下底面积为16，用一个平行于底面的平面截这个圆台，该平面到上底面的距离是它到下底面距离的2倍，则这个截面的面积是（ ）
（A ）4 （B ）9 （C ）
52 （D ）254 5、函数y = arctan 211
x -的值域是（ ） （A ）( –2π，2π) （B ）( 0，2π) （C ）( –2π，–4π)∪( 0，2π) （D ）( –2π，–4π]∪( 0，2
π) 6、函数f ( x ) = a sin x + b 的最大值是1，最小值是– 7，则b sin 2 x – a cos 2 x 的最大值是（ ）
（A ）5或4 （B ）4或– 5 （C ）4或– 3 （D ）5或– 3
7、若a 是大于1的常数，则x lg x = a 的全部实根之积是（ ）
（A ）1 （B ）± 1 （C ）lg 2 a （D ）± lg a
8、函数y = f ( x )有反函数，把它的图像绕原点在两坐标轴所在平面内按逆时针方向旋转90?，新的图像所表示的函数是（ ）
（A ）y = – f – 1 ( – x ) （B ）y = – f – 1 ( x ) （C ）y = f – 1 ( x ) （D ）y = f – 1 ( – x )
9、在半径为1的球体外面均匀的包上一层球壳行“外衣”，若“外衣”的体积与球的体积相等，则球壳“外衣”的厚度是（ ）
（A 1 （B （C （D 1
10、用一个与圆台上、下底面都相交的平面截圆台，所得的截面图形是（ ）
（A ）等腰梯形 （B ）矩形 （C ）等腰梯形或等腰三角形 （D ）可能是曲边图形
11、曲线C 1：x 2 – y 2 + 4 y – 3 = 0与曲线C 2：y = a x 2（a 是大于0的常数）的交点个数是（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）不确定
12、当n ≥ 1000时，f ( n ) = n – 3，当n < 1000时，f ( n ) = f [ f ( n + 7 ) ]，则f ( 90 )的值是（ ）
（A ）997 （B ）998 （C ）999 （D ）1000
13、底面半径为1面与圆柱底面所成的锐角是（ ）
（A ）4π （B ）3
π （C ）arccos 23 （D ）arccos 13 14、log x y + log y x 的取值范围是（ ）
（A ）( – ∞，+ ∞ ) （B ）( – ∞，– 2 ]∪[ 2，+ ∞ )
（C ）( – ∞，– 2 )∪[ 2，+ ∞ ) （D ）( – ∞，– 2 ]∪( 2，+ ∞ )
15、0 < α，β，γ < 1，f ( α，β，γ ) =13
( α + β + γ )，设ω = sin f ( α，β，γ )，t = f ( sin α，sin β，sin γ )，x = f ( α，β，γ )，y = f ( arcsin α，arcsin β，arcsin γ )，z = arcsin f ( α，β，γ )，则（ ）
（A ）x > y > z > ω > t （B ）y > z > x > ω > t （C ）z > y > ω > t > x （D ）t > ω > z > y > x
二、填空题
16、关于x 的不等式log a x > 1（ a > 0，a ≠ 1）的解是 。
17、如果不等式x >a x
的解集是正实数集，那么实数a 的取值范围是 。 18、arcsin (cos x ) = π – x ，则x = 。
19、在数列{ a n }中，若a 1 = 1，a 2 = 2，a n + 2 = a n + a n + 1（n ∈N*），则数列中与1991最接近的那一项的数值是 。
20、数列{ a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，按下列加括号的方式分成群：（a 1），（a 2，a 3），
（a 4，a 5，a 6，a 7），…，各群所含的项的数目顺次成公比为2的等比数列，试用a ，d ，n 表示第n 群各元素的和 。
21、与曲线x 2 – y 2 – 4 m x + 4 n y = 1 + 4 n 2 – 4 m 2关于点（m ，n ）对称的曲线的轨迹方程是 。
22、由( – 1，– 1 )向曲线x 2 + 4 y 2 – 2 x + 16 y + 13 = 0作切线，切线方程是 。
23、木球浮在第一种液体中时，球心与液面的距离为2，液面与球面相交形成一个圆，当这只木球浮在第二种液体中时，球心与液面的距离为3，液面与球面相交形成另一个圆。则这两个圆的面积差的绝对值是 。
24、函数f ( x )具有性质：f ( log 12
x ) = 2 x ，则数列{ f ( n – 1 )}，（n ∈N*）的所有项之和是 。
25、f ( x )是奇函数，当x ≥ 2时，函数表达式为f ( x ) = x 2 – 5 x + 4，则x ≤ – 3时的函数的表达式是 。
26、函数y = 3 x – 4 cos ( arcsin x )，( – 1 < x < 1 )的最小值是 。
27、由函数y = 2 sin 3 x (6
π≤ x ≤56π)与函数y = 2（x ∈R ）的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 。
28、log 的解集（区间）是 。
29、方程arctan ( tan x ) = arctan ( cot x ) 的解集（区间）是 。
30、设全集I = { ( x ，y ) | x ，y ∈R }，则集合A = { ( x ，y ) | x cos θ + y sin θ – 1 = 0，x ，y ，θ∈R }的补集是 。
答案：一、C 、A 、B 、B 、D 、C 、A 、D 、D 、D 、B 、C 、C 、B 、B ；
二、16、0x a x a
<?(01)(1)a a <<>；17、a ≤ 0；18、54π；19、1597；20、2 n – 1 a + ( 3 2 n – 3 – 2 n – 2 ) d ；21、x 2 – y 2 = 1；22、x = – 1或5 x – 6 y – 1 = 0；23、5 π；24、4；25、f ( x ) = – x 2 – 5 x – 4；
26、– 5；27、
43π；28、( 0，1 )∪+ ∞ )；29、x = k π ±4π；30、{ ( x ，y ) | x 2 + y 2 < 1，x ，y ∈R }。
简解：3、（2，3），…，（2，9），（3，3），…，（9，9）；5、
211x -> 0或211x -≤ – 1； 7、a = ± 4，b = – 3；8、y = f ( x )y x ????→= y = f – 1 ( x ) x ????→轴– y = f – 1 ( x ) ?????→原点 y = f – 1 ( – x )；
12、f ( 1000 ) = 997，f
2 ( 1000 ) = f 2 ( 1004 ) = f ( 1001 ) = 998，
f 3 ( 1000 ) = f 2 ( 1005 ) = f ( 1002 ) = 999，
第13题图
f 4 ( 1000 ) = f 2 ( 1006 ) = f ( 1003 ) = 1000，f 5 ( 1000 ) = f ( 1000 )，
f ( 90 ) = f 2 ( 90 + 7 ) = f 3 ( 90 + 7 × 2 ) = f 131 ( 90 + 7 × 130 ) = f 131 ( 1000 ) = f 3 ( 1000 ) = 999；13、b = 1，a =
32，cos θ =23； 18、cos x = sin ( π – x ) = sin x ，–2π< π – x <2π，2π< x <32π；19、1597 = a 16； 24、f ( x ) =22x ，a n = f ( n – 1 ) =122n -，S =lim n →∞S n =lim n →∞12(1)2112
n --= 4；26、y = 3 sin α – 4 cos α，α = arcsin 45–2π，–2π< α <2π； 29、tan
x = cot x ；30、θ变化，而原点到直线的距离是1。
第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试
1992年3月15日 上午8：30—10：00
一、选择题
1、平面直角坐标系内有点A (32，– 1 )，B ( lg 0.1，cos ( –3
π) )，则线段AB 的中点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
2、在棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1上一点，F 为B 1C 1上一点，则四面体AA 1EF 的体积是（ ）
（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）112
3、已知0 < x < 1，0 < y < 1，x ≠ y ，设a =222
x y +，b =2x y +，c = x y ，d
a ，
b ，
c ，
d 中一定是（ ）
（A ）a 最大，d 最小 （B ）b 最大，c 最小 （C ）b 最大，d 最小 （D ）d 最大，a 最小
4、若sin α + sin β = 1，则cos α + cos β的最大值是（ ）
（A ）1 （B
（C
（D ）2
5、关于x ，y 的方程x 2 + y 2 + k x + 2 y + k 2 = 0在平面直角坐标系中的图形是个圆，当这个圆取最大面积时，圆心的坐标是（ ）
（A ）( 0，– 1 ) （B ）( – 1，0 ) （C ）( 1，– 1 ) （D ）( – 1，1 )
6、设α = arccos 19911992，β
γ
）
（A）β < γ < α（B）γ < α < β（C）γ < β < α（D）α < β < γ7、关于x的不等式( x2– 2 ) log
1
5
x > 0的解集是（）
（A）( –∞，
∪
+ ∞ )（B）( 0，1 )∪
+ ∞ )（C）( 1
（D）空集
8、三个不同的实数a，b，c成等差数列，a，c，b成等比数列，则a
b
等于（）
（A）– 2 （B）2 （C）– 4 （D）4
9、关于x的方程2 a sin x = 1 + a2有实数解，那么实数a的取值范围是（）
（A）大于– 1的实数（B）大于1的实数（C）大于– 1且小于1的实数（D）– 1或1 10、正方体ABCD–A1B1C1D1中，M为A1B1中点，N为BB1中点，则异面直线AM与CN所成的角的余弦值等于（）
（A）1
2
（B
（C）
2
5
（D）
3
4
二、填空题
11、若
1
12
?
+
1
23
?
+
1
34
?
+ …+1
(1)
n n+
=
1991
1992
，则自然数n = 。
12
x + 1的解集是。
13、方程3 cos x + 4 sin x = 6的解集是。
14、sec 1991
4
π
与sin
323
4
π
的等比中项是。
15、点A ( 3，– 2 )关于直线2 x–y– 1 = 0的对称点B的坐标是。
16
的正四面体内任意点到四面体四个面的距离的和等于。
17、从点( 4，3 )向圆( x– 2 ) 2 + ( y– 1 ) 2 = 1作切线，则过两个切点的直线方程是。
18、函数f ( x )，g ( x )的定义域为R，且f ( x ) ≥0的解集为{ x | 1 ≤x < 2 }，g ( x ) ≥0的解集为空集，则不等式f ( x ) g ( x ) > 0的解集为。
19、△ABC的三条边a，b，c成等差数列，则∠B的最大值是。
20、定义在实数上的函数f ( x
的最小值是。
答案：一、D、B、B、C、A、C、C、D、D、C；
二、11、1991；12、{ x | – 2 ≤x
；13、Φ；14、± 1；15、( –
13
5
，
4
5
)；16
17、2x + 2 y – 7 = 0；18、{ x | x < 1或x ≥ 2 }；19、60?；20、
简解：3、b > a > c，b > d > c；
4、1 + ( cos α + cos β ) 2 = ( sin α + sin β ) 2 + ( cos α + cos β ) 2 =
G
N
M
E
F
D1
B1
A1
D C
B
A
C1第10题图